ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ

ШТА ЈЕ ПОЛИЕДАР? префикс са значењем више

основа• ПОЛИЕДАРСКА ПОВРШ је коначан скуп

полигонских површи таквих да:• Свака страница било које полигонске

површи је страница највише две суседне полигонске површи.

неда

Две суседне полигонске површи припадају двема различитим равнима.

да не

Две несуседне полигонске површи повезане су низом полигонских површи од којих су сваке две узастопне површи

низа суседне.

неда

Стране, ивице, темена, дијагонале, ивични углови

A,B,C,D,E,F,V ТЕМЕНАAB,BC,CD,DE,EF,FA,VA,VB,... ИВИЦЕABV СТРАНА<AVB ИВИЧНИ УГАО

М N

PQ

R S

TV

VN ДИЈАГОНАЛА

B C

V

A D

EF

ЗАТВОРЕНА И ОТВОРЕНА ПОЛИЕДАРСКА ПОВРШ

ОТВОРЕНА ПРОСТА ПОЛИЕДАРСКА ПОВРШ

ЗАТВОРЕНА ПРОСТАПОЛИЕДАРСКА ПОВРШ

ПОЛИЕДАР

• Скуп тачака за који важи да свака права која пролази кроз њу сече полиедарску површ зове се унутрашња област.

• Полиедар је скуп тачака затворене полиедарске површи и свих тачака њене унутрашње области.

КОНВЕКСНИ И НЕКОНВЕКСНИ ПОЛИЕДРИ

Полиедар је конвексан уколико свака дуж чије су крајње тачке, тачке полиедра,

припада полиедру.

КОНВЕКСАННЕКОВЕКСАН

ОЈЛЕРОВА ТЕОРЕМА• ОЈЛЕР ЛЕОНАРД (EULER

LEONHARD 1707.-1783.) један од најзначајнијих математичара у историји, пореклом Швајцарац. Живео је и радио у Берлину и Петрограду. Последњих година , иако потпуно слеп, објавио је око 800 радова из скоро свих области математике.

• ОЈЛЕРОВА ТЕОРЕМА: У простом затвореном полиедру збир бројева страна (s) и темена (t) већи је за два од броја ивица (i).

2 ist

ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ

Конвексан полиедар је ПРАВИЛАН ако су све његове стране правилни

многоуглови са истим бројем страница, а сви његови рогљеви правилни са

истим бројем ивица.

ТЕОРЕМА: Постоји тачно пет правилних полиедара.

ТЕТРАЕДАР

n=3,m=3,s=4,i=6,t=4

КОЦКА - ХЕКСАЕДАР

n=4,m=3,s=6,i=12,t=8

ОКТАЕДАР

n=3,m=4,s=8,i=12,t=6

ДОДЕКАЕДАР

n=5,m=3,s=12,i=30,t=20

ИКОСАЕДАР

n=3,m=5,s=20,i=30,t=12

Сваки правилан полиедар има описану и уписану лопту.

Однос једнак је и код додекаедра и код икосаедра. Додекаедар и икосаедар имају

једнаке описане па и уписане сфере.Ово је доказано у Еуклидовим “Елементима”.

33

u

o

RR

ОСОБИНЕ ПРАВИЛНИХ ПОЛИЕДАРА

ТЕЛО RuRО УГАО ДИЕДРА P V

ТЕТРАЕДАР

КОЦКА

ОКТАЕДАР

ДОДЕКАЕДАР

ИКОСАЕДАР

126a

46a

31arccos

3a26a

32a1223a

a21

23a

2

66a

22a

31arccos

232 a323a

a20

5110250 a4

315

55arccos

35arccos

3

45715 a

3

12535 a

a12

51842

2510253 a

235 aa4

5210

ДУАЛНОСТ

У хинду религији икосаедар представља мушки, духовни принцип, а додекаедар

женски материјални принцип.

ИСТОРИЈА

ПЛАТОНОВА ТЕЛА

ХЕГЕЛ: Један од најлепших поклона који нам је судбина сачувала из старог доба су

Платонова дела.

