Eine Reise in die Unendlichkeit

mit Happy End!

Christian Spannagel

Pädagogische Hochschule Heidelberg

http://cspannagel.wordpress.com

Das Unendliche ist weit, vor allem gegen Ende. Alphonse Allais

Wir starten…

© V

ale

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n B

esc

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r

…in der Endlichkeit.

Die Unendlichkeit führt uns an gedankliche

Grenzen…

Ein kleiner Intelligenztest: Wie geht es

weiter?

• 2, 4, 6, 8, …

• 3, 5, 7, …

• 3, 1, 4, 1, 5, …

Die natürlichen Zahlen

1,2,3,4,5,6,…

N

Ein kleiner Intelligenztest: Wie geht es

weiter?

• 2, 4, 6, 8, …

nan 2 Nnfür alle

Die natürlichen Zahlen

1,2,3,4,5,6,…

N

potenzielle Unendlichkeit

aktuale Unendlichkeit

Die natürlichen Zahlen

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 10

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

…

Die Quadratzahlen

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 10

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

…

Angenommen, wir können nicht zählen…

Angenommen, wir können nicht zählen…

Angenommen, wir können nicht zählen…

„Jeder wohl definierten Menge kommt… eine

bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen

dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn

sie sich gegenseitig eindeutig, Element für

Element, einander zuordnen lassen.“

Wie sieht es hier aus?

1

2

3

5

4

6

7

1

4

9

16

25

36

49

……

Wie sieht es hier aus?

11 14 19 16 25 36 49 64 81 …

21 22 23 24 25 26 27 28 29 …

Wie viele gerade Zahlen gibt es?

12 14 16 8 10 12 14 16 18 …

21 22 23 24 25 26 27 28 29 …

Gibt es mehr ganze Zahlen als natürliche?

1 2 3 4 50-1-2-3-4-5

12 34 56 78 910 11 ……

……

Aber es gibt mehr Bruchzahlen! Oder?

0 11

2

1

4

3

8

1

146734537282454738

Nö.

1

2

1

3

1

4

1

5

1

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2

1

3

2

3

3

3

4

3

5

3

1

4

2

4

3

4

4

4

5

4

1

1

2

3 54

1

2

3

4

5 5

2

5

3

5

4

5

5

5

1

Georg Cantor (1845-1918)

„… als eine Krankheit betrachten,

von der man sich erholt hat.“

(Henri Poincaré; 1854-1912)

„Aus dem Paradies, das Cantor

uns geschaffen, soll uns niemand

vertreiben können."

(David Hilbert; 1862-1943)

Hilberts Hotel

1 2 3 4 5 6 7 8

…

Hilberts Hotel: Ein Bus mit unendlich vielen

Personen kommt an.

1 2 3 4 5 6 7 8

…

Hilberts Hotel: Unendlich viele Busse mit

unendlich vielen Personen kommen an.

1 2 3 4 5 6 7 8

…

Dezimalbruchentwicklung

2

10,5

3

10,33333333333… = 0,3

275

1330,4836363636… = 0,4836

7

10,142857142857… = 0,142857

Die Zahl PI

3.1415926535897932384626433832795028841971693

9937510582097494459230781640628620899862803

4825342117067982148086513282306647093844609

5505822317253594081284811174502841027019385

2110555964462294895493038196442881097566593

3446128475648233786783165271201909145648566

9234603486104543266482133936072602491412737

2458700660631558817488152092096282925409171

5364367892590360011330530548820466521384146

9519415116094330572703657595919530921861173

819326117931051…

Die Zahl PI

Zahlbereichserweiterung

1

38

120

-1

-52

-142

1

2

3

4

8

7-

Wie viele reelle Zahlen gibt‘s denn nun?

z1=0,r11 r12 r13 r14 r15 r16 r17 r18 r19 …

z2=0,r21 r22 r23 r24 r25 r26 r27 r28 r29 …

z3=0,r31 r32 r33 r34 r35 r36 r37 r38 r39 …

z4=0,r41 r42 r43 r44 r45 r46 r47 r48 r49 …

…

f=0,

r11

r22

r33

r44

mit fif1 f2 f3 f4 …

Kontinuumshypothese

?

Die Zahl PI

3.1415926535897932384626433832795028841971693

9937510582097494459230781640628620899862803

4825342117067982148086513282306647093844609

5505822317253594081284811174502841027019385

2110555964462294895493038196442881097566593

3446128475648233786783165271201909145648566

9234603486104543266482133936072602491412737

2458700660631558817488152092096282925409171

5364367892590360011330530548820466521384146

9519415116094330572703657595919530921861173

819326117931051…http://www.angio.net/pi/piquery

Mehr als jede andere Frage hat das Problem des Unendlichen das Denken der Menschen beschäftigt; mehr als jede andere Idee hat diejenige des Unendlichen ihre Intelligenz herausgefordert und befruchtet; mehr als jeder andere Begriff erfordert es derjenige des Unendlichen, geklärt zu werden.

David Hilbert

Vielen Dank für Ihre

Aufmerksamkeit!

… ist der Vortrag wirklich

schon zu Ende?

Vielen Dank an Laura Martignon, Joachim Engel und Josef Beck

für ihre hilfreichen Tipps!

Link zum Wiki

http://tinyurl.com/unendlichkeit

Literatur

Spektrum der Wissenschaft Spezial (2005): Das Unendliche.

Spektrum der Wissenschaft Spezial (2005): Unendlich (plus 1).

Zschiegner, M.-A. (2000). Die Zahl π - faszinierend normal! mathematik lehren 98,

43-48.