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Teil II: Systemtheorie für Informatiker
Autonome Mobile Systeme
Dr. Mohamed Oubbati
Institut für NeuroinformatikUniversität Ulm
SS 2007
Informatiker werden zunehmend mit Systemen konfrontiert, die eine Automatisierung benötigen.
Hierzu fehlen Informatikern “häufig” wichtige Grundlagen der Systemtheorie.
Diese Vorlesung soll Informatikstudenten den Einstieg in das Gebiet der Systemtheorie erleichtern, damit sie später mit Ingenieuren auf einer gemeinsamen begrifflichen Basis arbeiten können.
Warum Systemtheorie?
Einführung
• Autonome Systeme
• Systeme und ihre Eigenschaften
• LTI-Systeme
Was ist ein System?Ein System ist häufig ein kompliziertes technisches Gebilde, das über Ein- und Ausgangssignale mit seiner Umgebung in Wechselwirkung steht.
SystemEingangsignal Ausgangsignal
Umgebung
„autonom“ : selbständig, unabhängig, nach eigenen Gesetzen lebend, …
Was ist ein autonomes System?
Im Lexikon findet man zum Wort autonom:
Mit den Mitteln der Regelung werden Systeme autonom.
Regelung ist eine gezielte Beeinflussung (Stellgröße) dynamischer Systeme, so dass eine gewünschte Betriebsart (Regelgröße) eingestellt wird.
Was ist Regelung?
SystemStellgröße Regelgröße
Und was ist mit Steuerung!?
Unterschied Steuerung - Regelung
Steuerung (open loop control)
Die Steuerung wirkt auf das Eingangssignal und beeinflusst damit das Ausgangssignal.
Steuerung SystemAnforderung Stellgröße Regelgröße
ProblemDie Steuerung “weiß ” nicht , ob die Regelgröße den gewünschten Wert hat!
Störungen
Unterschied Steuerung - Regelung
Regelung (closed loop control)
Die Regelung wirkt auch auf das Eingangssignal um das Ausgangssignal zu beeinflussen, aber in diesem Vorgehen “weiß” man, ob das Ausgangsignal die gewünschte Wert hat.
Regelung System
AnforderungStellgröße Regelgröße
Störungen
Regelschleife
Unterschied Steuerung - Regelung
Autofahren: “Steuern” oder “Regeln”?
Wofür kann man so etwas brauchen?
Alles, was wichtig ist, muss geregelt werden!
Was will ich hier erreichen?
Ich will, dass Sie die Fähigkeit haben, um
• regelungsprobleme zu erkennen
• regelungslösungen zu diskutieren oder vorzustellen
Systeme und ihre Eigenschaften
Systeme und ihre Eigenschaften
Dynamik : Systeme verändern ihre Zustände im Laufe der Zeit oder durch Interaktion mit der Umgebung.
Kausalität : Ein System heißt kausal, wenn seine Reaktion erst eintreten kann, nachdem die Ursache eingetreten ist.
Linearität : Ein System wird als linear bezeichnet, wenn es zwei Bedingungen erfüllt:
1. Linearität: Bei Vergrößerung des Eingangssignals um den Faktor a, vergrößert sich auch das Ausgangssignal um den Faktor a.
2. Additivität::Wenn man z.B an den Eingang die Summe mehrere Signale legt, erhält man die Addition der entsprechende einzelnen Ausgangssignale als Ausgangssignal.
Zeitinvarianz : Ein System heißt zeitinvariant, wenn seine Eigenschaften mit der Zeit sich nicht ändern; ansonsten heißt das System zeitvariant.
Systeme und ihre Eigenschaften
Die lineare Systeme, die zeitinvariante sind, heißen LTI-Systems“LTI steht für: Linear and Time Invariant”.
Lineare zeitinvariante Systeme LTI-Systems
Das Verhalten von LTI-Systemen wird häufig durch Testsignale beschrieben.
Sprung- und Impulsantwort eines LTI-Systems
ImpulsantwortDie Impulsantwort ist das Ausgangssignal, dem am Eingang ein Dirac-Impulszugeführt wird.
=∞≠
=0
00)(
t
ttδ
)(tδ
t
1
Dirac-Impuls
∫+∞
∞−
= 1)( dttδ
∫+∞
∞−
= )0()()( fdxxxf δMore general
Sprung- und Impulsantwort eines LTI-Systems
Sprungsantwort
Die Antwort auf eine Sprungfunktion wird als Sprungantwort bezeichnet.
Die Sprungfunktion wird auch als Heaviside-Funktion bezeichnet
1
t
σ
Jetzt stellt sich die Frage: wie reagiert ein LTI System auf ein beliebiges Eingangsignal u(t)?
Und nun?
bzw. was ist die Transformation T sodass: y(t)=T{u(t)}
Ty(t)u(t)
System
(Die Tafel)
Faltungsintegral (engl. Convolution)
∫+∞
∞−
−= τττ dthuty )()()(
huy *=
wie reagiert ein LTI System auf ein beliebiges Eingangsignal u(t)?
Zusammenfassung
System h(t))(tδ
System Y(t)=u(t)*h(t)u(t)
Laplacetransformation
Mit der Laplacetransformation kann das Verhalten der LTI-Systemseinfach berechnet werden.
Warum Laplacetransformation?
Problem im Zeitbereich
Beschreibung Im Frequenzbereich
Lösung Im Frequenzbereich
Lösung Im Zeitbereich
Laplace-Transformation
Laplace-Rück-transformation
Laplacetransformation
Kausal stetig, dann definiert man die Laplacetransformation durch[ ]∞+,0:fsei
jws += σHin: ∫+∞
−=0
)()( dtetfsF st)}({)( tfLsF =
Rück: { } ∫+
−∞→
− ==jw
jw
stw dsesF
jsFLtf
σ
σπ)(
21
lim)()( 1
Wichtige Eigenschaften derLaplacetransformation
Linearitätssatz
{ } { } { })()()()( 22112211 tfLatfLatfatfaL +=+
Differentiationssatz { } )0()()(' +−= fssFtfL
{ } )0(...)0()0()()( )1('2)( +−+−+ −−−−= nnnnn ffsfssFstfL
Dämpfungssatz { } CaasFtfeL at ∈+=− ,)()(
Wichtige Eigenschaften derLaplacetransformation
Integrationssatz )(1
)(0
sFs
dxxfLt
=
∫
Faltung
{ }{ }gLsG
fLsF
==
)(
)(
{ } )()(* sGsFgfL =
wobei
Korrespondenztabelle
cos(wt)
sin(wt)
t
1
1
F(s)f(t)
)( tδ
s
1
2
1s
ate−as +
1
22 ws
w
+
22 ws
s
+
Laplacetransformation
Beispiel
Es soll die folgende Funktion und Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplacetransformation gelöst werden:
)5)(2(1
)(++
=ss
sF
tetyty 3)(2)( =−& y(0)=0
f(t) ?
y(t) ?
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