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UNIVERSITÄT SIEGEN
Baudynamik (Master) – SS 2017
2. Schwingungen eines Einmassenschwingers
2.1 Freie Schwingungen
2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen
2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen
2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen
2.2 Erzwungene Schwingungen
2.2.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
2.2.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 1
UNIVERSITÄT SIEGEN
Baudynamik (Master) – SS 2017
2. Schwingungen eines Einmassenschwingers
2.1 Freie Schwingungen
2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen
2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen
2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Literatur:Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag, 2015.
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UNIVERSITÄT SIEGEN
2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.1 Freie Schwingungen
Baudynamik (Master) – SS 2017
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UNIVERSITÄT SIEGEN
Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
0mx+cx= 2 0x+ x=Schwingungsgleichung2. Newtonsches Gesetz:
cm
Eigenfrequenz:
Freie Schwingung wird häufig auch als Eigenschwingung bezeichnet. Diedynamischen Eigenschaften eines Systems werden durch die freie Schwingungdes Systems beschrieben.
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UNIVERSITÄT SIEGEN
Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Lösung der Differentialgleichung:
Die unbekannten Integrationskonstanten A und B können aus den Anfangs-bedingungen (AB) bestimmt werden.
( ) cos sin( )x t A t B t
0 0
00
(0)
(0)
x x A xvx v B
Anfangsbedingungen:
00( ) cos sin( )vx t x t t
Lösung der Differentialgleichung:
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Alternative Darstellung der Lösung:
( ) cosx t C t Die unbekannten Integrationskonstanten C und können aus den Anfangs-bedingungen (AB) bestimmt werden.
0
0
(0)(0)x xx v
Anfangsbedingungen:
220 0
0
0
/
arctan
C x v
vx
: Schwingungsamplitude: Phasenwinkel
C
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einfluss des Eigengewichtes:
2 0x+ x=Schwingungsgleichung:
cm
Das Gewicht der Masse hat also keinen Einfluss auf die Schwingung, wenn dieAuslenkung von der statischen Ruhelage xst aus gezählt wird.
Eigenfrequenz:
stmgxc
Statische Ruhelage:
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Andere Beispiele:
1.) Mathematisches Pendel
sin bei 1
sin 0g+ =l
0g+ =l
2 0+ =
gl
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.) Physikalisches Pendel
sin bei 1
sin 0A +mgl =
0A +mgl =
2 0+ = A
mgl
Trägheitsmoment: A
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2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.1 Freie Schwingungen
Baudynamik (Master) – SS 2017
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Federkonstanten
FF c l cl
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel: Stab
Federzahl bzw. Federkonstante:
KraftFederzahlVerschiebung
l l
Fl F EAl cEA l l
F
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Federkonstanten
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Beispiel: Balken
3
3
48 48 BFl F EIw cEI w l
12
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Federkonstanten
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 13
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Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Charakteristik: Gleiche Verschiebung in den Federn!
1.) Parallelschaltung
1 2F c x c x c x
xx
1 2c c c
Verallgemeinerung: 1 21
...N
N ii
c c c c c
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Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Charakteristik: Gleiche Kraft in den Federn!
2.) Reihenschaltung
1 1 2 2
1 2
F c x c x c xx x x
2x x
1 2
F F Fxc c c
Verallgemeinerung:
1x
1 2
1 1 1c c c
11 2
1 1 1 1 1...N
iN ic c c c c
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Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.) Kombination von Parallel- und Reihenschaltung
12 1 2c c c
12 3 1 2 3
1 1 1 1 1c c c c c c
12c 3c
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2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.1 Freie Schwingungen
Baudynamik (Master) – SS 2017
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Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Dämpfungskraft: dF dx
Diese Dämpfungsart nennt man „viskose Dämpfung“ (z.B. Stoßdämpfer im Fahrzeug).
