Zustandsr uckf uhrung in linearen Mehrgr oˇenregelkreisen { … · 2008. 10. 27. · Praktikum { Mehrgr oˇenregelsysteme, WS 2008/2009 Stephanie Geist Fachgebiet Regelungssysteme

Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil

Zustandsruckfuhrung in linearenMehrgroßenregelkreisen – Zustandsreglerentwurf

fur ein Dreitanksystem

Praktikum – Mehrgroßenregelsysteme, WS 2008/2009

Stephanie Geist

Fachgebiet RegelungssystemeTechnische Universitat Berlin

GERMANY

Stephanie Geist Zustandsruckfuhrung in linearen Mehrgroßenregelkreisen 1


Inhalt

1 Modellierung

2 Zustandsruckfuhrung

3 Polvorgabe

4 LQR

5 Zustandsruckfuhrung: Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens

6 Zustandsregler mit integrierenden Anteil



Anwendungsbeispiel: Dreitanksystem

nichtlineares Mehrgroßensystem

Fullstandsregelung in allen 3 Tanks

Fullstande werden uberDrucksensoren gemessen

2 Stellgroßen: Pumpenraten

Ansteuerung: via Scilab

System kann als quasikontinuierlichbetrachtet werden



Modellierung

Q1 Q2

Q12 Q23 Q30

ATank

A12 A12 A30

h1

h2

h3

hmax

Volumenbilanz fur Tank 1:

dV1

dt= ATank

dh1

dt= Q1 − Q12

Flussrate:

Q12 = A12ν12

Zu-/Ausflussgeschwindigkeit(Gesetz von Toricelli):

ν12 = sgn(h1 − h2)√

2g |h1 − h2|

⇒ ATankdh1

dt= Q1 − sgn(h1 − h2)

√2g |h1 − h2|



Implementierung eines nichtlinearen Simulationsmodells inScicos

mehrere Moglichkeiten:

1 Verwendung von Blocken aus der Non linear library

2 Verwendung des Blocks GENERIC und Implementierung derSimulationsgleichungen als Scilab-Funktion

Beispiel:

x(t) = sin x(t) + u2(t) (1)

y = x (2)






1/s

generatorsinusoid

sin Trig. Function

MScopeu x yu^a








generator

sinusoid MScopeGENERIC







generator

sinusoid MScopeGENERIC

f u n c t i o n b l o c k=e x a m p l e n o n l i n e a r ( b lock , f l a g )i f f l a g==0

x=b l o c k . x ;u=b l o c k . i n p t r ;b l o c k . xd (1)= s i n ( x (1))+ u ( 1 ) ˆ 2

e l s e i f f l a g==1b l o c k . o u t p t r (1)(1)= b l o c k . x ( 1 )

ende n d f u n c t i o n



Inhalt

1 Modellierung


3 Polvorgabe

4 LQR





Zustandsreglerentwurf

1 Entwurf einer vollstandigen Zustandsruckfuhrung,wobei angenommen wird, dass alle Zustande messbar sind undzuruckgefuhrt werden konnen

2 Entwurf eines Zustandsbeobachters/Zustandsschatzers, wobeinicht direkt messbare Zustande geschatzt werden.

3 Reglerreduktion,wobei der aus den ersten beiden Schritten gewonnene Regler durcheinen einfacheren Regler approximiert wird



Zustandsreglerentwurf

1 Entwurf einer vollstandigen Zustandsruckfuhrung,wobei angenommen wird, dass alle Zustande messbar sind undzuruckgefuhrt werden konnen

2 Entwurf eines Zustandsbeobachters/Zustandsschatzers, wobeinicht direkt messbare Zustande geschatzt werden.

3 Reglerreduktion,wobei der aus den ersten beiden Schritten gewonnene Regler durcheinen einfacheren Regler approximiert wird



Zustandsruckfuhrung

Regelstrecke:

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x ∈ Rn, u ∈ Rq (3)

konstante Zustandsruckfuhrung

u(t) = −Kx(t)

(4)

K . . . konstante reelleq × n - Matrix

B

A

−K

u x∫



Inhalt

1 Modellierung


3 Polvorgabe

4 LQR





Polvorgabe

x(t) = (A− BK )x(t)

B

A

−K

u x∫

Satz

Ist (A,B) steuerbar, so konnen durch Wahl einer geeigneten reellwertigenMatrix K die Eigenwerte von (A− BK ) beliebig (reell oder konjugiertkomplex) vorgegeben werden.



Inhalt

1 Modellierung


3 Polvorgabe

4 LQR





LQR

Regelstrecke: x(t) = Ax(t) + Bu(t)

quadratisches Kostenfunktional:

J(x0) =

∞∫0

(xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t))dt (5)

Q symmetrisch, reell, positiv semidefinitR symmetrisch, reell, positiv definit

optimales Regelgesetz (lineare konstante Zustandsruckfuhrung):

u∗(t) = −R−1BT P︸︷︷︸K

x(t)

(6)

B

A

−K

u x∫



LQR

optimales Regelgesetz

u∗(t) = −R−1BT Px(t), (7)

wobei P die algebraische Riccati-Gleichung

PA + AT P − PBR−1BT P + Q = 0 (8)

erfullt

Voraussetzungen:

(A,B) stabilisierbar

Q = ETE muss so gewahlt werden, dass (ET ,A) entdeckbar



LQR

Entwurfsschritte

1 Prufen der Strecke auf Stabilisierbarkeit

2 Wahl der Bewichtungsmatrizen Q und R

3 Berechnen von P durch Losen der algebraischen Riccati-Gleichung

4 Berechnen der optimalen Zustandsruckfuhrung K

5 Analyse des Regelsystems:

Berechnung der Dynamikmatrix des Regelsystems:Ag = A− BR−1BT PBerechnung der Eigenwerte von Ag

Simulation der Zustandsgroßen und der Stellgroßenetc.

