Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule

7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule

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Kosmologie fur die Schule

Matthias Bartelmann

& Tobias Kuhnel1 Max-Planck-Institut f ur Astrophysik

Kosmologie fur die Schule – p.1/30

Ein symmetrisches Universum

Die moderne Kosmologie beruht auf Einsteins Allgemeiner

Relativitätstheorie.

Das kosmologische Modell wird durch Symmetrieannahmen starkvereinfacht.

Angenommen wird, dass es von uns aus gesehen in jeder Richtung

gleich aussieht , und

Angenommen wird, dass es von uns aus gesehen in jeder Richtung

gleich aussieht , und

dass dies nicht nur für uns, sondern für jeden Beobachter imUniversum gilt.

Gewagte Annahmen?

Offenbar sieht das Universumnicht in jeder Richtung gleichaus!

Galaxien sind am Himmel sehrungleichmäßig verteilt

Gewagte Annahmen?

Wenn wir in immer größereEntfernungen schauen, wird esaber immer gleichmäßiger.

Gewagte Annahmen?

Wenn wir in immer größereEntfernungen schauen, wird esaber immer gleichmäßiger.

Der Mikrowellenhintergrund

ist fast perfektrichtungsunabhängig.

Die Helligkeit des Mikrowellenhim-mels schwankt nur um Tausendstel

Promille.

Kein Mittelpunkt

Kopernikus hat gezeigt, dassdie Erde nicht im Mittelpunkt

des Sonnensystems steht.

Kein Mittelpunkt

Die moderne Kosmologienimmt an, dass wir auch ankeiner ausgezeichneten Stelle

im Universum stehen,

Kein Mittelpunkt

im Universum stehen,ebenso wenig wie alle anderenBeobachter.

Kein Mittelpunkt

im Universum stehen,ebenso wenig wie alle anderenBeobachter.

Dann muss das Universum um jedem Punkt herum

richtungsunabhängig sein sein,

und es darf keinen Mittelpunkt haben.Kosmologie fur die Schule – p.4/30

Idealisierung

Richtungsunabhängigkeit heißtauch Isotropie.

Idealisierung

Ortsunabhängigkeit heißt auch Homogenität .

Idealisierung

Die Grundannahmen dermodernen Kosmologie lautenalso:

Idealisierung

Das Universum ist um jeden

Punkt isotrop, und

Idealisierung

Das Universum ist um jeden

Punkt isotrop, und

damit ist es auch homogen.Wenn das Universum um jeden Punktisotrop ist, dann muss es auch homo-

gen sein.

Kugeluniversum

Also ist jeder Punkt imUniversum gleichberechtigt .

Kugeluniversum

Wir können also einenbeliebigen Punkt

herausgreifen,

Kugeluniversum

herausgreifen,

uns eine Kugel um ihn herum

denken,

Kugeluniversum

herausgreifen,

uns eine Kugel um ihn herum

denken,

und ein Testteilchen auf die

Kugeloberfläche setzen.

Eigenschaften der Kugel

Die Kugel hat den Radius R.

Radius R

Ihre Dichte ρ muss überallgleich sein, sonst wäre dieKugel nicht homogen.

Radius R

Dichte ρ

Dasselbe gilt für den Druck P.

Radius R

Dichte ρ

Druck P

Dasselbe gilt für den Druck P.

Alle Eigenschaften der Kugelkönnen nur noch von der Zeit t

abhängen.

Radius

Dichte ρ(t)Druck P(t)

Größe ist unwichtig

Das Verhalten der Kugel darf nicht von ihrer absoluten Größeabhängen.

Sonst könnte eine kleine Kugel im Inneren der großen Kugel schnelleroder langsamer wachsen oder schrumpfen,

und die große Kugel könnte nicht homogen bleiben.

Daraus folgt zweierlei:

Daraus folgt zweierlei:Wir können die Kugel so klein wählen, dass in ihr das Newtonsche

Gravitationsgesetz gilt, und

Daraus folgt zweierlei:

Wir können die Kugel so klein wählen, dass in ihr das Newtonsche

Gravitationsgesetz gilt, und

die Kugel kann trotzdem als Modelluniversum betrachtet werden.

Wir möchten nun zeigen, wie auf Grund dieser Annahmen

eine Gleichung hergeleitet werden kann, die bestimmt,

wie sich das Universum ausdehnt,

wie sich das Universum ausdehnt,wodurch die Entwicklung des Universums bestimmt wird, und

wie alt das Universum heute ist.

