Metodos bis fal_sec

1 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESÚS MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODOS NUMÉRICOS CON SOFTWARE MATLAB

ECUACIONES NO LINEALES

MÉTODOS ITERATIVOS: MÉTODO GRÁFICO Y MÉTODO DE BISECCIÓN RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES Las soluciones de una ecuación f(x)=0, se llaman ceros o raíces de f(x). En esta sesión estudiaremos el método gráfico y el método de Bisección para obtener las raíces reales de ecuaciones no lineales. El problema general es que dada una función real IRIRf : , encontrar los valores de x para

los cuales f(x)=0. Es decir solucionar ecuaciones trascendentales como por ejemplo:

1) 012)(3

xexf x 2) 0)tan(1)( 2 xxxg 3) )()ln()( 2 xsenxxx = 0

Definición.- (Cero de una función) Supongamos que f(x) es una función continua. Cualquier número r tal que f(r)=0 se llama raíz de la ecuación f(x)=0; también se dice que r es un cero de la función f(x).

MÉTODO GRÁFICO Este método nos permite estimar los valores de las raíces. PRIMERA FORMA Consiste en trazar las gráfica de la función asociada f donde puedan reconocerse si existen valores IRr tal que 0)(rf

Ejemplo: Hallar los ceros de la función real: 22)( 2 senxexxxf x

Resolución Del gráfico se observa que hay tres cortes del eje X con la función f. Esto significa que la ecuación f(x)=0 tiene tres raíces.

Si tomamos la función f(x)=0, es decir 022)( 2 senxexxxf x y la graficamos,

obtendremos las tres aproximaciones.

i) Si f(x)=0, entonces 0222 senxexx x %Ploteo de f con MATLAB x=-3:0.05:4; y=x.^2-2*x+exp(x).*sin(x)-2; plot(x,y) xlabel('EJE X') ylabel('EJE Y') title('f(x)=x.^2-2*x+exp(x).*sin(x)-2') grid on gtext('raiz 1') gtext('raiz 2') gtext('raiz 3')

Las raíces se localizan en los intervalos: ]0;1[1I ; ]2;1[2I ; ]4;3[1I

Raíces aproximadas de la ecuación f(x)=0 son:

Para el intervalo ]0;1[1I la aproximación es Raiz1=-0.8224

Para el intervalo ]2;1[2I la aproximación es Raiz2=1.1707

Para el intervalo ]4;3[1I la aproximación es Raiz3=3.218


SEGUNDA FORMA

Consiste en la transformar la función asociada f en la forma )()( 21 xfxf , luego f1 y f2 se

grafican en el mismo sistema de coordenadas donde las raíces de f son las intersecciones de las gráficas.

Ejemplo: Estimar los valores de las raíces de 022)( 2 senxexxxf x

Resolución

i) Descomponemos la función en dos funciones f1 y f2 haciendo 0222 senxexx x ,

entonces 222)(. xxxsenx , donde por ejemplo obtenemos )(.1 xsenef x ; 2

2 22 xxf .

ii) Graficamos las funciones f1 y f2 observando del gráfico la intersección de f1 y f2 la cual nos dará las soluciones aproximadas de las tres raíces. %gráfica con MATLAB x=-2:0.05:4; f1=exp(x).*sin(x); f2=2+2*x-x.^2; plot(x,f1,'b',x,f2,'r') xlabel('EJE X') ylabel('EJE Y') title('MÈTODO GRÀFICO') grid on gtext('raiz 1') gtext('raiz 2') gtext('raiz 3') gtext('f1=exp(x).*sin(x)') gtext('f2=2+2*x-x.^2') Raíces aproximadas de la ecuación f(x)=0 Raiz1=-0.8224 Raiz2=1.1707 Raiz3=3.218 TERCERA FORMA

MÉTODO DE BISECCIÓN Es un método de localización que consiste en hallar ceros de funciones continuas. Debemos empezar con un intervalo de partida [a ; b] en el que f(a) y f(b) tengan distinto signo. El proceso

consiste en tomar el punto medio del intervalo 2

bac y luego analizar las tres posibilidades

que pueden darse: 1) Si f(a) y f(c) tienen signos opuestos entonces hay un cero en [a ; c] 2) Si f(c) y f(b) tienen signos opuestos entonces hay un cero en [c ; b] 3) Si f(c)=0 entonces c es un cero PROPOSICIÓN (Existencia) Sea IRIRf : , una función continua en [a ; b], si 0)().( bfaf , entonces f posee al menos

una raíz en [a ; b]. Es decir 0)(],[ rfquetalbar


LOCALIZACIÓN Problema. Determinar la solución a la ecuación baxxf ;;0)( …… (1)

