Die Berechnung der Antwort auf eine harmonische Anre- gung...

Prof. Dr. Wandinger 5. Methode der finiten ElementeStrukturdynamik

26.02.19

3. Frequenzganganalyse

● Die Berechnung der Antwort auf eine harmonische Anre-gung wird als Frequenzganganalyse bezeichnet.

● Mithilfe der Frequenzganganalyse werden die Übertra-gungsfunktionen berechnet.

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3. Frequenzganganalyse

3.1 Grundgleichung

3.2 Direkte Frequenzganganalyse

3.3 Modale Frequenzganganalyse

3.4 Praktische Hinweise

26.02.19

3.1 Grundgleichung

● Grundgleichung:

– Aus der Bewegungsgleichung

für das Finite-Elemente-Modell folgt mit

die Grundgleichung der Frequenzganganalyse:

– [L] und [U] sind komplexe Matrizen mit den Informationen über Amplitude und Phase.

[ M ] [ u (t )]+ [ D ] [ u (t )]+ [ K ] [u (t )]= [ l (t )]

[ l (t )]=ℜ ( [L (Ω)] eiΩ t ) , [u (t )]=ℜ ( [U (Ω)] e iΩ t )

(−Ω2[ M ]+ iΩ [D ]+ [K ] ) [U (Ω)]=[L (Ω) ]

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3.1 Grundgleichung

– Die komplexe Matrix

heißt dynamische Steifigkeitsmatrix.

● Partitionierung:

– Unterteilung der Grundgleichung in lokale Freiheitsgrade und Freiheitsgrade mit vorgegebenen Verschiebungen er-gibt:

[K d(Ω)]=[ K ]+ iΩ [D ]−Ω

[ [K L Ld(Ω)] [K L P

d(Ω)]

[K L Pd(Ω) ]

T[K P P

d(Ω) ] ][

[U L(Ω) ][U P (Ω)] ]=[

[ LL (Ω)][LP (Ω) ]]

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3.1 Grundgleichung

– Bei reiner Kraftanregung sind die vorgeschriebenen Ver-schiebungen null. Für die Verschiebungen an den lokalen Freiheitsgraden folgt:

– Für die Lagerreaktionen gilt:

– Bei reiner Bewegungsanregung sind die Kräfte an den loka-len Freiheitsgraden null. Für die Verschiebungen folgt:

[K L Ld(Ω)] [U L(Ω)]= [LL(Ω)]

[LP (Ω)]= [K L Pd(Ω) ]

T[U L(Ω) ]

[K L Ld(Ω)] [U L(Ω)]=−[K L P

d(Ω)) [U P(Ω)]

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3.1 Grundgleichung

– Für die Lagerreaktionen gilt:

– Im allgemeinen Fall lautet die Gleichung zur Berechnung der Verschiebungen an den lokalen Freiheitsgraden:

● Lastmuster:

– Reale Lasten lassen sich durch Überlagerung von Lastmus-tern beschreiben:

[LP (Ω)]= [K L Pd(Ω) ]

T[U L(Ω) ]+[ K P P

d(Ω)] [U P (Ω)]

[K L Ld(Ω)] [U L(Ω)]= [LL(Ω)]− [K L P

d(Ω) ] [U P (Ω)]

[ l (t )]=∑k

[ l k ]ϕk (t )

26.02.19

3.1 Grundgleichung

– Die Lastmuster [lk ] beschreiben die räumliche Verteilung der Last und die Funktionen ϕk(t) die zeitliche Abhängigkeit.

– Für die Frequenzganganalyse folgt:

– Für die Ermittlung der Übertragungsfunktionen werden die Antworten [Uk(Ω)] für jeweils ein Lastmuster mit Φk(Ω) = 1 berechnet.

– In dem häufigen Fall, dass die Übertragungsfunktionen für Einzellasten zu berechnen sind, enthält das Lastmuster nur einen einzigen Eintrag, und zwar in der Zeile, die dem Frei-heitsgrad entspricht, an dem die Last angreift.

[L (Ω) ]=∑k

[L k ]Φk (Ω)

26.02.19

● Methode:

– Die Grundgleichung der Frequenzganganalyse wird für jede gewünschte Erregerkreisfrequenz Ω gelöst.

● Vorteile:

– Es werden keine weiteren Näherungen gemacht.

– Frequenzabhängige Steifigkeits- oder Dämpfungsmatrizen, wie sie z. B. bei viskosen Dämpfern auftreten, können leicht berücksichtigt werden.

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● Nachteile:

– Für jede Erregerkreisfrequenz muss ein komplexes lineares Gleichungssystem von sehr großer Dimension gelöst wer-den.

– In der Nähe der Resonanzfrequenzen kann das Glei-chungssystem schlecht konditioniert sein.

● Einsatz:

– Die direkte Frequenzganganalyse kommt zum Einsatz, wenn die Antwort nur für sehr wenige Erregerfrequenzen zu berechnen ist.

5.3-10

26.02.19

● Methode:

– Die Antwort wird durch eine Überlagerung von Eigenvekto-ren approximiert. Dabei ist die Anzahl der verwendeten Ei-genvektoren klein im Vergleich zur Anzahl der Freiheitsgra-de.