Dazu brauchen wir

das Newtonsche Gravitationsgesetz,

Dazu brauchen wir

das Gesetz Kraft Masse

Beschleunigung

Dazu brauchen wir

das Gesetz Kraft Masse

Beschleunigung

und den Energieerhaltungssatz.

Entwicklung des Kugelradius

Schwerkraft:

3 R3 (Volumen)

Schwerkraft:

3 R3 (Volumen)

M V ρ

3 R3ρ (Masse)

Schwerkraft:

3 R3 (Volumen)

M V ρ

3 R3ρ (Masse)

3 Rρm

Schwerkraft:

3 R3 (Volumen)

M V ρ

3 R3ρ (Masse)

3 Rρm

Newtons 2. Axiom:

F G(Kraft

Masse Beschleunigung)

Schwerkraft:

3 R3 (Volumen)

M V ρ

3 R3ρ (Masse)

3 Rρm

Newtons 2. Axiom:

F G(Kraft

Beschleunigung:

dt ˙ R

dt 2 ¨ R

(siehe

Anhang 1)

Schwerkraft:

3 R3 (Volumen)

M V ρ

3 R3ρ (Masse)

3 Rρm

Newtons 2. Axiom:

F G(Kraft

Beschleunigung:

dt ˙ R

dt 2 ¨ R

(siehe

Anhang 1)Bewegungsgleichung:

m ¨ R

3 Rρm

Schwerkraft:

3 R3 (Volumen)

M V ρ

3 R3ρ (Masse)

3 Rρm

Newtons 2. Axiom:

F G(Kraft

Beschleunigung:

dt ˙ R

dt 2 ¨ R

(siehe

Anhang 1)Bewegungsgleichung:

m ¨ R

3 Rρm

Druck wirkt anziehend

In der Kugel herrscht derDruck P. Er kommt durch dieBewegung der Teilchen

zustande, also durch derenkinetische Energie.

Energie und Masse sind

äquivalent, E

. Alsoentspricht dem Druck eineMasse, die einen Beitrag zurSchwerkraft liefern muss.

äquivalent, E

Druck und Dichte:

(siehe Anhang 2)

äquivalent, E

Druck und Dichte:

(siehe Anhang 2)

gesamte Massendichte:

ρgesamt

uc w t a e e d

äquivalent, E

Druck und Dichte:

(siehe Anhang 2)

gesamte Massendichte:

ρgesamt

Statt ρ muss ρgesamt eingesetztwerden:

3 R ρ

Energieerhaltung

In der Kugel muss der Energieerhaltungssatz gelten:Die innere Energie U ändert

sich um ∆U , wenn sich dasVolumen V aufgrund desDrucks P um ∆V ändert:

Energieerhaltung

Die Änderungen finden in derZeit ∆t statt:

∆U ∆t

P∆V ∆t

Energieerhaltung

Innere Energie:

U M c2 V ρc2

3 R3ρc2

3 R2 ˙ Rρ

Energieerhaltung

Innere Energie:

U M c2 V ρc2

3 R3ρc2

3 R2 ˙ Rρ

Volumen:

3 R2 ˙ R

Energieerhaltung

Innere Energie:

U M c2 V ρc2

3 R3ρc2

3 R2 ˙ Rρ

Volumen:

3 R2 ˙ R

Energieerhaltung:

3 R2 ˙ Rρ

3 R2 ˙ R

Energieerhaltung

Innere Energie:

U M c2 V ρc2

3 R3ρc2

3 R2 ˙ Rρ

Volumen:

3 R2 ˙ R

Energieerhaltung:

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

Energieerhaltung und Bewegung

Energieerhaltung:

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

Energieerhaltung:

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

( Rc2 kürzen, dann zusammenfassen)

Energieerhaltung:

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

2 R ˙ Rρ

R ˙ R

R2ρ 0

Energieerhaltung:

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

2 R ˙ Rρ

R ˙ R

R2ρ 0

Bewegungsgleichung:

3 R ρ

Energieerhaltung:

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

2 R ˙ Rρ

R ˙ R

R2ρ 0

Bewegungsgleichung:

3 R ρ

beide Gleichungen kombinieren:

2 R ˙ Rρ

4πG˙ R ¨ R

R2ρ 0

Energieerhaltung:

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

2 R ˙ Rρ

R ˙ R

R2ρ 0

Bewegungsgleichung:

