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Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 1
2. Mechanik
Mechanik ist ältester Teil der Physik
Sachverhalte leicht sichtbar und greifbar, tägliche Erfahrung
→ leichtes Erlernen der physikalischen Methodik und Denkweise
Erste Erfahrungen: Pfeil + Bogen, Wurfmaschinen der alten Griechen und Römer
Erste Beschreibung durch Newton ca. 1700
2.1 Einführung
Mechanik: Gleichgewicht und Bewegung von Körpern im Raum unter dem
Einfluß von Kräften
2.1.1 Einteilung
Abgrenzung Beispiel
Klassische Mechanik "Technik" Auto
Relativitätstheorie hohe Geschwindigkeiten
(Lichtgeschwindigkeit)
Elektron in Braunscher
Röhre,
Astronomie
Quantenmechanik "kleinste Körper" Atome, Moleküle, Kristalle
Wellenmechanik Wechselwirkung von
elektromagnetischen Wellen mit
Atomen, Molekülen, Kristallen
"rote Sonne" beim Auf- und
Untergang
Klassische Mechanik:
- Grenzfall der Relativitätstheorie für kleine Geschwindigkeiten
- Grenzfall der Quanten- und Wellenmechanik für große Körper
Diese Vorlesung: Klassische Mechanik
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 2
2.1.2 Klassische Mechanik
Gebiete Inhalt Beispiel
Statik Kräfte Balkenwaage
Kinematik Bewegungsformen Autofahrt, Wurf
Dynamik Kräfte als Ursache der Bewegung
Arbeit, Energie, Leistung, Impuls
Freier Fall, Rakete,
Schwingungen
Reale Beschreibung meist schwierig, deshalb vereinfachte Beschreibung durch Modellkörper
/ siehe auch „Aufbau der Materie – Materialkonstanten“
2.1.3 Modellkörper Definition Beispiel
Massepunkt keine Ausdehnung,nur Masse Autofahrt (Kinematik)
Starrer Körper Ausgedehnt, keine Verformung Balkenwaage (Statik, Dynamik)
Elastischer Körper * Verformung Feder
Ideale Flüssigkeit * keine Reibung Wasserströmung im Rohr
Ideales Gas * kein Eigenvolumen Luftkompression
(*): Mechanik Deformierbarer Medien
Bedeutung der Mechanik: Vorhersage von (Bewegungs-) Zuständen, wenn der
gegenwärtige Zustand (Anfangsbedingungen) bekannt ist.
Beispiel: Vorhersage der Ankunftszeit eines Autos aus Restentfernung und Geschwindigkeit
Problem:
Messung aller Anfangsbedingungen und externer Einflüsse, z.B. Flug eines Luftballons
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 3
Vorgehensweise zur erfolgreichen Lösung von Mechanik -
Aufgaben
- Skizze
- Reibung ?
- Modellkörper ?
- Aufstellen der Bewegungsgleichung
Fall: - Statik (a = v = 0)
- Kinematik, Dynamik, Schwingungen T , R , T ↔ R
Falls nicht Statik, Bewegungstyp ?
Kinematik Dynamik
Betrachte nur a:
- a = 0
- a = const.
- a ≠ const.
typisch: v, a, t gegeben
bzw. gesucht
- Kraftansatz ΣF = 0 , ΣM = 0 (typisch a gesucht)
- Energieansatz Eges = const. (meist h oder v gegeben)
- Impulsansatz Σp = const. (2 Körper stoßen aufeinander)
(Schwingungen immer mit Kraftansatz)
- Koordinatensystem festlegen und in Skizze einzeichnen und Variablen anpassen
- Lösung dann mit Differential avs;vs === &&&& bzw. Integral ∫∫∫∫ === ²dtadtvs;dtav
- Anfangs- (t=0) bzw. Endbedingungen einsetzen
PS.: Dies ist lediglich eine grobe Übersicht.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 4
2.2 Statik des Starren Körpers
Definition: Körper mit genau definierter Form, welche sich nicht (nie) ändert
Bsp: Stange, Quader
Grenzfall: z. B. Lineal verbiegen
Anwendung des Modellkörpers „Starrer Körper“ bei technischen Bau- und Maschinenteilen
(Stein, Stange, ...) unter Vernachlässigung von Formänderungen (z.B. Biegung)
Statik umfaßt Systeme, welche sich nicht (mehr) bewegen
Bsp: Balkenwaage vor Auflegen Gewicht und wieder im eingeschwungenen (statischen)
Zustand
weiteres Bsp: Hausbau: Berechnung der Statik aber Dynamik Erdbeben � Einsturz
Definition Statik
Ein Starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Wirkung aller auf ihn
angreifenden Kräfte Null ist.
Kraft kann z.B. durch Drücken (Gewicht, Lineal), Ziehen (Schnur) und Gewicht auflegen
(Balkenwaage) erzeugt werden. Ein Starrer Körper deformiert sich dabei nicht.
Versuche:
- 2 Seile an Körper: Kraft offensichtlich vektoriell
- Balkenwaage
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 5
2.2.1 Kraft als Vektorielle Größe
Die Kraftwirkung am Starren Körper hängt vom - Angriffspunkt (A, A')
- Betrag (Größe)
- Richtung
des Kraftvektors Fr
ab.
Einheit der Kraft: [F] = N = ²s
mkg
1 Ny
x
A'
F'
AF
JAVA Applett: Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten
Kräfte auf Starren Körper (ausführlich: Vorlesung MB):
- gemeinsamer Angriffspunkt : Schachtel mit 2 Schnüren in 1 Öse
- unterschiedl. " : " " 2 Ösen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 6
2.2.2 Kräfteaddition
2.2.2.1 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt
Mehrere Kräfte z.B. 3 Seile an einer Befestigung
F3
F2
Fr
F1
A
Krafteck:Kraftvektoren parallelverschieben
zeichnerisch : Konstruktion mit "Krafteck"
rechnerisch : ...FFFF 321r +++=rrrr
Kräfteaddition
∑=
=n
1iir FFrr
(MS - 1)
JAVA Applett: Gesamtkraft mehrerer Kräfte (Vektoraddition)
Summationszeichen: ∑=
+++==n
1in21i a...aaaS
Bsp: ∑=
=++==3
1i
6321iS
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 7
Gleichgewicht zweier Kräfte 0Fr =r
Versuch: - Tauziehen
- Feder mit Gewicht → Federkraft = Gewichtskraft
F2 F1
0FFF 21r =+=rrr
(da Statik !)
→ 21 FFrr
−= → 21 FFrr
= F
F
Gewicht
Platte
Versuch: Gewicht auf Tisch / Lineal durchbiegen
Im Gleichgewicht ist Kraft gleich Gegenkraft: FP = - FG → FP + FG = 0 = Fr
Konsequenz: Wenn ein Körper in Ruhe ist, können trotzdem Kräfte auf ihn wirken
Newtonsches Grundgesetz der Statik
Ein Kraft erzeugt eine gleich große Gegenkraft : actio = reactio
besser: actio + reactio = 0
andere Formulierung:
Ohne äußere Kraftwirkung verharrt ein Körper in Ruhe (oder er bewegt sich
gleichförmig
(→ Kinematik)
Grundgesetz der Statik FR = 0 bzw. ΣΣΣΣ Fi = 0
(MS - 2)
Bsp: Ball auf einem Tisch rollen lassen (Ist das noch Statik ?)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 8
2.2.2.2 Kräfte mit unterschiedlichem Angriffspunkt
Beispiel 2 Angriffspunkte :
Schachtel mit 2 Ösen
Am Starren Körper kann eine Kraft längs ihrer
Wirkungslinie verschoben werden
Ar A2A1
F1
F2
Fr
Balkenwaage : Verfahren versagt bei parallelen Kräften, da Schnittpunkt im ∞
Parallele Kräfte
F1Fr F2
FH
F2'F1'
A 2A1
A r'
Dl1 l 2
-FH
Vorgehensweise:
1. Hilfskraft )0FF(mitF HHH =−rrr
2. Konstruiere 'Fund'F 21rr
3. Verschieben auf Wirkungslinie
4. Kräfteparallelogramm ergibt 21r FFFrrr
+=
Hebelgesetz
Die Abstände der Kräfte von der Resultierenden
verhalten sich umgekehrt wie die Kräfte
F1F2
l1 l 2Gleichgew.Unterstützung
JAVA Applett: Hebelgesetz
1
2
2
1
l
l
F
F=
(MS - 3)
Bsp: l1 ≈ l2 : Balkenwaage, Kinderwippe
l1 >> l2 : Hebel zum Möbelanheben, Brechstange
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 9
Kraft auf Unterlage bei Schiefer Ebene
α
α FN
FG
FH
s
h
Neigungswinkel
Hangabtriebskraft
Normalkraft
tan α = h / s
FH = FG sin α
FN = FG cosα
(MS - 4)
(Kraft auf Unterlage,
relevant für Gleitreibung)
JAVA Applett: Schiefe Ebene
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 10
2.2.3 Drehmoment
Was bewirkt Kraft auf drehbaren Körper ? Drehung
Bsp: Schraube anziehen mit Gabelschlüssel
Autoreifen: Drehmomentschlüssel
Automotor : Drehmoment
M /Nm
U / 1/min
Wirkt auf einen drehbaren Starren Körper eine Kraft, so erzeugt sie ein Drehmoment.
Drehmoment
[M] = Nm
FrMrrr
×= (MS - 5)
Das Drehmoment steht senkrecht auf r und F,
da Vektorprodukt.
Betrag: FlsinFrMrrrrr
=α=
Anschaulich:
Drehmoment
- in Drehachsenrichtung
- erzeugt Drehbewegung
→ Kinematik der Rotation
D
Aαααα
αααα
F
M
rD
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 11
Beispiel zum Drehmoment
r
FM
x
yz
=
0
0
m1
rr
=
0
N1
0
Fr
=
×
=×=
Nm1
0
0
0
N1
0
0
0
m1
FrMrrr
Gleichgewichtsbedingung Rotation
Ein drehbarer Starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der angreifenden
Drehmomente Null ergibt, d.h. er dreht sich nicht um seinen Drehpunkt.
