KL Mathematik Kl. 7HS

Thema: Elemente der Stochastik

- Arbeitsanleitung -

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Liebe Schüler der Klasse 7,

aufgrund der mehrwöchigen Schulschließung wird die Komplexe Leistung (KL) in Klasse 7 dieses Jahr ausnahmsweise zuhause stattfinden. Das hat zur Folge, dass die Aufgaben eigen-verantwortlich in Einzelarbeit bearbeitet werden müssen und dass der Bewertungsmaßstab den veränderten Bedingungen angepasst werden muss.

Die Schüler erarbeiten und festigen selbstständig mithilfe der folgenden Arbeitsanleitung, des Lehrbuchs und weiterer Materialien die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitslehre. Ein Schwerpunkt liegt dabei auf der Durchführung und Auswertung von Zufallsversuchen.

Die Schüler legen für die KL einen sorgfältig geführten Hefter mit einem Übungs- und einem Merkteil an, der am 20.04. abgegeben wird. Die selbstständige Erarbeitung zuhause dient als Vorbereitung des Abschlusstests, der dann nach den Osterferien in der Schule geschrieben wird.

Bei der Zensierung der KL (Note mit Wertigkeit einer Klassenarbeit) werden sowohl der abzugebende Hefter (20 %) und der Abschlusstest (80 %) berücksichtigt. Bewertungskriterien beim Hefter sind Vollständigkeit der Aufgaben und Aufzeichnungen mit Lösungswegen und Ergebnisformulierungen sowie die Übersichtlichkeit/Sauberkeit.

Der Zeitumfang der KL umfasst ungefähr 5 Blockstunden, sodass für die Woche vom 06.04. weitere Übungsaufgaben folgen werden.

Wir wünschen bei der Erarbeitung dieses Themas viel Erfolg (und Spaß)!

KL Mathematik Kl. 7HS

Thema: Elemente der Stochastik

- Arbeitsanleitung -

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was? womit?

1. Erarbeitung der grundlegenden Begriffe

Erarbeite die Begriffe „Zufallsversuch, Ergebnis und Ergebnismenge“ auf der Seite „was du gelernt hast“. Übernimm die Begriffserklärungen in deinen Merkteil.

Ergänze noch die folgende Definition und das Bsp.: Fasst man mehrere Ergebnisse eines Zufallsversuches zusammen, so spricht man von einem Ereignis.

Bsp.: zum Ereignis „die Augenzahl ist gerade“ beim Würfeln gehören die Ergebnisse 2, 4 und 6

AB „was du gelernt hast“ Merkteil

Merkteil

Merkteil

Erarbeite dir selbst mit dem AB 1 die Begriffe „Absolute und relative Häufigkeit“ und bearbeite die Aufgabe.

Tipp: Informationen zu Diagrammen findest du im LB S. 69/70

Formuliere anschließend mit eigenen Worten je einen Merksatz zu den obigen Begriffen.

Was versteht man unter einer Urliste und einer Strichliste? Notiere die Definitionen ebenfalls im Merkteil!

AB 1

Übungsteil

LB

Merkteil

AB 2

Merkteil

Bearbeite zum Festigen der Begriffe das AB 3. AB 3

Löse die Anwendungsaufgabe Nr. 1 auf dem AB 4. AB 4

2. Planen, Durchführen und Auswerten von Zufallsversuchen

Führe selbst einen Zufallsversuch durch: AH S. 22 Nr. 1

(Tipp: Führe auf einem Schmierblatt eine Strichliste, um wirklich genau 200 Mal zu würfeln.)

Übernimm die Information „Wahrscheinlichkeit bei Zufallsversuchen“ aus dem LB S. 90 und entscheide, ob alle Augensummen gleichwahrscheinlich sind.

Würfel AH S. 22

LB, Merkteil, Übungsteil

Löse die Anwendungsaufgabe 2 auf dem AB 4.

Wiederhole dabei selbstständig deine Kenntnisse zum Thema „arithmetisches Mittel (Mittelwert/Durchschnitt)“.

AB 4 Übungsteil

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was? womit?

