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Laboratoire des Sciences de l’Information et des SystèmesUMR CNRS 6168
Analyse d’images3 – Morphologie Mathématique
Olivier Coulon
http://olivier.coulon.perso.esil.univmed.fr
Master MINT – Analyse d’imagesOlivier Coulon
3 . Morphologie Mathématique
Morphologie Mathématique : pour quoi faire ?
Comment éliminer ce bruit ?
Comment séparer ces deux composantes ?
Comment étiqueter différemment ces deux formes connexes ?
Comment comparer ces deux formes ?
Master MINT – Analyse d’imagesOlivier Coulon
3 . Morphologie Mathématique
Morphologie mathématique
! Techniques de filtrage et d’analyse basée sur des théories ensemblistes
et algébriques
! Un certain nombre de filtres qui permettent de modifier la forme et la
topologie des structures dans l’image
! L’idée générale est la comparaison locale des structures dans l’image
avec un élément de référence : l’élément structurant
! Morphologie mathématique binaire et en niveau de gris
Master MINT – Analyse d’imagesOlivier Coulon
3 . Morphologie Mathématique
Elément structurant
! Structure élémentaire qui va servir à analyser localement , par
comparaison, les formes d’intérêt.
! Choix de sa forme et de sa taille
! En général symétrique, connexe, et convexe…
! …mais pas toujours
Master MINT – Analyse d’imagesOlivier Coulon
3 . Morphologie Mathématique
Erosion morphologique binaire
! Si à tout u on associe une position B(u) de l’élément structurant B, alors
l’érodé de l’ensemble X par B est :
EB(X)={u:B(u)!X}
B
EB(X)
X
Master MINT – Analyse d’imagesOlivier Coulon
3 . Morphologie Mathématique
Dilatation morphologique binaire
! Si à tout u on associe une position B(u) de l’élément structurant B, alors
le dilaté de l’ensemble X par B est :
DB(X)={u:B(u)"X#$}
B
DB(X)
X
Master MINT – Analyse d’imagesOlivier Coulon
3 . Morphologie Mathématique
Dilatations et érosions : propriétés
! Deux propriétés de base :
EB(X) ! X ! DB(X)
! Effets :
!Bouche les trous plus petits que B,
!élargit les caps,
!comble chenaux étroits,
!soude deux formes proches.
!Elimine les composantes connexes
plus petites que B,
!élimine les caps étroits,
!élargit chenaux et trous,
!transforme une presque-île en île.
DilatationErosion
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3 . Morphologie Mathématique
Dilatation et érosion
Erosion
Dilatation
disque 1 disque 2 disque 3 disque 4
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3 . Morphologie Mathématique
Ouverture binaire
! Composition d’une érosion suivie d’une dilatation avec le même élément
structurant
OB(X)=DB(EB(X))
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3 . Morphologie Mathématique
Fermeture binaire
! Composition d’une dilatation suivie d’une érosion avec le même élément
structurant
FB(X)=EB(DB(X))
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3 . Morphologie Mathématique
Ouverture et fermeture : propriétés
! Propriétés de base :
• Ordre : OB(X) ! X ! FB(X)
• Idempotence : OB(OB(X) )= OB(X) et FB(FB(X))= FB(X)
!Bouche les trous plus petits que B,
!conserve souvent la taille et la forme
!Ne conserve pas la nécessairement
la topologie,
!En particulier : soude les formes
proches
!Lisse les formes,
!élimine les composantes connexes
plus petites que B,
!conserve souvent la taille et la forme
!ne conserve pas la nécessairement
la topologie.
FermetureOuverture
Master MINT – Analyse d’imagesOlivier Coulon
3 . Morphologie Mathématique
Ouverture et fermeture
Fermeture
Ouverture
disque 1 disque 2 disque 3 disque 4
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3 . Morphologie Mathématique
Ouverture et fermeture
! Applications : images binaires donc souvent comme post-traitement d’une
segmentation
• Débruitage :
• Ouvertures pour enlever des pics isolés.
• Fermeture pour enlever des « creux » isolés.
• Lissage de forme :
• Ouverture pour lisser les « bosses ».
• Fermeture pour lisser les creux.
• Séparation en plusieurs composantes connexes (ouverture)
• Fusion de composantes séparées (fermeture)
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3 . Morphologie Mathématique
Opérateurs de base : petite parenthèse informatique
! L’implémentation se fait comme un filtre linéaire, avec le test logique
correspondant :
! En chaque pixel (x,y) on fait (ici pour une érosion) :
0 1
1
0
0
1
1 0
10 00 0 11 1 11
char h[9]
int i,j,k=0;
int flag=1
for (j=-1; j<=1; j++)
for (i=-1; i<=1; i++)
{
vois=image[x+i, y+j];
if (h(k)!=1)
if (vois==0) flag=0;
k++;
}
if (flag==1) erosion=1;
else erosion=0;
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3 . Morphologie Mathématique
Dilatation conditionnelle
! Dilatation conditionnelle : dilatation d’un ensemble X par un élément
structurant B, soumise à la condition d’appartenance à un masque M:
DCBM(X)=DB(X) " M
M
X
DCBM(X)
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3 . Morphologie Mathématique
Dilatation conditionnelle : application
! Etiquetage de deux composantes connectées : séparation par érosion,
étiquetage, puis reconstruction par itérations de dilatation conditionnelle
XY=EB(X)
DCCX(Y)Lors de la reconstruction, on dilate
conditionnellement à X, itérativement
avec une boule de rayon 1 jusqu’à
convergence.
