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1(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
bgFEM04
• Federn– Einführung– Aufgabe
• FEM: exakte Lösung - Näherungslösung• Scheibe
– Modell mit bilinearer Ansatzfunktion– Dehnungen und Scherwinkel, Spannungen– Virtuelle Arbeit und Steifigkeitsmatrix– Elementlasten
2(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Federn
In Finite Elemente Methoden werden Federn zur Abbildung von punktförmigen elastischen Lagerungen sowie von elastischen Einspannungen verwendet.
Fx(e) = kx•ui
Fy(e) = ky•vi
Mz(e) = kzz•zi
kx, ky, kzz sind die Federkonstanten
3(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Elastische Lagerung eines Punktes
• mittels dreier Einzelfedern, eine für die x-, eine für die y-Richtung und eine für die Drehung um die z-Achse.
• Grundgleichung
€
kx 0 0
0 ky 0
0 0 kzz
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥⋅
uiv iϕ zi
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
Fx(e )
Fy(e )
Mz(e )
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
4(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Bemerkungen
• In der Steifigkeitsmatrix ist nur die Diagonale besetzt, weil die Federelemente nicht gekoppelt sind.
• Die Elementsteifigkeitsmatrix wird gleichartig transformiert wie beim Fachwerkstab.
5(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Aufgabe
Ermitteln Sie die Systemsteifigkeits-matrix von folgendem System:
6(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Forderung an exakte Lösung
• An der Grenzlinie benachbarter Elemente müssen die Verschiebungsgrössen beider Elemente übereinstimmen.
• An der Grenzlinie müssen die Kraftgrössen beider Elemente die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen.
• An gelagerten Rändern sind die Auflagerbedingungen zu erfüllen.
• An freien Rändern ist das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen zu erfüllen.
7(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Eigenschaften der FEM mit Verschiebungsansätzen
• Verschiebungsgrössen stimmen an den Grenzen benachbarter Elemente überein.
• Die Gleichgewichtsbedingungen für Kraftgrössen werden an den Grenzlinien nicht erfüllt.
• Die Auflagerbedingungen werden an gelagerten Rändern erfüllt.
• An freien Rändern wird das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen nicht erfüllt.
8(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
FEM-Näherungslösungen
• Die FEM-Lösung nähert die exakte Lösung an. Ihre Genauigkeit wird durch eine Vergrösserung der Elementzahl bzw. eine Verringerung der Elementgrösse erhöht.
• Elemente mit höheren Ansatzfunktionen sind genauer als Elemente mit niedrigeren.
• Bei Finiten Elementen, die ausschlieslich auf Verschiebungsansätzen beruhen, sind die angenäherten Knotenverschiebungen im Mittel zu klein, d.h. das System verhält sich aufgrund des Näherungsansatzes zu "steif".
9(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
FEM-Näherungslösungen
• Die FEM-Näherung ist bei gleichmässiger Elementgrösse im Bereich geringerer Spannungsgradienten besser als im Bereich höherer Spannungsgradienten.
• Die Elementspannungen sind in Elementmitte deutlich genauer als am Elementrand.
• Der Spannungssprung zwischen zwei Elementen ist ein Mass für die Genauigkeit an der betreffenden Stelle.
10(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheiben
Ziel ist es, die Verschiebungen in jedem Punkt des Elements darzustellen.
11(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheiben
• Die Verschiebungen u(x,y) und v(x,y) werden zwischen den Knotenpunkten linear interpoliert.
Bilineare Ansatzfunktionder Verschiebungen:
u = N•ue
N ist die Matrix der Formfunktionen
12(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheiben
Die Formfunktionen werden wie folgt angesetzt:
€
N1 =1
ab
a
2- x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟b
2- y
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
N2 =1
ab
a
2+ x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟b
2- y
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
N3 =1
ab
a
2+ x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟b
2+ y
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
N4 =1
ab
a
2- x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟b
2+ y
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
13(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe
Für die Verschiebungsfunktionen u(x,y) und v(x,y) der Rechteckscheibe erhält man dann:
€
u
v
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥=N1 0 N2 0 N3 0 N4 0
0 N1 0 N2 0 N3 0 N4
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥⋅
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
14(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Dehnungen und Scherwinkel
€
εxεyγ xy
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
∂u
∂x∂v
∂y∂u
∂y+∂v
∂x
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
=
∂N1
∂x0
∂N2
∂x0
∂N3
∂x0
∂N4
∂x0
0∂N1
∂y0
∂N2
∂y0
∂N3
∂y0
∂N4
∂y∂N1
∂y
∂N1
∂x
∂N2
∂y
∂N2
∂x
∂N3
∂y
∂N3
∂x
∂N4
∂y
∂N4
∂x
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⋅
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
15(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Dehnungen und Scherwinkel
Konkret erhält man:
ε = B • ue€
εxεyγ xy
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
∂u
∂x∂v
∂y∂u
∂y+∂v
∂x
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
=1
2ab
2y −b 0 −2y + b 0 2y + b 0 −2y −b 0
0 2x − a 0 −2x − a 0 2x + a 0 −2x + a
2x − a 2y −b −2x − a −2y + b 2x + a 2y + b −2x + a −2y −b
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥⋅
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
16(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Spannungen
= D•ε = D•B•ue
€
x
σ yτ xy
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
E
1−μ 2
1 μ 0
μ 1 0
0 01−μ
2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
•
εxεyγ xy
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
17(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: virtuelle Arbeit
Ansatz:
€
u = N ⋅ue
€
W i = t ⋅ ε∫T⋅σ dxdy = ue
T⋅ t ⋅∫ BT ⋅D ⋅B dxdy ⋅ue
€
W a = ueT⋅F e + ue
T⋅FL
€
W i =W a
18(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Steifigkeitsmatrix
K(e)•ue = Fe
mit: K(e) = t•BT•D•B•dxdy
Herleitung durch Gleichsetzen der inneren und äusseren virtuellen Arbeiten
19(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Elementlasten
Annahmen: konstante Flächenlast, Linienlasten an den Rändern
Aufgabe: Elementlasten in äquivalente Knotenkräfte umrechnen.
