226 v - 5STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA

sjeciste dijagonala oBnovke. Dokame da nozista okomica spustenih iz tocke 0 na pobockepiramide leze na jednoj kruznici.

RjesellJe. Neka je A' noziste okomice spustene iz 0 na pobocku SAB. OznaCimosa Al sjeciste pravaca AB i SA' (nacrtajte sliku). Kako je AB 1. OS i AB 1. OA', toje ravnina SOA' okomita na pravac AB i stoga je OAl 1. AB. Dakle, Al je ortogonalnaprojekcija tocke 0 na brid AB. Nadalje, Al je ujedno i slika tocke A' pri stereografskojprojekciji sfere dijametra SO na ravninu osnovke. Prema tome, sve ce biti dokazano akodokaiemo da ortogonalne projekcije tocke 0 na stranice cetverokuta ABOD leze najednojkruznici, a to nije tesko dokazati. .

§ 5. Poliedri

5.1. Pojam poliedra

Sto su za planimetriju poligoni, to su za stereometriju poliedri. Ni pojam po-ligona nije bilo sasvim lagano definirati, pa je jasno da je s poliedrima jos teze. Ustereometriji se proucavaju skupovi tocaka u prostoru3 R3 koji su poput fizickihtijela, pa se obicno i nazivaju tijelima. Intuitivno govoreCi, tijelo je dio prostoraomeden rub nom plohom, kao npr. kugla omedena kuglinom plohom, tj. sferom. No,za preciznu definiciju tijela, pa onda i poliedra, podsjetimo prvo na neke pojmoveiz topologije.

Podskup U ~ R3 je otvoren, ako zajedno sa svakom tockom sadrZi i neku kugluoko te tocke. Zatvorelli skup je komplement otvorenoga. Ekvivalentno, skup jezatvoren ako sadrzi sve svoje rubne tocke. Rublla tocka skupa S ~ R3 je tockasa svojstvom da svaka kugla s cent rom u toj tocki sijece S i komplement R3 \ S.Skup svih rubnih tocaka od 8 se zove rub od 8 i oznacava sa 88. Ullutraslljost(nutrilla) Hi illterior Int 8 skupa 8 je najveci otvoreni skup koji je sadrZan u 8(ili ekvivalentno, to je unija svih otvorenih kugala koje su sadrzane u 8). SkupS C R3 je omeden ako je sadrzan u nekoj (velikoj) kugli. Kompaktallskup uR3 je onaj koji je omeden i zatvoren. Skup S ~ R3 je Iukovima povezall (kratkocemo reci povezan), ako za svake dvije tocke u 8 postoji luk sadrzan u S Cijijepocetak u jednoj, a kraj u drugoj tocki. Podsjetimo da je Iuk homeomorfna slikasegmenta.

Tijelo u prostoru R3 je kompaktan, povezan skup s nepraznim inetriorom.Posebno vazna vrsta tijela su poliedri. Grubo govoreci, poliedar je tijelo ciji rubCini konacno mnogo poligona, odnosno to su "uglasta tijela". Na s1. 165 primjerisu nekih poliedara.

Poliedar je tijelo ciji je interior povezan, a rub mu je povezan skup koji sesastoji od konacno mnogo (ravninskih jednostavnih) poligona, pri cemu se svaka

30vdje za prostor M3 koristimo oznaku R3 imajuCi u vidu topolosku strukturu tog prostora.

v - 5 POLIEDRI 227

@@

81. 165.

dva od tih poligona ili ne sijeku ili imaju sarno jedan zajednicki vrh ili sarno jednuzajednicku stranicu, a svaka stranica nekog od tih poligona je zajednicka stranicatocno dvaju od tih poligona. Unija svih tih poligona zove se rublla ploha ili rubpoliedra. Na s1. 165 nacrtano je nekoliko poliedara.

Tako smo, dakle, vec u ovoj definiciji uklonili "samopresjecne poliedre", pa onekojima rubna ploha nije povezana (npr. kocka iz Cijeje unutraSnjosti odstranjenamanja otvorena kocka), ili takve anomalije poput dviju piramida sa zajednickimvrhom itd. Ipak, kada cemo kasnije proucavati volumene, onda cemo i te "anoma-lije" smatrati poliedrima u sirem smislu (tj. to ce biti unija od konacno mnogotetraedara s disjunktnim nutrinama).

Svaki se poligon rubne plohe poliedra zove stralla poliedra, stranica svakogod tih poligona zove se brid poliedra, a vrh svakog od tih poligona zove se vrhpoliedra. Tako, na primjer, poliedar na s1. 166 ("poliedarski torus") ima 16 vrhova,32 brida i 16 strana.

Poliedar cija je rubna ploha homeomorfna sferi zove se jedllostavllim polied-rom a njegova rubna ploha poliedarska sfera. Za jednostavne poliedre vrijediprostorni analogon Jordanovog Teorema (prvi dio, str. 231).

I / I/ I / I /

/ 1/ 1// ~ ~

/ ~~ ,~~ ,

81. 166.