Bsp: Balkenwaage
Grundgesetz der Statik für Rotation
∑=
=n
1ii 0M
r
(MS - 6)
das ist Schwerpunktsbedingung ; vgl. Σ F = 0
Hieraus folgt die Bedingung für den Schwerpunkt eines Starren Körpers. Der Schwerpunkt
ist derjenige Aufhängepunkt, bei dem sich der Starre Körper unter dem Einfluß der
Schwerkraft (Erdanziehungskraft) nicht dreht.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 12
Schwerpunkt
Bsp: Hantel mit masseloser Stange
m1 = m2
Aus Gleichgewichtsbedingung und
Hebelgesetz folgt:
1a2
2a
F
F
2
1 =⋅
⋅=
F F2
0 a xXs
al1 l2
m mS
1
11
Herleitung des Schwerpunktes mit Drehmoment und Schwergewichtsbedingung:
Gesamtdrehmoment = Summe der Einzeldrehmomente: Σ M = 0 da Frrr
⊥ genügen
Beträge
Nebenbed.: l1 + l2 = a
→ M1 + M2 - Mswp = 0 → m1 g x1 + m2 g x2 - (m1 + m2) g xs = 0 (x ≡ r)
→ 21
2211s mm
xmxmx
+
⋅+⋅=
Schwerpunkt 21
21s mm
am0mx
+
⋅+⋅= = a/2
Schwerpunkt (allgemein)
y und z analog
i
iis m
xmx
∑∑ ⋅=
(MS - 7)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 13
Experimentelle Schwerpunktsbestimmung
durch Ausbalancieren - Aufhängen
- Unterlegen einer Stange / Walze
Schwerpunkt: wichtig bei Flugzeugen, Schiffen, Raketen , ... : "Lastverteilung"
Auftriebskraft
Hebelwirkung
Antriebsloser Flug
Gewichtskraft in Abh. von Schwerpunktlage
ideal
schwanzlastig kopflastig
Einzelgeräte-Schwerpunkte während Konstruktionsphase über Drehmoment verkoppelt
ergibt den Gesamtschwerpunkt.
Anmerkung:
Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des Starren Körpers liegen. Bsp. Ring (Torus)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 14
2.3 Kinematik
Beobachtung: Körper bewegen sich: Ball, Auto, Karusell, ...
Beschreibung dieser Bewegung durch die Kinematik = Bewegungslehre
Definition:
Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne die Ursache für die Bewegung zu
betrachten.
Bewegung eines Körpers kann beliebig sein, die geradlinige Bewegung d.h. die Translation
ist der einfachster Fall. Bei krummlinigen Bewegungen können einzelne Abschnitte durch
Kreisbewegungen d.h. Rotationen und Translationen angefittet werden.
Beispiel: - Ballwurf eines Kindes: Kreisförmige Bewegung mit translativem Abwurf.
- Geradeausfahrt auf Autobahn + kreisförmige Ausfahrt
Allgemein: Krummlinige Bewegung angefittet durch Translation + Rotation
Rotation
Translation
s(t)
DR
Massepunkt
Modellkörper - Translation : Massepunkt
- Rotation : Massepunkt an steifer, gewichtsloser Stange
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 15
Versuch drehende Balkenwaage
Starrer Körper, der um einen Drehpunkt (vgl. Drehmoment) rotiert, führt eine Kreisbewegung
aus.
Kreisbewegung in der Technik ebenso wichtig wie Translation, da alle rotierenden
Gegenstände wie Antriebsachsen, Ritzel, Räder, ... Kreisbewegungen durchführen.
Arten Translation Rotation
Bewegung Geradlinig Drehung
Koordinatensystem Rechtwinklig Polarkoordinaten
Beschreibung Vektoren Skalare
Weg sr
ϕ
Drehwinkel (Def. über Bogenmaß)
Modellkörper Massepunkt Massepunkt an gewichtloser,
drehbarer Stange
Bsp: Aufzug Karusell
Grundlage: Ortsänderung im Bezugssystem
z
x T1T0
t = T0 t = T1
s
yr0
s
r1
Orts-Diagramm Weg-Zeit-Diagramm
t
wichtig: geeignetes Bezugssystem: kartesische- - Polarkoordinaten !
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Relative Bewegungen
Windstille ! Wie ist dieses Photo „entstanden“ ?
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 17
2.3.1 Geschwindigkeit Maß für Wegänderung pro Zeiteinheit : Geschwindigkeit
Def.:
Ortsänderung pro Zeiteinheit
≡ Geschwindigkeit
[ ]s
mv =
{ {
std
sd
t
sv
alDifferentiDifferenz
&≡=∆
∆=
(MK - 1)
bzw. vektoriell sv &rr
=
Geschwindigkeit = Zeitableitung des Weges
Bsp. Ableitung s.u.
Zusammenhang : Weg - Geschwindigkeit - Zeit
s v
v = 0 v = const v const
s
t
t
ds / dt = v
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 18
Beispiel: Ableitung (eindimensional)
geg. s(t) s
dt
dsv &== sv
dt
dva &&& ===
Beschleunigungstyp
1 0 0
t 1 0 0
t² 2t 2 const
t³ * 3t² 6t ≠ const
sinωt ω cosωt -ω²sinωt = -ω² s Schwingung
*: t³ z. B. bei Anlauf- bzw. Abbremsprofilen von Motoren
v / m/s10 10 1010-3
13 96
10
Geschwindigkeit
S
Größenordnungen Vergleich Physik - Technik
+ -
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 19
Weg kann durch zeitliche Integration der Geschwindigkeit berechnet werden: Aus (MK 1) : ds = v dt integrieren = umgekehrte Differentiation, daraus erhält man den Weg Herleitung: Weg berechnen, wenn v gegeben v = ds / dt | dt v dt = ds |∫ →→→→
0
T
T
sdt)t(v)t(s1
0
rrr+= ∫
(MK - 2)
Anwendung Flugzeug: Staudruck-Messgerät mißt nur die Geschwindigkeit → Integration ergibt s ! Problem Integration und Variable t
Herleitung für v = const. : ( ) tvsTvTTvdtvs üblich1T
0T
01 = →∆=−== ∫
Achtung: übliche Definition: t als relative Zeit nach Meßbeginn !! Spezialfall: )t(vv
rr≠ , d.h. v = const: ostv)t(s
rrr+⋅=
s0 : Integrationskonstante, Weg zu Beginn bei T0 Beispiel: Auto mit v = 10 m/s = const. ; Zeitdauer 100 s ; so = 0 m
m1000s10010dt10dt10sdt)t(v)t(s sm
s100
0sm
s100
0sm
0
T
T
1
0
=⋅===+= ∫∫∫rrr
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 20
Weg - Zeit - Diagramm am Beispiel Zugfahrplan mit ‚Problem’ v(t)
Weg - Zeit - Diagramm
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 20 40 60 80 100 120
t / min
s / km
vm
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aber: Zugzeiten nur Abfahrt - Ankunft, dort v = 0 , dazwischen max. ca. 200 km/h
t
s v
st
ds/dt = va
aktuellv
v = stmittel
Def.: Mittlere Geschwindigkeit
t
svm ∆
∆=
rr
(MK - 3)
für ∆t → 0 :
Def.:
aktuelle Momentangeschwindigkeit s
td
sdva
&rr
r≡=
(MK - 4)
z.B. die Anzeige durch Tachometer
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 22
2.3.2 Beschleunigung
Was passiert, wenn sich Geschwindigkeit zeitlich ändert z.B. Auto anfährt ?
Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, d.h. ist zeitabhängig.
Def.: Beschleunigung
= Geschwindigkeitsänderung
pro Zeiteinheit
[a] = m/s
{ {
svtd
vd
t
va
werttanMomen.aktttswertDurchschni
&&r&rrr
r=≡=
∆
∆=
(MK - 5)
Technik: a > 0 : Beschleunigung ; a < 0 : Verzögerung
Zahlenbeispiel siehe obenstehende Tabelle
Zusammenhang Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung - Zeit
s v
a = 0 a = const a const
t
dv / dt = a
t
v
a
v = 0 v = const v const v const
t
s
ds/dt = v
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 23
10 10 101 39
a / m/s²
Beschleunigung
106 12
10
Größenordnungen Vergleich Physik - Technik
Elektrotechnik: Beschleunigung von geladenen Teilchen :
Strahlung nach Maxwell - Gleichungen : Synchrotonstrahlung
Geschwindigkeit und Weg können aus der Beschleunigung durch zeitliche Integration
berechnet werden:
Geschwindigkeit 0vdt)t(a)t(vrrr
+= ∫
(MK - 6)
Weg
0sdt)t(v)t(srrr
+= ∫
(MK - 7) Analog für Rotation, statt Weg s den Winkel ϕ verwenden (s.u.) !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 24
2.3.3 Translation Vereinfachung eindimensionale Betrachtung (1D): ss →
r (o.B.d.A.)
Def.: Bewegungstyp / -form
Art Gleichförmig gleichmäßig
beschleunigt
ungleichmäßig
beschleunigt
a 0 const. ≠ const.
v Const. Lineare Änderung, v ∼ t ≠ const.