● Vorteile:

– Das zu lösende Gleichungssystem ist von wesentlich klei-nerer Dimension als bei der direkten Frequenzganganalyse.

– Im Falle von modaler Dämpfung ergeben sich entkoppelte Gleichungen.

5.3-11

26.02.19

● Nachteile:

– Die Methode liefert eine Näherungslösung für die Grund-gleichung der Frequenzganganalyse.

– Wenn die Matrizen frequenzabhängig sind, sind weitere Näherungen nötig.

– Es muss zuerst eine Modalanalyse durchgeführt werden, um die Eigenvektoren und Eigenfrequenzen zu ermitteln.

● Einsatz:

– Die modale Frequenzganganalyse wird verwendet, wenn die Antworten für sehr viele Erregerfrequenzen gesucht sind. Sie ist daher die Standardmethode für die Berechnung von Übertragungsfunktionen.

5.3-12

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3.3.1 Modale Reduktion

3.3.2 Verbesserte modale Reduktion

3.3.3 Fehlerabschätzung

3.3.4 Modale Beiträge

3.3.5 Bewegungsanregung

3.3.6 Modale effektive Massen

5.3-13

26.02.19

● Transformation auf modale Koordinaten:

– Da die Eigenvektoren eine Basis bilden, lässt sich jeder Verschiebungsvektor als Linearkombination der Eigenvekto-ren darstellen:

– Mit den Matrizen

– [UL] und [Q] sind komplexe Matrizen, während [X] reell ist.

[U L ]=∑n=1

[ xn ] Q n

[ X ]= [ [ x1 ] ⋯ [ x N ] ] und [Q ]T= [Q1 ⋯ QN ]

[U L ]= [X ] [Q ]

5.3-14

26.02.19

– Einsetzen in die Grundgleichung und Projektion auf die Ei-genvektoren ergibt:

– Mit den modalen Matrizen

[ X ]T [K L L

d ] [X ] [Q ]= [X ]T[ LL ]

[ M ]X= [X ]T[M L L ] [X ] , [D ]X= [X ]

T[ DL L ] [X ]

[ K ]X= [X ]T[ K L L ] [X ] , [ L ]X=[ X ]

T[ LL ]

[K d ]X [Q ]= [L ]X

[ X ]T [K L L

d ] [X ]=[K d ]X=−Ω2[M ]X+ iΩ [ D ]X+ [ K ]X

5.3-15

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– Wenn die Eigenvektoren massennormiert sind, folgt aus den Orthogonalitätseigenschaften der Eigenvektoren:

– Die Gleichungen sind nur über die Dämpfung gekoppelt.

– Bei modaler Dämpfung gilt:

[ M ]X= [ I ] , [K ]X=[ω1

2⋯ 0

⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ ωN2 ]=[Ω ]

[ D ]X=[2ω1 D1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 2ωN DN

5.3-16

26.02.19

– Bei modaler Dämpfung sind die Gleichungen entkoppelt:

– Daraus lassen sich die modalen Koeffizienten bestimmen:

– Die modale Übertragungsfunktion

stimmt mit der Übertragungsfunktion eines Systems mit ei-nem Freiheitsgrad überein.

(−Ω2+2 iΩωn Dn+ωn

2 )Q n= [ xn ]T[LL ] , n=1,… , N

Q n (Ω)=[ x n ]

T[ LL ]

ωn2−Ω

2+2 iΩωn Dn

=H (ηn , Dn)[ xn ]

T[LL ]

ωn2 , ηn=

H (η , D )= 11−η2

+2 i D η

5.3-17

26.02.19

● Modale Reduktion:

– Da der Rechenaufwand zur Ermittlung aller Eigenschwin-gungen in der Regel deutlich größer ist als der Rechenauf-wand zur Lösung der Grundgleichung, ist die modale Trans-formation für die praktische Berechnung unbrauchbar.

– Die meisten Eigenfrequenzen liegen jedoch weit oberhalb der Erregerfrequenz. Ihre Antwort ist daher mit guter Nähe-rung quasistatisch.

– Daher ergeben sich bereits brauchbare Ergebnisse, wenn nur die p ≪ N Eigenschwingungen mit den niedrigsten Ei-genfrequenzen verwendet werden.

5.3-18

26.02.19

– Mit den Abkürzungen

lauten die Gleichungen für die modale Reduktion:

[X p ]= [ [ x1 ] ⋯ [ x p ] ] , [Q p ]= [Q1 ⋯ Q p ]T

[ M ] p=[X p ]T[ M L L ] [X p ]= [ I ] p , [K ] p= [X p ]

T[ K L L ] [X p ]= [Ω ] p

[ D ] p=[X p ]T[ DL L ] [X p ] , [L ] p=[X p ]

T[ LL ]

[U L ]≈ [U Lp ]= [X p ] [Q p ]

[K d ] p [Qp ]= [L ] p

[K d ] p= [K ] p−Ω2[M ] p+ iΩ [ D ] p= [Ω

2 ]p−Ω

2[ I ] p+ iΩ [D ] p

5.3-19

26.02.19

– Die Anzahl der benötigten Eigenschwingungen ergibt sich aus der Bedingung

– In der Praxis ist p um mehrere Zehnerpotenzen kleiner als N, so dass sich die modale Reduktion auch dann lohnt, wenn die Dämpfung nicht modal ist.