228 STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA v - 5

TEOREM 1. (Prostorni Jordanov teorem). Svaka poliedarska sfera S uprostoru rastavlja prostor na tocno dva podrucja koja zovemo unutrasnjost ivanjstina poliedarske sfere S.

UnutraSnjost Int S poliedarske sfere S je omedeni skup, a vanjstina neomedeniskup tocaka u prostoru. Dakle, jednostavni poliedar je unija poliedarske sfere za-jedno s njenom unutraSnjoscu. Katkad se poliedar u sirem smislu definira kao unijaod konacno mnogo poliedarskih sfera (zajedno s njihovim unutrasnjostima koje suu parovima disjunktne), tako da su svake dvije od njih ili disjunktne ili se sijekuu zajednickom vrhu ili duz zajednickog brida ili u zajednickoj strani (koja se tadane smatra stranom poliedra). U tom sirem smislu se onda dopustaju slucajevi kaodvije piramide s jednim zajednickom vrhom, kocka iz koje izbacimo unutraSnjostkocke koja je Citava u unutraSnjosti prve (ovdje rub nije povezan) itd. Dakako, tosu primjeri nejednostavnih poliedara.

Najvaznija vrsta poliedara su konveksnipoliedri. Poliedarje konveksan ako seCitav nalazi s iste strane ravnine svakog poligona njegovog ruba. Nar~dni teoremdaje karakterizaciju konveksnih poliedara.

TEOREM 2. (WeyI4-Minkowski5). Skup P C R3 je konveksni poliedar akoi samo ako je konveksna ljuska od konacno mnogo tocaka. Te tocke su vrhovi tog

poliedra. Nadalje, konveksni poliedar P je presjek poluprostora odredenih s njegovimn

stranama(sl. 167),tj. P = n Hi-;=1

H~I

Hi

81. 167.

OCito je konveksni poliedar jednostavni i oCito je svaka strana konveksnogpoliedra konveksni poligon.

4Hermann Weyl (1885 - 1955), ujemacki matematicar. Od 1933. djelovao u SAD.5Hermann Minkowski (1864 - 1909), njemaclcimatematicar i fizicar.

v - 5 POLIEDRI 229

5.2. Neke vrste poliedara. Piramide, bipiramide i prizme

Najjednostavniji poliedar je tetraedar. To je konveksna ljuska od cetiri tockekoje ne leze u istoj ravnini. Rub tetraedra Cine cetiri trokuta. Tetraedar se katkadzove i 3-dimenzionalni simpleks. (Tocka je O-dimenzionalni simpleks, duzinaI-dimenzionalni simpleks, a trokut je 2-dimenzionalni simpleks). Tetraedar imacetiri vrha, sest bridova i cetiri strane (trokuta).

Piramidaje konveksna ljuska (ravninskog) poligona i tocke izvan ravnine. Tajpoligon se zove baza ili osnovka piramide, a ta tocka vrh piramide. Visinapiramide je udaljenost od vrha do baze (katkad se visina zove i duzina V N, gdje jeV vrh, aN noziste okomice iz V na ravninu osnovke). Ako je baza n-terokut, ondase piramida zove n-strana piramida. Bipiramida (ili dvostruka piramida)ima takoder bazu (osnovku) i dva vrha s raznih strana ravnine osnovke. Piramidas vrhom V i bazom B je zapravo unija svih duzina s jednim krajem V, a drugim ubazi B, tj. to je U{VXIX E B}. Piramida je, dakle, konus nad svojom osnovkom.Svaka duzina V A, gdje je A vrh osnovke zove se pobocni brid ili izvodnicapiramide, a svaki trokut .0.V AB, gdje su A i B dva susjedna vrha baze, zove sepobocka ili pobocna strana piramide. Unija poboeki se zove plast piramide.Trostrana piramida je naprosto tetraedar. Disjunktni bridovi tetraedra se katkadzovu nasuprotni bridovi tetraedra. OCito imamo tri para nasuprotnih bridovatetraedra. Tetraedar je pravilni ako su mu sve strane sukladni jednakostranicnitrokuti (pa stoga i svi bridovi jednake duljine). Ako je baza piramide konveksnipoligon, onda je piramida s tom bazom konveksni poliedar (dokazite to!).

Piramida je pravilna ako joj je baza pravilni poligon, a visina prolazi centrombaze. Krnja piramida je poliedar oblika P \ P', gdje su PiP' piramide sazajedniekim vrhom V i bazama (osnovkama) BiB', pri eemu je B' presjekpiramide P ravninom paralelnom s ravninom od B. Udaljenpst tih ravnina jevisina krnje piramide.

Prizma je poliedar koji je unija svih duzina koje spajaju pojedine to eke nekogpoligona s odgovarajuCim toekama njegovog translata za neki vektor a koji ne- -lezi u ravnini tog poligona; toenije, to je u{XX'IX E B}, gdje je XX' = a. Tajpoligon i njegov translat zovu se baze (ili osnovke) prizme, a duzine koje spajajuodgovarajuce vrhove zovu se pobocni bridovi prizme.

