11. Elektronen im Festkörper - uni-jena.de · Hall-Effekt 𝐻= 1 𝐻= 𝐻𝐿 𝐼 𝑳 𝑳...

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11. Elektronen im Festkörper

11.1 Elektrische Leitung in Festkörpern

Ohmsches Gesetz

Wiedemann-Franz-Gesetz

Drude-Modell und Erweiterungen

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Theorien zur elektrischen Leitung in Metallen

• Um 1900 unabhängig voneinander:

• Paul Drude (Leipzig, Giessen,Berlin)

• Hendrik Antoon Lorentz (Leiden)

• J.J. Thomson (Cambridge)

• Modell des freien Elektronengases

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Drude-Theorie

• 1900

• freie Elektronen im Ionenkristall

• „Elektronengas“ durch kinetische Gastheorie (Boltzmann-Statistik) beschrieben

• Äußeres elektrisches Feld beschleunigt Elektronen NICHT kontinuierlich, da Stöße mit Gitter ( Relaxationszeit)

Paul Karl Ludwig Drude (1863-1906)

[wikipedia]

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Drude-Theorie • Im Gleichgewicht ist mittlere Geschwindigkeit der

Elektronen proportional zur Feldstärke E

• Bewegungsgleichung:

• Stationärer Zustand:

𝑚 ∙ 𝑣 +𝑚

𝜏𝑣𝐷 = −𝑒𝐸

𝑣 = 0 ⇒ 𝑣𝐷 = −𝜏 ∙ 𝑒

𝑚∙ 𝐸

beschleunigte Masse F=m∙a

elekt. Feld wirkt auf Ladung

geschwind.-abhän. Reibungswiderstand

Driftgeschwindigkeit

Streuzeit

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Drude-Theorie • Mit der Ladungsträgerdichte n ist die Stromdichte j

• Leitfähigkeit σ ist

Erinnerung Ohmsche Gesetz

• Beweglichkeit 𝜇 ist

𝑗 ≝ −𝑒𝑛𝑣𝐷 =𝑒2 ∙ 𝜏 ∙ 𝑛

𝑚∙ 𝐸

𝜎 ≝𝑗

𝐸=𝑒2 ∙ 𝜏 ∙ 𝑛

𝑚

1

𝑅=𝐼

𝑈 ∙ 𝑅,∙ 𝑈 ⇒ 𝑈 = 𝑅𝐼

Drude-Formel

𝜇 ≝𝑣𝐷

𝐸

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Drude-Theorie

• erstmals das ohmsche Gesetz erklärt

• mit diesem Modell berechnete Widerstandswert etwa sechs mal größer als der gemessene

• Wiedemann-Franz-Gesetz näherungsweise erhalten

• Jedes Elektron müsste also 3/2 kBT liefern. Messungen haben aber gezeigt, dass der elektronische Beitrag zur Gesamtenergie etwa tausendmal kleiner ist (berechnete spezifische Wärme viel zu groß)

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Drude-Theorie

• Proportionalität von Widerstand und Elektronengeschwindigkeit zur Wurzel aus der Temperatur, was experimentell nicht stimmt

• Es kann überhaupt keine Aussage darüber getroffen werden, ob ein Material ein metallischer Leiter, Halbleiter oder ein Isolator ist

8

1 10 100 100010

-11

1x10-9

1x10-7

1x10-5

1x10-3

1x10-1

1x101

1x103

1x105

1x107

La0.75

Ca0.25

MnO3

Na2O*11Al

2O

3

YBa2Cu

3O

7

Supraleiter >1023

Cu

Pb

Graphit

Ge

Si

Glas

Isola

tore

nH

alb

leiter

Meta

lle

ele

ktr

ische

Le

itfä

hig

keit [

-1cm

-1]

Temperatur [K]

Elektrische Leitfähigkeit

Die elektrische Leitfähigkeit von Metallen nimmt mit der wachsender Temperatur ab.

Supraleitung: beim Abkühlen fällt der Widerstand sprungartig auf Null.

Die Leitfähigkeit von Halbleitern und Isolatoren nimmt mit der wachsender Temperatur zu.

