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In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Der Maxwell'sche Spannungstensor
in Vakuum und Materie
Benjamin Fries
26. April 2011
Benjamin Fries Hauptseminar Optische Kräfte und deren Anwendungen, KIT
Der Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie
In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Verknüpfung mit vorherigem Vortrag
Grenzfälle der Gröÿenordnung bei der optischen Pinzette:
Rayleigh-Regime: Punkt-Dipol (Objekt sehr klein gegenWellenlänge)
1
1Gra�k: A. Langendörfer: Arbeit zur Zulassung zum ersten Staatsexamen, S. 13 (2009)
Benjamin Fries Hauptseminar Optische Kräfte und deren Anwendungen, KIT
Der Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie
In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Verknüpfung mit vorherigem Vortrag
Strahlenoptik (Objekt sehr groÿ gegen Wellenlänge)
2
In diesem Vortrag exakte Berechnung von elektromagnetischenKräften für jede Gröÿe der Teilchen (relativ zur Wellenlänge)
2Gra�k: A. Ashkin: Biophys. J. 61, 569 (1992)
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Der Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie
In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Gliederung
1 In VakuumSpannungstensor im AllgemeinenMaxwell'scher SpannungstensorSpannungstensor, Impuls und DrehimpulsEnergie-Impuls-Tensor
2 In MaterieProblemstellungAbraham-Minkowski-KontroverseBeispiel-KraftdichtenAu�ösung des Dilemmas
3 Zusammenfassung
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Der Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie
In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Spannungstensor im Allgemeinen
Funktion
Allgemeiner Spannungstensor aus Kontinuumsmechanikbekannt
Beschreibt Kraft auf einen bestimmten Punkt, zum Beispiel imFestkörper
σ =
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
=
σ11 σ12 σ13
σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
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Der Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie
In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Spannungstensor im Allgemeinen
Bedeutung
3
σij ist die Spannung (Kraft pro Fläche) in Richtung xj auf dieFläche mit Normalenrichtung xi .
Diagonalelemente sind Druck- und Zugspannungen.
Nebendiagonalelemente sind Scherspannungen.3Gra�k: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Stress_transformation_3D.svg
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Der Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie
In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Maxwell'scher Spannungstensor
Funktion
Mechanische Spannung auf eine Ladungs- und Stromverteilungdurch ein elektromagnetisches Feld (E, B)
Vorschau
Tij = ε0EiEj +1
µ0BiBj −δij
1
2
(ε0E
2+1
µ0B2
)
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Der Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie
In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Maxwell'scher Spannungstensor
Herleitung
Lorentzkraft auf eine Punktladung q mit Geschwindigkeit v:
F= (E+v×B)q
Lorentzkraft auf eine Ladungs- und Stromverteilung im Volumen V :
F=∫V
(E+v×B)ρdV =∫V
(ρE+ j×B)dV
Kraft pro Volumen (Kraftdichte) also:
f = ρE+ j×B
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Der Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie
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Maxwell'scher Spannungstensor
Maxwell-Gleichungen
∇ ·E =1
ε0ρ (1)
∇×E = −∂B
∂ t(2)
∇ ·B = 0 (3)
∇×B = µ0j+µ0ε0∂E
∂ t(4)
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Maxwell'scher Spannungstensor
Herleitung
Mit den Maxwell-Gleichungen (1) und (4) ρ bzw. j ersetzen:
f =
=ρ︷ ︸︸ ︷ε0 (∇ ·E)E+
=j︷ ︸︸ ︷(1
µ0∇×B− ε0
∂E
∂ t
)×B
Produktregel:
∂
∂ t(E×B) =
(∂E
∂ t×B
)+
(E× ∂B
∂ t
)Mit Maxwell-Gleichung (2) und umstellen:
∂E
∂ t×B=
∂
∂ t(E×B)+E× (∇×E)
Oben einsetzen ...Benjamin Fries Hauptseminar Optische Kräfte und deren Anwendungen, KIT
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Maxwell'scher Spannungstensor
Herleitung
... und wir sind hier:
f = ε0 [(∇ ·E)E−E× (∇×E)]+1
µ0[ −B× (∇×B)]
− ε0∂
∂ t(E×B)
Ergänze symmetrischen Term (∇ ·B)B dank ∇ ·B= 0.