Bsp. Auto 100 km/h Freier Fall Pendel
→ es gibt nur 3 Arten der Translation (bzw. Rotation):
2.3.3.1 Gleichförmige Translation
Typ: a = 0 aus (MK - 6): v = vo
aus (MK - 7): s = ∫vdt = vo t + C
s v
t
a
ov
os
→ s = vo t + so (MK – 8)
JAVA Applett: Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Beispiel:
Autofahrt mit konstanter Geschwindigkeit entspricht mittlerer Geschwindigkeit, impliziert ∆s /
∆t
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 25
2.3.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Translation
Versuch: - Ball fallen lassen
- Wagen mit Gewicht und Umlenkrolle
d.i. Freier Fall = gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Typ: a(t) = const Bsp.: Freier Fall
s v
t
a
aus (MK – 6): ∫ == tadt.constv
aus (MK - 7): s = ∫vdt = a∫tdt = ½ a t2
Formeln aus (MK - 6) und (MK - 7), so = 0
Geg. vo = 0 vo ≠≠≠≠ 0
a, t
v = at
s = 1/2 at²
v = at + vo
s = 1/2 at² + vo t
a, s
sa2v =
2ovsa2v +=
(MK - 9)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 26
2.3.3.3 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Versuch Pendelschwingungen :
Umkehrpunkt: Richtungsumkehr von Geschwindigkeit und Beschleunigung
→ ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Typ: a(t) ≠≠≠≠ const. ; a = a(t) Beispiel: Mechanische Schwingungen
t
s
v
a
Anfangsbed. für t = 0 : s(0) = 1 ; v(0) = 0 geg: a ∼ cosωt
∫= dtav ∼ sinωt
∫∫= dtas2
∫= dtv ∼ cosωt � s ∼ a− , s ∼ s&&− typ. für Schwingungen
Beispiel kta = Bem: [k] = m/s²
∫∫ === kt21
dttkdtav 2
32 kt61
dttk21
dtvs === ∫ ∫
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 27
Beispiele einfacher Translationen: Freier Fall / Schiefer Wurf
2.3.3.4 Einfache Translationen im Erdfeld
a = g = 9,81 m/s² ≈ 10 m/s² = const. → gleichförmig beschleunigte Bewegung,
Modellkörper : Massepunkt
NB: - Erdoberfläche, s klein, kein Luftwiderstand, keine Erdrotation
- g verringert sich mit zunehmenden Abstand von der Erdoberfläche (Übungsaufgabe)
- g sehr exakt mit Pendeln meßbar, so daß Höhe über Meeresspiegel bestimmbar
Dim Bez. Anfangsgeschwindigkeit *
1 Freier Fall voz = 0
Senkrechter Wurf voz > 0 nach oben
voz < 0 nach unten
2/3 Waagrechter Wurf vox ≠ 0 voz = 0
Schiefer Wurf vox und voz ≠ 0
z
x
y
V = 0oy
(*) :
=
z0
y0
x0
0
v
v
v
vr
y hier als konstant gewählt, ebenso liegt der Abwurfort im Ursprung !
Beides kann durch lineare Koordinatentransformation (und ggf. Drehung) immer erreicht
werden.
Bei Wurf mit Seitenwind ist y nicht konstant, also zu berücksichtigen !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 28
für die beiden Beispiele gilt : - a = g aus (MK - 9): 0vtgv +=
- AB: 0)0t(v ==r
, 0)0t(s ==r
a) Freier Fall Kinematik
002 stvgt
21
s ++=
1D gas ==&&
für 0s0 = und 0v0 =
2gt21
s= gtv =
� gv
t = � g2
vgv
g21
s2
2
2
==
Energiesatz (Vorgriff)
siehe Ekin = Epot
mgh2
mv2=
� gh2gs2v == �g2
vs
2
=
2gt21
s= ; gtv = ; g2
vs
2
=
(MK – 10)
d.h. beide Wege führen zum selben Ziel !
wenn aber Zeitabhängigkeit gefragt ist, kommt man nur mit kinematischen Methoden
weiter
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 29
b) Wurf
vektorielle Betrachtung
Zusammensetzung von
- gleichförmiger Translation und
- gleichmäßiger Beschleunigung (Freier Fall)
Anfangsbedingungen (t = 0) :
.Bew.beschl.gleichm
.Bew.unbeschl
g
0
0
a;
v
0
v
v;
0
0
0
s 0
oz
ox
00 −
−
=
=
=rrr
z
x
y
V0x
g
Achtung: rechtshändiges
Koordinatensystem !
Rechengang: v = ∫adt ; s = ∫vdt
→
.beschl.gleichmiggleichförmoz
ox
tg
0
0
v
0
v
v
−
+
=r
−
=
−
+
=2
oz
ox
2oz
ox
tg2
1tv
0
tv
tg2
10
0
tv
0
tv
sr
(MK - 11)
Probe: gs!
z −=&&r √
Übung: Vereinfachen Sie obige Formeln für senkrechten Wurf nach oben und unten.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 30
Bsp: Waagrechter Wurf voz = 0
−
=
tg
0
v
vX0
r
−
=2
X0
tg2
10
tv
sr
Absolutgeschwindigkeit: ²t²gv)t(vvvvvv 2x0hier2z
2y
2x += →++==
r
Fälle: - t klein : v ≈ vx - t groß : v ≈ gt bisher: alle Werte zeitabhängig, aber auf welche Bahn fliegt der Massepunkt ? Bahnkurve sx = vox t ≡ U (i) sz = - 1/2 gt² ≡ V (ii) aus (i) t = U / vox (i’) (i’) in (ii)
²xv2
gz.bzwU
v2
gV
2ox
22ox
−=−=
das ist eine (Wurf-) Parabel z ~ x²
Absolutgeschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve
vx
x
z
t = 0
|v|vy
0 xv
²xv
²gv)z,x(vv
2ox
2ox +== (1') in v eingesetzt
x
v
0 xv
~ x
JAVA Applett: Schiefer Wurf
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 31
Wie hoch ‚fliegt’ ein Skispringer ?
Olympia-Schanzen Calgary
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 32
2.3.4 Rotation
Bsp: Pendel, drehbare Balkenwaage
Modellkörper : Massepunkt an gewichtsloser, steifer Stange
wichtigste Größe (analog zum Weg s):
Drehwinkel ϕ = s /r → s = r ϕ (MK 12)
r = const. ; s(t) : Bogenmaß ; [ϕ] = rad 180° = π
ϕ
1 Variable ϕ, da r = const.
karthesischeKoordinaten
2 Variable: x , yx
y
Polarkoordinaten
r
s
D
Winkelgeschwindigkeit
[ω] = rad/s
ϕ=ϕ
≡∆
ϕ∆=ω &
dt
d
t
(MK - 13)
Winkelbeschleunigung
[α] = rad/s² ϕ=ω=
ω=
∆
ω∆=α &&&
dt
d
t
(MK - 14)
Alle Definitionen wie Translation
ϕ , ω , α sind Skalare, keine Vektoren !!
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 33
Zusammenführung Translation - Rotation
(hier nur Skalare bzw.
Beträge)
Translation Rotation T ���� R
Weg s ϕ s = r ϕ
Geschwindigkeit v ω v = r ω
Beschleunigung a α a = r α
(MK -
15)
Bewegungsformen wie Translation :
- gleichförmig α = 0
- gleichmäßig beschleunigt α = const
- ungleichmäßig beschleunigt α ≠ const.
Vektorielle Betrachtung
Beschleunigung = Geschwindigkeitsdifferenz
ωr
zeigt bei Bewegung in Gegenuhrzeigersinn
‚ins Blatt’ hinein
T2v
a für dt
Geschwindigkeit
Tangential zur Bahn rvrrr
×ω= (MK - 16)
Zentripetalbeschleunigung
- zeigt zur Rotationsachse (Mittelpunkt)
- meist nur Betrag: a = ω² r interessant r
r
va 2
2 rr
rr
ω−==
(MK 17)
Beschleunigung zeigt nach ‘innen’, die Kraftwirkung auf einen Körper, der sich auf einer
Kreisbahn bewegt ist dann nach außen: Karussell, Satellit. Bedingung für Schwerelosigkeit :
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 34
v²/r = g
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 35
Zentripetalkraft
Ursache der Zentralbewegung (Beschleunigung in Richtung
Mittelpunkt)
JAVA Applett: Karussell (Zentripetalkraft)
Zentrifugalkraft
ist Trägheitskraft (Scheinkraft, nicht sichtbar von außen),
welche der Zentripetalkraft entgegengesetzt ist, also vom
Drehzentrum weg. Von lateinisch 'fugare' = fliehen
D
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
)am(rmr
vmF 2
2
zp ≡ω==r
zpzf FFrr
−=
(MK - 18)
Coriolis-Kraft
weitere Kraft in bewegten, rotierenden
Systemen. Tritt auf, wenn sich ein Körper
radial nach innen oder außen bewegt
(Scheinkraft)
rc vm2Frrr
×ω−=
anschauliche Erklärung: Bahngeschwindigkeit hängt vom Abstand von der Drehachse ab,
ein sich nach außen bewegender Körper muß daher Kraft aufwenden, um in Ruhe zu
bleiben.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 36
Versuch: Kugel auf rotierender Platte läuft spiralförmig
nach außen, da sie Corioliskraft nicht aufbringen kann.
Wirkliche Bahn im ruhenden System (mitbewegter
Beobachter) ist eine Gerade
scheinbare Bahn im rotierenden System (Beobachter
ruhend, außenstehend) ist eine Spirale
v in radialerRichtung
mitbew. Beob.ruhenderBeob.
Bsp.: - ESP – Sensor
- Hochdruck auf Nordhalbkugel bedingt Ostwind in Mitteleuropa
- Wirbel in der Badewanne
Bsp: Gleichförmige Kreisbewegung ωωωω = const. ; αααα = 0
z.B. gleichmäßig drehender Motor
Drehwinkel aus konstanter Winkelgeschwindigkeit
1 Umdrehung d.h. 360° bzw. 2π entspricht 1 Periode
Drehwinkel (entspr. s = v t )
Periodendauer
Frequenz
Anzahl der Umdrehungen
Drehzahl
tω=ϕ
ω
π=
2T
π
ω==
2T
1f
N = ϕ / 2π
f2dt2
dN
dt
dN
t
Nn =
π
ω=
π
ϕ===
∆
∆= &
(MK - 19)
Periodendauer wird bei großen Zeiten z.B. Erdumdrehung in 24 h verwendet,
dagegen Frequenz bzw. Drehzahl bei kleinen Dauern: Motor 6000/min, HF-Technik 100 MHz
JAVA Applett: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 37
Bsp: Gleichmäßig Beschleunigte Kreisbewegung αααα = const.