Die Dämpfungskraft Fd wirkt immer entgegengesetzt zu der Geschwindigkeit.
d: Dämpfungskonstante (Einheit: Kraft/Geschwindigkeit)
F
,x x
dFd
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Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Newton: mx cx dx
0mx dx cx
22 0x x x 2dm
: Abklingkoeffizient
cm
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Freie gedämpfte Schwingungen
tx Ae
2 22 0
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Exponentialansatz:
Charakteristische Gleichung
22 0x x x
2 2 21,2 1D
D
: Dämpfungsgrad, Lehrsches Dämpfungsmaß
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Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
1.) D>1: Starke Dämpfung
2
1,20
1 (reell)D
1 21 2 1 2
t t t t tx A e A e e Ae A e Lösung:
Kriechbewegung (keine Schwingung)!
1 0 bei , da !t te Ae t
Die Konstanten A1 und A2 können aus den AB bestimmt werden.
21
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Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.) D=1: Aperiodischer Grenzfall
2
1,20
1 (reell)D
1 21 2 1 2
t t tx Ae A te e A A t Lösung:
Kriechbewegung (keine Schwingung)!
1 2( ) 0 bei !tx t e A A t t
Die Konstanten A1 und A2 können aus den AB bestimmt werden.
Der Ausschlag im Grenzfall D=1 klingt schneller als bei starker Dämpfung D>1 ab!
, 2d mc Im Grenzfall D=1:
22
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Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.) D<1: Schwache Dämpfung
2 2
1,20 0
1 1 (komplex)dD i D i
1 21 2 1 2
1 2 1 2 = ( ) cos( ) ( )sin( )
= cos( ) sin( )
d di t i tt t t
td d
td d
x Ae A e e Ae A e
e A A t i A A t
e A t B t
Lösung:
Die Konstanten A und B können aus den AB bestimmt werden.
cos( )tdx Ce t Alternativ:
Die Bewegung ist eine Schwingung!23
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Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
( )
( ) cos( )
( ) cos ( )
cos( )
d
d
td
t Td d d
Ttd
x t Ce t
x t T Ce t T
Ce e t
( )( )
dT
d
x t ex t T
2
( ) 2 2ln( ) 1
dd d
x t DTx t T D
Logarithmisches Dekrement
Das logarithmische Dekrement kann experimentell bestimmt werden. Danach kann D oder dbestimmt werden!
24
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Freie gedämpfte Schwingungen
Abklingkoeffizient D 2 2(2 )
Dämpfungsgrad D
2 2(2 )
Logarithmisches Dekrement 2 2
2
2
21DD
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Zusammenfassung: Dämpfung
2dm
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Baudynamik (Master) – SS 2017
2. Schwingungen eines Einmassenschwingers
2.2 Erzwungene Schwingungen
2.2.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
2.2.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Literatur:Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag, 2015.
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UNIVERSITÄT SIEGEN
2.2.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.2 Erzwungene Schwingungen
Baudynamik (Master) – SS 2017
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
0 cos( )mx+cx= F t
2 20 cos( )x+ x= x t
( ) ( )h px t x t x t Allgemeine Lösung:
( ) : homogene Lösung( ) : Partikularlösung
h
p
x tx t
Differentialgleichung:
00Fxc
Statische Auslenkung:
28
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
Homogene Lösung:Die homogene Lösung ist gleich der Lösung der ungedämpften freien Schwingung:
( ) coshx t C t
0( ) cospx t x V t Partikularlösung:
: Vergrößerungsfunktion, Amplituden-FrequenzgangV
Durch das Einsetzen der Partikularlösung in die Dgl. kann die Vergrößerungsfunktion V bestimmt werden.
29
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
Vergrößerungsfunktion:2
2 2 2
11
V
Frequenzverhältnis, Abstimmung:
30
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Sonderfälle:
0 0
Statischer Ausschlag!
1V
Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
1.) Statische Belastung:
00( )pFx t xc
31
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
1
Resonanz tritt auf, wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz ist. In diesem Fall ist die Schwingungsamplitude unendlich groß!
Daher: Resonanz möglichst vermeiden!
V
01( ) sin2px t x t t
Partikularlösung im Resonanzfall:
instabil!
Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
2.) Resonanz:
( )px t
32
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bei sehr hoher Erregerfrequenz keine Antwort vom System! Das System ist nicht mehr in der Lage, auf die Erregung zu reagieren!
0V
Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
3.) Sehr große Erregerfrequenz:
( ) 0px t
33
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Die Konstanten C und können aus den Anfangsbedingungen (AB) bestimmt werden.