Verwende für E und B je
E× (∇×E) = 1
2∇(E 2)− (E ·∇)E.
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Maxwell'scher Spannungstensor
Herleitung
Damit neue Schreibweise der Kraftdichte f:
f =ε0 [(∇ ·E)E+(E ·∇)E]+1
µ0[(∇ ·B)B+(B ·∇)B]
− 1
2∇
(ε0E
2+1
µ0B2
)− ε0
∂
∂ t(E×B)
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Maxwell'scher Spannungstensor
Herleitung
Kraftdichte f lässt sich schreiben mit Divergenz von T und demPoynting-Vektor S= 1
µ0(E×B):
f = ∇ ·T− ε0µ0∂S
∂ t
(Dabei ist der Vektor (∇ ·T)j ≡ ∑i=1,2,3
∂iTij .)
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Maxwell'scher Spannungstensor
De�nition
Zur Vereinfachung Einführen des Maxwell'schen Spannungstensors(Maxwell stress tensor) T:
De�nition
Tij ≡ ε0EiEj +1
µ0BiBj −δij
1
2
(ε0E
2+1
µ0B2
)︸ ︷︷ ︸=w ,Energiedichte
⇔ T≡ ε0E⊗E+1
µ0B⊗B−w1
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Maxwell'scher Spannungstensor
Gesamtkraft
Gesamtkraft auf eine Ladungsverteilung in V :
F=∫V
fdV =∫V
∇ ·TdV − ε0µ0
∫V
∂S
∂ tdV
=∮∂V
T ·dA− ε0µ0d
dt
∫V
SdV
Bei optischen Frequenzen ist nur das zeitliche Mittel 〈S〉 relevant �das ist zeitlich konstant. Die Kraft wird also nur durch denSpannungstensor T auf der Ober�äche ∂V bestimmt.
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In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Spannungstensor, Impuls und Drehimpuls
Impulserhaltung, integral
2. Axiom von Newton: F= dpmechdt
⇒∮∂V
T ·dA=dpmech
dt+ ε0µ0
d
dt
∫V
SdV
≡ d
dt
∫pmechdV +
d
dt
∫pemdV =
d
dtpges
mit Impulsdichten pmech/em für mechanischen Impuls der Ladung und
elektromagnetischen Impuls des Feldes.
Neuigkeit
Elektromagnetisches Feld hat nicht nur Energie, sondern auchImpuls.
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Spannungstensor, Impuls und Drehimpuls
Impulserhaltung, di�erentiell
Di�erentielle Form der Impulserhaltung
∂
∂ t(pmech+ pem) = ∇ ·T
Dies ist eine Kontinuitätsgleichung wie
für Ladung mit der Stromdichte j und
für Energie mit dem Poynting-Vektor S (Energie�ussdichte).
T ist also die Impuls�ussdichte (aber Tensor, weil Impuls Vektor).
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In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Spannungstensor, Impuls und Drehimpuls
Drehmoment und Drehimpuls
Im einfachsten Fall heben sich die angreifenden Scherkräfte(Nebendiagonalelemente von T) gegenseitig auf. Mangelt es demSystem aber an Symmetrie, liegt insgesamt ein Drehmoment an.
Neuigkeit
Elektromagnetische Felder besitzen auch Drehimpuls mitDrehimpulsdichte
Lem = r× pem = r× [ε0 (E×B)] .
Selbst völlig statische Felder können einen Impuls oder Drehimpulsbesitzen, wenn (E×B) 6= 0.