6 Spezifikationen sind erfullt?

ja → Endenein → zuruck zum Schritt 2 und Anpassen von Q und R



Inhalt

1 Modellierung


3 Polvorgabe

4 LQR





Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens

bisher:


Regelungsziel: x → 0

Frage

Entspricht der Dreitankversuch diesem Standardproblem?




bisher:



Frage

Entspricht der Dreitankversuch diesem Standardproblem?

Antwort

JA, denn

C = I , d.h. x = y

Linearisierung um den Arbeitspunkt, Ziel: Abweichung vomArbeitspunkt verschwindet, d.h. x → 0




bisher:



nun:Erzielen eines bestimmen Sollwertes oder einer Trajektorie des Ausgangs-signals

Regelstrecke:

x(t) = Ax(t) + Bu(t), (9)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (10)

Im Folgenden: D=0

Regelungsziel: y = r




Zustandsruckfuhrung mit Vorsteuerung:

rV B C

A

−K

y

x

u ∫

Anmerkung: Regelfehler e(t) = r(t)− y(t) tritt nicht explizit auf

Entwurf

1 Festlegung der dynamischen Eigenschaften durch die Wahl von K

2 Festlegung des Fuhrungsverhaltens (z.B. der stationaren Genauigkeitbei Sollwertvorgabe) durch Wahl von V



Beispiel: Entwurf der Vorsteuerung fur Sollwertfolge

x(t) = (A− BK )x(t) + BVr(t) (11)

y(t) = Cx(t) (12)

Wir fordern fur konstante Fuhrungsgroßen r , dass sich nach demAbklingen der Einschwingvorgange (x = 0) eine stationare Regelgroßevon

limt→∞

y(t) = limt→∞

Cx(t) = r (13)

einstellt.Im stationaren Zustand gilt:

0 = (A− BK )x + BVr , (14)

limt→∞

y(t) = C (BK − A)−1BVr = r . (15)

Die Forderung wird erfullt fur

V = (C (BK − A)−1B)−1. (16)



Inhalt

1 Modellierung


3 Polvorgabe

4 LQR





Zustandsregler mit integrierenden Anteil

B C

Ax

y

−K

u ∫

Die Einfuhrung eines integrierenden Anteils ist in vielen Fallen sinnvoll:

konstante Storungen

Parameteranderungen

Arbeitspunktregelungen

Ziel:

Verbesserung des (niederfrequenten) Storverhaltens

verbesserte Robustheitseigenschaften



Zustandsregler mit integrierenden Anteil

Erweiterung der Reglerstruktur:

B C

Ax

yr

−K

u∫KI

∫



Zustandsregler mit integrierenden Anteil: Entwurf

Einfuhrung neuer Zustandsgroßen y modifiziertes Entwurfsproblem:

B C

Ax

yr

−K

uz∫KI

∫

[x(t)z(t)

]=

[A 0−C 0

] [x(t)z(t)

]+

[B0

]u(t) +

[0I

]r(t)

y(t) =[C 0

] [x(t)z(t)

]Stephanie Geist Zustandsruckfuhrung in linearen Mehrgroßenregelkreisen 28




B C

Ax

yr

−K

uz∫KI

∫

u(t) =[−K KI

] [x(t)z(t)

]





B C

Ax

yr

−K

uz∫KI

∫

Zustandsreglerentwurf fur modifiziertes Entwurfsproblem:

Polvorgabe

LQR




[x(t)z(t)

]=

[A 0−C 0

]︸︷︷︸

A

[x(t)z(t)

]+

[B0

]︸︷︷︸

B

u(t)

y(t) =[C 0

] [x(t)z(t)

]u(t) =

[−K KI

] [x(t)z(t)

]Voraussetzung: (A, B) steuerbar (Polvorgabe)/ stabilisierbar (LQR)

Hinweis: Es ist nicht immer notwendig alle Regelfehler uber einenIntegrator zuruckzufuhren, auch eine teilweise Ruckfuhrung ist moglich!



Integrator-Windup

Beispiel (SISO):

Strecke

kP

kI

∫r u y

0 5 10 15−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

time

u

0 5 10 150.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

time

r (−

−),

y (

−)



Integrator-Windup

Beispiel (SISO):

Strecke

kP

kI

∫r u yu∗

0 5 10 15−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

time

u* (

−−

), u

(−

)

0 5 10 150.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

time

r (−

−),

y (

−)



Anti windup (SISO)

Wir beschranken uns auf den Eingroßenfall.

Anti-Windup-Schaltungen:

1 Ruckfuhrung der Differenz zwischen Eingang und Ausgang desStellgliedes auf den Eingang des Integrators

kI

kP

u

1TS

∫

2 Logikschaltung, die den Eingang des Integrator auf Null setzt, wenndas Stellglied sich in der Sattigung befindet

3 etc.



Anti-windup (SISO)

Beispiel (SISO):

0 5 10 150.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

time

u* (

−−

), u

(−)

0 5 10 150.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

time

r (−

−),

y (

−)


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