Mündliches Abitur in IViathematik Zusatzprüfung: Kurzvortrag mit Prüfungsgespräcti

Ziele: Nachweis von fachlichem Wissen und der Fähigkeit, dies angemessen darzustellen erbringen

fachlich überfachlich Wissen: Begriffe, Definitionen, Sätze, Verfahren, ... Präsentieren: Fähigkeit zur

angemessenen Darstellung, Überblick geben, prägnant darstellen ...

Methodenkompetenz: Regeln, Verfahren, ... Präsentieren: Fähigkeit zur angemessenen Darstellung, Überblick geben, prägnant darstellen ... Verstehen: Zusammenhänge, Bedeutung

Präsentieren: Fähigkeit zur angemessenen Darstellung, Überblick geben, prägnant darstellen ...

Transferfähigkeit: neue Situationen untersuchen Kommunikationsfähigkeit: auf Fragen eingehen ... Bewerten: Lösungen, Lösungswege, Aussagen, .. Kommunikationsfähigkeit: auf Fragen eingehen ...

Anforderung an die Aufgaben • Muss selbstständige Problemlösung und Darstellung ermöglichen • soll möglichst offen und mehrdimensional struktuhert sein • alle Lehrplanthemen einschließlich Wahlthemen bzw. Module können berücksichtigt werden • Aufgabe muss einen zehnminütigen Vortrag ermöglichen • einfacher Einstieg, ansteigender Schwierigkeitsgrad • mündliche Prüfung keine Wiederholung der schriftlichen Prüfung sondern Ergänzung

Zei t l icher R a h m e n : • 30 Min. Vorbereitung • 20 Min. Prüfung:

• ca. 10-minütigen Schülervortrag: Präsentation der Lösung der Aufgabe - evtl. medienunterstützt sein (z. B. Folie)

« zweite Teil (Prüfungsgespräch): Rückfragen zu der präsentierten Lösung Erweiterung des Umfelds der Prüfungsaufgabe - Prüfung weiterer Lehrplaninhalte Wichtig ist die Breite des Wissens - nicht die Tiefe An ein Abfragen nicht zusammenhängender Inhalte ist nicht gedacht.

• Beratung über die Note • Bekanntgabe der Note

Beurteilungskriterien • Beurteilung bezieht sich auf die fachliche und überfachliche Kompetenz des Prüflings, also auf

Inhalt und Präsentation. • Fachliche Richtigkeit, Logischer Aufbau • Kommunikationsfähigkeit, Darstellung/Veranschaulichung, Sprache (nicht nur Fachsprache),

Visualisierung • Zusätzliches Beurteilungskriterium für das Prüfungsgespräch: Flexibilität

Wertung ~ • Schriftliche Prüfung: doppelt / Mündliche Prüfung: einfach

Prüfungskommission: • Prüfer: Der Fachlehrer (hier: Ich) Stellt die Aufgabe, führt das Prüfungsgespräch • Protokollant: Anderer Fachlehrer von unserer Schule " Prüfungsvorsitzender: - • -> _ stellt evtl.

eine Schlussfrage — • Alle drei einigen sich auf die Note der Prüfung

Hilfsmittel Taschenrechner, Formelsammlung

• Stift, Papier, Folie für die Vorbereitung • Kreide, Tafel, Geodreieck, GH-Projektor für die Prüfung

Inhalte aus der Ana lys ls

1. Nullstellen Alle Techniken zur Nullstellen-Suche: Mitternachtsformel. Polynomdivision, Substitution, Vieta, Logarithmus, Wurzel , . . . Näherungsverfahren: Newtonverfahren mit Herleitung der Fonnel Zerlegung eines Polynoms mit Nullstellen; Vielfachheiten und deren BedeuUing Weitere Anwendungen der Nullstellentechniken: Extrempunkte, Wendepunkte, Schnittpunkte,...

2. Ableitungen Alle .Ableitungsregeln (ohne ilerleitung): Summen-, Faktor-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel Bedeutung und Anwendung der ersten Ableitung: Steigung einer Funktion, Monotonie, Extrempunkt, Sattelpunkt,

Tangente, berühren, orthogonal schneiden Bedeutung und Anwendung der zweiten Ableitung: Steigung der Steigung, Krümmung, hinreichende Bedingung beim

Extrempunkt, Wendepunkt Gegeben ist das Schaubild von f ' oder f " : Wie sieht das Schaubild von f aus?

