Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras

Der griechische Philosoph Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der Insel Samos geboren und verstarb nach 510 v. Chr. in Süditalien, wohin er als Vierzigjähriger auswanderte. Ansonsten weiß man relativ wenig über sein Leben.

5

3 4

5

3

416

9

25

Bereits in der Antike wusste man, dass einDreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5rechtwinklig ist.

Schauen wir uns das etwas genauer an!

Aber 9 + 16 ergibt 25.

Das bedeutet aber:Die beiden gelben Quadrate sind

zusammen genauso groß wie das rote.

Das kann doch kein Zufall sein!

c

b a

c

b

aa²

b²

c²

b

a

ba

b

a

c

b

a

c²

b

ab

a

a c

b

Der Flächeninhalt des Quadratesmit dem roten Rand lässt sich berechnen:

A = (a + b)²

a + b

a + bHier kann man die 1. Binomische Formelanwenden:

A = a² + 2ab + b²

c²

c

b

a

c²

b

ab

a

a c

b

Der Flächeninhalt eines der grünenDreiecke beträgt:

A = ½ a • bDie vier grünen Dreiecke habenalso insgesamt eine Größe von:

A = 4 • ½ a • b

A = 2ab

Das lässt sich kürzen:

Der Flächeninhalt des Quadrates mit dem roten Rand lässt sich also auch so berechnen:

A = 2ab + c²

c²

c

c²

c

Wir subtrahieren auf beiden Seiten 2ab und erhalten:

Daraus folgt:

Der Flächeninhalt des Quadrates mit dem roten Rand lässt sich demnach auf zwei verschiedenen Wegen berechnen:

A = 2ab + c²A = a² + 2ab + b²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

c²

c

b a

c

b

aa²

b²

c²

Fassen wir zusammen:

In jedem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden gelben Quadrate zusammen genau so groß wie das rote Quadrat.

Genauer formuliert: In jedem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Quadrate über den Katheten zusammen genau so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.

c

b a

a²b²

c²

Dies besagt der Satz des Pythagoras:In jedem rechtwinkligen Dreieck (mit den Katheten a und b sowie der Hypotenuse c) gilt:

a² + b² = c²