3.3. Reputation bei wiederholten Spielen file2 3.3 Reputation bei wiederholten Spielen Wiederholtes...

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3. Die Glaubwürdigkeit der Zentralbank

3.3. Reputation bei wiederholten SpielenIlling, Kap. 5.2; Jarchow, Kap. V.2.b; Barro/Gordon (1983b)

Problem: Optimale Inflationsrate ist nicht zeitkonsistent.

Ein-Perioden-Modell von Barro/Gordon vernachlässigt Anreiz der ZB, die Erwartungen durch ihr Verhalten zu beeinflussen. ZB hat ein Interesse an niedrigen Inflationserwartungen.

→ Reputationsaufbau

Idee: Durch ihre Aktionen kann die ZB den Ruf erwerben eine niedrige Inflation anzustreben. Dadurch werden die Inflationserwartungen gesenkt.

Die verschiedenen Aspekte, die dabei zu beachten sind werden wir jeweils in einfachen Modellen herausarbeiten.

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3.3 Reputation bei wiederholten SpielenWiederholtes Spiel: Die ZB beeinflusst durch ihre Entscheidung in Periode t

die Erwartungen in t+1 u.s.w.ZF der ZB: minimiere Σt≥1 (qt ⋅ Wohlfahrtsverlustt),

wobei 0<q<1 den Diskontfaktor bezeichnet.ZF der privaten Wirtschaftssubjekte: minimiere

Erwartungsfehler (rationale Erwartungen).Folk Theorem: unendlich oft wiederholte Spiele haben

eine Vielzahl von Gleichgewichten. - Das diskretionäre GG des Einperiodenspiels ist

auch ein GG des wiederholten Spiels.- Frage: Unter welchen Bedingungen existiert ein GG,

bei dem die ZB in allen Perioden π* wählt?

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3.3 Reputation bei wiederholten Spielen

Frage: Unter welchen Bedingungen existiert ein GG, bei dem die ZB in allen Perioden π* wählt?

Erwartungsbildungsfunktion als StrategieWir versuchen Erwartungsbildungsfunktionen zu finden,

bei denen die beste Antwort der Zentralbank darin besteht, die optimale Inflation π* zusetzen. Zugleich müssen die Erwartungen rational sein, d.h. auch die privaten Wi.-subjekte haben keinen Anreiz ihre Erwartungsbildung zu ändern.

Beispiel 1: halblineare Kostenfunktion, Inflationserwartungen werden jeweils für eine Periode steigen, wenn die ZB von Erwartungen abweicht.

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

Erwartungsbildung:

Phillipskurve in Periode t: Lt = Ln + c (πt – πte )

wobei πD die diskretionäre Lösung bezeichnet.

*,

*1

11

11

eett

D

ette

t fallsfalls

Intuition:

Wenn die ZB in der Vorperiode die erwartete Inflation erzeugt hat, dann glaubt man ihr, dass sie dies auch in der nächsten Periode tun wird.

Wenn die ZB in der Vergangenheit abgewichen ist, dann erwartet man in der nächsten Periode ein diskretionäres Verhalten.

Ist dies ein Gleichgewicht?

Beispiel 1:

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

Gesellschaftliche Kosten in Periode t (hier linear in Beschäftigung):

Kostent = a/2 · (πt – π*)2 – Lt

Einsetzen der Phillipskurve in die Kostenfunktion:

))((*)(2

2 netttt LcaKosten

Je höher die Inflationserwartungen sind, desto größer werden die gesellschaftlichen Kosten.

ZB ist an niedrigen Inflationserwartungen interessiert.

Startpunkt: π1e = π*

Wenn die ZB in Periode t=1 die diskretionäre Lösung πD > π* wählt, dann erreicht sie in t=1 geringere Kosten als durch π*.

Aber: In Periode t=2 steigen dann die Inflationserwartungen an, so dass die gesellschaftlichen Kosten in t=2 höher sind.

Trade-off zwischen gesellschaftlichen Kosten heute und morgen.

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

),)((*)(2

2 netttt LcaKosten

Optimale Entscheidung der ZB:

,min1

1

t

tt Kostenq

wobei 0 ≤ q < 1 den Diskontfaktor bezeichnet,

unter den Nebenbedingungen

,0*

11

11

tfürfallsfalls

ett

D

ette

t

.*1 e

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

1. In Periode 1 hat die ZB die Wahl zwischen π = π1

e = π* (commitment-Lösung) und einer optimalen Reaktion auf π1

e = π*. – Letzteres ist die Überraschungslösung: πsurprise

2. Wenn die ZB in t = 1 die Überraschungslösung wählt, ändern sich die Erwartungen in Periode 2 zu π1

e = πD.

3. Wenn die Erwartungen in Periode 2 der diskretionären Lösung entsprechen, dann ist die beste Reaktion der ZB tatsächlich π2 = πD zu wählen. => Die Erwartungen erfüllen sich: in t = 3 gilt wieder π3

e = π*.