ηp<0, 3 → ω p>3Ωmax , f p>3 f max

5.3-20

26.02.19

● Motivation:

– Bei der gewöhnlichen modalen Reduktion wird die quasista-tische Antwort der weggelassenen Eigenvektoren komplett vernachlässigt.

– Damit ergibt sich eine brauchbare Näherung für die Ver-schiebungen, wenn gilt:

– Diese Bedingung ist in der Praxis meist erfüllt.

maxn> p

{|[ xn ]T[LL ]|/ωn

2 }≪maxn≤ p

{|( [ x n ]T[ LL ] )|/ωn

5.3-21

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– Antworten wie Verzerrungen und Spannungen beruhen auf räumlichen Ableitungen der Eigenfunktionen, die mit ab-nehmender Wellenlänge zunehmen.

– Deshalb ist der Beitrag der höheren Eigenschwingungen zu den Verzerrungen und Spannungen größer als zu den Ver-schiebungen.

– Daher sind die mit der modalen Reduktion berechneten Nä-herungen für die Verzerrungen und Spannungen oft nicht befriedigend.

– Wird die quasistatische Antwort der weggelassenen Eigen-vektoren berücksichtigt, ergeben sich für alle Antworten gute Näherungen.

5.3-22

26.02.19

● Methode der modalen Beschleunigungen:

– Da die Antwort der weggelassenen Eigenvektoren quasista-tisch ist, können die Beiträge zu den Trägheits- und Dämp-fungskräften vernachlässigt werden.

– Umstellen der Grundgleichung ergibt zunächst:

– Werden die Trägheits- und Dämpfungskräfte mit den aus der modalen Reduktion gewonnenen Verschiebungen be-rechnet, können korrigierte Verschiebungen aus

berechnet werden.

[ K L L ] [U L ]=[ LL ]+(Ω2[ M L L ]−iΩ [D L L ] ) [U L ]

[ K L L ] [U Lpc ]= [ LL ]+(Ω

2[M L L ]−iΩ [ DL L ] ) [X p ] [Q p ]

5.3-23

26.02.19

– Das Verfahren der modalen Beschleunigungen wird im Eng-lischen als Mode Acceleration Method oder Force Summa-tion Method bezeichnet.

– Zur Berechnung der verbesserten Verschiebungen muss ein lineares Gleichungssystem gelöst werden.

– Die rechte Seite hängt von der Erregerkreisfrequenz Ω ab. Wenn die Antwort für viele Erregerfrequenzen gesucht ist, treten viele rechte Seiten auf.

– Die Berechnung kann dann recht aufwändig werden.

5.3-24

26.02.19

● Restmodekorrektur:

– Die Verschiebungen setzen sich zusammen aus den mit der modalen Reduktion berechneten Verschiebungen und einer Korrektur:

– Der Korrekturterm beschreibt den Beitrag der in der moda-len Reduktion vernachlässigten Eigenvektoren.

– Wenn die Antwort der vernachlässigten Eigenvektoren qua-sistatisch ist, gilt näherungsweise:

[U L ]= [U Lp ]+ [ΔU L ]

[ΔU L ]≈ ∑n= p+1

2 [ x n ] [ x n ]T[ LL ]

5.3-25

26.02.19

– Für Ω = 0 liefert die Grundgleichung die statische Lösung:

– Für die modalen Koeffizienten der statischen Lösung gilt:

– Multiplikation mit der Steifigkeitsmatrix ergibt:

[ K L L ] [U LS ]=[ LL ]

2 [ x n ]T[ LL ] → [U L

S ]=∑n=1

2 [ xn ] [ xn ]T[LL ]

[ K L L ]∑n=1

2 [ xn ] [ xn ]T[LL ]= [ K L L ] [U L

S ]= [ LL ]

5.3-26

26.02.19

– Daraus lässt sich die Summe über die vernachlässigten Ei-genvektoren berechnen:

– Mit folgt für die Korrektur:

– Auf der rechten Seite dieser Gleichung stehen die Lasten abzüglich der Lasten, die von den berechneten Eigenvekto-ren aufgenommen werden.

[ K L L ] ∑n= p+1

2 [ x n ] [ xn ]T[LL ]=[ LL ]−∑

2 [ K L L ] [ x n ] [ xn ]T[ LL ]

[ K L L ] [ x n ]=ωn2[ M L L ] [ xn ]

[ K L L ] [ΔU L ]= [ LL ]−[ M L L ] [X p ] [X p ]T[ LL ]

5.3-27

26.02.19

– Für eine Last der Form

werden zunächst die Korrekturen

ermittelt.

– Damit lassen sich die Korrekturen für die einzelnen Erreger-frequenzen leicht berechnen:

[LL(Ω) ]=∑k

[LLk ]Φk (Ω)

[ΔU Lk ]=[ K L L ]−1 ( [ LLk ]−[ M L L ] [ X p ] [X p ]

T[ LLk ] )

[ΔU L(Ω) ]=∑k

[ΔU Lk ]Φk (Ω)

5.3-28

26.02.19

● Erweiterte modale Reduktion:

– Bei der erweiterten modalen Reduktion wird die quasistati-sche Antwort der vernachlässigten Eigenvektoren durch zu-sätzliche Vektoren berücksichtigt, die aus den Lastmustern gewonnen werden.