Consideremos la hipótesis 1H :

“La función f es continua en ];[ 00 ba y 0)()( 00 bfaf ”

La hipótesis 1H verificada, el método considera como aproximación de la solución el punto

medio del intervalo de localización 2

00 bac , luego se toma la siguiente decisión:

1.- Si 0)()( 0 cfaf , el nuevo intervalo de localización es ];[ 0 ca en caso contrario será el

intervalo ];[ 0bc , efectuando este razonamiento en forma reiterada se obtiene la sucesión }{ ix

que converge a *x solución de la ecuación (1) de la forma: ITERACIONES

;2;1;0;];[* ibax ii

2

iii

bax ( punto medio )

ii

ii

iixb

aatienesexfaf

1

1;0)().(

ii

ii

iibb

xatienesexfaf

1

1;0)().(

Gráficamente el método de Bisección significa:

El tamaño del intervalo después de n pasos de iteración es n

ab

2

00 , donde 0a y 0b son los

valores iniciales de a y b, de modo que el numerador es el tamaño del intervalo inicial. Si la tolerancia del error es , el número de pasos de iteración necesarios es el entero n más

pequeño que satisface n

ab

2

00 , o en forma equivalente )2(

00

Log

abLog

n

donde es la tolerancia.

x

-10

20

10

-20

30

f(x)

a c

b 2 3

raízx* f(a)

f(b)

f(c)

1 7 6 5 4 9 8


ALGORITMO DE LA BISECCIÓN Input a , b , M , , )(afu

)(bfv

abc

Output vuba ,,,

If signo (u) = signo (v) then stop for k=1,2,3,… M do

2/ee eac )(cfw

output k, c , w , e

if e or w then stop

if signo(w) signo(u) then cb wv

else ca wu

end if end

%PROGRAMA BISECCIÓN function Biseccion fprintf ('\n'); nombre_f=input(' Ingrese la función asociada f(x)=','s'); a=input(' ingrese el límite inferior : '); b=input(' ingrese el límite superior : '); fprintf ('\n'); fprintf (' it a b aprox error \n'); i=1; e=1; r=0; while e>=3E-6 & i<=15 va=r; r=(a+b)/2; x=a ; fa=eval(nombre_f); x=b ; fb=eval(nombre_f); x=r ; fr=eval(nombre_f); fprintf ('%3.0f %10.6f %10.6f %10.6f',i,a,b,r); if fa*fr<=0 b=r; e=abs((r-va)/r); fprintf('%10.6f\n',e); else a=r; e=abs((r-va)/r); fprintf('%10.6f\n',e); end i=i+1; end fprintf('\n'); fprintf('La raíz es :%10.9f\n',r);


COMPILACIÓN DEL PROGRAMA >> Biseccion Ingrese la función asociada f(x)=x.^2-2*x+exp(x).*sin(x)-2 ingrese el límite inferior : 1 ingrese el límite superior : 2 it a b aprox error 1 1.000000 2.000000 1.500000 1.000000 2 1.000000 1.500000 1.250000 0.200000 3 1.000000 1.250000 1.125000 0.111111 4 1.125000 1.250000 1.187500 0.052632 5 1.125000 1.187500 1.156250 0.027027 6 1.156250 1.187500 1.171875 0.013333 7 1.156250 1.171875 1.164063 0.006711 8 1.164063 1.171875 1.167969 0.003344 9 1.167969 1.171875 1.169922 0.001669 10 1.169922 1.171875 1.170898 0.000834 11 1.170898 1.171875 1.171387 0.000417 12 1.170898 1.171387 1.171143 0.000208 13 1.170898 1.171143 1.171021 0.000104 14 1.170898 1.171021 1.170959 0.000052 La raíz es :1.170959473 En forma análoga la raíz 2 tenemos: >> Biseccion Ingrese la función asociada f(x)=x.^2-2*x+exp(x).*sin(x)-2 ingrese el límite inferior : -1 ingrese el límite superior : 0 it a b aprox error 1 -1.000000 0.000000 -0.500000 1.000000 2 -1.000000 -0.500000 -0.750000 0.333333 3 -1.000000 -0.750000 -0.875000 0.142857 4 -0.875000 -0.750000 -0.812500 0.076923 5 -0.875000 -0.812500 -0.843750 0.037037 6 -0.843750 -0.812500 -0.828125 0.018868 7 -0.828125 -0.812500 -0.820313 0.009524 8 -0.828125 -0.820313 -0.824219 0.004739 9 -0.824219 -0.820313 -0.822266 0.002375 10 -0.824219 -0.822266 -0.823242 0.001186 11 -0.823242 -0.822266 -0.822754 0.000593 12 -0.822754 -0.822266 -0.822510 0.000297 13 -0.822754 -0.822510 -0.822632 0.000148 14 -0.822632 -0.822510 -0.822571 0.000074 La raíz es: -0.822570801


