Thomas Röser Satzgruppe des Pythagoras

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Reelle Zahlen – Gleichungen – Pythagoras –

zentrische Streckung – quadratische Funktionen

StationenlernenMathematik 9. Klasse

Bergedorfer Lernstationen

Thomas Röser

Satzgruppe des PythagorasStationenlernen Mathematik 9. Klasse

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

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1

1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das?

Thomas Röser: Satzgruppe des Pythagoras© Persen Verlag

Vorwort

I – Theorie: Zum Stationenlernen


Unsere Gesellschaft wird seit geraumer Zeit durch Begriffe der Individualisierung gekennzeichnet: Ri-sikogesellschaft heißt es bei Ulrich Beck1, Multiop-tionsgesellschaft nennt sie Peter Gross2 und für Gerhard Schulze ist es eine Erlebnisgesellschaft3. Jeder Begriff beinhaltet einen anderen inhaltlichen Schwerpunkt, doch egal, wie wir diesen Prozess bezeichnen, die Individualisierung – hier zu verste-hen als Pluralisierung von Lebensstilen – schreitet voran. Damit wird die Identitäts- und Sinnfindung zu einer individuellen Leistung. Diese Veränderun-gen wirken sich zwangsläufig auch auf die Institu-tion Schule aus. Damit lässt sich vor allem eine Heterogenität von Lerngruppen hinsichtlich der Lernkultur, der Leistungsfähigkeit sowie der indivi-duellen Lernwege feststellen. Darüber hinaus legt beispielsweise das Schulgesetz Nordrhein-West-falen im § 1 fest, dass: „Jeder junge Mensch […] ohne Rücksicht auf seine wirtschaftliche Lage und Herkunft und sein Geschlecht ein Recht auf schuli-sche Bildung, Erziehung und individuelle Förde-rung“ hat. Das klingt nach einem hehren Ziel – die Frage ist nur, wie wir dieses Ziel erreichen können?

Ich möchte an dieser Stelle festhalten, dass es nach meiner Einschätzung nicht das pädagogische Allheilmittel gibt, welches wir nur einsetzen müss-ten und damit wären alle (pädagogischen) Pro-bleme gelöst – trotz alledem möchte ich an dieser Stelle die Methode des Stationenlernens präsen-tieren, da diese der Individualisierung Rechnung tragen kann.

Merkmale des Stationenlernens

„‚Lernen an Stationen‘ bezeichnet die Arbeit mit ei-nem aus verschiedenen Stationen zusammenge-setzten Lernangebot, das eine übergeordnete Pro-

1 Vgl.: Beck, Ulrich: Risikogesellschaft – Auf dem Weg in eine andere Moderne. Berlin 1986.

2 Vgl.: Pongs, Armin; Gross, Peter: Die Multioptionsgesellschaft. In: Pongs, Armin (Hrsg.): In welcher Gesellschaft leben wir eigentlich? – Gesellschaftskonzepte im Vergleich, Band I. München 1999, S. 105–127.

3 Vgl.: Schulze, Gerhard: Die Erlebnisgesellschaft – Kultursoziologie der Gegenwart. Frankfurt/Main, New York 1992.

blematik differenziert entfaltet.“4 Schon an dieser Stelle wird offensichtlich, dass für diese Methode unterschiedliche Begriffe verwendet werden. Je-dem Terminus wohnt eine (mehr oder weniger) an-ders geartete organisatorische Struktur inne. In den meisten Fällen werden die Begriffe Lernen an Stationen und Stationenlernen synonym verwen-det. Hiervon werden die Lernstraße oder der Lern-zirkel unterschieden. Bei diesen beiden Varianten werden in der Regel eine festgelegte Reihenfolge sowie die Vollständigkeit des Durchlaufs aller Sta-tionen verlangt. Daraus ergibt sich zwangsläufig (rein organisatorisch) auch eine festgelegte Ar-beitszeit an der jeweiligen Station. Eine weitere Unterscheidung bietet die Lerntheke, an welcher sich die Schülerinnen und Schüler mit Material be-dienen können, um anschließend wieder (meist ei-genständig) an ihren regulären Plätzen zu arbei-ten.

Von diesen Formen soll das Lernen an Stationen bzw. das Stationenlernen abgegrenzt werden. Diese Unterrichtsmethode ist hier zu verstehen als ein unterrichtliches Verfahren, bei dem der unter-richtliche Gegenstand so aufgefächert wird, dass die einzelnen Stationen unabhängig voneinander bearbeitet werden können – die Schülerinnen und Schüler können die Reihenfolge der Stationen so-mit eigenständig bestimmen; sie allein entschei-den, wann sie welche Station bearbeiten wollen. Damit arbeiten die Lernenden weitgehend selbst-ständig und eigenverantwortlich (bei meist vorge-gebener Sozialform, welche sich aus der Aufga-benstellung ergeben sollte). Um der Heterogenität Rechung zu tragen, werden neben den Pflichtstati-onen, die von allen bearbeitet werden müssen, Zu-satzstationen angeboten, die nach individuellem Interesse und Leistungsvermögen ausgewählt werden können.

Aufgrund der Auffächerung des Gegenstandes in-unterschiedliche Schwerpunkte und der Untertei-lung in Pflicht- und Zusatzstationen, bietet es sich an, bei der Konzeption der einzelnen Stationen un-terschiedliche Lernzugänge zu verwenden. Auch hier wäre eine weitere schülerspezifischere Diffe-renzierung denkbar. Folglich ist es möglich, einen

4 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 4.

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inhaltlichen Schwerpunkt bspw. einmal über einen rein visuellen Text, zweitens mithilfe eines Bildes/einer Karikatur und drittens über ein akustisches Material anzubieten, und die Lernenden dürfen frei wählen, welchen Materialzugang sie verwenden möchten, jedoch unter der Prämisse, einen zu be-arbeiten.

Unter diesen Gesichtpunkten wird offensichtlich, dass das Stationenlernen eine Arbeitsform des of-fenen Unterrichtes ist.

Ursprung des Stationenlernens

Die Idee des Zirkulierens im Lernablauf stammt ur-sprünglich aus dem Sportbereich. Das „circuit trai-ning“, von Morgan und Adamson 1952 in England entwickelt, stellt im Sportbereich den Sportlern un-terschiedliche Übungsstationen zur Verfügung, welche sie der Reihe nach durchlaufen müssen. Der Begriff Lernen an Stationen wurde hingegen von Gabriele Faust-Siehl geprägt, die hierzu ihren gleichnamigen Aufsatz in der Zeitschrift „Grund-schule“ 1989 publizierte.1

Der Ablauf des Stationenlernens

Für die Gestaltung und Konzeption eines Statio-nenlernens ist es entscheidend, dass sich der un-terrichtliche Gegenstand in verschiedene Teilas-pekte aufschlüsseln lässt, die in ihrer zu bearbei-tenden Reihenfolge unabhängig voneinander sind. Damit darf jedoch die abschließende Bündelung nicht unterschlagen werden. Es bietet sich daher an, eine übergeordnete Problematik oder Frage-stellung an den Anfang zu stellen, welche zum Ab-schluss (dieser ist von der methodischen Reflexion zu unterscheiden) erneut aufgegriffen wird.

Der eigentliche Ablauf lässt sich in der Regel in vier Phasen unterteilen: 1. Die thematische und methodische Hinführung – hier wird den Schülerin-nen und Schülern einerseits eine inhaltliche Orien-tierung geboten und andererseits der Ablauf des Stationenlernens erklärt. Sinnvoll ist es an dieser Stelle gemeinsam mit den Lernenden die Vorteile, aber auch mögliche Schwierigkeiten der Methode zu besprechen. Hierauf folgt 2. ein knapper Über-blick über die eigentlichen Stationen – dieser Über-blick sollte ohne Hinweise der Lehrperson aus-kommen. Rein organisatorisch macht es daher Sinn, den jeweiligen Stationen feste (für die Ler-nenden nachvollziehbare) Plätze im Raum zuzu-

1 Vgl.: Faust-Siehl, Gabriele: Lernen an Stationen. In: Grundschule, Heft 3/1989. Braunschweig 1989, S. 22ff.

gestehen. 3. In der sich anschließenden Arbeits-phase erfolgt ein weitgehend selbstständiges Ler-nen an den Stationen. In dieser Phase können – je nach Zeit und Bedarf – Plenumsgespräche statt-finden. Zur weiteren Orientierung während der Arbeitsphase sollten zusätzliche Materialien, wie Laufzettel, Arbeitspässe, Fortschrittslisten o. Ä. verwendet werden. Diese erleichtern den Ablauf und geben den Lernenden eine individuelle Über-sicht über die bereits bearbeiteten und noch zur Verfügung stehenden Stationen. Bei einem sol-chen Laufzettel sollte auch eine Spalte für weitere Kommentare, welche später die Reflexion unter-stützen können, Platz finden. Darüber hinaus kann von den Schülerinnen und Schülern ein Arbeits-journal, ein Portfolio oder auch eine Dokumenten-mappe geführt werden, um Arbeitsergebnisse zu sichern und den Arbeitsprozess reflektierend zu begleiten. Ein zuvor ausgearbeitetes Hilfesystem kann den Ablauf zusätzlich unterstützen, indem Lernende an geeigneter Stelle Hilfe anbieten oder einfordern können. Am Ende schließt sich 4. eine Reflexionsphase (auf inhaltlicher und methodi-scher Ebene) an.