– Zunächst wird für jedes Lastmuster ein statischer Vektor aus der Gleichung

gewonnen.

[ K L L ] [~x kS ]= [ LLk ]−[ M L L ] [X p ] [X p ]

T[ LLk ]

5.3-29

26.02.19

– Für diese Vektoren gilt:

– Diese statischen Vektoren sind also massenorthogonal be-züglich den berechneten Eigenvektoren.

– Durch Linearkombination der statischen Vektoren lassen sich neue Vektoren gewinnen, die massenorthonormal sind.

– Dazu werden die statischen Vektoren zu einer Matrix zu-sammengefasst:

[ x n ]T[ M L L ] [~x k

S ]=1ωn

2 [ x n ]T[ K L L ] [~x k

2 ( [ x n ]T[ LL ]−[ x n ]

T[ M L L ] [ x n ] [ xn ]

T[ LL ] )=0

[~X S ]=[ [~x 1S] … [~x K

5.3-30

26.02.19

– Die Lösung des projizierten Eigenwertproblems

liefert Vektoren ,

die orthogonal bezüglich der Massenmatrix und der Steifig-keitsmatrix sind und massennormiert werden können.

– Die modale Reduktion erfolgt nun mit der Matrix

– Damit kann die statische Antwort exakt wiedergegeben werden.

[~X S ]T[ K L L ] [

~X S ] [~Q ]=[~X S ]T[ M L L ] [

~X S ] [~Q ] [~Ω ]2

[X S ]=[~X S ] [~Q ]

[X pe ]=[[X p] [X S

5.3-31

26.02.19

– Die Eigenkreisfrequenzen des projizierten Eigenwertpro-blems sind deutlich höher als die Eigenkreisfrequenzen der p berechneten Eigenschwingungen. Sie haben keine physi-kalische Bedeutung.

5.3-32

26.02.19

● Die Qualität der mit modaler oder verbesserter modaler Reduktion gewonnenen Lösung kann mithilfe des Fehlers in der Formänderungsenergie beurteilt werden.

● Der Fehler in der Formänderungsenergie kann bereits vor Durchführung der Frequenzganganalyse abgeschätzt werden.

● Formänderungsenergie:

– Die zeitabhängige Formänderungsenergie berechnet sich zu

eF(t )=1

2 [u (t )]T[ K ] [u (t ) ]=

12 [uL(t ) ]

T[K L L ] [uL(t ) ]

5.3-33

26.02.19

– Im Falle eines harmonischen zeitlichen Verlaufs gilt für den zeitlichen Mittelwert der Formänderungsenergie:

● Fehler in der Formänderungsenergie:

– Der Fehler in der Formänderungsenergie ist definiert durch

– Mit Hn = H(ηn , Dn ) gilt für die Verschiebungen:

E F=⟨ eF

(t ) ⟩= 14 [U L ]

H[ K L L ] [U L ]

ΔE Fp=

14 ( [U L ]

H[ K L L ] [U L ]−[U L

p ]H[ K L L ] [U L

[U L ]=∑n=1

ωn2 [ x n ] [ xn ]

T[ LL ] , [U L

p ]=∑n=1

ωn2 [ x n ] [ x n ]

T[ LL ]

5.3-34

26.02.19

– Unter Berücksichtigung der Orthogonalitätseigenschaften der Eigenvektoren folgt für den Fehler in der Formände-rungsenergie:

● Abschätzung des Fehlers:

– Wegen ηp < 1 gilt für n > p :

– Daraus folgt:

Δ E Fp=

14 ∑n= p+1

|H n|2( [ xn ]

T[LL ]

ωn )2

ηn=Ω/ωn<ηp → H n<H p

ΔE Fp<

H p|2 ∑

n= p+1

( [ x n ]T[ LL ]

ωn )2

5.3-35

26.02.19

– Die Summe über die weggelassenen Eigenvektoren lässt sich mithilfe der Formänderungsenergie der statischen Lö-sung berechnen.

– Für die statische Lösung gilt:

– Die Formänderungsenergie der statischen Lösung berech-net sich zu

[uL ]=[ K L L ]−1

[ LL ]=∑n=1

N [ xn ] [ x n ]T[ LL ]

12 [uL ]

T[K L L ] [uL ]=∑

[ xn ]T[ LL ]

ωn )2

+ ∑n= p+1

[ x n ]T[ LL ]

ωn )2

5.3-36

26.02.19

– Mit den modalen Formänderungsenergien

folgt:

– Damit gilt für den Fehler in der Formänderungsenergie:

[ x n ]T[ LL ]

ωn )2

∑n= p+1

( [ xn ]T[ LL ]

ωn )2

=2 ∑n= p+1

E nF=2 E S

F−2∑

ΔE Fp<

H p|2 (E S

F−∑

E nF )

5.3-37

26.02.19

– Als Fehlermaß dient der auf die statische Formänderungs-energie bezogene Fehler in der Formänderungsenergie:

– Der erste Faktor strebt mit zunehmendem p gegen eins, während der zweite Faktor gegen null strebt.

