3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen

3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen

• 3.3.1 Halbschriftliche Addition und Subtraktion

• 3.3.2 Halbschriftliche Multiplikation und Division

Übungsaufgabe

• Lösen Sie folgende Aufgabe:

• 701 - 698

Lösungsmöglichkeiten

• Schriftliches Rechnen

• Zerlegen

• Ergänzen

• Abzählen

Rechenverfahren

• In der Grundschule kommen vier grundsätzliche Methoden für die Bewältigung von Rechenanforderungen in Betracht:

• Kopfrechnen

• Halbschriftliches Rechnen

• Schriftliches Rechnen

• Taschenrechner

Rechenverfahren

• Kopfrechnen

• Beim Kopfrechnen erfolgt die Lösung einer Aufgabe im Kopf ohne eine Notation von Zwischenschritten

• dies geschieht unter Ausnutzung von Strategien (vgl. auch Lösungsstrategien zu Grundaufgaben

Rechenverfahren

• Halbschriftliches Rechnen• „Halbschriftliches Rechnen ist ein flexibles, je auf die

Besonderheit der vorliegenden Aufgaben und des Zahlenmaterials bezogenes Rechnen unter Verwendung geeigneter Strategien. Es werden Zwischenschritte, Zwischenrechnungen, Zwischenergebnisse fixiert bzw. Rechenwege verdeutlicht sowie Rechengesetze und Rechenvorteile ausgenützt.“ (Bauer 1998, S. 180)

• Art und Weise der Notation ist nicht festgelegt.• Wege zur Lösung sind nicht vorgeschrieben, was dem

Aufgabenlöser größere Freiräume beim Verfolgen eigener Wege erlaubt.

• Auch als „Gestütztes Kopfrechnen“ bezeichnet

Rechenverfahren

• Schriftliches Rechnen• beruht auf konventionalisierten Verfahren (Algorithmen,

Normalverfahren)• Ergebnisse werden auf der Grundlage des Stellenwertsystems

ziffernweise ermittelt

• Taschenrechner • wird als Rechengerät im Alltag und auch von Kindern immer

selbstverständlicher benutzt

Rahmenplan

• S. 152 (Addieren und Subtrahieren):• Das halbschriftliche Rechnen eignet sich ... zur Entlastung

des Gedächtnisses und zur übersichtlichen Darstellung von Zahlzerlegungen und Rechenschritten, es ist aber auch eine wichtige Grundlage für die schriftlichen Rechenverfahren. Es muß offen und kreativ gehandhabt werden und darf nicht in einem festgelegten Algorithmus erstarren; jedes Kind soll seinen Lösungsweg und seine Darstellungsweise finden und verfolgen können und die Notation und der Zwischenschritte so lange beibehalten, wie es sie selbst für nötig hält.

Aufgabentypen

• Aufgabentypen der Addition im Zahlraum bis 100 (Klasse 2):

Aufgabentyp Beispiel Z + Z 20 + 50 = 70 ZE + E ohne Zehnerüberschreitung 43 + 5 = 48 ZE + E mit Zehnerüberschreitung 46 + 9 = 55 ZE + Z bzw. Z + ZE 37 + 20 = 57 bzw.

30 + 56 = 86 ZE + ZE ohne Zehnerüberschreitung 32 + 45 = 77 ZE + ZE mit Zehnerüberschreitung 57 + 36 = 93

Aufgabentyp BeispielZ - Z 50 – 20 = 30ZE - E ohne Zehnerüberschreitung 48 - 5 = 43ZE - E mit Zehnerüberschreitung 45 – 8 = 37Z - ZE bzw. ZE - Z 50 – 16 = 34 bzw.