Die Rolle der Lehrkraft beim Stationenlernen

Als allererstes ist die Lehrperson – wie bei fast al-len anderen Unterrichtsmethoden auch – „Organi-sator und Berater von Lernprozessen“2. Sie stellt ein von den Lernenden zu bearbeitendes Material- und Aufgabenangebot zusammen. Der zentrale Unterschied liegt jedoch darin, dass sie sich wäh-rend des eigentlichen Arbeitsprozesses aus der frontalen Position des Darbietens zurückzieht. Die Lehrkraft regt vielmehr an, berät und unterstützt. Dies bietet dem Lehrer/der Lehrerin viel stärker die Möglichkeit, das Lerngeschehen zu beobachten und aus der Diagnose Rückschlüsse für die wei-tere Unterrichtsgestaltung sowie Anregungen für die individuelle Förderung zu geben. „Insgesamt agiert die Lehrperson somit eher im Hintergrund. Als ‚invisible hand‘ strukturiert sie das Lern-geschehen.“3

Vor- und Nachteile des Stationenlernens

Die Schülerinnen und Schüler übernehmen eine viel stärkere Verantwortung für ihren eigenen Lern-prozess und können somit (langfristig!) selbst-

2 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 6.3 Ebenda.

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3

2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 9


sicherer und eigenständiger im, aber auch außer-halb des Unterrichts agieren. Diese hohe Eigen-verantwortung bei zurückgenommener Anleitung durch die Lehrperson kann jedoch zu einer Über-forderung oder mangelnden Mitarbeit aufgrund der geringen Kontrolle führen. Beidem muss zielge-richtet begegnet werden, sei es durch die schon erwähnten Hilfestellungen oder durch eine (spä-tere) Kontrolle der Ergebnisse.

Eine Stärke des Stationenlernens besteht eindeu-tig in der Individualisierung des Unterrichtsgesche-hens – die Lernenden selbst bestimmen Zeitauf-wand und Abfolge der Stationen. Darüber hinaus können die unterschiedlichen Lerneingangskanäle sowie eine Differenzierung in Schwierigkeitsgrade als Ausgangspunkt des Lernprozesses genommen werden. Die Schülerinnen und Schüler können da-mit die ihnen gerade angemessen erscheinende Darstellungs- und Aufnahmeform erproben, erfah-ren und reflektieren. Damit kann eine heterogene Lerngruppe „inhalts- und lernzielgleich unterrichtet werden, ohne dass die Lernwege vereinheitlicht werden müssen.“1

Stationenlernen – Ein kurzes Fazit

Innerhalb der unterschiedlichen Fachdidaktiken herrscht seit Jahren ein Konsens darüber, dass sich das Lehr-Lern-Angebot der Schule verändern muss. Rein kognitive Wissensvermittlung im Sinne des „Nürnberger Trichters“ ist nicht gefragt und wi-derspricht allen aktuellen Erkenntnissen der Lern-psychologie. Eigenverantwortliches, selbstgestal-tetes und kooperatives Lernen sind die zentralen Ziele der Pädagogik des neuen Jahrtausends. Eine mögliche Variante, diesen Forderungen nachzu-kommen, bietet das Stationenlernen. Warum?

Stationenlernen ermöglicht u. a.:

1. Binnendifferenzierung und individuelle Förde-rung, indem unterschiedliche Schwierigkeits-grade angesetzt werden. Gleichzeitig können die Schülerinnen und Schüler auch ihre Kompe-tenzen im Bereich der Arbeitsorganisation aus-bauen.

2. einen Methoden- und Sozialformenwechsel, so-dass neben Fachkompetenzen auch Sozial-, Methoden- und Handlungskompetenzen geför-dert werden können.

1 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/ 2010, S. 6.

Grundsätzlich – so behaupte ich – lässt sich Sta-tionenlernen in allen Unterrichtsfächern durchfüh-ren. Grundsätzlich eignen sich auch alle Klassen-stufen für Stationenlernen. Trotz alledem sollten – wie bei jeder Unterrichtskonzeption – immer die zu erwartenden Vorteile überwiegen; diese Aussage soll hingegen kein Plädoyer für eine Nichtdurch-führung eines Stationenlernens sein! D. h. jedoch, dass – wie bei jeder Unterrichtsvorbereitung – eine Bedingungsanalyse unerlässlich ist!

Stationenlernen benötigt – rein organisatorisch – als allererstes Platz: Es muss möglich sein, jeder Station einen festen (Arbeits-) Platz zuzuweisen. Die Lehrkraft benötigt darüber hinaus für die Vor-bereitung im ersten Moment mehr Zeit – sie muss alle notwendigen Materialien in ausreichender An-zahl zur Verfügung stellen und das heißt vor allem: Sie benötigt Zeit für das Kopieren! Für den weite-ren Ablauf ist es sinnvoll, Funktionsaufgaben an die Lernenden zu verteilen – so kann bspw. je eine Schülerin oder je ein Schüler für eine Station die Verantwortung übernehmen: Sie/er muss dafür Sorge tragen, dass immer ausreichend Materialien bereit liegen.

Wichtiger jedoch ist die Grundeinstellung der Schülerinnen und Schüler selbst: Viele Lernende wurden regelmäßig mit lehrerzentriertem Frontal-unterricht „unterhalten“ – die Reaktionen der Schü-lerinnen und Schüler werden sehr unterschiedlich sein. Eine Lerngruppe wird sich über mehr Eigen-verantwortung freuen, eine andere wird damit maßlos überfordert sein, eine dritte wird sich ver-weigern. Daher ist es unerlässlich, die Lernenden (schrittweise) an offenere Unterrichtsformen her-anzuführen. Sinnvoll ist es daher, mit kleineren Formen des offenen Unterrichts zu beginnen; dies muss nicht zwingend ausschließlich in einem be-stimmten Fachunterricht erfolgen – der Lernpro-zess einer Klasse sollte auch hier ganzheitlich ver-standen werden! Absprachen zwischen den Kolle-ginnen und Kollegen sind somit auch hier uner-lässlich – letztendlich kann im Gegenzug auch wieder das gesamte Kollegium davon profitieren.


Ein Stationenlernen im Mathematikunterricht muss sich an den Inhalten und dem Aufbau der Bildungs-standards im Fach Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss orientieren. Das Einschlagen von individuellen Lösungswegen, das Analysieren

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von Lernergebnissen, das zielgerichtete Anwen-den von Formeln, Rechengesetzen und Rechenre-geln soll stets unter der Prämisse der Nutzbarkeit für das weitere Lernen und dem Einbezug in mög-lichst unterschiedliche kontextbezogene Situatio-nen gesehen werden. Der Schüler soll „auf diese Weise Mathematik als anregendes, nutzbringen-des und kreatives Betätigungsfeld erleben“1.