z.B. anlaufender Motor
Winkelgeschwindigkeit
Drehwinkel
ω = α t
ϕ = ω t = 1/2 α t²
(MK - 20)
Analog gleichmäßig beschleunigte Translation Rotation in karthesischen Koordinaten
cossin
a
vr
ϕ
IM y
R RE xD
Reell:
ϕ
ϕ=ϕϕ=ϕ
sin
scoR)(r;)t(
r
rv &rr
=
ϕ
ϕ−=
cos
sinRv
r v tangential zu r
sva &&r&rr ==
rvsin
cosR
sin
cosRa
r&rr −=−=
ϕ
ϕ−=
ϕ−
ϕ−=
ar
zeigt zur Drehachse (MK - 21)
Imaginäre Schreibweise
Eulerformel : α+α=α sinjcose j
sˆeReRysinjxcosz tjj ===+= ωϕ mit ϕ = ω t
vzjz =ω=′
azz 2 =ω−=′′ vgl.Schwingung
tjeRz ω= 876
&
z
tjeRjˆvˆz ωω==
zeRˆaˆz 2
z
tj2 ω−=ω−== ω321
&&
(MK - 22)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 38
Zusammenfassung Kinematik
Art gleichförmig Gleichförmig
beschleunigt
Ungleichförmig
beschleunigt
Beschleunigung 0 konstant nicht konstant
a = a(t) , αααα = αααα (t) nein nein ja
v , ωωωω const const * t v = ∫ a dt , ω = ∫ α dt
s , ϕϕϕϕ const * t 1/2 const * t² s = ∫ v dt , ϕ = ∫ ω dt
alle Anfangswerte hier Null : vo = ωo = so = ϕo = 0 s = r ϕ ; v = r ω ; a = r α 1D - ggf. Vektoren verwenden
Ableitungen, wenn s bzw. ϕ zeitabhängig gegeben: ϕ=ω=α== &&&&&r&rr ;sva
Def. - aktueller Momentanwert aus Differenz z.B. td
sdva =
- Mittel- bzw.Durchschnittswert aus Differential (∆t → 0) z.B. tm ∆
ϕ∆=ω
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 39
2.4 Dynamik
Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet, hier wird die
Statik
mit der Kinematik zusammengeführt.
Inhalt: Bewegungsgleichungen - Energie - Impuls, ....
Translation Rotation
Modellkörper Massepunkt Starrer Körper
Grundgesetz F = m a M = J α
Bsp Wagen mit Gewicht Motor
Ziel: Bewegungsgleichung aufstellen !
2.4.1 Translation
2.4.1.1 Newtonsche Gesetze
1. Trägheitsgesetz
Ein Körper bleibt in Ruhe oder er bewegt
sich gleichförmig, wenn keine äußeren
Kräfte auf ihn einwirken oder diese in
Summe Null sind.
Bsp: Gegenstand hinlegen - aber : Erde
dreht sich um sich selbst und um Sonne
anderer Fall:
Autofahrt geradeaus, nicht angeschnallt gegen Baum: Insassen fliegen unbeschleunigt
weiter;
d.h. Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte
Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand:
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 40
Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik:
zusammengeführt im
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 41
2. Grundgesetz der Mechanik
Speziell
allgemein
m = const. (Newton)
m ≠≠≠≠ const., p: Impuls
amFrr
=
( )p
dt
vmdF &
rr
r==
(MD - 1)
Allgemeine Formulierung ( )
amvmvmvmdt
vmd rr&&
rr&
r
+=+=
mit m& = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom)
Vgl: Strom in der ET: Ladung pro Zeiteinheit
I = ∆Q / ∆t
Fälle: - m = m(t) : Rakete
- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein)
vereinfachte Formulierung:
Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die
gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist
Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 42
3. Kraft erzeugt Gegenkraft
aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null Σ Fi = 0 ; Bsp. Gewicht auf Unterlage
Erweiterung auf Dynamik:
Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit
bei Fahrt in Kurve merkt man Kräfte bzw. beim Anfahren.
= Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen : sogenannte Trägheitskräfte
- Anfahrt Zug: Flasche fällt vom Tisch
- Gasballon in Auto, bremsen - wohin bewegt sich Ballon ?
nach hinten, da Luft sich nach vorne bewegt (vorne größerer Luftdruck)
Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null
Dynamisches Gleichgewicht
auch d’Alembertsches Prinzip
Σ Fi = 0
(MD - 2)
Versuche: - Ball auf Wagen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit
- Ball mit Hand unterstützen : Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert.
Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ?
- Gewicht an Federwage
* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen,
nimmt das angezeigte Gewicht zu
* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt,
nimmt das angezeigte Gewicht ab
Bsp. Aufzug: aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter, aber Person fühlt sich
unbewegt !
Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 43
Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertsches Prinzipes
aus ∑ = 0Fir
(d´Alembert)
Fb : beschleunigende Kraft, statisch, z.B.Gewichtskraft
Ft : Trägheitskraft
0FF tb =−rr
Ft = m a
(MD - 3)
mit : m : Gesamtmasse des Systemes
a : Beschleunigung des Systemes, für Statik a = 0, siehe NB
Trägkeitskraft - Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft)
- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen
NB: es kann auch mit bt FamFrr
== gerechnet werden. Dann ist die Dynamik auf der
linken
Seite der Gleichung und die Statik auf der rechten Seite.
Äquivalenzprinzip: Ist die träge Masse gleich der schweren Masse ?
- träge Masse : Dynamik - Trägheitskraft
- schwere Masse : Statik - Gewicht in Ruhe
Die Äquivalenz ist im Rahmen höchster Meßgenauigkeiten als erfüllt nachgewiesen.
Aufgabe der Dynamik:
Bewegungsgleichung aus Kraftansatz / Energiesatz erstellen und lösen
Mit Dynamik kann Beschleunigung berechnet werden, was mit der Kinematik nicht möglich
ist.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 44
Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip
Freier Fall
m (Massepunkt)
0
x
Start
F = m at
FG
Kraftansatz
1) d’Alembert: ΣF = 0
Fb - Ft = 0
2) Kräfte bestimmen
Fb = m g = Fg
Ft = m a (immer, '-' im Ansatz)
3) einsetzen
m g - m a = 0
→ a = g = x&&
gleichmäßig beschl. Bewegung
→ x&= v = g t, x = ½ g t²
→ xg2vx ==&
Energieansatz (Vorgriff)
Eges = const
Epot = Ekin
m g x = ½ m v²
→ xg2vx ==&
x(t);v(t) → schwierig
Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des
Systems !
Energieansatz erscheint 'leichter', ist aber deutlich aufwendiger aufwendiger,
wenn s(t) und v(t) gesucht ! Das geht am besten mit dem Kraftansatz und Kinematik
Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-Geschwindigkeits-
Zusammenhang.
Wenn ein Ansatz nicht 'funktioniert', den anderen Ansatz verwenden !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 45
Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle
Kraftansatz: d’Alembert: ΣF = 0
1) Fb - Ft = 0
2) Kräfte bestimmen
Fb = mG g
Ft = (mw + mG) a
mw + mG = Gesamtmasse des Systems
3) einsetzen
mG g - (mw + mG)a = 0
→ gmm
ma
GW
G ⋅+
=
Rest: Kinematik
t = 0 0x
Ft
mW
FG
Fb
mG
JAVA Applett: 2. Gesetz von Newton
(Fahrbahnversuch)
Weitere Berechnungen dann wie Kinematik gleichmäßig beschleunigte Translation
Stimmt das Ergebnis ?
Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln:
a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses ?
b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ?
angewandt auf obiges Beispiel:
a) Einheit : [a]= m/s² √
b) Extremfälle - mw → 0 : a ≈ g √
- mw >> mG : a → 0 √
- mG = 0 : a = 0 √
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 46
2.4.1.2 Arbeit
Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar, die Wirkung wird mit dem
Begriff Arbeit erfaßt:
'umgangssprachlich': Arbeit = Kraft * Weg
Bsp: Gewicht in Hand und laufen - keine Arbeit wird verrichtet, da Gewicht nur gehalten
wird
(Kraft ⊥ Weg), Maßkrug-Haltewettbewerb Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren.
Kraft F Arbeit [W] = Nm = J
Konstant sFWrr
⋅=
Wegabhängig ∫ ⋅=1
o
s
s
sd)s(FW
r
r
rrr
(MD - 4)
Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden
Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies,
Sand
Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt
Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit:
F = const. : sFsdF1
o
s
s
rrrrr
r
⋅=∫
SI-fremd : - kWh = 3,6 MJ (Energiewirtschaft)
- eV = 1,6 10-19 J (Atomphysik)
Arten Bsp. (Vereinfachung: 1D)
Hubarbeit Gewichtheben,
Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const.
Beschleunigungsarbeit Anfahren Auto
Reibungsarbeit Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene
Verformungsarbeit Feder spannen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 47
Hubarbeit im Schwerefeld der Erde
Annahme: g = const
→ F = const, Weg klein
Whub = ∫F ds
mit F = m g und s = h erhält man
→ h
W hub
W ~ hhub
Hubarbeit Whub = m g h (MD - 5)
Versuche:
- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle
- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft * Weg = Arbeit
- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger → Arbeit = konst.
- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-)
Weg
dafür entsprechend länger → Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug.
Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodaß auch schwere Gegenstände
hochgehoben werden können
JAVA Applett: Flaschenzug
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 48
Beschleunigungsarbeit
Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und ∆v = 0
Fall: a = const Fall: a ≠≠≠≠ const
Fbeschl = m a = const
→ Wbeschl = m a s
gleichmäßig beschleunigte Translation:
sa2v =
nach a auflösen und einsetzen
Wbeschl = m s v²/2s
Wbeschl = ∫F ds = m ∫ads
∫ ∫
∫
==
=
2
1
V
V
dvvmdt
dsdvm
dsdt
dvm
→
Wbeschl = ½ m v² Wbeschl = ( )2122 vvm21
− (MD - 6)
Achtung: gilt nur, wenn
Anfangsgeschwindigkeit = 0
Immer verwenden, wenn
Anfangsgeschwindigkeit ≠ 0
Bsp: m = 2 kg
sm6v
sm5v
2
1
=
=} � sm1v =∆
� ( ) J112536m2
1Wbeschl =−=
nicht J11m2
1 2 =⋅= !
v
Wbeschl
W ~ v 2beschl
Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden,
nicht die beiden Zahlen subtrahieren und dann potenzieren !
Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die Differenz gebildet werden.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 49
Spannarbeit (Verformungsarbeit)
z.B. bei Feder
Aus ∫ ⋅=1
o
s
s
sd)s(FW
r
r
rrr
mit s = x
F = F(x) = FF = - D x (Hooke)
Ws
W ~ x 2s
x
D : Federkonstante, [D] = N/m
→ [ ] ( )2122xxx
x
s xx²xD21
dxxDW 12
2
1
−−=−= ∫
Spannarbeit ( )2122
x
x
Fs xxD2
1dxFW
2
1
−±== ∫ (MD - 7)
wobei x1/2 : Auslenkung aus unbeeinflußter Länge
x = x2 - x1: aktuell gedehneter Weg
+ aus Sicht von außen
- aus Sicht der Feder
- x1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit
Beispiel : Kraft ist wegabhängig ∼ x; Spannarbeit
1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen Ws = ½ D x² = ½ D
2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen
Ws = [ ]∫ =−==2
1
2
1D
2
3)14(D
2
1²xD
2
1dxxD
nicht additiv wie bei Hubarbeit !!
Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 50
Reibungsarbeit
Versuch : Würfel fallen lassen - dasselbe Schiefe Ebene: v geringer, da Reibung
Reibung Fr Beispiel
Festkörper µ FN Gleitreibung, FN : Auflagekraft, schiefe Ebene
Flüssigkeit ∼ v Strömungswiderstand (laminar)
Gas ∼ v² Luftwiderstand (turbulent)
Verformung deform. Medien Feder spannen
(MD -
8)
Reibungsarbeit
bei wegunabhängiger Reibungskraft
Wr = Fr s (MD - 9)
Reibungsarbeit wird praktisch immer in Wärme umgewandelt.
Bsp.: - 'glühende' Bremsscheiben Formel 1
- Schutzschild Raumfähren
- Mikrowellenherd
d’Alembertsches Prinzip mit Reibungskraft Fb - Fr - Ft = 0 (MD - 10)
Reibung wirkt der beschleunigenden Kraft entgegen ; siehe Bsp. Freier Fall mit Reibung
Reibungsphänomene komplex: - Luftwiderstand Auto im Windkanal optimieren
- Luftwiderstand Golfball
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 51
Beispiel Auto:
- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h : Motor- , Getriebereibung, Luftwiderstand, ...
- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h - 7 l bei konstant 120 km/h : Differenz höhere
Luftreibung
Höchstgeschwindigkeit hängt nur vom Luftwiderstand ab
- Luftwiderstand
(Richtwerte) Geschwindigskeitsbereich Reibung
< 50 km/h vernachlässigbar
50 - 100 km/h 'naja', typ. ~ v
> 100 km/h typ. ~ v²
2.4.1.3 Energie
Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit
umgewandelt werden kann.
Energiesatz
[E] = J
Eges = const.
Eges (To) = Eges (T1)
(MD - 11)
Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt
sich von alleine ab und springt hoch !
Einheit wie Arbeit
→ Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt
werden!
→ kein Perpetuum mobile
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 52
Energie -
Arten
Formel Beispiel Energie-
Speicher
Energie-
Transport
Kinetisch
(Translation)
Ekin = ½ m v² Ekin bei Autounfall
Rotation
(2.4.2)
Erot = ½ J ω² Motor beim Auslaufen Schwungrad
Potentiell
(Erde)
Epot = m g h Freier Fall Speicher-
kraftwerk
Pumpstation
Reibung Siehe Arbeit Luftwiderstand
Wärme Ew = c m ∆T Kochen Wasser-
speicher
Fernwärme
Elektrisch Eel = U I t Leiter = Transport von
Energie !!
Akku Hochspannungs-
leitung
Chemisch Reaktionswärme Benzin Tank
Strahlung E ∼ ω Photosynthese,
Solarenergie,
IR-Thermometer
‘Sonne’
?!?
em. Wellen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 53
Beispiel Kinetische Energie
Setzt man die Kinetische Energie eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt sich
diese bei 140 km/h !!
Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert
ebenfalls quadratisch verlaufen könnte.
Daraus folgt dann ein doppelt so hohes Risiko, wenn die Geschwindigkeit von 100 auf 120
km/h gesteigert wird.
Kinetische Energie bei Autofahrt / -unfall
0
50
100
150
200
250
300
350
400
100 120 140 160 180 200 220
v / km/h
~ v²
~ v
physiologische Belastung ~v²*v²
Ekin /% (100%= 100 km/h)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 54
Translativer Energiesatz ohne Reibung mit Reibung
Ekin(T0) + Epot(To) = Ekin(T1) + Epot(T1)
Ekin(T0) + Epot(To) + Ereib = Eges(T1)
(MD - 12)
Bem:
- Ereib ~ Wreib
- Reibung ggf. bei T0 und T1 berücksichtigen
- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer
Abhängigkeit !
- gilt z. B. nicht in Wasserströmung! Ernergie von A nach B kann dort wegabhängig
sein.
Bsp.: Energieumwandlung Epot1 →→→→ Ekin →→→→ Epot2
Versuch :
a) Würfel im Freien Fall
b) Würfel über schiefe Ebene
EW
h
a)b)
G
pot1
Epot2
Ekin
Epot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = Epot2) des
Gegenstandes G geringer, da ein Teil von Epot2 in Reibungswärme umgewandelt wird.
Weitere Verlust durch Aufprall.
Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren !
Versuch: Ball / Blatt Papier fallen lassen Ball schneller obwohl Epot gleich
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 55
Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand
a) Energieansatz: Epot (To) = Ekin (T1) + Er (T1) mit Er = F s m g h = ½ m v² + k v² h k : Reibungskoeffizient → v² (½ m + k h) = m g h
→ hk
2m
hgmv
+=
Extremfälle: - keine Reibung (k = 0) : hg2v = √√√√
- große Reibung ( k → ∞ ) : v → 0 √√√√ aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ??? Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier
als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige
Beschleunigung.
b) Kraftansatz ΣF = 0 → Fb - Fr - Ft = 0 → mg - kv² - m a = 0 (DGL 2. Sem), a = dv/dt ‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber Endgeschwindigkeit : a = v& = 0 mg - k v² = 0
→ k
gmvend =
Extremwerte: k → 0 : vend → ∞ √ k → ∞ : vend → 0 √
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 56
Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien Fall
0
10
20
30
40
50
0 20 40 60 80 100
Fallweg / m
v / m
/s
mit Luftwiderstand
ohne Luftwiderstand
v = const / a = 0
v durch Luftwiderstand konstant : Beschleunigung a → 0
weiteres Beispiel Energieansatz:
Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.)
Epot = Ekin
mG g h = ½ * (mw + mG) v²
→ Gw
G
mm
hgm2v
+= v = v(h) !
Grenzfälle analog Kraftansatz
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 57
2.4.1.4 Leistung
weiterer Begriff aus täglichem Leben
„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. : vFt
WP ==
aus vFdtds
FtsF
tW
P ====
[P] = W = J/s (Normierung auf Zeit)
„früher“: Auto : PS ; 1 PS = 0,73 kW
Leistung („Arbeit pro Zeit“)
'genaue' Formulierung { {
tanMomen
0t
ttDurchschni
td
Wd
t
WP
→∆=
∆
∆=
(MD - 13)
Durchschnittsleistung t
WPm ∆
∆=
aktuelle Momentanleistung Wtd
WdPa
&==
(Definitionen analog Kinematik Geschwindigkeit)
erweiterte Betrachtung {
vFsFtd
)sF(d
td
WdP
constFfür0
rrr&rrr
⋅+⋅=⋅
===
kinetische und potentielle Leistung
( )
( )vFxF
dt
dxgm
td
)t(xgmd
td
WdP
vFvamvvmdt
²dvm
2
1
td
)²t(vmd
td
WdP
constm
potpot
constm
21
kinkin
====
=====
=
=
=
=
&
&
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 58
Wirkungsgrad 1
P
P
gesamt
nutz
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 59
2.4.1.5 Impuls
alltägliches Beispiel: Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung
Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel
Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander
Modellkörper : 2 Massepunkte
Impuls [p] = kg m/s = Ns 321
r&r
43421
rr
Fallemeinerlgal.constmNäherung
Fp,vmp ===
(MD - 15)
allgemein: Vektor pr
JAVA Applett:
- Elastischer und unelastischer Stoß
- Newtons Wiege (Energie- und Impulserhaltung)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 60
Einfachster Fall :
2 harte Kugeln prallen aufeinander
eine ist vor dem Stoß in Ruhe
a) Kraftansatz ΣF = 0
v = const. außer bei Zusammenprall
d.h. keine Beschleunigung Ft = 0
→ F1 + F2 = 0 ( 1: vor, 2 nach Stoß)
( )
( )
.constpp
0ppd
dt0dt
ppd
0dt
pd
dt
pdpp
21
21
21
2121
=+→
=+
=+
=+=+→
∫∫
&&
→ cpp 21 =+
b) Energieansatz Eges = const
Ekin vor = Ekin nach + Edeformation (Edeformation hier
Null)
½ m1v1² + ½ m2v2² = ½ m1v’1² + ½ m2v’2²
' : nach dem Stoß
mit 0td
Ed ges = (für m = const)
→ m1 v1 + m2 v2 = m1 v’1 + m2 v’2
→ c'p'ppp 2121 =+=+
Impulserhaltung .constpi
i =∑r
(MD - 16)
Bsp.:
Stein vom Surfbrett nach hinten ins Wasser werfen →
Surfbrett bewegt sich vorwärts !
pStein = pSurfbrett Wasserreibung gering, vernachlässigt
pStein
pSurfbrett
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 61
allgemeine Impulsdefinition
aus (MD - 15)
1D, Vektoren ggf. ergänzen
{ {NewtonRakete
amvmvmvmtd
)vm(dtdpd
F +=+=== &&&
(MD - 15')
zeitlich veränderliche Masse: Massenstrom { {
mtd
md
t
m
werttanMomen.aktttDurchschni
&==∆
∆
Anwendungen: - Verfahrenstechnik: 'konstante Zugabemenge pro Zeiteinheit'
m
t
m
t
- Rakete : Masse verändert sich durch rasches Verbrennen des
Treibstoffes
Massenstrom vergleichbar mit elektrischem Strom : Qtd
Qd
t
QI &==
∆
∆=
rein physikalisch gesehen gelten bei Transportvorgängen dieselben Gleichungen (s.o.), d.h.
es ist 'egal', ob
- Masse (Mechanik)
- Ladung (ET)
- Wärme (Kap. 3)
- Wellenenergie (Kap. 5)
transportiert wird. Man spricht in allen Fällen von einem Strom.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 62
Sonderfälle (einfachste Modellvorstellungen):
Masse Relevante
Größe
Stoß Merkmal Fall für
m1 = m2
v2 = 0
Bsp.