3 R ρ

beide Gleichungen kombinieren:

2 R ˙ Rρ

4πG˙ R ¨ R

R2ρ 0

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Integration

Bewegungsgleichung:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Integration

Bewegungsgleichung:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Produktregel:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Integration

Bewegungsgleichung:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Produktregel:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Einsetzen:

Integration

Bewegungsgleichung:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Produktregel:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Einsetzen:

Integration:

Integration

Bewegungsgleichung:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Produktregel:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Einsetzen:

Integration:

3 R2ρ

(K ist die Integrationskonstante)

Integration

Bewegungsgleichung:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Produktregel:

2 ˙ R ¨ R

2 R ˙ Rρ

Einsetzen:

Integration:

3 R2ρ

(K ist die Integrationskonstante)

Diese Gleichung zeigt, wiesich der Kugelradius R mit der

Zeit ändert.

Die kosmologische Konstante

Albert Einstein selbst hat die kosmologische Konstante Λ eingeführt:

Sie ermöglicht ein statisches Universum, das um 1915 noch alswahrscheinlich galt.

1929 entdeckte Edwin Hubble, dass das Universum sich ausdehnt .

1929 entdeckte Edwin Hubble, dass das Universum sich ausdehnt .Damit war Λ nicht mehr nötig, wurde aber beibehalten.

Heute wird Λ auf Grund von Messungen als unverzichtbar angesehen.

Der Skalenfaktor

Die heutige Größe der Kugel wird als R0 bezeichnet.

Der Skalenfaktor

Die heutige Größe der Kugel wird als R0 bezeichnet. Das Verhältnisdes Kugelradius R zum heutigen Radius R0 wird Skalenfaktor a

genannt: a

Der Skalenfaktor

genannt: a

Gleichung für ˙ R2:

Der Skalenfaktor

genannt: a

(durch R

0 teilen)

Der Skalenfaktor

genannt: a

Der Skalenfaktor

genannt: a

Der Skalenfaktor

genannt: a

3Dies ist eine Form der Friedmann-Gleichung, die Alexander Friedmann1920 fand.

Staub und Strahlung

Wir müssen nun noch festlegen, wie der Druck von der Dichteabhängen soll. Es gibt zwei Möglichkeiten:

Staub und Strahlung

Für nichtrelativistische Materie

ist der Druck sehr viel kleinerals die Energiedichte ρc2.Dann kann man

setzen.

Staub und Strahlung

setzen.

In diesem Fall spricht man von„Staub“.

Staub und Strahlung

setzen.

Für relativistische Materie istder Druck gleich einem Drittelder Energiedichte,

(siehe Anhang 2)

Staub und Strahlung

setzen.

Für relativistische Materie istder Druck gleich einem Drittelder Energiedichte,

(siehe Anhang 2)

Man spricht in diesem Fall von„Strahlung“.

Staub und Strahlung

setzen.

Für relativistische Materie ist

der Druck gleich einem Drittelder Energiedichte,

(siehe Anhang 2)

Man spricht in diesem Fall von„Strahlung“.

Heute überwiegt Staub bei Weitem.

Änderung der Dichte

Energieerhaltungssatz:

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

E i h l

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0 ( R2c2 kürzen und durch R0 teilen)

E i h l

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

E i h lt t

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

für P 0 (Staub):

ρ ρ0a3

E i h lt t

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

für P 0 (Staub):

für P

3 (Strahlung):

3 R2 ˙ Rρ

3PR2 ˙ R 0

für P 0 (Staub):

für P

3 (Strahlung):

Friedmann-Gleichung für ein Staubuniversum:

Parameter

H a h iß H bbl F k i

heißt Hubble-Funktion.

Parameter

H a h ißt H bbl F kti

Ihr heutiger Wert H 0 ist die Hubble-Konstante:

H 0 70

11010 J

Parameter

H a h ißt H bbl F kti

H 0 70

11010 J

10 Milliarden Jahre

Parameter

H a heißt Hubble Funktion kritische Dichte:

H 0 70

11010 J

10 Milliarden Jahre

kritische Dichte:

3 H 20

2 10 29 g

Parameter

H 0 70

11010 J

10 Milliarden Jahre

kritische Dichte:

3 H 20

2 10 29 g

Dichteparameter :

3 H 20

Parameter

H 0 70

11010 J

10 Milliarden Jahre

kritische Dichte:

3 H 20

2 10 29 g

Dichteparameter :

3 H 20

Messungen zeigen:

ΩΛ 1

Die Krümmung

Friedmann-Gleichung:

Friedmann Gleichung:

Die Krümmung

a2 R20

3 H 20

a2 R20 H 20

3 H 20

Die Krümmung

a2 R20

3 H 20

a2 R20 H 20

3 H 20

H 2 H 20ρ0

ρcra3

a2 R20 H 20

Die Krümmung

a2 R20

3 H 20

a2 R20 H 20

3 H 20

H 2 H 20Ω0

a2 R20 H 20

Die Krümmung

a2 R20

3 H 20

a2 R20 H 20

3 H 20

H 2 H 20Ω0

a2 R20 H 20

heute: a

1 und H

H 0 ( per Definition);

H 20 H 20 Ω0

R20 H 20

Die Krümmung

a2 R20

3 H 20

a2 R20 H 20

3 H 20

H 2 H 20Ω0

a2 R20 H 20

heute: a

1 und H

H 20 H 20 Ω0

R20 H 20

1 Ω0 ΩΛ

Die Krümmung

a2 R20

3 H 20

a2 R20 H 20

3 H 20

H 2 H 20Ω0

a2 R20 H 20

heute: a

1 und H

H 20 H 20 Ω0

R20 H 20

1 Ω0 ΩΛ

K wird durch die Summe aus beiden Dichteparametern bestimmt.

Die Krümmung

a2 R20

3 H 20

a2 R20 H 20

3 H 20

H 2 H 20Ω0

a2 R20 H 20

heute: a

1 und H

H 20 H 20 Ω0

R20 H 20

1 Ω0 ΩΛ

K wird durch die Summe aus beiden Dichteparametern bestimmt.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie legt K die Krümmung desRaumes fest.

Die Friedmann-Gleichung

Mit diesem Ausdruck für K lässt sich die Friedmann-Gleichung infolgende Form bringen:

folgende Form bringen:

H 20Ω0

1 Ω0 ΩΛ

H 20Ω0

1 Ω0 ΩΛ

Sie beschreibt, wie sich die Größe des Universums mit der Zeit ändert.

H 20Ω0

1 Ω0 ΩΛ

Die Änderung wird durch die Dichteparameter Ω0 und ΩΛ bestimmt.

H 20Ω0

1 Ω0 ΩΛ

Die Änderung wird durch die Dichteparameter Ω0 und ΩΛ bestimmt.Die Friedmann-Gleichung ist eine der ganz zentralen Gleichungen derKosmologie.

Eine spezielle Lösung

Beobachtungen zeigen, dass

ΩΛ 1 ist, also ΩΛ

Damit vereinfacht sich die Friedmann-Gleichung zu:

2 H 20

Damit vereinfacht sich die Friedmann-Gleichung zu:

2 H 20

Die Lösung dieser Gleichung lautet:

1 Ω0sinh 3 1

Ω0 H 0t

(siehe

Anhang 3)Kosmologie fur die Schule – p.22/30

Größe und Alter des Universums

Diese Formel gibt an, wie sich das Universum mit der Zeit ausdehnt.

Diese Formel gibt an, wie sich das Universum mit der Zeit ausdehnt.Man kann a

umkehren:

Man kann a t umkehren:

23 1 Ω0 H 0

arsinh a3

umkehren:

23 1 Ω0 H 0

arsinh a3

Diese Formel zeigt, wie die Zeit während der Ausdehnung fortschreitet.

umkehren:

23 1 Ω0 H 0

arsinh a3

Diese Formel zeigt, wie die Zeit während der Ausdehnung fortschreitet.

Heute ist definitionsgemäß a 1. Damit beträgt das Alter desUniversums

23 1 Ω0 H 0

arsinh 1

Größe und Alter des Universums (II)

Für Ω0

3 und H 0

70 kmsMpc

wächst das

Universum, wie hier gezeigt.

Für Ω0

3 und H 0

70 kmsMpc

wächst das

Heute ist a

1. Um dorthinzu kommen, braucht dasUniversum t 0

13 4MilliardenJahre.

Für Ω0

3 und H 0

70 kmsMpc

wächst das

Heute ist a

Vor 7 5 Milliarden Jahren wardas Universum halb so großwie heute.

Für Ω0

3 und H 0

70 kmsMpc

wächst das

Heute ist a

Vor 7 5 Milliarden Jahren wardas Universum halb so großwie heute.