– Die modalen Formänderungsenergien zeigen an, wie stark die einzelnen Eigenvektoren an der Lösung beteiligt sind.

eFp=Δ E Fp

E SF <

H p|2 (1−∑n=1

p E nF

E SF )

5.3-38

26.02.19

– Wird die quasistatische Antwort der weggelassenen Eigen-schwingungen durch eine Restmodekorrektur oder die er-weiterte modale Reduktion berücksichtigt, gilt:

– Daraus folgt für das Fehlermaß:

– Bei Berücksichtigung der quasistatischen Antwort streben beide Faktoren des Fehlermaßes gegen null.

12 (|H p|

2−1 )(1−∑n=1

p E nF

E SF )

[U Lp ]=∑

ωn2 [ x n ] [ xn ]

T[ LL ]+ ∑

n= p+1

2 [ xn ] [ xn ]T[LL ]

5.3-39

26.02.19

● Beispiel:

– Daten:● a = 2,5 m● E = 2,1·1011 Pa, ρ = 7850 kg/m3

● A = 10-4 m2, Iz = 10-6 m4

● Dämpfung:

Dn=12 (αKωn+

αMωn )

mit αK=2⋅10−5 s , αM=71s

5.3-40

26.02.19

– Gesucht:● Übertragungsfunktionen für eine Kraft in x-Richtung am Punkt

G:HBG : Verschiebung in x-Richtung am Punkt BHEG : Verschiebung in x-Richtung am Punkt EHGG : Verschiebung in x-Richtung am Punkt G

● Frequenzbereich: 0 Hz bis 300 Hz

– Modale Reduktion:● Berechnet werden die ersten 25 Eigenschwingungen.● Die Frequenz der höchsten berechneten Eigenschwingung

liegt bei 514,2 Hz.

5.3-41

26.02.19

● Normierte modale Formänderungsenergien:Modal strain energies of component "frame"

Loadcase 1:

mode frequency En/ES Sum 1 - Sum

1 8.70 Hz 9.30696e-01 0.930696 6.93044e-02 2 30.10 Hz 3.87359e-02 0.969432 3.05685e-02 3 50.05 Hz 1.44658e-05 0.969446 3.05540e-02 4 57.53 Hz 7.71215e-06 0.969454 3.05463e-02 5 58.02 Hz 2.59130e-02 0.995367 4.63331e-03 6 60.26 Hz 8.02391e-06 0.995375 4.62528e-03 7 122.86 Hz 5.68203e-05 0.995432 4.56846e-03 8 139.56 Hz 2.51060e-05 0.995457 4.54336e-03 … … … …

23 447.48 Hz 1.25179e-07 0.998569 1.43132e-03 24 489.79 Hz 2.96397e-04 0.998865 1.13492e-03 25 514.25 Hz 1.81427e-04 0.999047 9.53496e-04

5.3-42

26.02.19

● Bezogener Fehler in der Formänderungsenergie:

● Die Fehleranalyse zeigt, dass die Anzahl der Eigenschwin-gungen ausreichend ist.

5.3-43

26.02.19

● Eigenschwingungen:

● Die Vernetzung ist fein genug.

5.3-44

26.02.19

– Übertragungsfunktionen:

5.3-45

26.02.19

● Frequenzraster:

– 300 gleichmäßig gewählte Frequenzen zwischen 1 Hz und 300 Hz

– 9 gleichmäßig gewählte Frequenzen pro Halbwertsbreite– Fehler in den Verschiebungen:

● Die folgenden Diagramme zeigen die Beträge der Differenzen zwischen den mit direkter Frequenzganganalyse und den mit modaler Reduktion berechneten Übertragungsfunktionen, be-zogen auf das Ergebnis der direkten Frequenzganganalyse.

5.3-46

26.02.19

5.3-47

26.02.19

5.3-48

26.02.19

– Bezogener Fehler in der Formänderungsenergie:

5.3-49

26.02.19

● Definition:

– Für jede Antwort R, die linear von den Verschiebungen ab-hängt, gilt:

– Dabei ist Rn die aus dem n-ten Eigenvektor berechnete Ant-wort, z. B. eine Verschiebung oder eine Spannungskompo-nente.

– Die Summanden

geben die Beiträge der einzelnen Eigenschwingungen zur gesamten Antwort an.

– Sie heißen modale Beitragsfaktoren.

R=∑n=1

Q n Rn=∑n=1

C n=Q n Rn

5.3-50

26.02.19

– Die normierten modalen Beitragsfaktoren sind die durch die Gesamtantwort dividierten modalen Beitragsfaktoren:

– Modale Beitragsfaktoren und normierte Beitragsfaktoren sind komplexe Größen.

● Interpretation:

– Aus

folgt, dass die Summe der Realteile der normierten moda-len Beitragsfaktoren eins ergibt und die Summe der Imagi-närteile null.

c n=C n /R

∑n=1

c n=1R∑n=1

5.3-51

26.02.19

– Anhand der Realteile der normierten modalen Beitragsfak-toren kann festgestellt werden, welche Eigenschwingungen den größten Beitrag zur Antwort liefern.

– Positive Realteile zeigen an, dass die Eigenschwingung ei-nen Beitrag liefert, der in Phase mit der gesamten Antwort ist.

5.3-52

26.02.19

● Bewegungsgleichung:

– Bei reiner Bewegungsanregung lautet die zu lösende Glei-chung:

– Bei der direkten Frequenzganganalyse wird diese Glei-chung für jede Erregerfrequenz gelöst.