3. Integral Definition der Stammflinktion und alle Techniken zur Bestimmung Zusammenhang: Stammfunktion - bitegral Zusammenhang / Unterschied: Integral - Fläche

Weitere Anwendungen des hitegrals: Fläche zwischen zwei Kurven, Volumen eines Rotationskörpers, Mittelwertberechnung, ...

4. Asymptoten Verhalten von ganzrat. Funktionen und Exponentialflinktionen im Unendlichen Gebrochenrationale Funktionen: Waagrechte und schiefe Asymptoten, Näherungsflinktion, Senkrechte Asymptoten Skizzieren von Funktionen aufgrund der Asymptoten Bestimmung der Funktionsgleichung aufgrund der Asymptoten und Nullstellen

5. Interpretation von Schaubildern Vor allem: Orientierung an Nullstellen, graphisches Ableiten, Funktionsgraph aus der Ableitungsfiinktion skizzieren

Inhalte aus der Geometrie

1. Vektoren

Was ist ein Vektor (im dreidim. Raum)? Was ist ein Ortsvektor? Rechnen mit Vektoren: Bezogen auf die Koordinaten und bezogen auf die Pfeile

Koordinatensystem; Zeichnen von Punkten, Geraden und Ebenen

2. Geraden ' Erklären der Parameiertbnn: ^, Stützvektor, Parameter, Richtungsvektor Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade, Lageuntersuchung zweier Geraden Bestimmung von Schnittpunkten Zeichnen von Geraden mithilfe ihrer Spurpunkte (Schnittpunkte mit Koordinatenebenen) -> in welchen Oktanden liegt die

Gerade ... Besondere Geraden: XpAchse , . . .

3. Ebenen Verschiedene Ebenenformen: Parameterform, Normalenform, Koordinatenform ... Inkl. Umwandlung Erklären der Parameterform und Normalenform Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene Lageuntersuchung / Schnittpunkte zweier Ebenen Lage / Schnittpunkt: Ebene und Gerade Zeichnen von Ebenen mithilfe ihrer Spurpunkte -> in welchem Oktanden liegt die Ebene nicht.. . Besondere Ebenen: X | x i - E b e n e , . . .

4. Abstände, Winke l ' . " ^ ^ . \\ -v^ ' ' \~ Definition: Skalarprodukt, Betrag und Winkel Abstände: P - P, P - g, P - E , g - h, E , - E , , g - E Auch alternative Abstandsberechnungen (z. B. Minimum mit G T R ...) d(g,h): auch windschief (über Hilfsebene); d(P,E) : auch über Hilfsebene W i ] i k e l : g - h , g - E , E , - E 2 Spiegeln: an P, g oder E

5. Kugeln K u g e l g l e i c h u n g e n in B e t r a g s - u n d b e t r a g s f r e i e r F o r m L a g e b e z i e h u n g e n : K - K , E - K , g - K T a n g e n t i a l e b e n e

Beispiele von mündlichen Prüfungen Einfache (!) Aufgaben aus einer anderen Schule

Beispiel zur Analysis Erläutern Sie den Begriff Stammfunktion!

/ U ) = ^ ; gix) = 2^; hix) = e-^' Bestimmen Sie Stammfunktionen zu x

Ii -Jd' Berechnen Sie ' . Existiert der Grenzwert für x->v? Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Schaubildern der Funktionen f(x) = x' - x und g(x) = 3x begrenzt wird.

Beispiel zur Geometrie Erläutern Sie an einer Skizze die Vektorengleichungen von Gerade und Ebene! Welche Lage im Raum können zwei Geraden zueinander haben?

g , : X = 1

Untersuchen Sie die Lagebeziehung von gl und g2 V / v / v / \Wie berechnet man den Abstand eines Punktes von einer Geraden? Erläutern Sie den Rechengang und berechnen Sie den Abstand des Punktes A(0|1 |I) zur Geraden g2! Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt der Geraden g2 durch die x2x3-Ebene!

+ s g2-^^ + t

Beispielaufgaben Aufgabe 1: (Ebenen ) a) Erläutern Sie die Parametergleichung einer Ebene und der darin vorkommenden Vektoren anhand einer Skizze. b) Die untenstehende Abbildung zeigt die Skizze einer Ebene E. Geben Sie eine

Parametergleichung von E an. Gibt es noch weitere Parametergleichungen von E? c) Was versteht man unter der Normalenform einer Ebenengleichung? Wie erhält man aus einer Parametergleichung einer Ebene eine Gleichung in Normalenform? Welche Vorteile hat die Normalenform?