47 – 30 = 17ZE - ZE ohne Zehnerüberschreitung 67 – 43 = 24ZE - ZE mit Zehnerüberschreitung 53 – 37 = 16

Aufgabentypen

• Aufgabentypen der Subtraktion im Zahlraum bis 100 (Klasse 2):

Lösungsstrategien

• Zählstrategien

• Schrittweises Rechnen (nach Zerlegen)

• Hilfsaufgabe (gleich- bzw. gegensinniges Verändern)

• Verwandte Aufgabe (Analogieprinzip)

• Stellenwerte extra

Lösungsstrategien

• Zählstrategien• Addition (Klasse 2):• 37 + 5 = 42• 38, 39, 40, 41, 42• 1, 2, 3, 4, 5

• Subtraktion (Klasse 3):• 410 - 50 = 360• 400, 390, 380, 370, 360• 10 20 30 40 50

Lösungsstrategien

• Schrittweises Rechnen (Addition)• Klasse 2:• 37 + 5 = • 37 + 3 = 40• 40 + 2 = 42

• Klasse 3:• 370 + 280 =• 370 + 200 = 570• 570 + 80 = 650

Lösungsstrategien

• Schrittweises Rechnen (Subtraktion)• Klasse 2:• 32 - 9 = • 32 - 2 = 30• 30 - 7 = 23

• Klasse 3:• 370 - 120 =• 370 - 100 = 270• 270 - 20 = 250

Lösungsstrategien

• Gegensinniges Verändern (Addition)• Klasse 2:• 32 + 9 = • -1 +1

• Hilfsaufgabe:

• 31+ 10 = 41

• Klasse 3:• 230 + 390 =

• Hilfsaufgabe:

• 220 + 400 = 620

Lösungsstrategien

• Gleichsinniges Verändern (Subtraktion)• Klasse 2:• 32 - 9 =

• Hilfsaufgabe:

• 33 - 10 = 23

• Klasse 3:• 630 - 390 =• +10 +10

• Hilfsaufgabe:

• 640 - 400 = 240

Lösungsstrategien

• Analogieaufgabe (Addition)• Klasse 2:• 32 + 5 = • 2 + 5 = 7• 32 + 5 = 37

• Klasse 3:• 200 + 500 = • 2 + 5 = 7• 200 + 500 = 700

Lösungsstrategien

• Analogieaufgabe (Subtraktion)• Klasse 2:• 37 - 5 = • 7 - 5 = 2• 37 - 5 = 32

• Klasse 3:• 700 - 500 = • 7 - 5 = 2• 700 - 500 = 200

Lösungsstrategien

• Stellenwerte extra (Addition)• Klasse 2:• 34 + 53 = 80 + 7 = 87

• 30 + 50

• 4 + 3

• Klasse 3:• 347 + 256 = 500 + 90 + 13 = 603

• 300 + 200

• 40 + 50

• 7 + 6

Lösungsstrategien

• Stellenwerte extra (Subtraktion)• Klasse 2:• 67 - 23 = 40 + 4 = 44

• 60 - 20

• 7 - 3

• Klasse 3:• 265 - 127 = 100 + 40 - 2 = 138

• 200 - 100 Hunderter minus Hunderter

• 60 - 20 Zehner minus Zehner

• 5 - 7 Er muss einen Zehner „anknabbern“

Lösungsstrategien

• Ergänzen (Subtraktion)• Klasse 2:• 67 - 23 = 44• 23 + 44 = 67

• Klasse 3:• 265 - 127 = 138• 127 + ... = 265• 127 + 138 = 265

Lösungsstrategien

• Frage für den Unterricht:• Wie findet jedes Kind seine Lösungsstrategie für eine Aufgabe

und seine Darstellungsform dazu?

• Uralter Streit:• Soll den Kindern beim halbschriftlichen Rechnen ein

Lösungsweg („Normalverfahren“) vorgeschlagen (bzw. vorgeschrieben) werden oder sollen sie aus der Fülle der möglichen Lösungswege einen oder mehrere Wege selbst entdecken?

Lösungsstrategien

• Empfehlungen:

• Für schwächere Schüler ist es sinnvoll einen Lösungsweg vorzugeben.

• Es empfiehlt sich das schrittweise Rechnen als „Normalverfahren“.

• Stärkere Schüler sollten verstärkt angeregt werden, unterschiedliche Lösungswege für eine Aufgabe zu finden und zu vergleichen.