– Die Lagerreaktionen folgen dann aus

[K L Ld(Ω)] [U L(Ω)]=−[K L P

d(Ω)] [U P (Ω)]

[LP (Ω)]= [K L Pd(Ω) ]

T[U L(Ω) ]+[ K P P

d(Ω)] [U P (Ω)]

5.3-53

26.02.19

● Modale Frequenzganganalyse:

– Zur Berechnung der Eigenvektoren wird die Struktur an den Freiheitsgraden festgehalten, an denen die Verschiebungen vorgeschrieben sind.

– Der Ansatz

ist ungünstig, da die Eigenformen bei Annäherung an den Rand mit der vorgeschriebenen Bewegung stetig gegen null gehen, während die tatsächliche Verschiebung stetig gegen die vorgeschriebene Verschiebung geht.

– Um eine gute Näherung zu erreichen, wird deshalb eine sehr große Anzahl von Eigenvektoren benötigt.

[U Lp ]≈ [X p ] [Q p ]

5.3-54

26.02.19

– Wesentlich günstiger ist eine Aufspaltung der Verschie-bungsantwort in eine statische Grundbewegung und eine Antwort relativ zu dieser Grundbewegung:

– Die statische Grundbewegung ist die statische Verformung infolge der vorgeschriebenen Verschiebungen:

– Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt:

[U L ]= [U LG ]+[U L

[ K L L ] [U LG ]+ [ K L P ] [U P ]= [0 ] → [U L

G ]=−[ K L L ]−1

[ K L P ] [U P ]

[K L Ld ] [U L

r ]=−(−Ω2[M L L ]+ iΩ [ DL L ] ) [U L

G ]−(−Ω

2[M L P ]+ iΩ [ DL P ] ) [U P ]

5.3-55

26.02.19

– Die Relativverschiebungen werden durch eine Überlage-rung der Eigenvektoren approximiert:

– Projektion auf die Eigenvektoren ergibt:

– Die Eigenschwingungen werden durch die Trägheitskräfte und die Dämpfungskräfte infolge der vorgeschriebenen Be-wegung angeregt.

[U Lrp ]= [X p ] [Q p ]

[K d ] p [Qp ]=Ω2 [X p ]

T( [ M L L ] [U L

G ]+ [ M L P ] [U P ] )

−iΩ [X p ]T( [ DL L ] [U L

G ]+ [ DL P ] [U P ] )

5.3-56

26.02.19

– Solange die Erregerfrequenz kleiner als etwa 30 % der ers-ten Eigenfrequenz ist, können diese Trägheits- und Dämp-fungskräfte vernachlässigt werden. Dann folgt die Antwort der Struktur quasistatisch der vorgeschriebenen Bewegung.

● Dämpfungsmatrix:

– Wenn die Dämpfung durch modale Lehrsche Dämpfungs-maße beschrieben wird, ist die Dämpfungsmatrix [DLL] nicht gegeben.

– Bekannt ist: [ D ] p=[X p ]T[ DL L ] [X

p ]=[2ω1 D1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 2ω p D p

5.3-57

26.02.19

– Für die Matrix [X] aller Eigenvektoren gilt:

– Für die Dämpfungsmatrix folgt:

– Mit

lautet die zu lösende Gleichung:

[ I ]= [X ]T[ M L L ] [X ] → [X ]

−1= [X ]

T[ M L L ]

[ X ]T[ DL L ]= [X ]

T[ DL L ] [X ] [X ]

−1= [D ]X [X ]

T[ M L L ]

[X p ]T[ DL L ]= [D ] p [X

p ]T[ M L L ]

[K d ] p [Qp ]=Ω2

[ X p ]T ( [ M L L ] [U L

G ]+ [ M L P ] [U P ] )

−iΩ ( [ D ] p [Xp ]

T[ M L L ] [U L

G ]+ [X p ]T[ DL P ] [U P ] )

5.3-58

26.02.19

● Fehlerabschätzung:

– Für die Formänderungsenergie gilt:

– Wegen

[K ] [U ]=14( [U G ]

H+ [U r ]

H) [ K ] ( [U G ]+ [U r ] )

=14( [U G ]

H[K ] [U G ]+ [U G ]

H[K ] [U r ]+ [U r ]

H[K ] [U G ]+ [U r ]

H[ K ] [U r ] )

[ K ] [U G ]=[ [K L L ] [U LG ]+ [ K L P ] [U P ]

[ K L P ]T [U L

G ]+ [ K P P ] [U P ] ]=[[0 ]

[ LP ]] , [U r ]=[ [U Lr ]

[0 ] ]

[U G ]H

[K ] [U r ]=0, [U r ]H

[ K ] [U G ]=0

5.3-59

26.02.19

– Mit folgt für die Formänderungsenergie:

– Für den Fehler in der Formänderungsenergie folgt:

– Werden die Dämpfungskräfte vernachlässigt, gilt:

[U Lr ]=∑

[ xn ] Q n

[U G ]H

[K ] [U G ]+14∑n=1

ωn2|Q n|

Δ E Fp=

14 ∑n= p+1

ωn2|Q n|

Q n=H nΩ

ωn2 [ x n ]

T ( [ M L L ] [U LG ]+ [ M L P ] [U P ] )

5.3-60

26.02.19

– Für den Fehler folgt:

– Die Summe über die vernachlässigten Eigenvektoren kann wie im Falle der Kraftanregung mithilfe der statischen Lö-sung von

berechnet werden.