Dabei sind folgende sechs allgemeine mathemati-sche Kompetenzen Grundlage jeder Planung und unterrichtlichen Aufbereitung. Im Einzelnen han-deln es sich um:

� mathematisch argumentieren � Probleme mathematisch lösen � mathematisch modellieren � mathematische Darstellungen verwenden � mit symbolischen, formalen und technischen

Elementen der Mathematik umgehen � kommunizieren

Diese allgemeinmathematischen Kompetenzen gilt es inhaltsbezogen zu konkretisieren und mit ei-ner der fünf folgenden mathematischen Leitideen in Einklang zu bringen:

� Zahl � Messen � Raum und Form � funktionaler Zusammenhang � Daten und Zufall

Bezogen auf die Adressaten dieses Buches zum Stationenlernen – die Schüler der 9. Klasse – müs-sen folgende inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Berücksichtigung finden:

� Die Vorstellung von reellen Zahlen entspre-chend der Verwendungsnotwendigkeit

� Das sichere Anwenden der Grundrechenarten, des Quadrierens und Wurzelziehens im Zahlbe-reich der rationalen und reellen Zahlen

� Die Umformungsübungen zu Termen, insbeson-dere für den Zahlbereich der reellen Zahlen

� Die Äquivalenzumformungen bei Gleichungen und Ungleichungen, insbesondere bei der rech-nerischen Lösung von linearen Gleichungssys-temen

� Das Nutzen des Zusammenhangs von Rechen-operationen, deren Umkehrung sowie Kontroll-mechanismen

1 Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Bildungsab-schluss, Carl Link Verlag, S. 6.

� Das mathematische Lösen von Sachaufgaben und deren Kontrolle

� Das Beschreiben von Lösungswegen und deren Begründung

� Die Selbstformulierung mathematischer Prob-leme, deren sachgerechte Lösung und die Inter-pretation von Ergebnissen in Sachsituationen

� Das Umrechnen von Größen und deren situati-onsgemäße Anwendung

� Der Einsatz von Maßstäben und Streckenver-hältnissen

� Das Beschreiben und Begründen von Eigen-schaften und Beziehungen geometrischer Ob-jekte, insbesondere bei zentrischen Streckun-gen

� Die Analyse von Sachzusammenhängen durch Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte

� Das Anwenden von Sätzen der ebenen Geome-trie bei Konstruktion, Berechnung und Beweis für die Satzgruppe des Pythagoras

� Das Zeichnen und Konstruieren geometrischer Figuren mit entsprechenden Hilfsmitteln

� Das Analysieren und Vergleichen funktionaler Zusammenhänge und die Darstellung in tabel-larischer und grafischer Form

� Das grafische Interpretieren von linearen und quadratischen Gleichungen

� Das Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen sowie Gleichungssystemen mit-hilfe von Graph und Rechnung

� Das Berechnen von Unbekannten in rein- und gemischtquadratischen Gleichungen

� Das Herstellen von Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph

� Das Angeben von Sachsituationen bei vorgege-benen Funktionen

Dabei muss sich der unterrichtliche Gegenstand jeweils in mehrere voneinander unabhängige Teil-aspekte aufgliedern lassen. Dies ist auch im Fach Mathematik möglich, obwohl häufig Themen auf den vorherigen aufbauen bzw. ohne Kenntnis der erarbeiteten Rechenregeln nicht lösbar sind. Inner-halb eines Themengebietes ist die Reihenfolge der strukturellen Erarbeitung in vielen Fragestellungen austauschbar und von daher effektiv mithilfe des Stationenlernens umzusetzen.

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Satzgruppe des Pythagoras


Laufzettel

zum Stationenlernen Satzgruppe des Pythagoras

Kommentare:

Station 1

Satz des Pythagoras

Station 2

Kathete und Hypotenuse

Station 3

Kathetensatz

Station 4

Höhensatz

Station 5

Anwendung bei ebenen Figuren

Station 6

Anwendung bei Sachproblemen

Zusatzstation A

Längenberechnung bei Körpern

Zusatzstation B

Formelherleitung und Beweisführung

Zusatzstation C

Anwendung des Pythagoras im Bereich Sport

Hinweis:

Runde, wenn nicht anders

angegeben, auf zwei Nach-

kommastellen!

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6

Station 1 Aufgabe

Satz des Pythagoras

Aufgabe:Übe den Umgang mit rechtwinkligen Dreiecken sowie deren Bezeichnungen.

1. Welche Dreiecke sind rechtwinklig, welche nicht? Benenne für die rechtwinkligen Dreiecke die

Katheten und die Hypotenuse und schreibe die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras auf.

Benutze dein Heft.

2. Ermittle durch Abmessen die Seitenlängen der Dreiecke, benenne sie und schreibe in dein

Heft.

3. Für welche Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras? Zur Hilfe kannst du die Dreiecke auch in

dein Heft zeichnen.

Station 2 Aufgabe

Hypotenuse und Kathete

Aufgabe:Berechne Hypotenuse und Kathete.

1. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne die fehlenden Seitenlängen der rechtwinkligen

Dreiecke.

2. Bestimme in deinem Heft die fehlenden Seitenangaben x der folgenden rechtwinkligen

Dreiecke. Schreibe auf, ob die Hypotenuse oder eine Kathete gesucht ist. Welches dieser

Dreiecke ist gleichschenklig?

3. Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft, übernimm die folgenden Punkte und miss die

einzelnen Seitenlängen ab. Bestimme die Hypotenuse zusätzlich rechnerisch. Überlege dir bei

b) den Punkt C, sodass es ein rechtwinkliges Dreieck wird.

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7

Station 3 Aufgabe

Kathetensatz

Aufgabe:Rechne mit dem Kathetensatz.

1. Berechne in deinem Heft jeweils die fehlende Seitenlänge im rechtwinkligen Dreieck mit

� = 90°. Gib in b) die Lösung für beide Einheiten an.

2. Berechne die gesuchten Strecken in deinem Heft.

3. Bearbeite die folgende Aufgabe in deinem Heft.

Station 4 Aufgabe

Höhensatz

Aufgabe:Rechne mit dem Höhensatz.

1. Berechne in deinem Heft jeweils die fehlende Seitenlänge im rechtwinkligen Dreieck mit

� = 90° in Metern.

2. Um wie viel cm2 ist der Flächeninhalt des ersten Rechtecks größer, als der Flächeninhalt des

zweiten Rechtecks? Berechne in deinem Heft.

3. Bearbeite die folgende Aufgabe in deinem Heft.

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8

Station 5 Aufgabe


Aufgabe:Berechne Strecken, Flächeninhalt und Umfang bei ebenen Figuren.

1. Berechne die gesuchten Werte für die folgenden gleichseitigen Dreiecke in deinem Heft.

(A = Flächeninhalt, U = Umfang)

2. In einem gleichschenkligen Dreieck (mit Basislänge g, Schenkellänge s und Höhe h) sind

jeweils zwei Größen gegeben. Berechne die fehlende Größe in deinem Heft.

3. Berechne die gesuchten Längen in deinem Heft.

a) Gleichschenkliges Trapez, gesucht: Seite a

b) Drachen, gesucht: Strecke AB

Station 6 Aufgabe


Aufgabe:Löse die Sachprobleme aus dem täglichen Leben.

Bearbeite die Sachaufgaben 1–4 nach dem folgenden Prinzip:

Gegeben sind jeweils ein Sachverhalt und eine Frage, ggf. eine Skizze.

Deine Aufgabe ist es,

– die Rechnung durchzuführen,

– ggf. eine Skizze zu zeichnen

und einen passenden Antwortsatz zu formulieren.

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9

Zusatzstation A Aufgabe


Aufgabe:Berechne Längen bei Körpern mithilfe rechtwinkliger Dreiecke.

1. Berechne die gesuchten Werte für eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche in deinem

Heft.

2. In der Skizze eines Kegels sind die Größen r = Radius, s = Mantellinie und h = Höhe gegeben.

Berechne jeweils die fehlende Größe in deinem Heft.

3. Berechne für einen Würfel die folgenden Werte in deinem Heft.

Zusatzstation B Aufgabe


Aufgabe:Leite Formeln her und beweise.

1. Leite die Formel h = ��3 ¦ a2 aus der Formel h2 = a2 – (a

2)2

in deinem Heft her und überprüfe

anhand der folgenden Werte auf Gleichheit.

2. In einem gleichseitigen Dreieck gilt: A = a ¬ h2

. Leite eine Formel für den Flächeninhalt in deinem

Heft her, indem du die Größe h beseitigst und anschließend anhand der folgende Werte auf

Gleichheit überprüfst.

3. Beweise den Satz des Pythagoras a2 + b2 = c2 anhand der folgenden Grafik in deinem Heft.

Beschreibe die Grafik.

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Formel h = ��

folgend

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Zusatzstation C Aufgabe


Aufgabe:Löse die Sachaufgaben aus dem Sportbereich.