Das Alter des Universums t 0nimmt ab, wenn derDichteparameter zunimmt.

Zusammenfassung

Die Kosmologie nimmt an, dass das Universum homogen und isotropsei.

Zusammenfassung

Dann kann das Verhalten irgend eines kugelförmigen Ausschnitts als

Modell für das gesamte Universum dienen.

Zusammenfassung

Modell für das gesamte Universum dienen.Auf ihn lässt sich das Newtonsche Gravitationsgesetz anwenden;zusätzlich muss die Energie erhalten sein.

Zusammenfassung

Der Druck wirkt in der Allgemeinen Relativitätstheorie als zusätzlicheQuelle der Gravitation.

Zusammenfassung

Daraus lässt sich die Friedmann-Gleichung herleiten, die beschreibt,wie sich die Größe des Universums ändert bzw. wie alt das Universum

Zusammenfassung

D k d V h l i d i k lf A h l

Daraus lässt sich die Friedmann-Gleichung herleiten, die beschreibt,wie sich die Größe des Universums ändert bzw. wie alt das Universum

Heute ist das Universum etwa 13 4Milliarden Jahre alt.

Anhang I: Zeitliche Ableitungen

Alle Größen in der Kugel können nur von der Zeit t abhängen:

Alle Größen in der Kugel können nur von der Zeit t abhängen:Radius R

, Dichte ρ

, Druck P

Alle Größen in der Kugel können nur von der Zeit t abhängen:Radius R

, Dichte ρ

, Druck P

Ableitungen nach der Zeit werden durch Punkte gekennzeichnet:

zurück

Anhang II: Druck und Bewegung (1)

Ein Teilchen der Masse mbewege sich mit derGeschwindigkeit vx auf eine

Geschwindigkeit v x auf eineWand zu.

Dort wird es reflektiert undfliegt mit der Geschwindigkeit

v x zurück.

Wand zu.

Dort wird es reflektiert undfliegt mit der Geschwindigkeit

v x zurück.

Sein Impuls ändert sich alsoum

∆ p 2mv x

Die Dichte der Teilchen sei n.Pro Zeiteinheit t fliegen

Teilchen gegen die Fläche A

(die andere Hälfte fliegt in die

andere Richtung).

Fläche

Die Dichte der Teilchen sei n.Pro Zeiteinheit t fliegen

1 Wand

Teilchen gegen die Fläche A

(die andere Hälfte fliegt in die

andere Richtung).Die gesamte Impulsänderungin der Zeit t ist also

N ∆ p A v2 x

Fläche

Anhang II: Druck und Dichte

Impulsänderung pro Zeit istKraft:

N ∆ p

A m n v2 x

N ∆ p

A m n v2 x

Kraft pro Fläche ist Druck,

m n v2 x

wobei m n ρ die

Massendichte ist.

Keine Bewegungsrichtung istbevorzugt, also

N ∆ p

A m n v2 x

m n v2 x

wobei m n ρ die

Massendichte ist.

¯v2 x

¯v2 y

¯v2 z

und damit P

Keine Bewegungsrichtung istbevorzugt, also

N ∆ p

A m n v2 x

m n v2 x

wobei m n ρ die

Massendichte ist.

¯v2 x

¯v2 y

¯v2 z

und damit P

Für relativistische Teilchen(z.B. Photonen) ist v

c, also

zurück Kosmologie fur die Schule – p.29/30

Anhang III: Der hyperbolische Sinus

ist der hyperbolischeSinus,

sinh x

e x e x

sinh x

e x e x

Ableitung:

(hyperbolischer Cosinus)

sinh x

e x e x

Ableitung:

ex e x

Umkehrfunktion:sinh

arsinh

sinh x

e x e x

Ableitung:

ln x 1 x2

(hyperbolischer Area-Sinus)

e x e x

Umkehrfunktion:sinh

arsinh

sinh x

Ableitung:

ln x 1 x

e x e x

Umkehrfunktion:sinh

arsinh

sinh x

Ableitung:

ln x 1 x

e x e x

Umkehrfunktion:sinh

arsinh

sinh x

Ableitung:

ln x 1 x

Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule

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Dr. med. Ralf Kühnel Continental AG / Contitech · Dr. med. Ralf Kühnel Continental AG / Contitech Werksärztl. Die Philipsbornstr. 1 30165 Hannover Telefon: 0511/938-5444 Telefax:

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