En forma análoga la raíz3 tenemos: Biseccion Ingrese la función asociada f(x)=x.^2-2*x+exp(x).*sin(x)-2 ingrese el límite inferior : 3 ingrese el límite superior : 4 it a b aprox error 1 3.000000 4.000000 3.500000 1.000000 2 3.000000 3.500000 3.250000 0.076923 3 3.000000 3.250000 3.125000 0.040000 4 3.125000 3.250000 3.187500 0.019608 5 3.187500 3.250000 3.218750 0.009709 6 3.187500 3.218750 3.203125 0.004878 7 3.203125 3.218750 3.210938 0.002433 8 3.210938 3.218750 3.214844 0.001215 9 3.214844 3.218750 3.216797 0.000607 10 3.216797 3.218750 3.217773 0.000303 11 3.217773 3.218750 3.218262 0.000152 12 3.218262 3.218750 3.218506 0.000076 13 3.218506 3.218750 3.218628 0.000038 14 3.218506 3.218628 3.218567 0.000019 La raíz es: 3.218566895 Práctica dirigida con MATLAB I. Utilice el método gráfico para hallar las raíces de las funciones:

1.- 0)( 2 xexxf 2.- 0)cos()( xxxf

3.- 0)cos(2)()( xxsenxf 4.- 0)1()cos()( 12xxxf

5.- 0)ln()2()( 2 xxxf 6.- 0)2()(4)( 22 senxxxsenxxf

7.- 012.0)log()( 2xxxf 8.- 06cos22)( xexf xx

II. Utilice el programa Bisección para hallar los ceros de las siguientes funciones:

1) 5)( 3xexf x 2) Lnxexsenxxf xcos)(

3) 5)( 33 xexsenxf x 4) )log(32))3(tan()( 52 senxxxsenxf

5) 62cos)( 3 xxxsenxxf 6) )).cos(tan()( xxf

TAREA DOMICILIARIA Utilice el método gráfico y el método de Bisección para hallar los ceros de las siguientes funciones:

1) 21log210)( xxxxf 2) 1)()( xxsenxg

3) 42)()( xxLnxf 4) 12)(3

xex x

5) 3log)( 3cos xxexf xsenx 6) 2)( xex x

7) 4ln)( 3cosxxexf

xsenx 8) 22 )2()(4)( senxxxsenxx

9) )()( 1 xsenxxxf 10) 22 )cos2()cos(4)( xxxxxg

11) 12.0)log()( 2xxxh 12) 6cos22)( xexr xx

13) 0)ln()2()( 2 xxxf 14) 604.0)9.0(

1

01.0)3.0(

1)(

22 xxxf



ECUACIONES NO LINEALES MÉTODO DE RÉGULA FALSI (FALSA POSICIÓN)

Una de las razones de su introducción es que la velocidad de convergencia del método de Bisección es bastante

baja. Supongamos que f(a) y f(b) tienen distinto signo. En el método de bisección se usa el punto medio del

intervalo [a; b] para llevar a cabo el siguiente paso. Suele conseguirse una aproximación mejor usando el punto (c ;

0) en el que la recta secante L que pasa por los puntos [a; f(a)] y [b; f(b)] cruza el eje OX.