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3 . Morphologie Mathématique
Morphologie mathématique en niveaux de gris! Extension simple : soit I une image et SG(I) le sous-graphe de I % SG(I)={
(x,t) : t&I(x) }
I SG(I)
x
t
Une définition simplifiée des
dilatations et érosions pour des
éléments structurants « plats » et
symétriques est :
EB(I)(x)=inf {I(y), y'Bx}
DB(I)(x)=sup {I(y), y'Bx}
Où Bx est le translaté de B en x
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3 . Morphologie Mathématique
Morphologie Mathématique en NdG
DB(I)
x
t
x
t
EB(I)
B
En terme de sous graphe :
SG(EB(I))={(x,t) : SG(B(x,t))(SG(I)}
SG(DB(I))={(x,t) : SG(B(x,t))"SG(I)#
$}
B(x,t)
x
t
SG(B(x,t))
SG(B(x,t))
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3 . Morphologie Mathématique
Morphologie Mathématique en NdG
! De même on définit ouverture et fermeture par composition des dilatations
et érosions.
! Ouverture : « érodes » les pics plus petits que B
! Fermeture : remplit les creux plus petits que B
x
t
OB(I)B
FB(I)
x
t
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3 . Morphologie Mathématique
D’autres opérateurs de Morphologie Mathématique
! Amincissement homotopique: amincissement itératif qui mène ausquelette d’une forme (binaire).
! Ligne de partage des eaux : segmentation par partitionement en bassinsversants de la surface des niveaux de gris (NdG).
! Chapeau haut-de-forme : image-ouverture, pour extraire les picsd’intensité selon des critères de taille et de forme (NdG).
! …
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3 . Morphologie Mathématique
Exemple : amincissement homotopique d’images binaires
! L’objectif est d’obtenir le squelette homotopique d’une forme.
! Applications :
• Rendre filiforme une région peu épaisse (ex : écriture).
• Caractériser une forme.
! Inconvénient : parfois instable, en fonction de la forme.
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3 . Morphologie Mathématique
Transformation en tout ou rien
! On considère les éléments structurants S formés de deux parties
disjointes S0 et S1.
! Pour un pixel x, soit Sx (S0
x et S1x) le translaté de S en x.
! Pour un ensemble X, la transformation en tout-ou-rien X)S est
l ’ensemble des pixels x qui vérifient :
• *y ' S1
x, y ' S
• *y ' S0
x, y + S
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3 . Morphologie Mathématique
Transformation en tout ou rien
! Soit les éléments structurants S suivants (1 représente les pixels dans S1, 0 dans S0, et * les pixels
non pris en compte)
! La transformation en tout ou rien appliquée à X successivement avec
chacun de ces E.S., permet d’obtenir les points du contour de X
000
*1*
111
00*
*011
*1*
*00
110
*1*
111
*1*
000
*1*
110
*00
0*1
011
0*1
1*0
110
1*0
*1*
011
00*
1 2 3 4
5 6 7 8
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3 . Morphologie Mathématique
Amincissement homotopique! On supprime le contour de X itérativement : répétition de X\X)S (« \ »
représente la différence ensembliste) avec les 8 E.S. jusqu’à stabilisation.
* * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * *
* * * * * * *
* * *
2 2 2 2 2 2 2 2 2
* * * * * * * * * * * 8
4 * * * * * * * * * * * 8
4 * * * * * * * * * * * * 3
6 * * * * * * * * * * * 3
6 * * * 5 1 1 6 * * * 3
1 1 1 6 * * 3
1 1 *
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3 . Morphologie Mathématique
Ligne de partage des eaux sur image en niveaux de
gris! L’intensité est considérée comme un paysage « montagneux » (représentation
surfacique)
! On cherche les bassins versants pour partitionner ce paysage.
Master MINT – Analyse d’imagesOlivier Coulon
3 . Morphologie Mathématique
Ligne de partage des eaux : algorithmes
! Deux classes d’algorithme :
• Par montée des eaux
• Par amincissement homotopique
digues
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3 . Morphologie Mathématique
Ligne de partage des eaux : utilisation! L’utilisation la plus courante est sur une image du gradient : Les bassins versants
de l’image du gradient sont les régions homogènes de l’image originale
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3 . Morphologie Mathématique
Ligne de partage des eaux : avantages et inconvénients
! Un gros avantage : l’image est complètement partitionnée et les contours
sont fermés
! Un gros inconvénients : une sur-segmentation systématique
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3 . Morphologie Mathématique
La sur-segmentation : solutions possibles
! Fusion des bassins sur des critères de contraste, où selon un critère
d’homogénéité dépendant de l’application
! Marqueurs pour initier la montée des eaux seulement dans quelques
bassins
! « remplir » des bassins avant la montée des eaux, avec une fermeture…
Master MINT – Analyse d’imagesOlivier Coulon
3 . Morphologie Mathématique
A suivre …
! Prochain cours :
Détection de contours
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