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In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Spannungstensor, Impuls und Drehimpuls
Beispiel-Experiment
Drehimpulsübertragung durch e�ektiv doppelbrechendeGitterstruktur (Video)
4
4Gra�k: S. L. Neale et al.: Nature Materials 4, 530 (2005)
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Spannungstensor, Impuls und Drehimpuls
Beispiel-Experiment
5
5Gra�k: S. L. Neale et al.: Nature Materials 4, 530 (2005)
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Energie-Impuls-Tensor
Energie-Impuls-Tensor
Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie:Maxwell'scher Spannungstensor (Tij) in (Tαβ ) enthalten
Energie-Impuls-Tensor
(Tαβ ) =
w S1
cS2c
S3c
S1c−T11 −T12 −T13
S2c−T21 −T22 −T23
S3c−T31 −T32 −T33
mit der Energiedichte w ,
dem Poynting-Vektor S und
der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c
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Energie-Impuls-Tensor
Energie-Impuls-Erhaltung
Übrigens:Die Energie-Impuls-Erhaltung lässt sich damit schreiben als:
∇αTαβ = 0
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In Vakuum In Materie Zusammenfassung
Problemstellung
Einführung
In vielen Fällen kann man Gleichungen vom Vakuum in Materieüberführen, indem man nur ε0 durch ε0εr ersetzt (dasselbe mit µr ).
Beispiel
Kapazität eines Plattenkondensators:C = ε0 ·A/d → C = ε0εr ·A/d
Beim Impuls nicht so einfach, weil sehr grundlegende Gröÿe
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Problemstellung
Mikroskopische Maxwell-Gleichungen
Vorhin: Herleitung von T mit den Maxwell-Gleichungen inVakuum
Maxwell-Gleichungen in Vakuum gelten für groÿe und kleineLängen
In Materie müsste man aber jede einzelne Ladung einbeziehen:zu kompliziert.
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Problemstellung
Makroskopische Maxwell-Gleichungen
Durch Mittelung über viele Atome entstehen dieMaxwell-Gleichungen in Materie.
Diese sind deshalb makroskopisch und nicht mehr auf atomarerEbene anwendbar.
So auch εr und µr , ebenfalls makroskopisch
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Abraham-Minkowski-Kontroverse
Beginn der Kontroverse
Erster Vorschlag für Energie-Impuls-Tensor in Materie:
Minkowski 1908, Photon: p= p0 ·n
O�ensichtliche Mängel führen zu vielen weiteren Vorschlägen,etwa von
Einstein und Laub 1908
Abraham 1909, Photon: p= p0/n
Kontroverse versucht richtigen Tensor zu �nden
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Abraham-Minkowski-Kontroverse
Abraham- und Minkowski-Tensor
Abraham:
(T )Abr =
(12 (E ·D+H ·B)
(1cE×H
)T1cE×H −E⊗D−H⊗B+ 1
2 (E ·D+H ·B)1
)
Minkowski:
(T )Min =
(12 (E ·D+H ·B)
(1cE×H
)T1cD×B −E⊗D−H⊗B+ 1
2 (E ·D+H ·B)1
)
Unterschied nur in Vektor linksunten,(T 10,T 20,T 30
)Bei Minkowski
(T 10,T 20,T 30
)6=(T 01,T 02,T 03
)⇒ nicht
relativistisch invariant
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Abraham-Minkowski-Kontroverse
Theoretische Argumente
Dilemma
Starke Argumente für Minkowski als auch Abraham
Für Minkowski:
Rückstoÿ von absorbierenden und emittierenden Atomen imMedium
Beugungserscheinungen
Für Abraham:
1. Newton'sches Axiom: Trägheitsgesetz
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Abraham-Minkowski-Kontroverse
Experimente zur Unterscheidung
Zum Beispiel Versuch von Ashkin und Dziedzic
6
6Gra�k: A. Ashkin und J. M. Dziedzic: Phys. Rev. Lett. 30, 139 (1973)
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Abraham-Minkowski-Kontroverse
Experimente zur Unterscheidung
