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Der Chi-Quadrat Test

Beispiele

Theorie

N = (Ni) i=1,...I

N multinomialverteilt

N ~ M(n,p)

N = (Ni) i=1,...I

N ~ M(n,p)

N = (Ni) i=1,...I

N ~ M(n,p)

p = (pi)

Beobachtungen B = (Bi)

Nullhypothese H0: p = p°

Ist B mit H0 verträglich?

Der Chi-Quadrat Test:

Ei := npi°

Ei := npi°( Unter H0 gilt: E(Ni)=Ei )

Bi - Ei

X2 := S(Bi - Ei)2/Ei

Für n ---> ∞ gilt

L(X2) ---> c2I-1

(hängt nicht von p ab!)

L(X2) ---> c2I-1

Sei X2 = X2(B):

L(X2) ---> c2I-1

Sei X2 = X2(B):

falls Ws{ c2I-1 > X2 } < 0.05

L(X2) ---> c2I-1

Sei X2 = X2(B):

falls Ws{ c2I-1 > X2 } < 0.05

wird H auf dem 5%-Niveau abgelehnt.

„n ---> ∞“

Wann ist n groß genug?

„n ---> ∞“

Konservative Faustregel (R):

„n ---> ∞“

alle Ei ≥ 5

„n ---> ∞“

alle Ei ≥ 5

Weniger strenge Faustregel:

„n ---> ∞“

alle Ei ≥ 5

80% der Ei ≥ 5

„n ---> ∞“

alle Ei ≥ 5

80% der Ei ≥ 5

alle Ei ≥ 1

Beispiel 1:

The death dip

Können prominente Menschen

ihren Todestag

bis nach ihrem Geburtstag

hinauszögern?

Phillips berechnete

für 1251 verstorbeneprominente Amerikaner

die Verzögerung

V = Todesmonat - Geburtsmonat

Nullhypothese H0

pi° = 1/12 = 0.08333

Nullhypothese H0

pi°= 1/12 = 0.08333

s (Ni/n) = √(pi° (1-pi°)/n)

Chi-Quadrat Test

Ei = npi° = 1251/12

Chi-Quadrat Test

Ei = npi° = 1251/12

Chi-Quadrat Test

Ei = npi° = 1251/12

Chi-Quadrat Test

Ei = npi° = 1251/12

B<-c(90,100,87,96,101,86,119,118,121,114,113,106)

Chi-Quadrat Test

Ei = npi = 1251/12

B<-c(90,100,87,96,101,86,119,118,121,114,113,106)chisq.test(B)

Chi-Quadrat Test

Ei = npi = 1251/12

B<-c(90,100,87,96,101,86,119,118,121,114,113,106)chisq.test(B)# Wenn man nichts sagt, nimmt R an, # dass H0: alle pi gleich

testet H0

gegen die Welt.

testet H0

gegen die Welt.(Z.B. für ihn ist jede Permutation von B gleich auffällig.)

testet H0

Uns interessiert

eine viel engere Alternative:

testet H0

Uns interessiert

wenige Todesfälle vor dem Geburtsmonat

testet H0

Uns interessiert

wenige Todesfälle vor dem Geburtsmonatviele Todesfälle nach dem Geburtsmonat

Nehmen wir an,das Todessenkung-Phänomen

in einer Vorstudieentdeckt wurde.

Nehmen wir an,das Todessenkung-Phänomen

in einer Vorstudieentdeckt wurde.

Die vorliegende Untersuchunghat zum Ziel,

die schon vorher bestehendeTodessenkung-Hypothese

zu testen.

Dann sollte manden Chi-Quadrat Test

nicht benutzen,

nicht benutzen,sondern

einenauf die anvisierte Alternative abgestimmten

Test,der nur auf Abweichungen von H0

in die gegebene Richtungreagiert,

Test,der nur auf Abweichungen von H0

in die gegebene Richtungreagiert,

und deswegengrößere Macht hat.

b<-c(370,585)

b<-c(370,585)# 370 Todesfälle in den 4 Monaten vor dem Todesmonat

b<-c(370,585)# 370 Todesfälle in den 4 Monaten vor dem Todesmonat# 585 Todesfälle im Todesmonat und 4 folgenden Monaten

b<-c(370,585)# 370 Todesfälle in den 4 Monaten vor dem Todesmonat# 585 Todesfälle im Todesmonat und 4 folgenden Monaten chisq.test(b,p=c(4,5)/9)

Der Chi-Quadrat Test (II)

N ~ M(n,p(q))

q in Mannigfaltigkeit Q

N ~ M(n,p(q))

dim(Q) = r

N ~ M(n,p(q))

dim(Q) = r(D.h. es gibt r unabhängige Parameter.)