ПЛАТОН: Знање које имамо је само мрвица онога што

немамо.

ПЛАТОНПЛАТОН (428.-348.год.п.н.е.). Рођен

и живео у Атини, грчки филозоф, идеалиста,Сократов ученик,

Аристотелов учитељ и оснивач академије, филозофскe школe у

Академском врту, земљи која је, по предању, припадала

полулегендарном грчком хероју Академосу. Име му је Аристокле, а надимак Платон, Плећати, добио је

по широким раменима, што је делом последица његовог

бављења рвањем.

• ЕМПЕДОКЛЕ (493.-433. П.Н.Е.), грчки државник, филозоф и песник: четири основна елемента ВАТРА, ВОДА, ВАЗДУХ, ЗЕМЉА

• ПЛАТОН им је доделио правилне полиедре.

РАФАЕЛ: АТИНСКА ШКОЛА

АРИСТОТЕЛ

ТОПЛО

ХЛАДНО

ВЛАЖНО СУВО

ВАЗДУХ

ВОДА

ВАТРА

ЗЕМЉА

Коцка – чврсто и стабилно стоји – земља Тетраедар – најмања запремина – сув – ватраОктаедар – покретан – ваздухИкосаедар – највећа запремина – водаДодекаедар – 12 страна, 12 зодијачких знака, 12 сазвежђа кроз које земља прође при кретању око сунца – универзум

2003.

АРХИМЕД

• Највећи математичар и физичар старог света (287.-212.п.н.е.). Рођен у Сиракузи (данашња Италија). Са Њутном и Гаусом највећи математичар свих времена.

• Архимедова аксиома• Архимедов закон (hëureka)• Израчунао вредност броја π (између

223/71 и 22/7)• “Noli turbare circulos meos.”

• Архимедова пумпа

• “Дајте ми довољно дугу полугу и померићу цео свет” (Да ли је могао?)

• Архимедова спирала

• Шта је на гробу Архимеда?

АРХИМЕДОВА ТЕЛА

Полиедри чија се површ састоји од правилних многоуглова, али који не

морају имати једнак број ивица. Има их 13.

ЗАРУБЉЕНИ ПОЛИЕДРИ

ЗАРУБЉЕНИ ОКТАЕДАР

ЗАРУБЉЕНИ ТЕТРАЕДАР

4 ТРОУГЛА4 ШЕСТОУГЛА

ЗАРУБЉЕНИ ХЕКСАЕДАР8 ТРОУГЛОВА6 ОСМОУГЛОВА

6 КВАДРАТА8 ШЕСТОУГЛОВА

ЗАРУБЉЕНИ ИКОСАЕДАР12 ПЕТОУГЛОВА20 ШЕСТОУГЛОВА

ЗАРУБЉЕНИ ДОДЕКАЕДАР

20 ТРОУГЛОВА12 ДЕСЕТОУГЛОВА

КВАЗИПРАВИЛНИСтране представљају само две врсте

правилних многоуглова

КУБОКТАЕДАР

8 ТРОУГЛОВА6 КВАДРАТА

ИКОСАДОДЕКАЕДАР

20 ТРОУГЛОВА12 ПЕТОУГЛОВА

РОМБКУБОКТАЕДАР8 ТРОУГЛОВА18 КВАДРАТА

РОМБИКОСОДОДЕКАЕДАР

20 ТРОУГЛОВА30 КВАДРАТА12 ПЕТОУГЛОВА

КРЊИ ХЕКСАЕДАРКРЊИ ДОДЕКАЕДАР

80 ТРОУГЛОВА12 ПЕТОУГЛОВА32 ТРОУГЛА

6 КВАДРАТА

ЗАРУБЉЕНИ ИКОСОДОДЕКАЕДАР

30 КВАДРАТА20 ТРОУГЛОВА12 ДЕСЕТОУГЛОВА

ЗАРУБЉЕНИ КУБОКТАЕДАР

12 КВАДРАТА8 ШЕСТОУГЛОВА6 ОСМОУГЛОВА

КЕПЛЕР

• ЈОХАН КЕПЛЕР

(1571.-1630.) и данас познат по три закона

о кретању небеских

тела.КЕПЛЕРОВ МОДЕЛ СВЕМИРА

КЕПЛЕР:Како може да

постоји 7 планета кад има 5

Платонових тела?