Bearbeite die Sachaufgaben 1–4 nach dem folgenden Prinzip:

Gegeben sind jeweils ein Sachverhalt und eine Frage, ggf. eine Skizze.

Deine Aufgabe ist es,

– die Rechnung durchzuführen,

– ggf. eine Skizze zu zeichnen

und einen passenden Antwortsatz zu formulieren.

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11Thomas Röser: Satzgruppe des Pythagoras© Persen Verlag

Station 1 Material

Satz des Pythagoras

Kathete

Hypothenuse

Kathete�

� �

In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten, die den rechten Winkel ein-schließen, Katheten. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längs te Seite des Dreiecks.

A B

C

C2

b2 a2

�

� �

Der Satz des Pythagoras (benannt nach Pythagoras von Samos) besagt Folgendes:In jedem rechtwinkligen Dreieck (� = 90°) hat das Hypotenusenquadrat den gleichen Flächeninhalt wie die beiden Kathetenquadrate zusammen: a2 + b2 = c2.Gilt umgekehrt für ein Dreieck a2 + b2 = c2, so liegt bei C ein rechter Winkel.

1. a) b) c) d) e)

b

c

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2. a) b)

3)

a) a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm b) a = 3,6 cm, b = 5,7 cm, c � 6,74 cm

c) a = 2,4 cm, b = 1 cm, c = 2,6 cm d) a = 12 cm, b = 5 cm, c = 14 cm

c

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Station 2 Material

Hypotenuse und Kathete

Um die Hypotenuse oder eine Kathete zu berechnen, gehst du so vor:

b = 6 cm

c = ? cm

a = 8 cm

C

A B

Beispiel 1 gegeben: Kathete a = 8 cm, Kathete b = 6 cmgesucht: Seite c (Hypotenuse)

Rechnung: a2 + b2 = c2 | einsetzen c2= (8 cm)2 + (6 cm)2 c2 = 100 cm2 | �� c = 10 cm

Beispiel 2gegeben: Kathete b = 2,8 cm, Hypotenuse c = 5,05 cmgesucht: Kathete a

Rechnung: a2 = c2 – b2 | einsetzen a2 = (5,05 cm)2 – (2,8 cm)2

a � 4,20 cm

1.

a) b) c) d) e) f)

a 3 8 5,4 7

b 5 7,8 6,2 14,7

c 11 15 25 34,6

2. a) b) c) d)

3,7x

2,2

3 x

2,6

2,8 2,5

x

4,1

5,8

x

3. a) A (1|1), B (6|5), C (1|5) b) A (– 3|0), B (2|5), C (?|?)

a

b

c

a)

3

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l 2eathen: Kaenn h

ht: Kathea h

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0 cm

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einsetzene)2

��

= 6 cm== c


Station 3 Material

Kathetensatz

Der Kathetensatz (auch bekannt als Kathe-tensatz des Euklid [griechischer Mathemati-ker]) besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über einer Kathete den gleichen Flächeninhalt hat wie das Recht-eck, das aus der Hypotenuse und dem anlie-genden Hypotenusenabschnitt gebildet wird.

Die Hypotenusenabschnitte werden mit p und q bezeichnet (Die zur Seite c gehörende Höhe h

c teilt die Hypotenuse in zwei Teilstre-

cken).

Dabei gilt: a2 = c ¦ p und b2 = c ± q.

BeispielIm rechtwinkligen Dreieck ABC mit � = 90° sind folgende Werte bekannt:gegeben: a = 7 cm und p = 6 cmgesucht: c

Rechnung: c = a2 : p c = (7 cm)2 : 6 cm c � 8,17 cm

1. a) b)

a 6 m 0,2 m

c 8,6 m 56,25 cm

p 6 cm 0,18 m

b 138 cm 5100 mm

c 5,3 m 64 dm

q 3,8 m 0,8 m

2. a) b)

b = ?

q 1,5 cm

7 cm

a = ?

b = 8,1 cm

6,4 cm p

c = ?

a = ?

c) gegeben: p = 5,5 cm; a = 8,4 cm gesucht: c, q, b

3. Berechne die Seitenlängen a, b, c eines rechtwinkligen Dreiecks ABC mit

a) � = 90° b) � = 90°

Die Hypotenusenabschnitte sind 3,3 cm und 1,2 cm. Fertige auch eine Skizze an.

b2

q

cq cp

p

C

a2

BA

b

c

a

m 56,2

6 cm

5 cm

ccm um u

ck ABkekaned p = 6 cmd = m

BC mit = 90°9eWere

Reche

= aaungn 2

c = (77c

cp BeieIm

n). )

abei gilt: a aa2

Die zure udie HypoteH p

useschnittc n

hnitte werdeh t w rgehöre öSeiteS t

enuse in u


Station 4 Material

Höhensatz

Der Höhensatz (auch bekannt unter Höhensatz des Euklid [griechischer Mathematiker]) besagt, dass in je-dem rechtwinkligen Dreieck das Hö-henquadrat den gleichen Flächenin-halt hat, wie die beiden Rechtecke die aus den Hypotenusenabschnitten gebildet werden.

Dabei gilt: h2 = p ± q = q ± p.

BeispielIm rechtwinkligen Dreieck ABC mit � = 90° sind folgende Werte bekannt:gegeben: h = 4,3 cm und q = 3,1 cmgesucht: pRechnung: p = h2 : q p = (4,3 cm)2 : 3,1 cm p � 5,96 cm

1.

h 0,03 km 234 mm 28,2 m 3,8 m

p 2,5 m 1,1 m 1400 cm 2,4 km

q 3,8 m 210 dm 79 dm 0,1 km

2. a) b)

1,4 cm

5,6 cm

4,4 cm2,5 cm

3.

Gegeben ist der Flächeninhalt eines Quadrates. Konstruiere dieses Quadrat mithilfe des Höhen-

satzes für

a) A = 6 cm2

b) A = 14 cm2

h2h

p

pq

pq

qp q

5,6

21

1

23

1,1 m

m 28,2

h22 : qq= (4,3= 4�� 6 cmm 5,95

q = 3q =cm um

m)m 2 : 3: cmmu

C mitekannt:k n,1 cm1 m

1.

p

q

p q

BeIm re � = 9=geg

i gilt: hh

pielp lchtwinkc w nklig

i

eidotenuo n

= q ± pq= p ± =


Station 5 Material


Mit dem Satz des Pythagoras können auch Seitenlängen in ebenen Figuren ermittelt werden, z. B. im gleichseitigen Dreieck, Rechteck oder Trapez. Dafür werden in den Figuren rechtwinklige Dreiecke gesucht, oder durch Hilfslinien geeignete rechtwinklige Dreiecke in die Figuren eingezeichnet.

BeispielGleichseitiges Dreieck mit a = 5 cm

Gesucht: Höhe h (Anwendung Pythagoras)

h2 = a2 – (a2)2

h2 = (5 cm)2 – (5 cm2 )2

h � 4,33 cm

Im gleichseitigen Dreieck gilt: h = �3 μ a2.

1.

a) gegeben: a = 8 cm; gesucht: h, A b) gegeben: a = 3,5 cm; gesucht: h, A, U

c) gegeben: h = 4,8 dm; gesucht: a, A d) gegeben: h = 12 mm; gesucht: a, A, U

2.

sh

s

g

a) g = 8 cm, s = 6 cm b) s = 6 dm, h = 4 dm c) h = 12 m, g = 33 m

3. a) b)

3 3

33

c = 2

d = 2,5 b = 2,5h = 2

aA B

CD

aha

a : 2

a

a : 2

C3

3A B3

3 3

3

3

f = 4,5

e = 4c 2,5

d a

A

D B

C

= 8 cm, s =

g

= 6 cm

egeben

: a = 3,5

: h = 12 m

m; ge

; ge

ht

a : 2 B33

c) gege

2

n: a = 8 cm

en: h = 4,8 d

ilt: t h

m; gesucht: h,

ges

= ��3aa

33A3

a h


Station 6 Material


Beispiel:

Sachverhalt: Die Bildfläche eines Laptops beträgt 21 cm ¦ 37 cm.Aufgabe: Berechne die Bildschirmdiagonale.Rechnung: Mithilfe des Satz des Pythagoras: c2 = a2 + b2 c2 = (21 cm)2 + (37 cm)2

c � 42,54 cmAntwort: Die Bildschirmdiagonale beträgt 42,54 cm.

1.