– Beim Bilden des bezogenen Fehlers kürzt sich der Faktor Ω4.

Δ E Fp<

H p|2Ω

4 ∑n= p+1

( [ xn ]T ( [M L L ] [U L

G ]+ [ M L P ] [U P ] )ωn

[ K L L ] [uL ]=Ω2 ( [ M L L ] [U L

G ]+ [ M L P ] [U P ] )

5.3-61

26.02.19

● Restmodekorrektur:

– Die Restmodekorrektur kann wie im Falle der Kraftanre-gung berechnet werden.

– Dabei wird die Last

verwendet.

[ LL ]=Ω2 ( [ M L L ] [U L

G ]+ [M L P ] [U P ] )

5.3-62

26.02.19

● Wenn die Bewegung der Lagerung im Wesentlichen eine Starrkörperbewegung ist, kann der Fehler in der Formän-derungsenergie mithilfe der modalen effektiven Massen abgeschätzt werden.

● Starrkörperbewegungen:

– Jede Starrkörperbewegung lässt sich als Überlagerung der sechs elementaren Starrkörperbewegungen darstellen.

– Die elementaren Starrkörperbewegungen sind:● 3 Einheitstranslationen in x-, y- oder z-Richtung● 3 Einheitsrotationen um die x-, y- oder z-Achse

5.3-63

26.02.19

● Modale Partizipationsfaktoren:

– Sei [Rk] eine der sechs elementaren Starrkörperbewegun-gen:

Wird angenommen, dass die Starrkörperbewegungen un-gedämpft sind, d. h.

lautet die Gleichung für die Relativbewegung:

[ DL L ] [ RkL ]=[0 ] und [ DL P ] [RkP ]= [0 ] ,

[K L Ld ] [U L

r ]=Ω2( [ M L L ] [ RkL ]+ [ M L P ] [ RkP ] )

[U P ]=[ RkP ] , [U LG ]=[ RkL ]

5.3-64

26.02.19

– Die modale Reduktion ergibt:

– Mit den modalen Partizipationsfaktoren

folgt:

(1+2 i Dnηn−ηn2 )Q n=ηn

2[ xn ]

T( [ M L L ] [ RkL ]+ [ M L P ] [ RkP ] ) , n=1,… , p

Γkn= [ x n ]T( [ M L L ] [ RkL ]+ [ M L P ] [ RkP ] )

Q n=ηn2 H nΓkn , H n=H (ηn , Dn)

5.3-65

26.02.19

● Interpretation der modalen Partizipationsfaktoren:

– Die modalen Partizipationsfaktoren hängen mit den Lager-kräften zusammen, die bei einer Eigenschwingung auftre-ten.

– Für eine Eigenschwingung gilt:

– Die resultierende Lagerkraft berechnet sich zu

−ωn2 [ [ M L L ] [M L P ]

[ M L P ]T

[ M P P ]][[ x n ][0 ] ]+[

[ K L L ] [K L P ]

[ K L P ]T

[ K P P ]] [[ x n ][0 ] ]=[

[ LP ] ]

[ RkP ]T[ LP ]=(−ωn

2[ RkP ]

T[ M L P ]

T+ [ RkP ]

T[ K L P ]

T) [ xn ]

5.3-66

26.02.19

– Mit

folgt:

– Damit ist gezeigt:

– Die modalen Partizipationsfaktoren sind proportional zu den resultierenden Lagerreaktionen infolge einer Eigenschwin-gung.

[ RkL ]T[ K L L ]+ [ RkP ]

T[K L P ]

T=[0 ] und [ K L L ] [ x n ]=ωn

2[M L L ] [ x n ]

[ RkP ]T[ K L P ]

T[ xn ]=− [ RkL ]

T[ K L L ] [ x n ]=−ωn

2[ RkL ]

T[ M L L ] [ x n ]

[ RkP ]T[ LP ]=−ωn

2( [ RkP ]

T[ M L P ]

T+ [ RkL ]

T[M L L ] ) [ x n ]=−ωn

5.3-67

26.02.19

– Eigenschwingungen, für die die resultierenden Lagerkräfte klein sind, werden durch eine Starrkörperbewegung der La-gerpunkte wenig angeregt.

● Modale effektive Massen:

– Wenn die Struktur eine Starrkörperschwingung ausführt, gilt für den zeitlichen Mittelwert der kinetischen Energie:

– Die Starrkörperbewegung an den lokalen Freiheitsgraden kann als Überlagerung der Eigenvektoren dargestellt wer-den:

E kK=Ω

4 [ Rk ]T[ M ] [ Rk ]≈

4 [ RkL ]T[ M L L ] [ RkL ]

[ RkL ]=∑n=1

[ x n ] qkn=∑n=1

[ x n ] [ xn ]T[ M L L ] [ RkL ]

5.3-68

26.02.19

– Mit folgt:

– Die Summanden heißen modale effektive Massen.