У зависности од орбите Кеплер је

у делу Тајна свемира 1596.

планетама доделио правилне полиедре.

КЕПЛЕР ПУАСОНОВА ТЕЛА

Уколико се не захтева конвексност полиедара добијамо тзв. Кеплер-

Пуасонова тела.

АЛОТРОПИ УГЉЕНИКА

ДИЈАМАНТТЕТРАЕДАР

БАКМИНСТЕНФУЛУРЕН60 АТОМА УГЉЕНИКА

ЗАРУБЉЕНИ ИКОСАЕДАР

ДИЈАМАНТ

СТРУКТУРА МОЛЕКУЛА

13 молекула течног аргона

Легура алуминијум-бакар-гвожђе

Кухињска со

КРИСТАЛИ

БАРИТ

АЛУМИНИЈУМ СИЛИКАТ

ВЕЗУВИТ

ПИРИТ

ПИРИТ

ТАЛКЛЕУЦИТ

КВАРЦ

ФЛУОРИТ

ВИРУСИ

Већина вируса има облик икосаедра (укључујући полио вирус и преко 200

вируса који изазивају прехладу) пошто он захтева најмање енергије.

КАПСИДА ОБЛИКА ИКОСАЕДРА

АДЕНОВИРУС

ВИРУС ХЕРПЕСА

ПОЛИОВИРУС

FMDV

ВИРУС СИДЕ

У МОРУТЕТРАЕДАР ПРОТОЗОА CALLIMITRA AGNESAE, КОЦКА LITHOCUBUS GEOMETRICUS,ОКТАЕДАР

CIRCOPORUS OCTAEDRUS,ДОДЕКАЕДАР CIRCORRGEHMA DODEKAEDRUS,ИКОСАЕДАР

CIRCOGNIA ICOSAEDRUS

КАРТОГРАФИЈА

ЕГИПАТСКИ КАЛЕНДАР?• У процесу кретања по еклиптици Земља пролази

кроз 13 сазвежђа, али су древни астрономи поделили пут Земље на 12 делова (сазвежђа Стрелца и Змаја су спојена)

• Египћани су рачунали да година има 12 месеци по 30 дана и 5 дана празника 30х12+5=365

• 2π=360°=12х30°• Циклус Јупитера је приближно 12, Сатурна 30, а

Сунчевог система 60 година• Додекаедар има 12 страна, 30 ивица и 60 ивичних

углова

ПОЛИЕДРИ У УМЕТНОСТИ

“Главни разлог за проучавање правилних полиедара је и

даље као у време питагорејаца, наиме, њихов симетричан облик привлачи

нечији уметнички осећај.”

КОКСТЕР

“Математика влада не само истином, него и великом

лепотом – лепотом прецизном и строгом, као код

скулптуре,узвишено чистом која стреми истинском

савршенству, које је својствено само уметности.”

БЕРТРАНД РАСЕЛ

АРХИТЕКТУРА

НЕОЛИТ

ШКОТСКА ОКО 2000 ГОД П.Н.Е.

Римски предмет, вероватно играчка или уметнички предмет.

ПАОЛО УЋЕЛО:МОЗАИК ИЗ 1425.-1430. ЦРКВА СВЕТОГ МАРКА

ВЕНЕЦИЈА

ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ

ЈАКОПО БАРБЕРИ: ЛУКА ПАЋОЛИ И ЊЕГОВ ЂАК, ПЛЕМИЋ ГВИДОБАЛДО, ГРОФ ОД УРБИНА

АЛБРЕХТ ДИРЕР: МЕЛАНХОНИЈА 1514.

“Постоји само једно добро – ЗНАЊЕ и само једно зло –

НЕЗНАЊЕ.”ПЛАТОН