[ K. Conder ]

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Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)

• Elektron als Träger der Ladung

• Lorentzkraft

• Lorenz-Transformation

• Nobelpreis 1902 mit P. Zeeman (Zeeman-Effekt)

[Wikipedia]

Gemälde von Menso Kamerlingh Onnes

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Drude-Lorentz-Theorie

• 1905

• Beschreibung der zusätzlichen Absorptionsmaxima (z.B. durch Bandübergänge)

• Dielektrische Funktion von Halbleitern und Isolatoren beschrieben

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Wechselfelder: Drudeformel

𝑚𝑥 + 𝑚𝛽𝑥 + 𝑚𝜔02𝑥 = −𝑒𝐸0𝑒

−𝑖𝜔𝑡

𝑥 𝑡 = −𝑒

𝑚∙

1

𝜔02 − 𝜔2 − 𝑖𝛽𝜔

∙ 𝐸0𝑒−𝑖𝜔𝑡

𝐸 =𝐷

휀=

𝐷

휀𝑟휀0 𝑗 𝑡 = 𝜎 𝜔 ∙ 𝐸0𝑒

−𝑖𝜔𝑡

휀 𝜔 = 1 +𝑁𝑣𝑒

2

휀0𝑚∙

1

𝜔02 − 𝜔2 − 𝑖𝛽𝜔

dielektrische Funktion

elektrische Flussdichte D

Bewegungsgleichung

stationäre Lösung

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Bewegung im Magnetfeld

Lorentzkraft

Zyklotronfrequenz Leitfähigkeitstensor

𝑒𝑣 × 𝐵 = 𝐹 𝐿

𝑚𝑣2

𝑟= 𝐹 𝑍 Zentrifugalkraft

𝑒−

𝑚𝑣2

𝑟= 𝑒𝑣𝐵

𝑚𝑣

𝑟= 𝑒𝐵 𝑣 = 𝜔𝑐 ∙ 𝑟

𝑚𝜔𝑐𝑟

𝑟= 𝑒𝐵

𝜔𝑐 =𝑒𝐵

𝑚

𝜎 =𝜎0

1 + 𝜔𝑐2𝜏2

1 −𝜔𝑐𝜏 0𝜔𝑐𝜏 1 0

0 0 1 + 𝜔𝑐2𝜏2

𝑗 = 𝜎 ∙ 𝐸

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Hall-Effekt 𝐹 = 𝑞𝑣 × 𝐵 𝑞𝐸 = 𝑞𝑣 × 𝐵 𝐵 = (0,0, 𝐵𝑧)

𝑣 = (0, 𝑣𝑦 , 0) 𝐸𝑥 = 𝑣𝑦 ∙ 𝐵𝑧

𝑗 = 𝑛 ∙ 𝑞 ∙ 𝑣𝑦

𝑣𝑦 =𝑗𝑦

𝑛 ∙ 𝑞 𝐸𝑥 =

1

𝑛𝑞∙ 𝑗𝑦𝐵𝑧

𝐸𝑥 = 𝐴𝐻 ∙ 𝑗𝑦𝐵𝑧 𝐴𝐻 =1

𝑛𝑞

𝐸𝑥 =𝑈𝐻𝐿𝑥

𝑗𝑦 =𝐼

𝐿𝑥𝐿𝑧 𝑈𝐻

𝐿𝑥= 𝐴𝐻

𝐼

𝐿𝑥𝐿𝑧 𝑈𝐻 =

𝐴𝐻𝐼

𝐿𝑧

𝐴𝐻 =𝑈𝐻𝐿𝑧𝐼

𝑳𝒙

𝑳𝒚

𝑳𝒙

𝑩

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Hall-Effekt

𝐴𝐻 =1

𝑛𝑞

𝐴𝐻 =𝑈𝐻𝐿𝑧𝐼

𝑳𝒙

𝑳𝒚

𝑳𝒙

𝑩

Hall-Konstante

n Ladungsträger-Dichte q Ladungsträger-Art Beispiele AH bei RT in 10-10 m3/C:

Bismut -5000 Kupfer −0,5 Silber −0,9 Gold −0,7 Platin −0,2

Aber: Rhenium +3,1 Beryllium +2,4 Zink +0,6

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Edwin Herbert Hall (1855-1938)

• 1879 Halleffekt

• 1881-1921 Harvard

• Thermoelektrizität

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11.2 Freies Elektronengas im Sommerfeld-Modell

• Leitungselektronenwolke

• Fermistatistik

• Zustandsdichte

• Fermikugel

• Beitrag zur spezifischen Wärme

• Dispersionsrelation

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17

Drude-Sommerfeld-Theorie

• 1927

• Verbesserung der Drude-Theorie durch Anwendung der Quantenmechanik

• Sommerfeldsches Modell des freien Elektronengases (Schrödingergleichung für Kastenpotential)