Die zu einer Elementlast äquivalenten Knotenkräfte sind diejenigen Kräfte, die mit den virtuellen Knotenverschiebungen dieselbe Arbeit leisten wie die Elementlasten mit den ihnen entsprechenden Verschiebungen.
20(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Flächenlasten und äquivalente Knotenkräfte
€
F L = NT ⋅ p dydx∫∫ =
14 ab ⋅ px14 ab ⋅ py14 ab ⋅ px14 ab ⋅ py14 ab ⋅ px14 ab ⋅ py14 ab ⋅ px14 ab ⋅ py
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
21(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte
Der Verlauf der Verschiebung wurde als linear angenommen.
Es wird hier auch eine linear veränderliche Randlast vorausgesetzt.
Für andere Belastungen muss die Berechnung neu gemacht werden.
22(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte
Beispiel: Belastung des oberen Elementrandes durch linear veränderliche Lasten in x- und y-Richtung.
Die virtuellen Verschiebungen zwischen den Knotenpunkten 3 und 4 können beim ersten Ansatz abgelesen werden.
23(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte
Virtuelle Verschiebung am oberen Rand:
Linear veränderliche Randlast py,3-4:
€
v 3−4 = v 3 v 4[ ] ⋅
1
a
a
2+ x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
a
a
2− x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
€
py,3−4 =1
a
a
2+ x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
a
a
2− x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥⋅py3
py4
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
24(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte
• Die Randlast py,3-4 bewirkt am infinitesimalen Abschnitt der Länge dx die Kraft py,3-4•dx.
• Mit der virtuellen Verschiebung v3-4 erhält man für die virtuelle äussere Arbeit:
€
WaL = v 3 v 4[ ] ⋅
1
a
a
2+ x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
a
a
2− x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥−
a
2
a
2
∫ ⋅1
a
a
2+ x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
a
a
2− x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥dx ⋅
py3
py4
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
25(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte
Äussere virtuelle Arbeit der äquivalenten Knotenkräfte:
Nun werden beide Arbeiten gleich gesetzt. Es ergibt sich schliesslich:€
W aK = v 3 v 4[ ] ⋅FL ,y3
FL ,y4
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
FL ,y3
FL ,y4
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥= a
1
3py3 +
1
6py4
1
6py3 +
1
3py4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
26(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte
Die äquivalenten Knotenkräfte für px,3-4 erfolgt analog. Es resultiert:
€
FL ,x3
FL ,x4
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥= a
1
3px3 +
1
6px4
1
6px3 +
1
3px4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
27(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Beispiel 4.5
Arbeiten Sie das Beispiel 4.5 auf Seite 200 durch.
Fragen?
28(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Eigenschaften von FE
• Immer zu erfüllen:– Starrkörperverschiebungen dürfen keine Knotenkräfte
hervorrufen.
– Konstante Verzerrungen (und damit auch konstante Spannungen) müssen exakt darstellbar sein.
• Bedingt zu erfüllen:– Stetigkeit des Verschiebungsansatzes
– geometrische Isotropie
– Drehungsinvarianz
29(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe: Ablaufplan
1. Wahl der Ansatzfunktion für die Verschiebungen
2. Ermittlung der Verzerrungen: ε = B•ue
3. Stoffgesetz: = D•ε4. Knotenkräfte und Verschiebungen: Ke•ue = Fe
mit Ke = t•BT•D•B dydx
5. Ermittlung der den Elementlasten äquivalenten Knotenlasten FL
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