Zur Notation von Lösungswegen

Form B als Kurzform:82 - 27 = 5582 - 20 = 6262 - 7 = 55

• Form A (Schulbuch):• 82 - 27 =• 82 - 20 = 62• 62 - 7 = 55• 82 - 27 = 55

Beispiel: 82 - 27 (Strategie: Zerlegen)

Form C:82 - 27 = 62 - 7 = 5582 - 20

Form D als Kurzform(Notation der Rechenschritte):82 - 27 = = 55 - 20 -7

Form E als Kurzform (Notation der Zwischenergebnisse):82 - 27 = 55(62, 60, 55)

Arbeitsmittel für die Addition und Subtraktion bis 100

• Rechenkette

• Dienes-Blöcke

• Hunderterrechenrahmen

• Hundertertafel

• Zahlenstrahl

• Rechenstrich

Hunderterrechenrahmen

Hundertertafel

Lollipop 2, S. 45

Zahlenstrahl

Rechenstrich

Übungsformen

• Automatisierendes Üben• Ziel: Fertigkeiten• Merkmal: schnelles und sicheres Beherrschen von Handlungen

(teilweise automatisiert)

• Einprägendes Üben• Ziel: Kenntnisse• Merkmal: abrufbares Wissen

• Operatives Üben• Ziel: Fähigkeiten• Merkmal: flexibles Anwenden beim Problemlösen

Faktoren, die den Übungserfolg beeinflussen

• Übungsziel beachten• Übungsbereitschaft sichern• Anzahl und Verteilung der Übung planen• Transfer der Übung beachten• in sinnvollen Zusammenhängen üben• Übungen abwechslungsreich gestalten• den Schülern möglichst schnell eine Rückmeldung über

Ergebnisse geben

Beispiele für Übungen

Beispiele für Übungen

• Rechenräder

Beispiele für Übungen

Zahlenmauern

Beispiele für ÜbungenÜbungen zur Selbstkontrolle

Beispiele für Übungen

Zahlenmuster

Beispiele für Übungen

Zahlenbuch 2, S. 92

Zur halbschriftlichen Addition und Subtraktion in Klasse 3

• Schwierigkeiten:• Fehlende Sicherheit beim Rechnen bis 100• Hohe Leistungsheterogenität• Hohe Zahl von Merkprozessen beim Rechnen• Viele individuelle Verfahren• Ablösung durch schriftliche Verfahren?• Sachanalysen statt Prozessanalysen• Unklarheit über Anforderungen

Aufgabentypen in Klasse 3

• Quelle: Radatz u. a.: Handbuch für den Mathematikunterricht 3. Schuljahr, S. 78

ohne Überschreitung mit Überschreitung

ein Rechenschritt

20 + 70 107 + 60 421 + 6

80 + 30 63 + 9 407 + 5

zwei Rechenschritte

340 + 230 356 + 203

340 + 570 356 + 208

drei Rechenschritte

326 + 243 326 + 237

Häufige Schülerfehler beim Addieren und Subtrahieren (Radatz 1983)

• Verrechnen um 1 durch falsches Zählen 34 + 3 =36• Störung der Richtung beim Zahlenlesen 53 + 4 = 39• Falsche Richtung einer Teiloperation 63 – 7 = 64• Verwechseln der Operation 24 – 12 = 36• Fehlerhaftes Rechnen mit Null 401 + 225 = 606• Perseverationsfehler (eine Zahl wirkt nach) 36 + 6 = 46• Falsche Stellenzuordnung 531 + 22 = 751• Zehnerüberschreitung nicht beachtet 72 - 5 = 77• Bestimmen der Differenz ohne Beachten des Aufgabengliedes

52 - 28 = 36• Unvollständiges Lösen; Zwischenergebnis vergessen

92 - 35 = 62

Eigenproduktionen

340 + 371 + 146 + 244

Überschlagsrechnen

• Kinder frühzeitig anhalten, bei schwierigen Aufgaben zunächst im Überschlag das annähernde Ergebnis zu ermitteln

• eventuell mit Taschenrechner überprüfen

• Mögliche Übung:• Bestimme zunächst durch Überschlagen, welche Zahl dem

Ergebnis am nächsten kommt. Kreuze diese Zahl an.

• 24 + 39 40 60 80

Halbschriftliches Rechnen oder schriftliches Rechnen?

• Argumentationen für halbschriftliches Rechnen:• 1. Lebenspraktische Bedeutung• 2. Förderung von Zahlverständnis• 3. Vorbereitung / Unterstützung des

Kopfrechnens• 4. Vorbereitung / Unterstützung des schriftlichen

Rechnens