Eine 5,80 m lange Leiter steht am Fußpunkt 1,4 m von einer Mauer entfernt. In welcher Höhe be-

rührt die Leiter die Mauer?

2.

Ein Hausdach hat folgende Abmessungen. Wie lange müssen die Dachbalken sein (dick

markiert)? Beachte, das diese auf beiden Seiten 25 cm überstehen.

3.

Ein 7 m hoher und ein 3 m hoher Turm sollen an ihrer höchsten Stelle mit einem Draht verbunden

werden. Die Türme stehen 8 m auseinander. Wie lange muss der Draht mindestens sein, um die

Türme zu verbinden? Fertige dazu eine Skizze an.

4.7 cm

B

A

Ein Baumstamm ist 40 cm dick. Daraus soll die folgende Leiste hergestellt werden, während an

beiden Seiten jeweils 7 cm abgeschliffen werden. Wie lange ist die Seitenstrecke AB?

10,8 m25 cm

3,1 m

m hoh

rden. Die

zu verbin

er und ein 3 m

ürme steh

s diese

ho

ungen. Wie lan

den

25 cm

öhe be-

Ein Hau

3, m

t 1,4 m von einer Mauer en


Zusatzstation A Material


Um Längen in Körpern zu berechnen, müssen geeignete rechtwinklige Dreiecke gefunden und eingezeichnet werden, z. B.:

h

s

a

a

hs

Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und folgenden Werten:a = 5 cm, h

s = 4,75 cm

gesucht: h und s

h4,75

2,5 2,5

4,75s

h2 = hs2 – (a

2)2 s2 = (a2)2

+ hS

2

h; 4,04 cm s; 5,37 cm

1.

a) gegeben: a = 8 cm, h = 5 cm gesucht: hs, s

b) gegeben: hs = 7,5 dm, h = 6 dm gesucht: a, s

c) gegeben: s = 13,8 m, hs = 11,2 m gesucht: a, h

d) gegeben: a = 3,2 cm, s = 54 mm gesucht: hs, h in m

2.

sh

r

r = 3 cm, s = 5 cm b) r = 7 cm, h = 4,5 cm c) s = 12,6 m, h = 6,3 m

3.

a) Länge der Flächen-, und Raumdiagonalen bei der Kantenlänge a = 4 cm.

b) Kantenlänge und Länge der Flächendiagonalen bei der Raumdiagonalen

e = 6,6 cm.

3,8 m

: a = 3,2 cm,

m, h = 6

m, hs =

s

s = 54

gesucht: h

ges

ge

cmcmmmcmmhh;; 4,,44

1.

a) geg

–– ((aa)2

04 cm 04 cmm04 cm

44,7

d folgg WertenW r nWndendn ed


Zusatzstation B Material


Verschiedene Formeln können durch geschicktes Umformen von Rechenregeln hergeleitet werden, z. B. das Berechnen der Höhe/Flächeninhalt in einem gleichseitigen Dreieck.Unter einem Beweis versteht man in der Mathematik eine Herleitung auf Richtigkeit/Unrich-tigkeit einer Aussage.

1.

a) a = 7 cm b) a = 12,5 cm c) a = 17,8 cm

2.

a) a = 7 cm b) a = 12,5 cm c) a = 17,8 cm

3.

c2

c

a

b

a

b

c2

c) = 17,8 cm


Zusatzstation C Material


1. Ein Fußballtor ist 7,32 m breit und 2,44 m hoch. Wie weit ist die Entfernung vom Boden des

Elfmeterpunkts, wenn

a) der Ball geradewegs mittig auf die Latte trifft?

b) der Ball geradewegs an den linken/rechten unteren Pfosten trifft?

c) der Ball geradewegs ans linke/rechte Lattenkreuz trifft?

2.

A B

D C

15 m

28 m

Ein Basketballfeld hat die folgenden Maße.

Das Aufwärmprogramm mit Startpunkt A sieht folgendermaßen aus:

Zuerst laufen die Spieler fünf Runden an der Linie entlang um das Feld.

Anschließend von Punkt A zu Punkt C, von Punkt C zu Punkt B, von Punkt B zu Punkt D und

von Punkt D wieder zu Punkt A.

Wie viele Meter laufen die Spieler pro Aufwärmphase?

3. Beim Weitwurf wirft Martin den Ball 65,5 m weit, allerdings trifft er 8 m neben dem Maßband

auf. Wie viele Meter wurden ihm tatsächlich angerechnet? Fertige zusätzlich eine Skizze an

und beschrifte das Maßband.

4. Eine Tischtennisplatte hat die folgenden Abmessungen. Wie groß ist der Flächeninhalt der

Platte? (in m2)

72,6 cm 64,4 cm

7,9 cm

p atte hat

all 65,5

tatsächlich

ende

weit, allerding

ngerechnet

s trifft

B, vo

ld.

Punkt B zu Pun

m da

B

3. Beim W

f. Wi

und b

e Meter la

Weitwurf wir

Sta

r fünf Ru

Punkt A zu Pu

eder zu Punkt A.

ufen die Spi

n Maße

rtpunkt A sie

nden an der

kt C,

t folg


Abschließende Bündelung des Stationenlernens Material

Aufgaben zur Wiederholung

Wiederholung der Stationen 1–6 sowie der Zusatzstationen A–C

1. Berechne die fehlenden Längen der folgenden rechtwinkligen Dreiecke in den gegebenen Einheiten. Runde auf zwei Nachkommastellen. (A = Flächeninhalt, U = Umfang).

a) in cm b) in m c) in cm d) in mm

h 2,6 mp 6,5 cm 2230 mmq 2,7 ma 9,4 cm 12,4 mmbc 8,6 mA 208,32 mm2

U

2.

a) Bei einem Sturm knickt ein Baum in 3,80 m Höhe ab. Die Baumspitze liegt 15,7 m vom Baum-

stamm entfernt. Wie hoch war der Baum?

b) Bei einem Sturm knickt ein 23,5 m hoher Baum in 6,30 m Höhe ab. Wie weit liegt die Baum-

spitze vom Baumstamm entfernt?

Fertige für beide Aufgaben eine Skizze an.

3.

1 m

10 m

1 m

Beim Bau eines halbkreisförmigen 10 m breit en Tunnels, sollen jeweils rechts und links zwei 1 m

breite, nicht befahrbare Seitenbegrenzungen berücksichtigt werden. Weiterhin soll in der Höhe ein

Mindestsicherheitsabstand von 20 cm eingehalten werden. Wie hoch dürfen die Fahrzeuge maxi-

mal sein um den Tunnel zu durchfahren, wenn ein Sicherheitsabstand von 20 cm eingehalten

werden muss?

4. Berechne die gesuchten Werte.

a) gesucht: a b) gesucht: g, f

a

c = 3,5

b = 3,6d = 3,1h = 3

c =

3

a = 4b = 2,8

g

f

nicht

ndestsich

sein um de

n muss?

es halbkre

befahrbare S

rheitsabstan

n Tu

isförm

eiten

e ab. Wie weit lie

15,7 m vom B

gt diee

um-

3

für beide A

au

war dh

knickt ein 23,5

mstamm entfernt?

ufgaben ein

m in 3,80 m H

er Baum?

hohe

öhe a


3. Satzgruppe des Pythagoras – Lösungen

Station 1: Satz des Pythagoras

1.

a) Rechtwinklig, Katheten: a und b, Hypotenuse: c a2 + b2 = c2

b) Rechtwinklig, Katheten: x und z, Hypotenuse: y x2 + z2 = y2

c) Nicht rechtwinklig

d) Rechtwinklig, Katheten: v und w, Hypotenuse: u v2 + w2 = u2

e) Nicht rechtwinklig

2.

a) a, b = 4 cm, c = 7 cm

b) a = 4,52 cm, b = 5,52 cm, c = 3,17 cm

a) Hypotenuse c: 7 cm, Katheten: a = 4 cm, b = 4 cm

b) Hypotenuse b: 5,52 cm, Katheten: a = 4,52 cm, c = 3,17 cm

3.

Da die Dreiecke a), b) und c) rechtwinklig sind gilt der Satz des Pythagoras, für d) gilt er nicht.