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

Drei mögliche Kombinationen: a) πe = π* = πb) πe = π*, π = πsurprise = π(πe = π*)c) πe = πD = π

Wie hoch sind die damit verbundenen Wohlfahrtsverluste (Kosten)?

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Phillipskurve: Lt = Ln + c (πt – πte )

Kostent = a/2 · (πt – π*)2 – Lta) Commitment-Lösung:

πe =π* =π => L =Ln → Kosten = – Ln

b) Überraschungslösung für gegebene Erwartungen in Höhe von πe = π*

nttt

ttt

LcL

LaKostenMint

)( u.d.NB.

,*)(2

*

2

Reputationsaufbau: Beispiel 1

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

= Reaktionsfunktion der ZB

Daraus folgt für die Beschäftigung:

Daraus resultieren Kosten

))((*)(2

*2 ntttt LcaKostenMin

t

0*)(0!

caKostent

t

t

ac

t *

acLcLL ne

ttn

t

2

)(

nnttt L

acL

ac

acaLaKosten

22)*)(

2

22

2

22

11

Reputationsaufbau: Beispiel 1

c) Diskretionäre Lösung (Gleichgewicht des 1-Perioden-Spiels bei rationalen Erwartungen)(Reaktion der ZB wird vorausgesehen)

ntt

e LLac

*

nnttt L

acL

acaLaKosten

22)*)(

2

2

2

22

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

Vergleich:

- Ln + c2/(2a)- Ln - c2/(2a)- LnGesellsch. Kosten

LnLn + c2/aLnBeschäftigung L

π* + c/aπ* + c/aπ*Inflation π

π* + c/aπ*π*Erwartete Inflationπe

DiskretionäreLösung

Überraschungs-lösung

Commitment-Lösung

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

Anmerkungen:1. Wenn sich die ZB in t=1 für Commitment-Lösung

enscheidet, dann ist die Entscheidungssituation in t=2 genau wie in t=1.

– Sie sollte sich also wiederum für die Commitment-lösungentscheiden.

– Dito für t=3.

2. Wenn die ZB in t=1 Überraschungslösung wählt, wird in t=2 das diskretionäre GG gespielt. Erwartungen sind korrekt. In t=3 beginnt das Spiel von vorn mit πe= π*:

– Das Entscheidungskalkül in t=3 ist das gleiche wie in t=1.

Fazit: Es reicht aus, nur die ersten zwei Perioden zu betrachten!

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

Wie entscheidet sich die ZB?1. Stets die Commitment-Lösung, wenn

2. Abwechselnd Überraschung und diskretionär, wenn

Da 0 ≤ q < 1, wählt die ZB in diesem Beispiel immer Ü-D!

ÜDCC KostenKosten

acqLqLq nn

2)1()1()1(

2

ÜDCC KostenKosten

02

)1(2

a

cq

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

1. Wenn sich die ZB in t=1 für die Commitment-Lösungentscheidet, dann wird sie dies auch in t=2 tun. => Gesamtkosten über beide Perioden:

2. Wenn sich die ZB in t=1 für Überraschungsinflation entscheidet, dann ist es in t=2 optimal die diskretionäre Lösung zu wählen. => Gesamtkosten über die beiden Perioden:

acqLq

acLq

acLKosten nnnÜD

2)1()1(

22

222

nnnCC LqLqLKosten )1(

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Reputationsaufbau: Beispiel 1

• Die einmalige Erwartungsänderung, – die durch das Abweichen herbeigeführt wird

reicht nicht aus, um die ZB dazu zu bewegen, die optimale Inflationsrate π* zu wählen.

Jedoch: • Inflationserwartungen wurden nur für eine

Periode erhöht. • Wenn die Öffentlichkeit sensibler auf

Überraschungsinflation reagiert, kann sich der Aufbau von Reputation lohnen

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Reputationsaufbau: Beispiel 2

Sei

Ein einmaliges Abweichen der ZB von der Commitment-Lösung führt dazu, dass die Reputation für alle Zukunft verloren ist und die Märkte dann die diskretionäre Lösung erwarten.

Dies ist die größtmögliche „Bestrafung“ für Fehlverhalten.

,11,...,2,1**

tfürsonst

tfallsD

et

*1 e

Kostent = a/2 · (πt – π*)2 – Lt (wie in Beispiel 1)

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Reputationsaufbau: Beispiel 2

• Wenn die ZB in Periode 1 die Überraschung wählt, wird sich in allen künftigen Perioden die diskretionäreLösung einstellen. Daraus ergeben sich als Gesamtkosten

ac

qqL

q

acLq

acLKosten

n

n

i

inÜD

211

11

222

2

1

2

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Reputationsaufbau: Beispiel 2

• Wenn sich die ZB in allen Perioden an die Commitment-Lösung hält, sind die Kosten

Ein Vergleich zeigt, Überraschungsinflation mit anschließender diskretionärer Inflation führt zu höheren Kosten, wenn

.1

10

nn

i

iCC Lq

LqKosten

.2/101

1

qq

q

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Reputationsaufbau: Beispiel 2

• Der Diskontfaktor q sollte kleiner als aber nahe 1, wenn ZB ein starkes Interesse an der Zukunft hat.