Frühe Rechnung sagte: Wölbung geht
nach oben, falls Minkowski richtig (Versuchsergebnis)
nach unten, falls Abraham richtig
Tatsächlich so keine Unterscheidung möglich
Dilemma
Widersprüchliche Ergebnisse von anderen Experimenten
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Beispiel-Kraftdichten
Ladungs-Kraftdichte
Betrachten einfache Kraftdichten zur Verdeutlichung des Dilemmas
Zunächst Medium mit einzelnen LadungsträgernLorentz-Kraftdichte:
fL = ρE+ j×BVerschiebungs- und Polarisationsfeld D und P:
D≡ ε0E+P
⇒ ∇ ·D︸︷︷︸=0
−∇ ·P= ε0∇ ·E (1)= ρ
⇒ ∇ ·P=−ρ
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Beispiel-Kraftdichten
Ladungs-Kraftdichte
Ähnlich herleitbar:
∇ · P= ∇ · j → P= j
ρ und j in fL ergibt Kraftdichte für einzelne Ladungen:
fc ≡−(∇ ·P) ·E+ P×B
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Beispiel-Kraftdichten
Dipol-Kraftdichte
Kraft auf einen einzelnen Punkt-Dipol (ein Atom):
F= (d ·∇) ·E+ d×B
Kraftdichte für Dipol am Ort R:
fspd(r) =((d ·∇) ·E(r)+ d×B(r)
)·δ (r−R)
Polarisation als Dipoldichte:
P(r) = ∑i
di ·δ (r−Ri )
Damit Kraftdichte für einzelne Punktdipole:
fd ≡ (P ·∇) ·E+ P×B
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Beispiel-Kraftdichten
Vorhersage für einzelnen Dipol
Einzelner Dipol als Polarisation:
P(r) = d ·δ (r−R)
Kraftdichten dafür:
fc = −(d ·∇δ (r−R)) ·E+ d×B ·δ (r−R)
fd =((d ·∇) ·E+ d×B
)·δ (r−R)
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Beispiel-Kraftdichten
Vorhersage für einzelnen Dipol
Vorhersagen für Kraft auf Dipol:
Fd =∫dV fd = (d ·∇) ·E+ d×B
Fc =∫dV fc
p. Int.= −
∫dV E · (d ·∇δ (r−R))+ d×B
= (d ·∇) ·E+ d×B= Fd
Vorhersagen gleich trotz verschiedener Kraftdichten
Kraftdichten gleichwertig in dieser Situation
Probleme nur in Einzelfällen
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Au�ösung des Dilemmas
Grundsätzliche Au�ösung
Dilemma gelöst von
Pen�eld und Haus 1967 sowie
de Groot und Suttorp 1972
Au�ösung
Tensoren von Abraham und Minkowski sind äquivalent
Gesamter Energie-Impuls-Tensor willkürlich aufteilbar inelektromagnetischen und Materie-Teil
(T )total = (T )mat +(T )em
Lange aber nicht als Lösung bekannt geworden
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Au�ösung des Dilemmas
Lösungsvorschlag von Barnett
Barnett 2010:
Abraham-Tensor beschreibt kinetischen Impuls.
Minkowski-Tensor beschreibt kanonischen Impuls.
(T )totalkin = (T )matkin +(T )emAbr
= (T )totalcan = (T )matcan +(T )emMin
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Zusammenfassung
Berechnung von elektromagnetischen Kräften mit demMaxwell'schen Spannungstensor möglich
Elektromagnetisches Feld besitzt neben Energie auch Impulsund Drehimpuls
Aufteilung in elektromagnetischen und Material-Tensor istwillkürlich (Lösung der Abraham-Minkowski-Kontroverse)
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Anhang
Weiterführende Literatur und Quellen
Gri�ths, D. J.: Introduction to electrodynamics, 3rd edition, 1999,
Prentice Hall, New Jersey, Kapitel 8.2.2�8.2.4
Pfeifer, R. N. C. et al.: Colloquium: Momentum of an
electromagnetic wave in dielectric media, 2007, Rev. Mod. Phys.
79, 1197
Barnett, S. M. und R. Loudon: The enigma of optical momentum in
a medium, 2010, Phil. Trans. R. Soc. A 368, 927
Barnett, S. M. und R. Loudon: On the electromagnetic force
on a dielectric medium, 2006, J. Phys. B 39, S671
Barnett, S. M.: Resolution of the Abraham-Minkowski Dilemma,
2010, Phys. Rev. Lett. 104, 070401
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