Station 2: Hypotenuse und Kathete

1.

a) b) c) d) e) f)

a 3 8 � 12,81 5,4 7 � 31,32

b 5 � 7,55 7,8 6,2 24 14,7

c � 5,83 11 15 � 8,22 25 34,6

2.

a)

gesucht: Kathete a oder b

Rechnung: a2 = c2 – b2

a2 = 3,72 – 2,22

a � 2,97

b)

gesucht: Hypotenuse

Rechnung: c2 = a2 + b2

c2 = 32 + 2,62

c � 3,97

c)

gesucht: Hypotenuse


c2 = 2,52 + 2,82

c � 3,75

d)

gesucht: Kathete a oder b

Rechnung: b2 = c2 – a2

b2 = 5,82 – 4,12

b2 � 4,10

Dreieck ist gleichschenklig.

sucht: Ka

hnung: a2 =

a2

hete a oder b

c2

�

55 7,8

c)

2,81

d)

as, für d) gilt er nichy

1.

a

b

a

echt

otenuse und K

winklig sind g

th

b =

52 cm

t de

c = 3,17 cm


3.

a) Durch Abmessen: Katheten a = 5 cm, b = 4 cm, Hypotenuse c = 6,4 cm

Rechnerisch:

a2 + b2 = c2

(5 cm)2 + (4 cm)2 = c2

c � 6,4 cm

b) Der Punkt C kann im Punkt (2|0 ) oder im Punkt (– 3|5) eingetragen werden, beide Punkte bie-

ten die gleiche Seitenlängen.

Abmessen: Katheten a = 5 cm, b = 5 cm, Hypotenuse c = 7,07 cm

Rechnerisch für P (2 |0)

a2 + b2 = c2

(5 cm)2 + (5 cm)2 = c2

c � 7,07 cm

Station 3: Kathetensatz

1.

a)

a 6 m � 18,37 cm 0,2 m

c 8,6 m 56,25 cm � 0,22 m

p � 4,19 m 6 cm 0,18 m

b)

b � 4,49 m 138 cm 5100 mm

c 5,3 m � 2,38 m / 238 cm 64 dm

q 3,8 m 0,8 m � 40,64 dm / 4064 mm

2.

a) q = c – p = 7 cm – 1,5 cm = 5,5 cm

a2 = c Ý p b2 = c Ý q

a2 = 7 cm Ý 1,5 cm b2 = 7 cm Ý 5,5 cm

a � 3,24 cm b � 6,2 cm

b) c = b2 : q

c = (8,1 cm)2 : 6,4 cm

c � 10,25 cm

p = c – q = 10,25 cm – 6,4 cm = 3,85 cm

a2 = c Ý p

a2 = 10,25 cm Ý 3,85 cm

a � 6,28 cm

c) a2 = c Ý p und b2 = c Ý q

c = (8,4 cm)2 : 5,5 cm � 12,83 cm

q = c – p = 12,83 cm – 5,5 cm = 7,33 cm

b2 = c Ý q

b2 = 12,83 cm Ý 7,33 cm

b � 9,7 cm

p

a = c Ý p2 = 7 cm Ý 1

3,24 cm

= 7 cm – 1,5

b2

5 cm

cm =

� 2,38

138 cm

m / 2

� 0

0

0,2 m

22

b)

c

q

� 4

8,6 m

,19 m


3.

a)

�

� �

1,2 cm

3,3 cm

A

a

B

b

C

c

Hypotenuse:

Seite a (1,2 cm + 3,3 cm = 4,5 cm)

b2 = a Ý p

b2 = 4,5 cm Ý 1,2 cm

b � 2,32 cm

c2 = a Ý q

c2 = 4,5 cm Ý 3,3 cm

c � 3,85 cm

b)

�

�

�

1,2 cm

3,3 cm

A

a

B

b

C

c

Hypotenuse:

Seite b (1,2 cm + 3,3 cm = 4,5 cm)

a2 = b Ý p

a2 = 4,5 cm Ý 1,2 cm

a � 2,32 cm

c2 = b Ý q

c2 = 4,5 cm Ý 3,3 cm

c � 3,85 cm

Station 4: Höhensatz

1.

h � 3,08 m 0,03 km 234 mm 28,2 m 3,8 m � 489,9 m

p 2,5 m � 42,86 m 1,1 m 1400 cm � 1,83 m 2,4 km

q 3,8 m 210 dm � 0,05 m � 56,8 m 79 dm 0,1 km

2.

Um den Flächeninhalt zu berechnen, werden zunächst die Seitenlängen a und b des Rechtecks

ermittelt.

1. Rechteck

Dafür wird zunächst die Höhe berechnet und anschließend der Satz des Pythagoras angewendet:

Höhensatz: h2 = 1,4 cm Ý 5,6 cm

h = 2,8 cm

Pythagoras: a2 = (1,4 cm)2 + (2,8 cm)2

a � 3,13 cm

b2 = (5,6 cm)2 + (2,8 cm)2

b � 6,26 cm

Flächeninhalt: a Ý b � 19,6 cm2

2. Rechteck:

Dafür wird zunächst die Strecke p ermittelt und anschließend der Satz des Pythagoras angewendet:

Höhensatz: p = (2,5 cm)2 : 4,4 cm

p � 1,42 cm

Pythagoras: a2 = (1,42 cm)2 + (2,5 cm)2

a � 2,87 cm

b2 = (4,4 cm)2 + (2,5 cm)2

b � 5,06 cm

Flächeninhalt: a Ý b � 14,52 cm2

ninh

= 2,

: = (1,4

a 3,13

b2 = (5

4 cm Ý 5

cm

cm)2

m

net und ansch

nächst diee Seitenlän en

1,83 m

79 dm

m � 489

m 2,4 km

m

9 m

Um den

ermittelt.

1. Rechtec

Dafür w

lächeninhal

6 m

210 dm

u be

234 m

1,1 m

�

m


Antwort: Der Flächeninhalt des ersten Rechtecks ist um � 5,08 cm2 größer.

Bemerkung: Die Seitenbezeichnung für a und b kann natürlich auch vertauscht werden.

3.

Lösungsvorgang:

a) Zeichne ein Rechteck mit z. B. a = 2 cm und b = 3 cm. Die Seite b = 3 cm wird nun um 2 cm ver-

längert und man erhält die Seite c mit q = 3 cm, p = 2 cm. Mithilfe des Thaleskreises lässt sich

nun einfach ein rechtwinkliges Dreieck erstellen. Die Höhe des Dreiecks erhält man nun aus dem

Schnittpunkt der kürzeren Rechteckseite und dem Thaleskreis. Laut Höhensatz ist diese Höhe

nun eine Seite des gesuchten Quadrats. Die Länge beträgt �6 � 2,45 cm.

Dieselbe Vorgehensweise gilt für b), z. B. ein Rechteck mit a = 2 cm und b = 7 cm.

Station 5: Anwendung bei ebenen Figuren

1.

a) h2 = (8 cm)2 – (8 cm2 )

2

h; 6,93 cm

A = g · h

2 =

8 cm · 6,93 cm 2

= 27,72 cm2

b) h2 = (3,5 cm)2 – ( 3,5 cm2 )

2

h; 3,03 cm

A = g · h

2 =

3,5 cm · 3,03 cm 2

= 5,3 cm2

U = 3 Ý 3,5 cm = 10,5 cm

c) h = �3 μ a2

⇔

a = 2 · h�3

a = 2 · 4,8 dm�3

a � 5,54 dm

A � 13,3 dm2

d) a = 2 · 12 mm

�3

a � 13,86 mm

A � 83,16 mm2

U � 41,58 mm

2.

a) ges.: h

h2 = s2 – (g2 )

2

h2 = (6 cm)2 – (8 cm2 )

2

h � 4,47 cm

b) (g2 )

2= s2 – h2

g2

4 = (6 dm)2 – (4 dm)2

g2 = 80 dm

g � 8,94 dm

c) s2 = h2 + (g2 )

2

s2 = (12 m)2 + (33 m2 )

2

s � 20,4 m

5,54

A � 13,3

dm

m2

d) a = 2 ·

�

Ý 3,5 c

2 mm�

= 10

3,03 c2

cm = 10,5 cm

m = 5,3 cm23,5

c) h = �3

a =2 ·�

a2

⇔

= 27, 2 cm

h2 = (3,5 c

h; 3 03

m)2 – ( 3,5

= 7 cm


3.

a)

Nenne x das Teilstück der Seite a.

x2 = d2 – h2

x2 = 2,52 – 22

x = 1,5

Addieren: 2 Ý 1,5 + 2 = 5 = Seite a

b)

Zuerst wird die kleinere Strecke von A nach C berechnet (von der Kreuzung bis Punkt C).