18

Elektron im unendlichen Kastenpotential

x

2 22

2

31

2

0.1nm

9.1 10 kg

nE nma

a

m

0 a

2

1( )x

2

2 ( )x

2

3( )x

2

15( )x

2 22( ) sinn

nxx

a a

[Tolan,Stolze] Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15

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E(k)

kX 0

Schnitt durch den k-Raum in der kX - kY – Ebene

mit den erlaubten k – Werten und der Fermikugel

Potentialkastenmodell:

Darstellung der nach den Randbedingungen

(Potentialkasten) erlaubten Werte für E(k) und kX

mit kY = kZ = 0

kZ

kY

kF

2π/lY

2π/lZ

Schematische Darstellung der besetzten Zustände im a) Potentialkastenmodell und b) E(k) Schema

kX

E(k)

EF

EA

E0

a) b)

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E EF

N(E)

Darstellung der Zustandsdichte N(E) des

dreidimensionalen Potentialkastens

Besetzung der Zustände im Potentialkastenmodell für T ≠ 0:

Fermi-Verteilungsfunktion f0(E,T) für verschiedene T,

EF = 5eV

f0(E)

E/eV

5 0 10

1

10000 K

5000 K

2000 K

500 K

f0

E

N(E)

n(E)

n(E) = N(E)·f0(E,T)

N(E)

Besetzung der Energieniveaus des dreidimensionalen

Potentialkastens für T > 0

f E TE E

k TF

B

0

1

1

,

exp

mit:

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3-D Zustandsdichte

𝐸 𝑣 =𝑚

2𝑣2 𝑝 = 𝑚𝑣 ⇒ 𝑣 =

𝑝

𝑚

𝐸 𝑝 =𝑚

2

𝑝

𝑚

2

=1

2𝑚∙ 𝑝2 𝑝 = ℏ ∙ 𝑘

𝐸 𝑘 =1

2𝑚∙ ℏ𝑘 2

𝐸 𝑘 =ℏ2

2𝑚∙ 𝑘2 ⇒ 𝐸 𝑘 ~ 𝑘2

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22

3-D Zustandsdichte

𝐸 𝑘 =ℏ2

2𝑚∙ 𝑘2

𝐷 𝑘 = 𝛿 𝐸 − 𝐸 𝑘

𝑘𝑚𝑠

𝐷 𝑘 = 2 ∙ 𝛿 𝐸 − 𝐸 𝑘

𝑘

𝐷 𝑘 = 2𝑉

2𝜋 3∙ 𝛿 𝐸 − 𝐸 𝑘 𝑑3𝑘

𝐷 𝑘 =𝑉

𝜋2∙ 𝑘2 ∙ 𝛿 𝐸 − 𝐸 𝑘

∞

0

𝑑𝑘

𝐷 𝐸 =1

2𝜋22𝑚

ℏ2

32

∙ 𝐸

𝐷 𝑘 =𝑉

𝜋2∙ 𝑘2 ∙ 𝛿 𝐸 −

ℏ2𝑘2

2𝑚

∞

0

𝑑𝑘

𝐸 =ℏ2

2𝑚∙ 𝑘2

Substitution:

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Zustandsdichten (Volumen-bezogen)

𝐷3𝐷 𝐸 =1

2𝜋2ℏ32𝑚

32 ∙ 𝐸

𝐷2𝐷 𝐸 =1

2𝜋ℏ2𝐿𝑧2𝑚 ∙ 𝜃 𝐸 − 𝐸𝑙 𝑚𝑖𝑡 𝜃 − 𝑆𝑝𝑟𝑢𝑛𝑔𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛

𝑙

𝐷1𝐷 𝐸 =1

𝜋ℏ𝐿𝑦𝐿𝑧2𝑚

12 ∙

1

𝐸 − 𝐸𝑙𝑙

𝑉 = 𝐿𝑥 ∙ 𝐿𝑦 ∙ 𝐿𝑧

𝐷0𝐷 𝐸 =2

𝐿𝑥𝐿𝑦𝐿𝑧∙ 𝛿 𝐸 − 𝐸𝑙

𝑙

𝑚𝑖𝑡 𝛿 − 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛

Bulk

Quantentopf

Quantendraht

Quantenpunkt

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25

Fermi-Kugel

[ Bechstedt ]

Radius der Fermi-Kugel:

𝑘𝐹 = 3𝜋2𝑛3

𝑚𝑖𝑡 𝑛 =𝑁

𝑉

Fermi-Geschwindigkeit:

𝑣𝐹 =ℏ

𝑚𝑘𝐹

Fermi-Temperatur:

𝑇𝐹 =𝐸𝐹𝑘𝐵

Fermi-Energie:

𝐸𝐹 = 𝐸 𝑘𝐹 =ℏ2

2𝑚∙ 𝑘𝐹

2

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26

11.3 Bändermodell des Festkörpers

• Elektron im periodischen Potenzial

• Bloch-Wellen

• Energielücke

• Reduziertes Energieschema

• Periodisches Energieschema

• Fermiflächen

• Bandstrukturen

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Gitterperiodisches Potential

[ Bechstedt ]

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Felix Bloch ( 1905-1983)

• Studium ETH

• Leipzig (Heisenberg)

• Bandstruktur (Bloch-Theorem)

• 1929 Assistent Pauli (ETH)

• 1934-71 Stanford

• „Manhattan project“

• Ferromagnetismus (B.-Wand)

• 1952 Nobelpreis (NMR)

[nobelprize.org ]

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Blochwelle

[ Hunklinger ]

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30

[http://www.falstad.com/qm1dcrystal/index.html ]

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31

32

4a 3a 2a a 0 E

Git

ter –

E0

|Ψ

1 (

x)|

2

|Ψ2 (

x)|

2

x

x

x

E

x

Veranschaulichung der Energieaufspaltung unter der Einwirkung des periodischen Gitterpotentials

für den eindimensionalen Fall

Wirkung des periodischen Gitterpotentials:

Schematische Darstellung der Bänder erlaubter Energiezustände im periodischen Gitterpotential

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33 [ruby.chemie.uni-freiburg.de]

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34 [ruby.chemie.uni-freiburg.de]

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[ Magnussen ]

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40 [ Magnussen ]

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41 [ Magnussen ]

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42 [ Magnussen ]

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43 [ Magnussen ]

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44 [ Magnussen ]

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45 [ Magnussen ]

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46 [ Magnussen ]

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47 [ Magnussen ]

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48 [ Magnussen ]

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49 [ Magnussen ]

Elektronen im Magnetfeld: Landau-Niveaus

Quantisierung der Elektronenbahnen durch äußeres Magnetfeld!

𝐸 =ℏ2𝑘𝑧

2

2𝑚∗+ ℏ𝜔𝑐 𝑛 +

1

2

𝑛 = 0, 1, 2, …

𝜔𝑐 =𝑒𝐵

𝑚∗ 𝐵 = 0,0, 𝐵

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50 [ Magnussen ]

Experimentelle Bestimmung von Fermiflächen

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[aus Kittel, Einführung in die Festkörperphysik]

Beispiel: Fermi-Fläche von Gold

de Haas van Alphen Effekt thermodyn. Parameter oszillieren mit 1/B in starken Feldern, tiefen Temp.

B111

B100

experimentelle Ergebnisse: Perioden in 1/B in 10-5 T-1: B111: 2,05 B100: 1,95 Fläche der Extremalbahn: S=4,8 10-16 cm-2

weitere Periode: in [111]-Richtung: 60 S=4,5 10-15 cm-2

"Halsbahn"

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EF Fermi-Energie

EC Leitungsband

EV Valenzband

𝒉𝝂 = 𝟏, 𝟏 𝒆𝑽 𝝀 = 𝟏, 𝟏 µ𝒎

𝒉𝝂 = 𝟐, 𝟐 𝒆𝑽 𝝀 = 𝟓𝟓𝟎 𝒏𝒎

Eg Energielücke z.B. 1,1 eV

optische Spektroskopie

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äußere photoelektrische Effekt

Photoelektronenspektroskopie UV-Licht: UPS Ultraviolett- Photoelektronenspektroskopie Röntgen-Strahlung: XPS X-ray- Photoelektronenspektroskopie

[wikipedia]

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winkelaufgelöster Messungen: ARPES (angle-resolved PES) / ARUPS (angle-resolved UPS)

[wikipedia]

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Rhenium

Hall-Konstante AH in 10−10 m3/C

-1,7

-2,5

-4,2

-5

-8

+2,4

-0,8

-2

-0,5

-0,7

-0,6

-0,7

-0,2

+0,3

+0,6

+3,1

-0,9