Elastisch*
‘v’ wird
weitergegeben
v1’ = 0
v2’ = v1
Stahlkugeln, Billard,
Reflexion an Wand
Material-
eigenschaften
Unelastisch*
Gemeinsames v
v1’ = v2’
= v1/2
kleben aneinander, Bsp.
Kugel in Schwamm.
Ekin wird in Verformung
umgewandelt → Wärme
Zentral
p
Massenpunkte auf
Gerade,
p ist hier ein Skalar
bleibt
konstant
Vektor-
eigenschaften
Nicht zentral
pr
Modellkörper: Starre bzw.
deformierbar Körper
Billard, seitlicher Stoß,
p ist hier ein Vektor
ändert
sich
m = m(t)
Rakete
p = dF/dt
m ändert sich
→ Rakete gibt Treibstoff
ab, v nimmt zu
* : ideale Grenzfälle
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 63
2.4.1.6 ‘Raketenphysik’ einer Modellrakete
Kinematik / Kraft- / Energieansatz
Näherung : - m = const., da wenig Treibstoff im Vergleich zur Gesamtmasse
- g = const., da niedrige Flughöhe
- keine Reibung
2 Antriebsphasen:
- mit Gasausstoß
- ohne ‘’ , nach Brennschluß
3 Flugphasen
a) beschleunigte Bewegung
b) Senkrechter Wurf nach oben
c) Freier Fall nach unten
b) und c) können zusammengefaßt werden, wenn
Senkrechter Wurf mit Abwurfhöhe und -
geschwindigkeit verwendet wird.
Antrieb -slos
tbeschl.Bewegung a
senkr.Wurf b
freier Fall c
h
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 64
a) Start :
beschleunigt (Brenndauer 5s), a = const.; senkrechter, beschleunigter Wurf : FAn - FG - Ft = 0 mit FAn : Startschub FAn – mg – ma = 0
Startbeschleunigung : gm
Fa AnS −=
bei Brennschluß (t = 5 s) Geschwindigkeit : vBs = ast Höhe : hBs =
1/2 ast² hier Fan = 2N , m = 0,1kg → as = 10 m/s² vBs = 50 m/s, hBs = 125m
nach Brennschluß
b) Senkrechter Wurf Max. Steighöhe: hmax = hbs + hsw
g2
vh
2bs
sw = (z.B. aus Energiesatz hg2v = )
= 125m hmax = 250m nach Gipfelpunkt c) Freier Fall
aus Energiesatz bzw. Kinematik : s
m70hg2v maxauftreff ≈=
tatsächlich geringer, da Reibung aber : Masse nicht konstant, also Impulsansatz
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 65
Impulsansatz
Grundlage aus (MD - 15’): amvmvmvmtd
)vm(d
td
pdF +=+=== &&& (*)
aus (*), falls keine äußere Kräfte F = 0 :
amvm0 += & → wmv)t(m && −=
m(t)
v = wGasv
Rakete
x
dt|wdt
dm
dt
dvm ⋅−= (DGL 2. Sem.)
C)m(lnw
v
dmm
1dv
w
1
|dmm
1dv
w
1
+−=
−=
⋅−=
∫∫
∫
Aus Anfangsbedingungen : t = 0 : v = 0 , m = mo (Startmasse) → C = ln(mo)
→
=
m
mlnwv o mit m = m(t) z.B. m(t) = mo - kt > mBS
bis hierher: parallel zur Erdoberfläche
bei Start nach oben : t)h(gm
mlnwv o −
= Achtung g = g(h) !
max. Höhe: v integrieren, schwierig
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 66
Modellrakete: w = 1000 m/s, mo = 0,1 kg, mBS = 0,08 kg, t = 5 s → vBS = 173 m/s (50 m/s Kinematik) aus Formelsammlung : hBS = 550 m (125 m Kinematik) d. h. Faktor 2 - 3 ‚mehr’ bei lediglich 20% Differenz der Masse (100 g → 80 g)
zwischen (falschem) Kinematikansatz im Vergleich zu Impulsansatz !
Reale Raketen
=
mm
lnwv o
w ≈ 3 km/s
1-stufig : typisch: 6m
m
BS
o ≈
→ vend ≈ 2w → vBS ≈ 6 km/s also schneller als Treibstoffausstoß !! aber:
Erreichen einer Erdumlaufbahn erfordert vmin = 8 km/s . Dies ist mit 1-stufiger Rakete nicht
möglich, da das Massenverhältnis aus konstruktiven Gründen und der Treibstoff nicht
beliebig optimiert werden können. Dies erreicht man aber bei gleichen Parametern
(Startmasse, Nutzlast, Treibstoff) mit einer dreistufigen Rakete:
Geschwindigkeit nach Brennschluß der i–ten Stufe:
=
BZ
Z0
2B
02
1B
01eB M
M...
M
M
M
Mlnwv .
Das Argument des Logarithmus heißt „totales Massenverhältnis“ : B
0
M
M
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 67
Im folgenden Rechenbeispiel werde dieselbe Nutzlast bei denselben
Massen von Rakete und Treibstoff beschleunigt; w = 2,7 km/s.
Einstufenrakete
Nutzlast MH = 0,04 t
Rakete MR = 8,44 t Treibstoff Mt = 42,20 t
Startmasse M0 = 50,68 t
Brennschlußmasse MB = 8,48 t
Brennschlußgeschwindigkeit
=
48,8
68,50ln
s
km7,2vBS
vBS = 4,8 km/s
Dreistufenrakete
Nutzlast MN = 0,04 t 3. Stufe MR3 = 0,04 t ; MT3 = 0,20 t
2. Stufe MR2 = 0,40 t ; MT2 = 2,00 t
1. Stufe MR1 = 8,00 t ; MT1 = 40,00 t
ΣMR = 8,44 t ; ΣMT = 42,20 t
→ Startmasse M0 = 50,68 t 1. Stufe
Masse bei Zündung M01 = 50,68 t
Brennschlußmasse MB1 = 10,68 t
∆v1 = 4,21 km/s 2. Stufe
Masse bei Zündung M02 = 2,68 t
Brennschlußmasse MB2 = 0,68 t
∆v2 = 3,71 km/s
3. Stufe
Masse bei Zündung M03 = 0,28 t
Brennschlußmasse MB3 = 0,08 t
∆v3 = 3,39 km/s
Brennschlußgeschwindigkeit der 3. Stufe
vBS = ∆v1 + ∆v2 + ∆v3
vBS= 11,31 km/s
Dies bedeutet: Mit einer einstufigen Rakete kann man keine Kreisbahn um die Erde
erreichen, da die erste kosmische Geschwindigkeit (für eine Kreisbahn an der luftleer
gedachten Erdoberfläche) bereits 7,9 km/s beträgt. Für das Verlassen des Erdschwerefeldes
sind bereits 11,8 km/s nötig, die kosmische Geshwindigkeit der Erde
(„Fluchtgeschwindigkeit“).
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 68
Raketenstart und Flugstabilisierung
Schwierigkeit beim Start : vo = 0 : instabil, da keine Ruderwirkung, Triebwerke schwenken !
besser bei Sylvesterraketen, da SWP unter Antriebsangriffspunkt
SWP
Kraft
SWP
Kraft
Seilrolle
SWP oberhalb Unterstützung : labil Stabil, da SWP unterhalb Kraftangriff
Kraft Kraft
SWP
SWP
analog Seiltänzer mit Stange bzw. Motorradartist
'Auflagekraft'Seil :
SWP
Weltraumraketen: komplexe Schubvektorsteuerung ( Triebwerk dreht sich – Vektorcharakter
des Impulses ) erfordert schnelle Winkelmeß und Regelstrecken.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 69
2.4.2 Rotation
Modellkörper: Starrer Körper
Versuch Fliehkraft
Versuch: Fliehkraftregler
Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich schwere
Kugeln
bei gleicher Umdrehungsgeschwindigkeit dieselbe Höhe ?
2.4.2.1. Zentripetalkraft
Bsp:
Anpressdruck Karusell merkt Ausenstehender nicht ,
daher Typ 'Trägheitskraft, Scheinkraft'
Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp
Praxis: meist nur Betrag interessant
Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender
Beobachter spürt (Fliehkraft)
D
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
r
Zentripetalkraft Fzp
Zentrifugalkraft Fzf
Zfrv
2
zpr Fr²mrvm
amFFrr
r
rrrr
−=ω====ω=
(MD - 17)
Bem.: Fzp ~ ω²
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 70
2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz
Modellkörper: starrer Körper
Translation Kraft F →→→→ M Drehmoment Rotation :
Drehmoment
∑∑ ×== iiig FrMMrrrr
D
r1
m1
r2
m2
Herleitung eindimensional
1D : F = m a | r
r F = r m a | a = rα (Winkelbeschleunigung)
→ M = (mr²) α = J α
J : Massenträgheitsmoment,
aus Tabellen bzw. experimentelle Bestimmung
D r m
bei zusammengesetzten Körpern : ∑ ∑ α==rrr
iiges JMM
Dynamisches Grundgesetz
[J] = kgm² α=rr
JM (MD - 18)
Vergleich Translation : amFrr
=
d’Alembertes Prinzip der Rotation Σ M = 0 (MD - 19)
Vergleich Translation : Σ F = 0
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 71
Massenträgheitsmoment
hier: Schwerpunkt auf Drehachse, sonst Unwucht, z.B. Autoreifen
Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen → Kapitel Schwingungen
Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen ∑ ∫ ρ==
i Vol
22ii dVrrmJ
rr
x
y
z
r
Kugel massiv 2
zyx rm52
JJJ ===
dünne Schale 2
zyx rm32
JJJ ===
x
y
z
l
r
r
a
i
Vollzylinder 2
x rm21
J = 22zy lm121
rm41
JJ +==
dünner Stab (l >> r) 2
x rm21
J = 2zy lm121
JJ ==
dünner Scheibe (l
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 72
Drehpunkt außerhalb Schwerpunkt
Bsp: Kugel an Seil – Pendel
D
d
m
Starrer Körper
SWP
Dd
m
Satz von Steiner d : Abstand A - SWP
Ja = JSWP + m d²
(MD - 20)
Bsp.: MP an gewichtsloser Stange Ja = m d² da JSWP = 0 (s.o.)