(Klein f)2 = b2 – (e : 2)2

(Klein f)2 = 2,52 – (4 : 2)2

Klein f = 1,5

Damit sind die Maße von Seite f) bekannt:

f = 4,5 Kleiner Teil von f = 1,5 Großer Teil von f = 3

Jetzt kann die Strecke AB bzw. Seite a (Hypotenuse) berechnet werden:

a2 = (e : 2)2 + (Großer Teil f)2

a2 = (4 : 2)2 + (3)2

a ≈ 3,6

Station 6: Anwendung bei Sachproblemen

1.

Frage: In welcher Höhe berührt die Leiter die Mauer?

Rechnung: Gesucht ist die Länge der Seite a.

a2 = c2 – b2

a2 = (5,8 m)2 – (1,4 m)2

a � 5,63 m

Antwort: Die Leiter berührt die Mauer in einer Höhe von 5,63 m.

2.

Frage: Wie lange müssen die Dachbalken sein?

Rechnung: Einteilung in zwei gleich große Rechtecke, wobei die Dachbalken jeweils als Hypo-

tenuse angenommen werden.

c2 = a2 + b2

c2 = (3,1 m)2 + (5,4 m)2

c � 6,23 m

6,23 m + 0,25 m = 6,48 m

Es gilt: 2 Ý 6,48 m = 12,96 m.

Antwort: Die Dachbalken müssen jeweils 6,48 m lang sein.

W

nung:

5,6

Die Leite

Wie la

– (

3 m

berü

hrt die

der Seite a

er die Mauer?

1.

Frage: Rechnun

Anw

In wel

wendung bei S

otenu

3

e) berechne


3.

Frage: Wie lange muss der Draht mindestens sein, um die Türme zu verbinden?

Skizze:

7 m

3 m

8 m

Rechnung: gegeben: Kathete a = 4 m, Kathete b = 8 m

gesucht: Hypotenuse c

c2 = a2 + b2

c2 � 8,94 m

Antwort: Der Draht muss mindestens 8,94 m lang sein, um die Türme zu verbinden.

4.

Frage: Wie lang ist die Seitenstrecke AB?

Rechnung: gegeben: c = 40 cm und damit p = 7 cm und q = 33 cm

gesucht: h2

h2 = p Ý q

h2 = 7 cm Ý 33 cm

h � 15,2 cm

Um die ganze Strecke AB zu bekommen wird die Höhe verdoppelt.

AB = 30,4 cm

Antwort: Die Strecke AB ist 30,4 cm lang.

Zusatzstation A : Längenberechnung bei Körpern

1.

a) hS2 = h2 + (a

2 )2 s2 = (a

2 )2 + hS

2

hS2 = (5 cm)2 + (4 cm)2 s2 = (4 cm)2 + (6,4 cm)2

hS � 6,4 cm s � 7,55 cm

b) (a2 )

2 = hS

2 – h2 s2 = (a2 )

2 + hS

2

(a2 )

2 = (7,5 dm)2 – (6 dm)2 s2 = (4,5 dm)2 + (7,5 dm)2

a = 9 dm s � 8,75 dm

= h2 + (2

= (5

n A :

)2

Län

e AB zu

4 cm lang.

ech

ommen wird ddie H

mq =

Antwort

h

h2 = 7 c

15,

Um di

Seit

c = 40

cht: h2

p Ý q

m Ý 33 c

enstrecke AB

cm und dam

8,94 m ang sein, um die Tü


c) (a2 )

2 = s2 – hS

2 h2 – hS2 = (a

2 )2

(a2 )

2 = (13,8 m)2 – (11,2 m)2 h2 = (11,2 m)2 – (8,06 m)2

a � 16,12 m h � 7,78 m

d) hS2 = s2 – (a

2 )2 h2 = hS

2 – (a2 )

2

hS2 = (5,4 cm)2 – (1,6 cm)2 h2 = (5,16 cm)2 – (1,6 cm)2

hS � 5,16 cm � 0,052 m h = 4,91 cm � 0,049 m

2.

a) b) c)

h2 = s2 – r2 s2 = r2 + h2 r2 = s2 – h2

h2 = (5 cm)2 – (3 cm)2 s2 = (7 cm)2 + (4,5 cm)2 r2 = (12,6 cm)2 – (6,3 cm)2

h = 4 cm s � 8,32 cm r � 10,91

3.

a) Flächendiagonale f:

f2 = a2 + a2

f2 = (4 cm)2 + (4 cm)2

f � 5,65 cm

Raumdiagonale e:

e2 = f2 + a2

e2 = (5,65 cm)2 + (4 cm)2

e � 6,92 cm

b) Raumdiagonale e:

e2 = f2 + a2 |aus der Formel der Flächendiagonale bekannt: f2 = a2 + a2 = 2 ¦ a2

e2 = 3 Ý a2 |Umstellen nach a

a = fVVVe2

3 a � 3,81 cm und die Flächendiagonale f beträgt 5,39 cm.

Zusatzstation B: Formelherleitung und Beweisführung

1. Herleiten der Formel:

h2 = a2 – (a2 )

2 � Klammer ausmultiplizieren

h2 = a2 – a2

4 � a2 erweitern mit 4

h2 = 4a2

4 –

a2

4 � auf einen Bruchstrich bringen

h2 = 3 · a2

4 � �

h = fVVVVVVVV3 · a2

4 = �3 · a2

�4 � Teilweises Wurzelziehen

h = �3 · a2

Herleiten

h2 a2 (2 )

ation B: F

der Formel:

)2

Forme

onale f beträgt

le bekannt: f2 = a + a2e

e2 = 3

a = fVV a �

gonale

+ a2 |aus de

a2 |Umste

e:

Forme

R

e2

e2

aumdiagon

f2

r2 =

r � 10

s2 – h2

12,6 cm)2 – (

,91


a) h2 = (7 cm)2 – (7 cm2 )

2 h = �3 ·

7 cm2

h � 6,06 cm h � 6,06 cm

b) h2 = (12,5 cm)2 – (12,5 cm2 )

2 h = �3 ·

12,5 cm2

h � 10,83 cm h � 10,83 cm

c) h2 = (17,8 cm)2 – (17,8 cm2 )

2 h = �3 ·

17,8 cm2

h � 15,42 cm h � 15,42 cm

2.

Herleitung der Formel um die Größe h zu beseitigen.

A = a · h

2 =

12

· a · h � Ersetze durch �3 · a2

A = 12

· a · �3 · a2

� Zusammenfassen

A = �3 · a2

4

a) A = a · h

2 A = �3 ·

a2

4

A = 7 cm · �36,75 cm2

2 A = �3 ·

(7 cm)2

4

A � 21,22 cm2 A � 21,22 cm2

b) A = a · h

2 A = �3 ·

a2

4

A = 12,5 cm · �117,1875 cm2

2 A = �3 ·

(12,5 cm)2

4

A � 67,66 cm2 A � 67,66 cm2

c) A = a · h

2 A = �3 ·

a2

4

A = 17,8 cm · �237,63 cm2

2 A = �3 ·

(17,8 cm)2

4

A � 137,2 cm2 A � 137,2 cm2

3.

Beschreibung:

In der Grafik sind in einem großen Quadrat vier rechtwinklige kongruente Dreiecke um ein kleine-

res Quadrat eingezeichnet.

Die Dreiecke haben die Katheten a und b sowie die Hypotenuse c. Das kleinere Quadrat hat den

Flächeninhalt c2.

A �

A = a ·

2

67,66 cm2

h

�117,12

A

A = �3

A 21,22

4

· (7 cm)2

4

A �

b)

= 7 cm · �3

2

21,22 c

6,75 cm

Zusammen

urch ��3 · a2

assen


Beweis:

Der Flächeninhalt des gesamten, großen Quadrats besteht aus Länge (a + b) Ý Länge (a + b),

folglich (a + b)2, ausmultipliziert a2 + 2ab + b2.

Für die vier Dreiecke gilt: 4 · (a · b2 ) = 2ab, mit a = Grundseite und b = Höhe.

Das große Quadrat muss den gleichen Flächeninhalt haben, wie die Summe aus dem Flächenin-

halt des kleinen Quadrats und den vier Dreiecken.

Zusammengefasst gilt also:

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab | – 2ab

a2 + b2 = c2

Damit ist der Satz des Pythagoras bewiesen.