N ~ M(n,p(q))

q* = Maximum-Likelihood Schätzer von q

N ~ M(n,p(q))

Ei = npi(q*)

N ~ M(n,p(q))

Ei = npi(q*)

SatzFür n ---> ∞

giltL(X2) ---> c2

SatzFür n ---> ∞

giltL(X2) ---> c2

„Man verliert einen Freiheitsgradfür jeden geschätzten Parameter.“

WICHTIGSTE ANWENDUNG

Test auf Homogenität(oder Unabhängigkeit)

in Kontingenztafeln:

N = (Nij) i=1...I, j=1...J

H0: pij = ui vj

N = (Nij) i=1...I, j=1...J

H0: pij = ui vj

pij* =(Bi+/n) (B+j/n)

N = (Nij) i=1...I, j=1...J

H0: pij = ui vj

pij* =(Bi+/n) (B+j/n)

X2 ~ c2(I-1)(J-1)

# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.dat

# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.datattach(read.table(„X.dat“))

# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.datattach(read.table(„X.dat“))tafel<-array(c(A,B,...),c(I,J))

# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.datattach(read.table(„X.dat“))tafel<-array(c(A,B,...),c(I,J))chisq.test(tafel)

# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.datattach(read.table(„X.dat“))tafel<-array(c(A,B,...),c(I,J))chisq.test(tafel)# R nimmt an: Test auf Unabhängigkeit

# z.B. Daten als J Variablen A, B, .. # der Länge I in der Datei X.datattach(read.table(„X.dat“))tafel<-array(c(A,B,...),c(I,J))chisq.test(tafel)# R nimmt an: Test auf Unabhängigkeit# FG = (I-1)(J-1)

Beispiel 2

Wer schrieb die Paulusbriefe?

A. Q. Morton

zählte die Anzahl der Sätze

in den 10 längsten Paulusbriefen

bei denen das Wort kai (und)

0 mal, 1 mal, 2 mal, ≥3 mal

vorkam.

Ean tais glwssais twn anqrwpwn lalwkai twn aggelwn,

agaphn de mh ecw,gegona calkos hcwn

h kumbalon alalazon.

Wenn ich mit Menschenund mit Engel zungen redet

und hette die Liebe nichtSo were ich ein donend Ertzoder eine klingende Schelle.

i.Cor.13

Die einzelnen Bücher

im Vergleich

zu den restlichen.

Test auf Homogenität

alle 10 Briefe

Test auf Homogenität

alle 10 Briefe

Pearson's Chi-squared test

data: m X-squared = 185.0114, df = 27, p-value = < 2.2e-16

Welche Paare

von Briefen

sind miteinander

verträglich?

p-Wertevon paarweisen Chi-Quadrat Testen

der einzelnen Bücher

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,] 1.000 0.969 0.157 0.386 0.000 0.000 0.000 0.000 0.018 0.000 [2,] 0.969 1.000 0.064 0.416 0.000 0.000 0.000 0.000 0.008 0.000 [3,] 0.157 0.064 1.000 0.040 0.000 0.000 0.000 0.028 0.460 0.034 [4,] 0.386 0.416 0.040 1.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.003 0.000 [5,] 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.274 0.237 0.143 0.154 0.152 [6,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.274 1.000 0.032 0.026 0.016 0.005 [7,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.237 0.032 1.000 0.205 0.024 0.017 [8,] 0.000 0.000 0.028 0.001 0.143 0.026 0.205 1.000 0.422 0.549 [9,] 0.018 0.008 0.460 0.003 0.154 0.016 0.024 0.422 1.000 0.782[10,] 0.000 0.000 0.034 0.000 0.152 0.005 0.017 0.549 0.782 1.000

{1,2,3,4} {5,8,9,10} {6} {7}

{1,2,3,4} = Römer1 Korinther2 KorintherGalater

{5,8,9,10} = Epheser1 Timotheus2 TimotheusHebräer

{6} = Philipper

{7} = Kolosser

Zwei Fälle „automatisch“

p = po

pij = ui vj

Andere „per Hand“

# b = Beobachtungsvektor

# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen

# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen# FG = Freiheitsgrade

# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen# FG = Freiheitsgradechi2test<-chisq.test(b,p=p*)

# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen# FG = Freiheitsgradechi2test<-chisq.test(b,p=p*)# p-Wert nicht trauen! Freiheitsgrade falsch!

# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen# FG = Freiheitsgradechi2test<-chisq.test(b,p=p*)# p-Wert nicht trauen! Freiheitsgrade falsch!x2<-chi2test$statistic

# b = Beobachtungsvektor# p* = ML-Schätzer selber berechnen# FG = Freiheitsgradechi2test<-chisq.test(b,p=p*)# p-Wert nicht trauen! Freiheitsgrade falsch!x2<-chi2test$statisticpWert<-1-pchisq(x2,FG)

BEISPIEL:

Selektion

bei der Tangfliege

Coelopa frigida

Die Tangfliege

Coelopa frigida

Im faulenden Tang

gärt es stark.

Im faulenden Tang

gärt es stark.

Ethanol ist giftig.

Alkohol dehydrogenase

Drei Allele

B, C, D

Drei Allele

B, C, D

Sechs Genotypen

BB BC BD CC CD DD

Sechs Genotypen

BB BC BD CC CD DD

Sechs Genotypen

BB BC BD CC CD DD

Bei Zufallspaarung

Sechs Genotypen

BB BC BD CC CD DD

Bei Zufallspaarung

pB2 2pBpC 2pBpD pC

2 2pCpD pD2

pB = Häufigkeit von B, usw.

Sechs Genotypen

BB BC BD CC CD DD

Bei Zufallspaarung

pB2 2pBpC 2pBpD pC

2 2pCpD pD2

pB = Häufigkeit von B, usw.

Hardy-Weinberg Gleichgewicht

Eine Stichprobe von n = 646 adulten Fliegen

aus Portsmouth, England (1980)