0cos( ) cos( )h px x x C t x V t
Allgemeine Lösung:
Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
34
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2.2.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.2 Erzwungene Schwingungen
Baudynamik (Master) – SS 2017
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Arten der Erregungen
0 cosEx x t
Mögliche Fälle:
1.) Krafterregung
2.) Federerregung
3.) Dämpfererregung
4.) Unwuchterregung
5.) Fußpunkterregung 2.) 3.)
4.) 5.)
1.)
Für alle 5 Fälle kann eine einheitliche Differential-gleichung bzw. Schwingungsgleichung hergeleitet werden!
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Erzwungene gedämpfte Schwingungen
02
1 2 cosDx x x x E t
2
1, Fall 1.), 2.): Krafterregung & Federerregung2 , Fall 3.): Dämpfererregung
, Fall 4.), 5.): Unwuchterregung & FusspunkterregungE D
( ) ( )h px t x t x t
Differentialgleichung:
Allgemeine Lösung:
( ) : homogene Lösung( ) : Partikularlösung
h
p
x tx t
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Homogene Lösung:Die homogene Lösung ist gleich der Lösung der freien gedämpften Schwingung. Sie klingt exponentiell ab.
( ) costh dx t Ce t
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
( ) ( )h px t x t
0( ) cospx t x V t
Homogene Lösung:
Partikularlösung:
Nach hinreichend großer Zeit ist xh(t) im Vergleich zu xp(t)vernachlässigbar klein, d.h.,
Die Schwingung bis zu diesem Zeitpunkt tE nennt man Einschwingvorgang!
: Vergrößerungsfunktion, Amplituden-Frequenzgang: Phasenverschiebung, Phasen-Frequenzgang
V
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
( ) ( ) ( ) ( ), h p p Ex t x t x t x t t t
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2
2
cos( ) : (- cos 2 sin cos )sin( ) : - sin 2 cos sin 0
t D V Et D
Durch Einsetzen der Partikularlösung in die Differentialgleichung und dann Koeffizienten-Vergleich können die Vergrößerungs-funktion und die Phasenverschiebung bestimmt werden.
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
...tan ...V
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2
2tan1D
Vergrößerungsfunktion bzw. Amplituden-Frequenzgang:
Phasenverschiebung bzw. Phasen-Frequenzgang:
2 2 2 2(1 ) 4
EVD
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
41
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Fall 1.) & 2.): V1
Fall 3.): V2
Fall 4.) & 5.): V3
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
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(0)V (1)V ( )V m ( )m mV
Fall 1.) und 2.) 1 12D
0 21 2D 2
1
2 1D D
Fall 3.) 0 1 0 1 1
Fall 4.) und 5.) 0 1
2D 1 2
1
1 D
2
1
2 1D D
(0) (1) ( )
Fall 1.) – 5.) 0 2
Charakteristische Werte von V() und ():
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
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Erzwungene gedämpfte Schwingungen
Eigenschaften von V1: Fall 1.) & 2.)
1
2 2 21
21
# 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1.# 1: 1/ 2 , Resonanz bei 1.
# 0,5 : 1/ (2 1 ) bei 1 2 .
# 0,5 : 1 bei 0, Kurven fallen monoton gegen 0.
m m
m m
m m
DD V D
D V D D D
D V
Eigenschaften von V2: Fall 3.)
2Maximum 1 ist unabhängig von und immer bei 1!m mV D
44
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Erzwungene gedämpfte Schwingungen
Eigenschaften von V3: Fall 4.) & 5.)
3
2 2 23
23
# 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1.# 1: 1/ 2 , Resonanz bei 1.
# 0,5 : 1/ (2 1 ) bei 1/ 1 .
# 0,5 : 1 bei , Kurven wachsen monoton gegen 1.
m m
m m
m m
DD V D
D V D D D
D V
Phasenverschiebung für alle 5 Fälle:# 0 : Sprung von 0 nach bei 1 (Resonanz).# 1: Niederige Erregerfrequenz, 0, Ausschlag und Erregung in Phase.# 1: Hohe Erregerfrequenz, , Ausschlag und Erregung in Gegenphase.
D
Die Phasenverschiebung gibt an, um wieviel der Ausschlag hinter der Erregung nacheilt!
45
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