Zusatzstation C: Anwendung des Pythagoras im Bereich Sport

1.

a)

Frage: Wie weit ist die Entfernung vom Boden des Elfmeterpunkts, wenn der Ball gerade-

wegs mittig auf die Latte trifft?

Rechnung: geg.: Katheten a = 11 m, b = 2,44 m

ges.: Hypotenuse c

c2 = a2 + b2

c2 = (11 m)2 + (2,44 m)2

c � 11,27 m

Antwort: Die Entfernung vom Elfmeterpunkt bis zur Mitte der Latte beträgt 11,27 m.

b)


wegs an den linken/rechten unteren Pfosten trifft?

Rechnung: gegeben: Katheten a = 11 m, b = 3,66 m (7,32 m : 2)

gesucht: Hypotenuse c

c2 = a2 + b2

c2 = (11 m)2 + (3,66 m)2

c � 11,6 m

Antwort: Die Entfernung vom Elfmeterpunkt bis zum linken/rechten unteren Pfosten beträgt

11,6 m.

ung

c

we

wegs an

gegeben: K

gesucht: H

t ist di

den lin

athe

lfmeterpun

ung

bis zur Mi

wenn der Ball ger de-

Antwort:

b)

ges.

c2 = a2

= (11

c � 11

ntf

auf die L

Katheten a = 11

Hypotenuse c

b2

ernung vom B

tte trif

, b =

Py

oden

oras im Bereich S


c)


wegs ans linke/rechte Lattenkreuz trifft?

Rechnung: geg.: Katheten a = 11,6 m (Entfernung bis zum unteren Pfosten), b = 2,44 m

ges.: Hypotenuse c

c2 = a2 + b2

c2 = (11,6 m)2 + (2,44 m)2

c � 11,85 m

Antwort: Die Entfernung vom Elfmeterpunkt bis zum linken/rechten Lattenkreuz beträgt

11,85 m.

2.

Frage: Wie viele Meter laufen die Spieler pro Aufwärmphase?

Rechnung: geg.: Länge a = 28 m, Breite b = 15 m

ges.: Diagonale (Hypotenuse)

c2 = a2 + b2

c2 = (28 m)2 + (15 m)2

c � 31,76

Aufwärmstrecke: Fünf Runden entspricht U = 5 Ý 2 Ý (a + b)

10 Ý (28 m + 15m)

U = 430 m

Strecke A nach C: 31,76 m

Strecke C nach B: 15 m

Strecke B nach D: 31,76 m

Strecke D nach A: 15 m

Gesamtstrecke: 430 m + 2 Ý 31,76 m + 2 Ý 15 m = 523,52 m

Antwort: Die Spieler laufen pro Aufwärmphase 523,52 m.

3.

Frage: Wie viele Meter wurden ihm tatsächlich angerechnet?

Rechnung: geg.: Kathete a = 8 m, Hypotenuse c = 65,5 m

ges.: Kathete b

b2 = c2 – a2

b2 = (65,5 m)2 – (8 m)2

b = 65 m

Antwort: Martin werden tatsächlich nur 65 m angerechnet.

65

m

6055504545353525251515

50

8

65,5

Abwurflinie

65

b

b

rt:

g.: Ka

ges.: Kath

b2 = c2 – a2

b2 = (6

e Mete

hete a

te b

+ 2 Ý

Aufwärmp

ihm

76 m + 2 Ý 15 m

ase 523,52 m

m = 52

0 m

Antwort:

3.

Streck

Strecke

Gesam

e A nach C: 31

cke C nach B: 15

B nach D:

nac

unden

6 m

ntspr cht U = 5


4.

Frage: Wie groß ist der Flächeninhalt der Platte? (in m2)?

Zuerst sollte ein rechtwinkliges Dreieck eingezeichnet werden um die Höhe h zu

ermitteln.

Da das Rechteck nur über die Hälfte der Breite geht, damit es rechtwinklig ist, muss

es verdoppelt und jeweils zweimal die restlichen 7,9 cm dazu addiert werden.

72,6 cm

7,9 cm

64,4 cm

Rechnung: h2 = p Ý q

h2 = 72,6 cm Ý 64,4 cm

h � 68,38 cm

2 Ý (68,38 cm + 7,9 cm) ≈ 152,56 cm = Breite = Seite b

Seite a berechnet sich: 2 Ý (72,6 cm + 64,4 cm) = 274 cm

Der Flächeninhalt beträgt dann: A = a Ý b = 152,56 cm Ý 274 cm = 41 801,44 cm2

= 4,18 m2

Antwort: Der Flächeninhalt der Tischtennisplatte beträgt 4,18 m2.

Abschließende Bündelung des Stationenlernens

1.

h 6,8 cm 4 m 2,6 m 11,64 mm

p 6,5 cm 5,9 m 2230 mm 4,30 mm

q 7,1 cm 2,7 m 303,14 cm 31,54 mm

a 9,4 cm 7,12 m 342,53 cm 12,4 mm

b 9,83 cm 4,82 m 399,37 cm 33,6 mm

c 13,6 cm 8,6 m 526,14 cm 35,8 mm

A 46,24 cm2 17,2 m2 68398,2 cm2 208,32 mm2

U 32,83 cm 20,54 m 1268,04 cm 81,82 mm

2.

a)

Frage: Wie hoch war der Baum?

geg.: Kathete a = 3,8 m, Kathete b = 15,7 m

ges.: Hypothenuse c


c2 = (3,8 m)2 + (15,7 m)2

c � 16,15 m

Antwort: Der Baum war 19,95 m hoch.

c

46

,1 cm

9,4 cm

9,83 cm

13,6 c

m

4 m

5

onenlerne

gt 4,1

ens

8 m2.

4 cm = 41 801,44 cm

18 m

6 cm

Absch

1.

h

ießende B

nhalt be

Flächeninhalt der

d

152,

ch: 2 Ý (72,6 c

trägt dann: A

6 cm

m + 6

= Breite =


?3,8 m

15,7 m

b)

Frage: Wie weit liegt die Baumspitze vom Baumstamm entfernt?

geg.: Kathete a = 6,5 m, Hypothenuse c (23,5 m – 6,3 m) = 17,2 m

ges.: Kathete b

Rechnung: b2 = c2 – a2

b2 = (17,2 m)2 – (6,5 m)2

b � 16 m

Antwort: Die Baumspitze liegt 16 m vom Baumstamm entfernt.

17,2 m

?

6,30 m

3.

Frage: Wie hoch dürfen die Fahrzeuge maximal sein um den Tunnel zu durchfahren, wenn

ein Sicherheitsabstand von 20 cm eingehalten werden muss?

q = 9 m p = 1 m

h

geg.: q = 9 m, p = 1 m, c = 10 m

ges.: Höhe h

Rechnung: h2 = p Ý q

h2 = 9 m Ý 1 m

h = 3 m

Antwort: Bis zu 2,80 m hohe Fahrzeuge dürfen den Tunnel durchfahren.

g

q = 9 m

eg : q

geha

n um d

ten werden

n Tun

mus

den Tunnel zu duWie

ein Sich

hoch dürfen die F

erheitsa

6,30 m


4.

a)c = 3,5

b = 3,6

a a2a1

d = 3,1 h = 3

Zunächst sollte das nicht gleichschenklige Trapez in zwei rechtwinklige Dreieck und ein Rechteck

folgendermaßen eingeteilt werden:

Rechnung: a12 = d2 – h2 a2

2 = b2 – h2

a12 = 3,12 – 32 a2

2 = 3,62 – 33

a1 � 0,78 a2 � 1,99

a = a1 + c + a2

a = 0,78 + 3,5 + 1,99

a = 6,27

Antwort: Die Länge a beträgt 6,27.

b)

Strecke f:

geg.: Katheten b, a

ges.: Hypothenuse f

Rechnung:f2 = b2 + a2

f2 = 42 + 2,82

f � 4,88

Strecke g:

geg.: Katheten f, c

ges.: Hypothenuse g

Rechnung:g2 = f2 + c2

g2 = 4,882 + 32

g � 5,73

Antwort: Die Länge f beträgt 4,88, die Länge g beträgt 5,73. 88, die Läng

= f

g2 = 4,88

g � ,73

e g be

ng:c2

+ 32

use g

n f, c

b

f2 = 42 + 2

f 88

Antwort:

,82

e f

Stre

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Thomas Röser Satzgruppe des Pythagoras