– Ein Diskontparameter kleiner als ½ würde bedeuten, dass gesellschaftliche Kosten in einem Jahr der ZB heute nicht mal halb so wichtig sind wie die aktuellen Kosten.

Ergebnis: 1. Wenn der Reputationsverlust hinreichend lange

anhält und 2. die Zentralbank an der Zukunft hinreichend stark

interessiert ist, dann hat die ZB einen Anreiz, die optimale Inflationsrate

zu implementieren.

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Reputationsaufbau: Beispiel 3

Kehren wir zurück zu einperiodigenErwartungsänderungen (wie in Beispiel 1)

Wir wissen bereits, die ZB hat keinen Anreiz die optimale Inflationsrate π* zu implementieren.

Kann jedoch eine zweitbeste Lösung erreicht werden? D.h. Gibt es eine Inflationsrate , die auch bei einperiodiger Erwartungsänderung glaubwürdig ist?

D *,

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Beispiel 3

Nehmen wir an, dass die ZB eine andere Inflationsrate ankündigt.

Ist diese Ankündigung glaubwürdig, wenn die Erwartungen durch

beschrieben werden?

D *

1*1

11 tfürfallsfalls

tD

ette

t

e1

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Beispiel 3

• Wenn die ZB abweicht, dann aufπ1 = π* + c/a (Reaktion auf )

Überraschungsinflation mit positivem Beschäftigungseffekt

Gesellschaftliche Kosten

e1

)*()( 111 accLcLL nen

)/*()/(2

21 accLacaKosten nÜ

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Beispiel 3

- Ln

+ c2/(2a)Gesellsch. Kosten

LnLnBeschäftigungL

π* + c/aπ* + c/aInflation π

π* + c/aErwartete Inflation πe

DiskretionäreLösung

Überraschungs-lösung

Ankündigung einhalten

nLa 2*)(

2

)/*(

)/(2

2

accL

aca

n

)*( accLn

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Beispiel 3

Zur Vereinfachung normieren wir und 0* 0nL

Gesellsch. Kosten

00Beschäftigung L

c/ac/aInflation π

c/aErwartete Inflation πe

DiskretionäreLösung

Überraschungs-lösung

Ankündigung einhalten

2

2a

cac

ac

22

2 ac2

2

cac

2

26

Beispiel 3

Wie oben, zwei Möglichkeiten:1. Ankündigung über beide Perioden einhalten

=> Die Gesamtkosten über die beiden Perioden sind

2. Überraschungslösung in t=1, dann die diskretionäreLösung in t=2.=> Die Gesamtkosten über die beiden Perioden sind

.22

22

acqc

acKosten

.2

)1(2aqKosten

27

Beispiel 3

Ein Vergleich der Kosten zeigt, ob und ggf. wann eine Einhaltung der Ankündigung glaubwürdig ist. Kosten bei Einhalten < Kosten bei Abweichen

222

2222

222

11

12

2)1(222

)1(

cqq

qaca

qcaccaqa

cqca

caq

22

22

2

2

222

222

)1()1()1)(1(1

1

11

)1(1

)1(12

cq

qcq

qqq

ca

cqq

qqc

qcaa

A2-2AB+B2

= (A–B )2

A2 B2A B

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Beispiel 3

22

22

)1(1c

qq

qca

cq

qq

cacq

qq

ca)1(1)1(1

cq

qq

cacq

qq

ca)1(1)1(1

cqqc

qq

qacc

qq

qa

11

)1(11

)1(11

cacqq

11

29

Beispiel 3

Resultat: • Wenn die angekündigte Inflationsrate im Intervall

liegt,

dann lohnt es sich für die Zentralbank nicht, von der Ankündigung abzuweichen.

• Beachte, dass . Die diskretionäre Lösung ist glaubwürdig.

Wir wollen aber niedrigere Inflation erreichen.• Unser Ergebnis besagt demnach, dass eine niedrigere

Inflationsrate glaubwürdig ist, sofern

ac

ac

qq ,

11

acD

*011

D

qq

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Reputationsaufbau

Fazit: Das Bestreben der ZB, die Inflationserwartungen niedrig zu halten, kann zur Glaubwürdigkeit einer Inflationsrate führen, die niedriger ist als die diskretionäreInflationsrate aber immer noch höher als die optimale Inflation (im Beispiel π*=0).

Wie hoch die minimale glaubwürdige Inflationsrate ist, hängt ab

- von dem Diskontfaktor der ZB - Je stärker die Zukunft gewichtet wird (höheres q), desto niedriger

die Inflation.

- davon, wie stark die Erwartungen der Marktteilnehmer auf eine Abweichung der ZB reagieren: - Je länger durch ein „Fehlverhalten“ der ZB die

Inflationserwartungen ansteigen, - desto geringer ist der Anreiz für die ZB abzuweichen und desto

niedriger ist die glaubwürdige Inflation.