– Für ihre Summe gilt:

– Für Einheitstranslationen gilt:

– Für Einheitsrotationen gilt:

[ x n ]T[ M L L ] [ RkL ]≈Γkn

[ RkL ]=∑n=1

Γkn [ xn ] , E kK=Ω

4 ∑n=1

Γkn2=Ω

4 [ Rk ]T

[M ] [ Rk ]

mkk=m für k=1, 2, 3

m44=J x , m55=J y , m66=J z

∑n=1

Γkn2= [ Rk ]

T[M ] [ Rk ]=mkk

5.3-69

26.02.19

● Fehlerabschätzung:

– Mit

folgt für den Fehler in der Formänderungsenergie:

– Wegen ηp < 1 gilt für n > p :

– Daraus folgt:

[ x n ]T[ LL ]=Ω

2[ x n ]

T( [ M L L ] [ RkL ]+ [ M L P ] [RkP ] )=Ω

Δ E Fp=Ω

4 ∑n= p+1

ηn2|H n|

ηn=Ω/ωn<ηp → H n<H p

Δ E Fp<Ω

2|H p|

2 ∑n= p+1

5.3-70

26.02.19

– Mit

lässt sich die Abschätzung berechnen:

– Als Fehlermaß wird der auf die kinetische Energie bezoge-ne Fehler in der Formänderungsenergie verwendet:

∑n=1

Γkn2=mkk → ∑

n= p+1

Γkn2=mkk−∑

ΔE Fp<Ω

2|H p|

2(mkk−∑n=1

Γkn2 )

eFkp=ΔE Fp

E kK <ηp

2|H p|

2(1−∑n=1

5.3-71

26.02.19

● Beispiel:

– Daten:● a = 2,5 m● E = 2,1·1011 Pa, ρ = 7850 kg/m3

● A = 10-4 m2, Iz = 10-6 m4

– Gesucht:● modale effektive Massen

Anschlusspunkte: A, K

5.3-72

26.02.19

– Modale effektive Massen:

Modal effective masses of component "frame"

Coordinates of reference point: 0.0000, 0.0000

mode frequency tx ty rz sum tx sum ty sum rz

1 8.70 Hz 7.7569e-01 1.1849e-29 8.4152e-01 0.77569 0.00000 0.84152 2 30.10 Hz 1.2001e-01 1.2450e-26 8.6386e-05 0.89569 0.00000 0.84161 3 50.05 Hz 2.5310e-26 1.0281e-01 1.4775e-27 0.89569 0.10281 0.84161 4 57.53 Hz 9.9126e-27 9.7593e-02 8.8683e-29 0.89569 0.20041 0.84161 5 58.02 Hz 4.0091e-02 1.0827e-27 2.0927e-03 0.93578 0.20041 0.84370 6 60.26 Hz 7.6723e-27 2.9922e-01 4.6855e-29 0.93578 0.49963 0.84370 7 122.86 Hz 3.7016e-04 6.0809e-28 1.0547e-01 0.93615 0.49963 0.94917 8 139.56 Hz 3.7335e-03 9.0756e-26 6.3115e-03 0.93989 0.49963 0.95548 9 156.27 Hz 2.7152e-26 3.9380e-01 2.3412e-26 0.93989 0.89343 0.95548 10 160.22 Hz 4.0910e-03 2.0097e-24 7.3843e-03 0.94398 0.89343 0.96286 … … … … … … …

28 604.99 Hz 1.5541e-03 1.2358e-28 1.1999e-03 0.97129 0.95183 0.98940 29 649.74 Hz 3.6640e-29 5.3140e-08 1.0199e-31 0.97129 0.95183 0.98940 30 681.36 Hz 1.5968e-03 4.5306e-29 4.7158e-04 0.97288 0.95183 0.98987

5.3-73

26.02.19

– Eigenschwingungen:

5.3-74

26.02.19

– Auswertung:● Die Eigenschwingungen 1, 2 und 5 werden durch horizontale

Bewegungen der Anschlusspunkte angeregt.● Die Eigenschwingungen 3, 6 und 9 werden durch vertikale

Bewegungen der Anschlusspunkte angeregt.● Die ersten 30 Eigenvektoren reichen aus, um die Antwort auf

eine horizontale oder vertikale Anregung zu berechnen

5.3-75

26.02.19

● Netzfeinheit:

– Die Vernetzung muss in der Lage sein, alle Eigenschwin-gungen, die für die modale Reduktion benötigt werden, gut zu approximieren.

● Frequenzraster:

– Da sich die Übertragungsfunktionen in der Nähe der Reso-nanzfrequenzen stark ändern, müssen sie in der Nähe der Resonanzen für ausreichend viele Erregerfrequenzen be-rechnet werden.

– Dazu sollten in der Halbwertsbreite jeder Resonanzfre-quenz 5 bis 9 Erregerfrequenzen vorgegeben werden.

5.3-76

26.02.19

– Werden diese Erregerfrequenzen gleichmäßig über die Halbwertsbreite verteilt, stellt eine ungerade Anzahl sicher, dass die Resonanzfrequenz selbst auch als Erregerfre-quenz auftritt.

– Das Verhalten zwischen den einzelnen Halbwertsbreiten kann durch ein überlagertes gleichmäßiges Raster von Er-regerfrequenzen erfasst werden.

Die Berechnung der Antwort auf eine harmonische Anre- gung...

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