2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation
Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad
- fallen lassen mit abgewickelter Schnur : Fall schnell, bleibt unten
- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur : Fall langsamer, kommt wieder hoch
Untersuchung : Ekin JoJo < Ekin Kugel (da v geringer) Wo steckt Energiedifferenz ? Offenbar in der Rotation ! Epot → Ekin + Erot → Energiespeicher Rotation Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen (warum gibt’s das nicht mehr?)
Arbeit
Energieerhaltung
Rotationsenergie
Leistung
(vgl. Translation)
Wrot = ∫Mdϕ
Ekin + Epot + Erot = const.
Erot = 1/2 J ω²
ω⋅=rr
MP
(MD - 21)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 73
2.4.2.4 ‘Hookesches’ Gesetz bei Rotation : Torsionsfeder
FM
R
Hier nur Beträge, Vektoren ggf. ergänzen
Kreisförmiger Querschnitt , ϕ klein
Verdrillung klein Halten bei Antriebsachsen, Schrauben etc.
Drehmoment M ∼ ϕ (Translation F ∼ x)
bzw. F ∼ ϕ ( M = r x F)
bezogen auf Materialstärke : M ∼ ϕ R4
R4 bringt "viel Steifigkeit" : - R = 1 cm → M ∼ 14 = 1
- R = 1,2 cm → M ∼ 1,24 = 2
Drehmoment
Arbeit
Mtor = ± D ϕ
Wtor = ∫ Mdϕ = ½ D ϕ² D ≠ D(ϕ)
(MD - 22)
Vergleich Translation : FFeder = ± D x ; WFeder = ∫ Fdx = ½ D x² D ≠ D(x)
2.4.2.5 Impuls bei Rotation : Drehimpuls
Drehimpuls [L] = kg m² /s
Drehmoment - Drehimpuls
Drehimpulserhaltung
{
∑ =
α+ω==
×=ω=
=
.constL
JJLM
prJL
.constJfalls,0
v
rr&&rr
rrrr
(MD - 23)
Bsp. Drehimpulserhaltung :
- Einfangen eines rotierenden Satelliten ‚schwierig’, da Impulsübertrag auf Raumschiff
- Kreiselstabilisierung, Richtung von L ist raumfest, Anwendung: Kreiselkompass
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 74
2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung
hiermit erhält man aus der Translation die Formeln der Rotation durch
„Buchstabentauschen“:
s → ϕ v → ω a → α m → J F → M p → L
(skalar, Vektoren ggf. ergänzen)
Translation Variable/Formel Rotation Variable/Formel
Weg s Winkel ϕ = s / r
Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit ω
Beschleunigung a Winkelbeschleunigung α
Masse m Massenträgheitsmoment J = Σ mr²
Kraft F = ma Drehmoment M = Jα
Kraftansatz ΣF = 0 Drehmomentansatz ΣM = 0
Impuls p = mv ; Fp =& Drehimpuls L = Jω ; ML =&
Impulserhaltung Σp = const. Drehimpulserhaltung ΣL = const.
Arbeit W = ∫ Fds Arbeit W = ∫ Mdϕ
Energie Ekin = 1/2 mv² Energie Ekin rot = 1/2 Jω²
Leistung P = F v Leistung P = M ω
entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 75
3. Schwingungen
Kinematik + Dynamik : beliebige Bewegungen (Translation, Rotation, krummlinig)
mechanische Schwingungen: periodische Bewegung
periodisch = sich wiederholend
Bsp: Pendel, Feder
A
t
Freier Fall ist keine Schwingung da nicht periodisch.
Schwingungen treten überall, nicht nur in der Technik auf:
- Autofederung
- Schwingungen von Maschinen z.B. Unwucht
- EM - Schwingungen → Funkwellen
- Schwingungen bei Regelvorgängen
- Gezeiten
- Schwingungen von Gebäuden, Bauwerken, ...
- . . .
- Wirtschaft (Zinsen, Aktien, ...)
Hypotheken-Zinssatz
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
Jahr
Zinssatz / %
Fragen: - Warum haben die (Zinssatz-) ‚Schwingungen’ ca. 2000 aufgehört ?
- Warum ist der Zinssatz 2005 auf historischem Tiefstand ?
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 76
3.1 Einführendes Beispiel: Mathematisches Pendel
Vorkenntnisse : - Kräftezerlegung
- Bewegung von Massepunkten
- Newtonsche Gesetz
- trigonometrische Funktionen
Ziel : Grundlagen von harmonisch schwingenden Systemen
Physikalische Beschreibung der beobachteten Schwingungen idealisiert durch Modellkörper:
Mathematisches Pendel
Pendel mit punktförmiger Masse und masseloser Stange im Gravitationsfeld
Fadenpendel (Gewicht an dünnen Faden) als reales Beispiel für Mathematisches Pendel :
Beobachtung: - periodische Bewegung um Ruhelage
- Auslenkwinkel ändert sich
- Ursache der Schwingung ist die Schwerkraft, da
keine anderen Kräfte von außen wirken
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 77
Mathematisches Pendel
mit relevanten Kräften und Definitionen
JAVA Applett: Fadenpendel
γ
γ
γ
l
m
s
F = m gG
Ft
FRK
Eigenschaften des Pendels
- oben beweglich aufgehängt - senkrecht nach unten Ruhelage
- beliebige Auslenkung aber konstante Pendellänge l
- punktförmige Masse m
- Winkel γ aus Ruhelage
- Massepunkt bewegt Kreisbahn mit Radius l
- Weg aus Ruhelage : s = Bogenlänge
- auf Massepunkt wirkt als einzige Kraft die Gewichtskraft FG = m g
Vorgehen zur Bewegungsgleichung
- Zerlegen der Gewichtskraft in 2 Teile
- ein Teil in Fadenrichtung, wird von der Stange aufgenommen
- 2. Teil ist tangential zur Bahn wirkt als rückstellende bzw. beschleunigende
Kraft FRK
in Richtung Ruhelage und ist für die Schwingung verantwortlich
- Winkel der Kraftzerlegung in Dreiecken entsprechen dem Auslenkungswinkel γ
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 78
Kraftansatz d'Alembertsches Prinzip : Σ F = 0
1) Fb - Ft = 0
2) beschleunigende = rückstellende Kraft aus Gewichtskraft und Auslenkwinkel
Rückstellende Kraft Fb = FRK = m g sin γ
(SW - 1)
Trägheitskraft smFt &&=
(Beschleunigung = 2. Zeitableitung des Weges)
Weg s entspricht Bogenlänge = Pendellänge * Auslenkwinkel
s = - l γ → γ−= &&&& ls
Minuszeichen : entgegengesetzten Zählrichtungen von Kraft und Winkel
l konstant, zeitliche Änderung nur Winkel
Trägheitskraft
in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel
γ−= &&lmFt
(SW - 2)
3) einsetzen (m fällt heraus)
Bewegungsgleichung 0singl =γ+γ&&
(SW - 3)
gesucht : γγγγ(t) ? , das ist eine Differentialgleichung (Mathe II) für den Auslenkwinkel
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 79
Lösung von (SW - 3) wegen gleichzeitigen Auftretens von ϕ und sinϕ kompliziert
für kleine Schwingungsamplituden entspricht der Sinus γ ungefähr γ (im Bogenmaß)
Vergleich: y = sin(x) zu y = x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
x /rad
y
y = sin(x)
y = x
10°
bis 10° : Gerade und Sinusfunktion praktisch gleich
kleine Auslenkung sin γ ≈ γ [γ] = rad
→ rückstellende Kraft ist proportional zum Auslenkwinkel FRK ∼ γ
Ersetzen in Differentialgleichung (SW – 3) von sinγ durch γ , ergibt
Harmonische Schwingungsgleichung
0l
g=γ+γ&&
(SW - 4)
Lösung beschreibt zeitliche Bewegung des mathematischen Pendels bei kleinen
Auslenkungen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 80
Als Lösung gesucht :
periodische Funktion, deren 2. Ableitung proportional zu der Funktion ist : f~f&&
Idee: Sinus bzw. Cosinus - Funktion
Experimente
• Pendel, aus dem Sand auf eine Folie herausrieselt. Bewegt man die Folie, zeigt sich der
zeitliche Verlauf und der Abstand von der Ruhelage proportional zum Auslenkwinkel →
Sinusfunktion
• Messung des Auslenkwinkel mit Winkelsensor (Beschleinigungsmesser) zeigt ebenfalls
einen sinusförmigen Verlauf
Betrachtet man den Beginn des Experiments (Loslassen mit einem gewissen Anfangswinkel)
kann die periodische Funktion nicht ein Sinus (ohne Phase) sein, da sin(0) = 0 !
also Cosinus, da cos(0) = 1
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 81
Lösungsansatz
für zeitabhängige Winkeländerung γ (t)
γ(t) = γo cos(ωot)
(SW - 5)
mit - γo : Anfangsauslenkung
- ωo : ungedämpfte Kreisfrequenz (ideal, keine Reibung etc.)
Schwingungsdauer π
ω=
ω
π==
2f;
2
f
1T 0
0
Beweis durch Einsetzen in Harmonische Schwingungsgleichung:
zuerst ableiten
Geschwindigkeit
ändert periodisch
)tsin( ooo ωγω−=γ&
(SW - 6)
Beschleunigung
γω−=ωγω−=γ=
γ
2ooo
2o )tcos(a 43421
&&
(SW - 6')
Mechanische Schwingungen sind ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen !
Einsetzen in (SW - 4) 0lg2
o =γ+γω− → lg2
0 =ω
Eigenfrequenz ωωωωo
der Mathematischen Pendels
l
go =ω
(SW - 7)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 82
Physikalisch interessanter als Kreisfrequenz bei Pendeln ist die Schwingungsdauer, da
meßbar
γγγγ
γγγγ
t
ωωωω ππππT = 2
T
Schwingungen artverwandt mit Rotation :
- Eine Periode entspricht 2 π, hier ω * T Periodendauer ≡ Schwingungsdauer T
- Versuch: Fadenpendel schwingen und kreisen lassen - kein Unterschied
aus SW - 7 folgt damit
Schwingungsdauer
des Mathematischen Pendels bei
kleinen Auslenkungen
g
l2TMP π=
(SW - 8)
Schwingungsdauer
- proportional zur Wurzel aus Pendellänge
- unabhängig von Masse und Amplitude
Achtung: kleine Amplitude war Ansatz zum Finden der Lösung !!
Versuch : Messung Pendellänge 1m / Wurzel aus 1/10 = 0,3 mal 6 = 2s
Folgerung: Harmonische Schwingungen können durch eine Cosinusfunktion mit einer
bestimmten Frequenz beschrieben werden.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 83
Zusammenfassung
Mathematisches Pendel mit Anfangsauslenkung (aus Kraftansatz):
0l
g=γ+γ&&
l
g20 =ω ;
0
2T
ω
π= Lösung: ( )tcos o0 ωγ=γ
Merkmale idealer harmonischer Schwingungen - Gleichung 0xx 2o =ω+&&
- Schwingungsdauer und Frequenz unabhängig von Amplitude - Rückstellende (= beschleunigende ) Kraft proportional Amplitude (Mechanik) x~FRk - ωo beschreibt die ‚Eigenschaften’ des schwingungsfähigen Systemes - ωo ist die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems
Andere schwingende Systeme (Federpendel, elektrische Schwingkreise, etc.) werden
ebenfalls mit dieser Gleichung beschrieben (ggf. mit anderen Variablen). Mittels
Koeffizientenvergleich erhält man sofort Frequenz und Schwingungsdauer
reale Systeme: Reibung, äußere, nichtlineare, ... Kräfte berücksichtigen (s.u.)
Energieansatz, komplexer Lösungsansatz, Reibung etc. s.u.
Hinweis: Lösungsmethoden kein Prüfungsstoff, nur Ergebnisse;
mathematisches Lösungsverfahren Mathe DGL 2. Sem.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 84
3.2 Übersicht
allgemein: periodische Zustandsänderungen (Energieverschiebungen)
Bsp. Pendel: Epot → Ekin → Epot (trotzdem Kraftansatz verwenden !)
Gemeinsamkeit: rückstellende Komponente
Anzahl der Komponenten Form Ausbreitung Bsp
wenige Schwingung ortsfest Pendel
1 Körper Eigenschwingung ωo im Körper Stimmgabel
viele Wellen Fortpflanzung Schallwelle
Schwingungsart harmonisch Anharmonisch
Mathematische Beschreibung 1 Sinus bzw. Cosinus beliebig
Bsp: Pendel,
LC - Schwingkreis
Rechteck, Ebbe, Flut
Pulsschlag, EKG
Schwingungsart ungedämpft gedämpft
Annahmen ideal mit Verlusten, z.B. Reibung
Bsp Math. Pendel Luftwiderstand, Federpendel
Schwingungsart frei erzwungen
Merkmal - System bleibt sich selbst überlassen
- abklingende Amplitude
- äußere Energiezufuhr
- Resonanz
Bez.: Oszillator Resonator
Schwingungsüberlagerung
Addition von Schwingungen 1D oder vektoriell
Frequenz Richtung parallel senkrecht
Gleich Verstärkung / Auslöschung Lissajous
Verschieden Schwebung
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 85
3.3 Ungedämpfte Harmonische Schwingungen
3.3.1 Physikalisches Pendel
wie 4.1: Kraftansatz, da Rotation mit Drehmomentansatz Σ M = 0 → MRK - MT = 0
Mathematisches Pendel
γγγγ
D
r
SWP
γγγγFRKFG
Physikalisches Pendel
Def.: Starrer Körper mit Drehpunkt und Schwerpunkt
D
SWP
rγγγγ
Mathematisches Pendel (mit Drehmomentansatz ΣM = 0, da quasi Rotation, s. o. ): - Drehmoment γ= &&JMT - γ−=×= singmrFrMRK - Satz von Steiner: JA = Js + mr² (MD - 16) - Aufhängepunkt – Schwerpunkt = r
Die Formeln gelten ebenso für Starren Körper, da Masse im Schwerpunkt ‘wirkt’
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dann analog zu (SW 1-4) :
0.vgl0J
gmr
0gmrJ
2o
a
A
2o
=γω+γ=γ+γ→
=γ+γ
ω
&&
321
&&
&&
Eigenfrequenz des Physikalischen Pendels
bei kleinen Auslenkungen
²rmJ
gmr
J
gmr
sA
2o +
==ω
(SW - 9)
Kontrolle für Mathematisches Pendel und Vergleich mit (SW – 7):
Massepunkt: Js = 0 → r
go =ω √
Technische Bedeutung: Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten
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3.3.2 Beschreibung des Mathematischen Pendels mit
Energieansatz
Ekin + Epot = const ; aus Anfangsbed. v oder h → 1/2 mv² + mgh = const. mit - ( )γ−= cos1lh - γ klein: cosγ ≈ 1 – 1/2 γ² → h ≈ l γ² / 2 - s = l γ und v = l γ& Vorteile:
- Vorzeichen von v „uninteressant“, da v2
- Ansatz einfacher
h
l
γγγγ
nur Epot
kin potE + E
v = 0
kinnur Emaxv = v
→
Schwingungsgleichung
des Mathematischen Pendels bei kleinen
Auslenkungen aus Energiesatz
const²sl
g²s =+&
(SW - 10)
Einsetzen der Lösung aus Kraftansatz: s = so cos(wot) ωo² so² sin²(ωot) + g/l so² cos²(ωot) = const mit ωo² = g/l g/l so²[sin²(ωot) + cos²(ωot)] = g/l so² = const., da sin² + cos² = 1 √
Vgl. Kraftansatz: 0xlg
x =+&& mit (SW-10)
aus (SW – 10) → dtd
const²slg
²s =+& → 0sslg
2ss2 =+ &&&& → 0sl
gs =+&&
Energieansatz - auch möglich, aber komplizierter in Lösung etc.
- nicht üblich
- inkompatibel mit LC-Schwingkreis
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3.3.3 Korrekte Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung
Problem bei Anfangsbedingungen (t = 0)
- Auslenkung (Lageenergie) oder Geschwindigkeit (kin. Energie)
- Auslenkung (Lageenergie) + Geschwindigkeit (kin. Energie)
Allgemeine Harmonische
Schwingungsgleichung
0xx 2o =ω+&&
(SW - 11)
Lösungsansatz : x(t) = c1 cos(ωot+ϕ) + c2 sin(ωot+ϕ)
c1, c2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen
Allgemeine Lösung der Allgemeinen Harmonische Schwingungsgleichung
( ) ( )ϕ+ωω
+ϕ+ω= tsinv
tcosx)t(x oo
ooo
(SW - 12)
Mit - xo : Anfangsamplitude
- vo : Anfangsgeschwindigkeit
- ωo : Eigenfrequenz
- ϕ : Phase
- Geschwindigkeit x~v &
- Beschleunigung xx~v~a 2oω−=&&& (ungleichm. beschleunigte
Bew.)
In (SW - 12) setzt man die Anfangsbedingungen ein :
- nur Anfangsauslenkung : vo = 0
- nur Anfangsgeschwindigkeit : xo = 0
- gemischt : vo und xo ≠ 0
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3.3.4 Komplexe Lösung der Harmonischen
Schwingungsgleichung
eleganterer Lösungsansatz im Hinblick auf gedämpfte und erzwungene Schwingungen:
Harmonische Schwingungsgleichung 0xx 2o =ω+&&
komplexer Lösungsansatz tjooexx ω=
Ableitungen ( ) xjejedt
dx o
tjo
tj oo ω=ω== ωω&
( ) xee²dt
²dx 2o
tj2o
tj oo ω−=ω−== ωω&& √√√√
- so geht’s am schnellsten und einfachsten !
- es werden alle Fälle aus (SW - 12) erfaßt, da )tsin(j)t(cose ootj o ω+ω=ω
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3.3.5 Beispiele Harmonischer Schwingungen
3.3.5.1 Federpendel
Feder anfänglich gedehnt Kraftansatz: Σ F = 0 1) Fb - Ft = 0 → FRK - Ft = 0 2) Hooke: FRK = - D x = FF da in -x - Richtung xmFt &&=
3) {
0xm
Dx
2o
=+
ω
&&
0
Ft
xRuhelage
F = FFF RK
Feder anfänglich gestaucht
2) Hooke: FRK = + D x = FF da negatives x
xmFt &&−= , da in -x - Richtung
Rest identisch
Probe: - m → ∞ : a → 0 √
- D → 0 : a → 0 √
0
Ft
xRuhelage
F = FFF RK
JAVA Applett: Federpendel
gilt auch für senkrechte Pendel
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3.3.5.2 Torsionspendel
hier gilt nicht v = ω r ,da γ&& nicht konstant Hier: ωo = γ& Herleitung siehe Übungsaufgabe mit : MRK = - D γ und MT = J γ&& folgt :
{
0J
D
20
=γ+γ
ω
&& γ
D
J
Ruhelage
3.3.5.3 LC – Schwingkreis siehe E- Technik
{
0ILC
1I
20
=+
ω
&&
UC ebenfalls periodisch ! JAVA Applett: Elektromagnetischer Schwingkreis
LC
UC
I
3.3.5.4 Flüssigkeit in U-Rohr
siehe Übungsaufgabe
d' Alembert: FRK = - mbeschl g = Fb ( '-', da nach unten)
FT = mges z&&
Flüssigkeit: mFL = ρ A h
mges = ρ A l , l : Gesamtlänge
mbesch = 2 ρ A z (2, da über- & unterhalb z = 0)
→ {
0zl
g2z
2o
=+
ω
&& Vgl. Mathematisches Pendel l
g2o =ω
m beschl
mges
z
0
Ft
FRK
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