Aufgabe 2: (Gebrochenrationale Funktionen)

Gegeben ist die Funktion f mit a) Untersuchen Sie das Schaubild von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und auf Asymptoten. Skizzieren Sie das Schaubild von f. b) Erläutern Sie den Begriff "waagerechte Asymptote". c) Welche anderen Arten von Asymptoten können Schaubilder von gebrochenrationalen Funktionen noch haben? Geben Sie jeweils ein Beispiel an. d) Gibt es gebrochenrationale Funktionen, deren Schaubilder keine senkrechten Asymptoten haben?

Aufgabe 3: (Geraden) a) Die Gerade g geht durch die Punkte A (2|1|0) und B (3|0|2). Prüfen Sie, ob der Punkt C (0|3|-4) auf der Geraden g liegt. b) Die Gerade h ist parallel zur Geraden g und geht durch den Punkt D (0|0|4). Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an. Erläutern Sie, wie man den Abstand der beiden Geraden g und h berechnen kann. c) Was versteht man unter "windschiefen" Geraden? Wie kann man die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchen?

Aufgabe 4: (Schaubilder) Gegeben ist folgendes Schaubild einer Funktion f. a) Skizzieren Sie das Schaubild der zugehörigen Ableitungsfunktion f. b) Was lässt sich über das Schaubild einer zu f gehörenden Stammfunktion F aussagen? (Hinweis: Denken Sie an Hoch-, Tiefpunkte, Monotonieverhalten, Links-, Rechtskrümmung, Wendepunkte).

Aufgabe 5: (Gebrochen rationale Funktionen ) a) Ordnen Sie folgende Funktionsterme den abgebildeten Schaubildern zu (mit Begründung).

f . ( x ) = faCx) = .\r I ^

b) Erläutern Sie, wie man den Extremwert von fi - ohne Verwendung des

Schaubildes - bestimmen kann. Um welche Art des Extremums handelt es sich?

Aufgabe 6: (Extremwerte und Ableitungsfunktion ) a) Erläutern Sie anhand einer Skizze die Begriffe absolute und relative Extrems. b) Wie können Extremwerte ermittelt werden? c) Ermitteln Sie die Hoch- bzw. Tiefpunkte im Schaubild der

f(x,) = — Funktion f mit d) Gegeben ist das folgende Schaubild einer Funktion g . Skizzieren Sie das Schaubild der Ableitungsfunktion.

Aufgabe 7: (Abstände) Die Ebene E ist parallel zur xi -Achse und enthält die Punkte A(1l2l1,5)und B(2I4I0). a) Stellen Sie eine Gleichung von E auf und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise. b) Wählen Sie einen Punkt, der nicht in E liegt und bestimmen seinen Abstand zur Ebene E. c) Welche Methoden zur Abstandsberechnung eines Punktes von der Ebene kennen Sie? Bewerten Sie die Verfahren.

Sie

Aufgabe 8: (Geraden und Ebenen) Die Ebene E ist parallel z u r x i - A c h s e und enthält die Punkte A(1I2I1,5) und B (21410). a) Skizzieren Sie die Ebene im Koordinatensystem und beschreiben Sie die Ebene in mathematisch verschiedenen Formen. b) Skizzieren Sie Ebenen in spezieller Lage und geben Sie jeweils eine mögliche Gleichung dazu an. c) Wie lassen sich Geraden im Koordinatensystem darstellen? Berücksichtigen Sie auch spezielle Lagen.

Aufgabe 9: (Spiegelpunkt) a) Welches ist der Spiegelpunkt P' von P(11213) bei Spiegelung - an der xiX2-Ebene -am Ursprung 0 - an der Ebene ... b) Wie geht man vor, wenn man einen Punkt P an - einem Punkt Q - einer Geraden g - einer Ebene E spiegelt? c) Wie lässt sich eine Gerade g an einer Ebene E spiegeln?

nach der Quelle: Vorbereitung und Durchfuhrung der mündlichen Abiturprüfiing im Fach Mathematik von Heidi Buch / Rolf Dürr