3. Auswerten und Darstellen von Daten

Bearbeite auf dem AB 5 die komplette Aufgabe 1. (Wdh.: Urliste und Strichliste, Häufigkeiten, Diagramme)

Tipp: Informationen zu den Diagrammen gibt es im LB S. 69/70

AB 5

LB

4. Erarbeiten des Begriffes „Wahrscheinlichkeit“

Lege im Übungsteil folgende Tabelle an:

Anzahl der Versuche 200 400 600 800 1000

absolute Häufigkeit

relative Häufigkeit

Lass dir von 4 Mitschülern deiner Klasse die absolute Häufigkeit des Ereignisses „Augenzahl ist 7“ (Ergebnis aus dem AH S. 22) geben und addiere diese Werte zu deinem Ergebnis. Anstelle der Befragung deiner Mitschüler kannst du auch mögliche Ergebnisse aus den Vorjahren nutzen: A: 35; B: 38; C: 29; D: 33.

Berechne die relative Häufigkeit. Vergleiche dann das Ergebnis für 1000 Versuche mit deiner Vermutung (AH S. 22 Nr. 1c).

Stelle in einem geeigneten Diagramm die Veränderung der relativen Häufigkeit mit steigender Anzahl der Versuche dar. (siehe LB S. 90)

Wie oft wird vermutlich die Augenzahl 7 bei 2000 Versuchen gewürfelt werden? Was kann man aus dem Diagramm schlussfolgern?

Lies dir dazu die Erklärung zum Diagramm und die Information im LB S. 90 durch.

Übungsteil

Ergebnisse von AH S. 22

LB LB

Beispiele für Wahrscheinlichkeit im Alltag durcharbeiten AB 6

5. Zufallsversuche und Wahrscheinlichkeit

Bearbeite zum Festigen folgende Aufgaben aus dem AH S. 23 Nr. 1 und 2 AH S. 23

was du gelernt hast

Elemente der Stochastik

Zufallsversuch

Ein Zufallsversuch kann beliebig oft wiederholt

werden.

Man kennt die möglichen Ergebnisse, kann

aber nicht vorhersagen, welches Ergebnis

eintreten wird.

Ergebnis – Ergebnismenge

Alle möglichen Ergebnisse eines Zufalls­

versuchs fasst man in der Ergebnismenge S

zusammen.

Ereignis

Man kann Ergebnisse zu einem Ereignis E

zusammenfassen.

Laplace-Versuch

Alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrschein­

lichkeit. Für die Wahrscheinlichkeit eines

Ereignisses E gilt:

=Anzahl der günstigen Ergebnisse

Werfen eines Würfels oder einer Münze

Werfen eines Würfels:

S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Ereignis E: Augenzahl ist kleiner als 5.

E = {1; 2; 3; 4}

Ereignis E: Augenzahl ist eine Primzahl.

mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6

günstige Ergebnisse: 2, 3, 5

P (E) = = = 50 %

Anzahl der möglichen Ergebnisse

Glücksrad

Bei einem Glücksrad gibt der Anteil des

Kreisausschnitts am ganzen Kreis die

Wahrscheinlichkeit an.

P (Rot) = =

Relative Häufigkeit – Wahrscheinlichkeit

Bei einer langen Versuchsreihe gilt näherungs­

weise:

relative Häufigkeit ≈ Wahrscheinlichkeit

P(Rot) = bedeutet:

Wird Glücksrad sehr häufig gedreht, so

kommt in etwa einem Drittel aller Fälle das

Ergebnis Rot.

Summenregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist

die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zu­

gehörigen Ergebnisse.

P(Rot oder Grün)

= P(Rot) + P(Grün)

= +

=

P(E)=

Absolute und relative Häufigkeit AB 1

Einstieg

Alle Oberschüler nehmen ab der 7. Klasse an einem Neigungskurs teil. Jeder

Schüler wählt sich aus dem Angebot der Schule seinen Neigungskurs aus. Für

die Planung der Kurse wurden die Schüler der Klassen 6a und 6b der

Oberschule „Manfred von Ardenne“ nach ihren Wünschen befragt. Ein Lehrer

hält die Wünsche in einer Tabelle fest.

→ Vergleicht die Wünsche der beiden Klassen.

Vorschläge „Am und im

Wasser“

„Gipfelstürmer“ „Schön-

schreiben“

„Das Lernen

lernen“

„Wir lernen

Spanisch“

Klasse 6a 5 10 5 3 1

Klasse 6b 3 12 1 5 3

Information

Die Anzahl der Schüler, die sich zum Beispiel für die „Gipfelstürmer“

entschieden haben, nennt man absolute Häufigkeit.

Den Anteil an der Gesamtzahl nennt man relative Häufigkeit.

Es gilt:

Man kann die relative Häufigkeit als gemeinen Bruch und als Dezimalbruch

angeben.