Translacijaje izometrija pa su stoga osnovke prizme sukladne, a kako translacijaprevodi ravninu u paralelnu ravninu, to su ravnine osnovaka prizme paralelne. Istotako, zbog svojstava translacije, oCito su pobocni bridovi prizme paralelni i jed-nake duljine. Rubna ploha prizme sastoji se, dakle, od dvaju paralelnih poligona- osnovaka i pobocki (ili pobocnih strana) koje su paralelogrami. Svaki odtih pobocnih paralelograma ima za dvije nasuprotne stranice susjedne pobocnebridove, a druge dvije su pripadne stranice osnovaka. Plast prizme je unija njenihpobocki. Visina prizme je udaljenost medu ravninama osovaka. Duzina kojaspaja dva vrha prizme a koji ne leze na istoj pobocki prizme zove se dijagonalaprizme. Ako je baza n-terokut, prizma se zove n-terostrana prizma. Ako supoboeke (odnosno pobocni bridovi) okomiti na osnovku, prizma se zove uspravna,

230 STEREOMETRIJA- GEOMETRIJA PROSTORA v- 5

Prizmaje pravilna, ako je uspravna,a osnovkesu joj pravilni poligoni. Akojebazacetverostrane prizme paralelogram, onda se ona zove paralelepiped. Akojeparalelepiped uspravan, ~baza mu je pravokutnik, onda se to zove kvadar, a akoje baza kvadra kvadrat, a duljina pobocnog brida jednaka duljini stranice osnovke,onda se takav kvadar zove kocka (ili kub). Duljine svih bridova kocke su jednake.

I

I

I

I

»--------/

Trostrana piramida(tetraedar)

V

Kvadar

A1

A4

Aosnovka

Az 3sesterostrana piramida

A1Az cetverostrana bipiramida

peterostrana prizma (oktaedar)

krnja (ceLveroslrana)piramida klin

51. 168.

Prizme, piramide i krnje piramide pripadaju klasi poliedara koji se zovu priz-matoidi. Prizmatoid je poliedar koji ima dvije strane - osnovke - koje mogu bitibilo koji poligoni, a leze u paralelnim ravninama, a sve ostale strane su trokuti ilicetverokuti, a vrhovi svakog od njih leze u obje osnovke. Osnovka moze biti i tocka,

V-5 231POLIEDRI

tada je piramida, a ako je jedna osnovka cetverokut, a druga duzina, onda je totzv. klin. Primjeri svih navedenih poliedara su na 81. 168.

Primjer 1. Postoji Ii konveksni poIiedar s tocno n :::::4 vrhova, kojemu je svaka stranatrokut?

Rjesenje. Postoji. Jedna konstrukcija takvog poIiedra je sljedeca. Uzmimo u 3-dimenzionalnom koordinatnom sustavu Oxyz krivulju na kojoj koordinate svake tockeovise 0 parametru t ovako x = x(t) = t, Y = y(t) = t2,Z= z(t) = e. Na toj krivulji C (tzv."vremenska krivulja") uzmimo n tocaka s vrijednostima parametra h < h < ... < tn,tj. neka je A; = (t;, t~, tn, i = 1,2,..., n te neka je P konveksna ljuska tih tocaka, tj.P = conv{Al, A2,..., An} (sl. 169».

Pokazimo da su vrhovi poIiedra P u opcem polozaju. U tu svrhu uzmimo bilo kojacetiri vrha s parametrima tl< t2< t3< t4.Da seustanovi jesu Ii te tocke komplanarne,treba promotriti determinantu (pogl. VI, Analiticka geometrija):

Vrijednost te determinante (tzv. Vandermondeova6 .determinanta) je jednaka t:. = (t2 -- h)(h - tl)(t4 - td(h - h)(t4 - h)(t4 - h) = I1(tj - ti), pa Je zbog t; i=tj za i i= j ta

i<jdeterminanta t:. i= O. 5toga su svaka cetiri vrha od P nekomplanarna i zato su sve straneod P trokuti.

PoIiedar P se zove ciklicki poliedar, a prvi ga je promatrao C. Caratheodor/ 1907.g. Napomenimo da se konveksni poIiedar Cije su sve strane trokuti zove simplicijalnipoliedar. .

z

c

y

x

51. 169.

Primjer 2. a) Dokazite da konveksni poliedar ne moze imati tocno sedam bridova.b) Dokazite da za svako n :::::6, n i=7, postoji konveksni poliedar s tocno n bridova.Rjesenje. a) Pretpostavimo da taka v poliedar postoji. Uzmimo prvo da je on siro

plicijalni, tj. sve strane su mu trokuti i neka ih je s. Tada je oCito broj bridova jedna

6Alexandre Vandermonde (1735 - 1796), francuski matematicar.7Constantin Caratheodory (1873 - 1950), njemacki matematicar.

1 1 1 1 1 1 1 1

t:.=I XlX2 X3 X4 tl h h t4=

tI t t5 tYl Y2 Y3 Y4

Zl Z2 Z3 Z4 t tg tg t