Gráficamente el método Régula Falsi significa tomar rectas secantes en forma sucesiva.

ALGORITMO DEL MÉTODO RÉGULA FALSI

If f(a)*f(b) <=0 then

Repeat

Calcular c

If f(a)*f(c)<=0 then

b=c

else

a=c

until )(cf Error

retorno raíz es c

else

cambiar límites

end Régula Falsi

E-1) Calcular los ceros de la función )tan(1)( 2 xxxf ; ]5.1;5.0[x

Resolución

i) Ploteando la curva

x=0.5:0.001:1.5;

y=sqrt(x.^2+1)-tan(x);

plot(x,y,'k')

grid on

zoom on

xlabel('EJE DE ABSCISAS')

ylabel('EJE DE ORDENADAS')

;2;1;0;];[* ibax ii

)()(

))((

ii

iiiii

afbf

abbfbx ó

)()(

))((

ii

iiiii

afbf

abafax

Si iiiiii xbaatienesexfaf 11 ;;0)().(

Si iiiiii bbxatienesexfaf 11 ;;0)().(

Caso contrario ixx* (solución)

0a

0b

0x

*x [ )(; 00 bfb ]

L

2x

[ )(; 00 afa

]

[ )(; 00 xfx

]

3x

5x

4x

1x

x

y


title('Gráfica para Régula Falsi')

% Compilar lo con r_falsa

Ingrese la función asociada f(x)=sqrt(x.^2+1)-tan(x)

ingrese el límite inferior : 0.8

ingrese el límite superior : 1.0

%Resultados

it a b aprox error

1 0.800000 1.000000 0.927346 1.000000

2 0.927346 1.000000 0.940046 0.013510

3 0.940046 1.000000 0.941320 0.001353

4 0.941320 1.000000 0.941447 0.000136

5 0.941447 1.000000 0.941460 0.000014

6 0.941460 1.000000 0.941461 0.000001

La raíz es :0.941461381

%PROGRAMA REGULA FALSI PARA HALLAR CEROS DE FUNCIONES

function r_falsa

fprintf ('\n');

nombre_f=input(' Ingrese la función asociada f(x)=','s');

a=input(' ingrese el límite inferior : ');

b=input(' ingrese el límite superior : ');

fprintf ('\n');

fprintf (' it a b aprox error \n')

i=1; e=1; r=0;

while e>=3E-6 & i<=18

va=r;

x=a ; fa=eval(nombre_f);

x=b ; fb=eval(nombre_f);

r=a-(b-a)*fa/(fb-fa);

x=r; fr=eval(nombre_f);

fprintf ('%3.0f %10.6f %10.6f %10.6f',i,a,b,r);

if fa*fr<=0

b=r; e=abs((r-va)/r);

fprintf('%10.6f\n',e);

else

a=r; e=abs((r-va)/r);

fprintf('%10.6f\n',e);

end

i=i+1;

end

fprintf('La raíz es :%10.9f\n',r);

I.-PRÁCTICA DIRIGIDA DE LABORATORIO CON “MATLAB”

Encuentre los ceros de las funciones utilizando el método de Régula Falsi de las siguientes funciones:

1.- xexf x)( 2.- 2

.)( 3 xexxg 3.- xexx 2.)( 4.-

x

Lnxx

2)()(

5.- 3)( 12

xsenxxxf 6.- )()(

3

2

1 xsenexg x ; x>0 7.-

2)1log()( xxx

8.- 403)( 12 xxxx 9.- xexsenxh

10

3)()( 10.- xxxxfx

logcos)( 13

II.- TAREA

Utilice el método de Régula Falsi para hallar los ceros de las siguientes funciones:


1.- xexxxxf 451.0)( 23 2.- 12.0)log()( 2xxxg

3.- xexsenxx x lncos)( 4.- 1)cosh().cos()( xxx ; donde cosh(x)=coseno hiperbólico

5.- xx

ex)( 6.- x

ex)( 7. 2

)(x

Lnxx



ECUACIONES NO LINEALES

MÉTODO DE LA SECANTE.-

El método de la SECANTE es una variante de la iteración de Newton. Dados dos aproximaciones 1ix y

ix interceptando la recta que pasa por los puntos ])(;[ 11 ii xfx y ])(;[ ii xfx con el eje de abscisas,

como el método de la Régula falsi, determinamos el nuevo valor aproximado de ix obteniendo:

)()(

).().(

1

111

ii

iiiii

xfxf

xxfxxfx ……………………………(I)

A diferencia del método anterior no se efectúa el test de decisión para la localización de la raíz, para

aplicar (I) se hace ax0 ; bx1

La relación (I) se puede escribir como: )()(

)).((

1

11

ii

iiiii

xfxf

xxxfxx

Otras equivalencias tenemos:

(A) 4;3;2;1;0,)()(

)()(

1

11

12 ixfxf

xfxxxx

ii

iii

ii

(B) 4;3;2;1;0,)()(

)()(

1

1

2 ixfxf

xfxxxx

ii

iii

ii

(C) 4;3;2;1;0,)()(

)(

1

1

2 i

xx

xfxf

xfxx

ii

ii

i

ii

(D) 4;3;2;1;0,)()(

)()(

1

11

2 ixfxf

xfxxfxx

ii

iiii

i LA MAS RECOMENDADA A USAR

ALGORITMO DEL MÉTODO DE LA SECANTE

Secante

repeat

calcular x

21 xx ;

xx2

until Errorxx 21

retorno raíz es x

end secante

PLOTEO DE LA CURVA xexxxxf 451.0)( 23 en ]5;5[x

x=-5:0.05:5; f=0.1*x.^3-5*x.^2-x+4+exp(-x); plot(x,f) grid on xlabel('ABSCISAS') ylabel('ORDENADAS') title('METODO DE LA SECANTE') gtext('f=0.1*x.^3-5*x.^2-x+4+exp(-x)') gtext('1RAIZ') gtext('2RAIZ')


%PROGRAMA SECANTE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ function secante2007 fprintf ('\n'); nombre_f=input(' Ingrese la función asociada f(x)=','s'); x0=input(' ingrese el 1er punto inicio x0= '); x1=input(' ingrese el 2do punto inicio x1= '); fprintf ('\n'); fprintf (' it x0 x1 aprox error \n') i=1; e=1; r=0; while e>=3E-6 & i<=18 va=r; x=x0 ; fx0=eval(nombre_f); x=x1 ; fx1=eval(nombre_f); %r=x1-(x1-x0)*fx1/(fx1-fx0); r=(x0.*fx1-x1.*fx0)./(fx1-fx0); x=r; fr=eval(nombre_f); fprintf ('%3.0f %10.6f %10.6f %10.6f',i,x0,x1,r); if fx0*fr<=0 x1=r; e=abs((r-va)/r); fprintf('%10.6f\n',e); else x0=r; e=abs((r-va)/r); fprintf('%10.6f\n',e); end i=i+1; end fprintf('La raíz es :%10.9f\n',r); ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ COMPILACIÓN DEL PROGRAMA >> secante2007 Ingrese la función asociada f(x)=0.1*x.^3-5*x.^2-x+4+exp(-x) ingrese el 1er punto inicio x0= 0 ingrese el 2do punto inicio x1= 1 it x0 x1 aprox error 1 0.000000 1.000000 0.765448 1.000000 2 0.765448 1.000000 0.846891 0.096166 3 0.846891 1.000000 0.852334 0.006386 4 0.852334 1.000000 0.852684 0.000410 5 0.852684 1.000000 0.852706 0.000026 6 0.852706 1.000000 0.852708 0.000002 La raíz es :0.852707668

I.-PRÁCTICA DIRIGIDA DE LABORATORIO CON “MATLAB”

Encuentre los ceros de las funciones utilizando el método de la Secante para las siguientes funciones:

1.- )()2()( 23 xCosxxxSenxf 2.- 2)5( ))(()( xexSenCosexg xxSen

3.- 2)( xexf x 4.- 1)cosh().cos()( xxxg 5.- xexxxx 485)( 23

6.- 2)tan(.)( xxx 7.- )cos()(2

xexh x 8.- 2)3( )2(2)( xxsenexh xxsen


TAREA

I. Utilice el método de la Secante para hallar los ceros de las siguientes funciones:

1.- 1)tan(.)( xxxf 2.- )()()( xsenxsenhxg 3.- 2

485)( 23 xexxxx

4.- 23)( 2 xexxx 5.- 42)()()( 2xTanxSenSenxTanx

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