Beispiel: relative Häufigkeit der „Gipfelstürmer“:

Aufgabe -

Zum Festigen +

Weiterarbeiten

Ein Glücksrad mit 5 gleich großen Feldern wurde 100-mal gedreht. Man

erhielt folgende Urliste.

4 3 5 1 2 1 2 1 4 2 2 4 5 3 2 5 3 5 4 1

4 5 2 3 1 2 1 2 2 1 3 2 5 1 2 4 2 3 2 4

2 5 5 4 3 3 4 4 3 4 1 5 3 4 1 2 2 5 1 2

1 5 1 5 4 3 3 3 4 5 5 2 5 5 4 5 2 3 2 1

2 3 3 4 5 3 5 1 3 1 4 1 1 1 2 2 5 3 5 3

Feld

a) Strichliste

b) Absolute Häufigkeit

c) Relative Häufigkeit

d) Veranschauliche die absoluten Häufigkeiten in einem Balkendiagramm

und die prozentualen Anteile in einem Säulendiagramm.

a) Fertige eine Strichliste an.

b) Übertrage die Ergebnisse (absoluten

Häufigkeiten) in eine Tabelle.

c) Berechne nun die relativen Häufig-

keiten für die einzelnen Felder und

trage sie auch in deine Tabelle ein.

AB 2

Zufallsgerät geeignet Begründung

a) Münze

b) Legowürfel

c) 2 gleich lange Streichholzer

d) 2 verschieden lange Streichholzer

e) Lostrommel mit 20 Kugeln, nummeriert von 1 bis 20

AB 3 Zufallsversuche, Ergebnisse, Ergebnismenge

1. Man nennt den Ausgang einer Handlung oder eines Versuches zufällig, wenn er nicht vorhersagbar ist oder nicht mit Sicherheit eintritt. Bei welchen Vorgängen ist der Ausgang zufällig, bei welchen nicht? (Kreuze an.)i

2. Nenne selbst Beispiele für Vorgänge mit zufälligem Ergebnis.

3. Wähle Hilfsmittel (Zufallsgeräte) aus, mit denen ein Schiedsrichter beim Fußball auslosen kann, welche Mannschaft den ersten Anstoß bekommt. Begründe.

Vorgang zufällig nicht zufällig

a) Eine Münze wird geworfen.

b) Drehen eines Glücksrades

c) Heute schneit es.

d) Ein Auto hupt bei Gefahr.

e) Beim „Mensch-ärgere-dich-nicht“ werfe ich den nächsten roten Stein raus.

f) Die Ampel schaltet auf Grün.

AB 4 Aufgabe 1:

Der Pirnaische Platz in Dresden ist ein Knotenpunkt von sieben Straßenbahnlinien. Alle Linien

verkehren in zwei Richtungen.

Lisa und Florian haben von 9:00 Uhr bis 10:30 Uhr notiert, welche Linien den Pirnaischen Platz

passieren. Sie haben dabei nur eine Richtung beobachtet und folgende Liste erstellt:

8; 4; 3; 5; 1; 3; 8; 7; 1; 4; 14; 8; 3;

7; 1; 4; 8; 14; 5; 3; 7; 1; 14; 8; 4; 3;

7; 1; 14; 5; 4; 8; 7; 4; 3; 14; 5; 1; 7;

4; 8; 3; 1; 14; 7; 8; 4; 3; 4; 8; 14

a) Fertige eine Strichliste an, in der du die Häufigkeit der Linien erfasst, die am Pirnaischen Platz

abfuhren.

b) Berechne die relativen Häufigkeiten der Abfahrten.

c) Stelle die Häufigkeiten in einem Diagramm dar.

Information: Der durchschnittliche Wert von Zahlen oder Größenangaben heißt arithmetisches

Mittel. Man berechnet das arithmetische Mittel von Werten, indem man die Summe

aller Werte bildet und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert.

Beispiel:

Niederschläge in einer Woche: 10mm; 12mm; 3 mm; 0 mm; 0 mm; 26 mm; 5 mm

Arithmetisches Mittel: = (10 mm + 12 mm + 3 mm + 26 mm + 5 mm) : 7 = 8 mm

Aufgabe 2:

Die folgende Urliste gibt die Masse von Schultaschen an:

4,3 kg; 2,8 kg; 3,6 kg; 5,7 kg; 4,2 kg; 6,8 kg; 5,1 kg; 3,2 kg; 4,9 kg; 8,0 kg; 4,3 kg;

5,8 kg; 3,0 kg; 4,5 kg

Berechne das arithmetische Mittel.

AB 5

AB 6