1.1 Innenraumprobleme 1.2 Außenraumprobleme 1.3 Analysen 1 ...wandinger.userweb.mwn.de/LA_Akustik/v5_1.pdf · Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-3 1.1.1 Schwache

Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-1

1. Methode der Finiten Elemente

1.1 Innenraumprobleme

1.2 Außenraumprobleme

1.3 Analysen

1.4 Bewertung


1.1 Innenraumprobleme

1.1.1 Schwache Formulierung

1.1.2 Finite Elemente

1.1.3 Diskretisierungsregeln



● Aufgabenstellung:

– Gesucht ist die komplexe Amplitude des Schallfelds in einem geschlossenen Gebiet G.

– In G erfüllt das Schallfeld die Helmholtz-Gleichung

– Der Rand des Gebietes besteht aus drei Teilen:

G

Sv

Sa

Sa

Sp

S=∂G=S p∪S v∪Sa

∇ 2Pk 2P=0



– Rand Sp:

● Die Schalldruckamplitude hat einen vorgegebenen Wert.● Durch kann z.B. eine kleine Öffnung näherungsweise

beschrieben werden.

– Rand Sv:

● Die Schallschnelle senkrecht zur Wand hat einen vorgegebe-nen Wert.

● Durch diese Randbedingung wird eine schwingende oder schallharte Wand beschrieben.

● Für den Schalldruck folgt:● Schallharte Wand:

P=0

∇ P⋅n=−i0V n

∇ P⋅n=0



– Rand Sa:

● Die Impedanz ist vorgegeben:● Dadurch lassen sich absorbierende Flächen beschreiben.● Mit

folgt:

P=Z V n

∇ P⋅n=−i0PZ=−i0 A P

∇ P⋅n=−i0V n



● Schwache Formulierung der Helmholtz-Gleichung:

– Um die spätere Kopplung mit den Gleichungen für die Struktur zu erleichtern, wird die durch die Massendichte di-vidierte Helmholtz-Gleichung betrachtet:

– Die klassische oder starke Lösung● ist in G zweimal stetig differenzierbar,● erfüllt in G die Helmholtz-Gleichung,● erfüllt die Randbedingungen.

10

∇ 2 P2

0 c2P=0



– Für viele technisch interessante Fälle gibt es keine Lösung, die in ganz G zweimal stetig differenzierbar ist.

– Für numerische Verfahren ist es vorteilhaft, wenn die Ste-tigkeitsanforderungen an die Lösung verringert werden können.

– Das kann durch partielle Integration erreicht werden, nach-dem die Helmholtz-Gleichung mit einer Testfunktion multi-pliziert wurde.

– Für jede Testfunktion gilt:P

∫G 10 P∇2 P

2

0c2P P dV=0



– Von der Testfunktion wird gefordert,● dass sie einmal differenzierbar ist und

● dass sie auf Sp null ist.

– Dann lässt sich das erste Integral partiell integrieren:

– Mit dem Integralsatz von Gauß folgt für das erste Integral auf der rechten Seite:

P

∫G

10

P∇2 P dV=∫G

10

∇⋅ P∇ P dV−∫G

10

∇ P⋅∇ P dV

∫G

10

∇⋅ P∇ P dV=∫S

10

P∇ P⋅ndS



– Damit gilt:

– Unter Berücksichtigung der Randbedingungen und auf S

p folgt

P=0

∫S

10

P∇ P⋅n dS=−i∫S vPV ndS∫

S a

A P P dS

∫S

10

P∇ P⋅n dS−∫G

10

∇ P⋅∇ P dV2∫G

P P

0c2dV=0

∫G

10

∇ P⋅∇ P dV−2∫G

P P

0c2dV=∫

S

10

P∇ P⋅n dS



– Damit ist gezeigt:

– Diese Gleichung wird als schwache Formulierung der Helmholtz-Gleichung bezeichnet.

∫G

10

∇ P⋅∇ P dVi∫S a

A P P dS−2∫G

P P

0 c2dV

=−i∫S v

PV ndS



– Die schwache Lösung● ist einmal differenzierbar,

● erfüllt die Randbedingung auf Sp ,

● erfüllt die schwache Formulierung für alle Testfunktionen, die stetig differenzierbar sind und auf S

p verschwinden.

– Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen können mit den Methoden der Funktionalanalysis untersucht werden.

– In der Mathematik wird gezeigt:● Wenn die schwache Lösung zweimal stetig differenzierbar ist,

dann stimmt sie mit der klassischen Lösung überein.



● Geometrie:

– Das betrachtete Gebiet G wird durch die Vereinigung von fini-ten Elementen GE angenähert.

– Ein akustisches finites Element ist definiert durch

● seine Knotenpunkte,● Interpolationsfunktionen für

die Geometrie und● Interpolationsfunktionen für

den Schalldruck G≈∪EGE

GE

G



– Übliche räumliche finite Elemente sind Hexaeder, Penta-eder oder Tetraeder mit geraden oder gekrümmten Kanten:



– Die Geometrie wird durch Interpolation zwischen den Kno-ten des finiten Elements beschrieben:

– Die Interpolationsfunktionen haben jeweils an einem Knoten k den Wert eins und an allen anderen Knoten den Wert null.

– Die Matrix enthält die Koordinaten aller Knoten des fini-ten Elements.

x , ,=∑k

N k , , x k

y , ,=∑k

N k , , yk

z , ,=∑k

N k , , zk } [ x , , ]=[N E , , ] [ xE ]

[ xE ]



– Beispiel: Hexaeder mit geraden Kanten● Den Knoten des Hexaeders entsprechen die Parameterwerte

● Interpolationsfunktionen:

=±1,=±1,=±1

N 1 , ,=18

1− 1− 1−

N 2 , ,=18

1− 1 1−

N 3 , ,=18

1 1 1−

N 4 , ,=18

1 1− 1−

N 5 , ,=18

1− 1− 1

N 6 , ,=18

1− 1 1

N 7 , ,=18

1 1 1

N 8 , ,=18

1 1− 1



(-1, -1, -1) (-1, 1, -1)

(1, 1, -1)(1, -1, -1)

(-1, -1, 1) (-1, 1, 1)

(1, 1, 1)(1, -1, 1)

ξ

η

ζ

x

y

z

1

2

34

5

6

78

[NE(ξ, η, ζ)][xE]



● Ansatzfunktionen für den Schalldruck:

– Der Schalldruck im Innern des Raumgebiets wird durch In-terpolation des Schalldrucks an den Knoten des Raumge-biets dargestellt:

– Die Matrix enthält die Werte des Schalldrucks an den Knoten des finiten Elements.

– Finite Elemente, bei denen die gleichen Interpolationsfunk-tionen für Geometrie und Schalldruck verwendet werden, heißen isoparametrische Elemente.

P , ,=[N E , , ] [P E ]

[ P E ]



– Ein finites Element muss einen konstanten Schalldruck in-nerhalb des Elements exakt beschreiben können.

– Bei isoparametrischen Elementen ist diese Bedingung er-füllt.

● Schwache Formulierung für ein finites Element:

– Für jedes finite Element gilt:

∫GE

10

∇ P⋅∇ P dV−2∫GE

P P

0c2dV

=−i∫S E

PV ndS Vn

Vn

Vn

SE



– Für den Schalldruck wird die Ansatzfunktion

verwendet.

– Damit kann die schwache Formulierung nicht mehr für jede Testfunktion erfüllt werden.

– Stattdessen wird gefordert, dass die schwache Formulie-rung für alle Testfunktionen

mit beliebigen Matrizen erfüllt ist.

– Dieses Verfahren wird als Bubnov-Galerkin-Verfahren be-zeichnet.

P , ,=[N E , , ] [P E ]

P

P , ,=[N E , , ] [ P E ]

[ P E ]



– Einsetzen in die schwache Formulierung ergibt:

– Damit diese Gleichung für beliebige erfüllt ist, muss gelten:

[ P E ]T

∫G E

10

[∇ N E ]T[∇ N E ]dV−

2∫GE

1

0c2[N E ]

T[N E ]dV [ P E ]

=−i [ P E ]T

∫S E

[N E ]TV ndS

[ P E ]

∫GE

10

[∇ N E ]T[∇ N E ]dV−

2∫G E

1

0c2[N E ]

T[N E ]dV [P E ]

=−i∫S E

[N E ]TV ndS



– Mit den Matrizen

und

folgt:

– Die Mobilitätsmatrix beschreibt die inverse Masse. Sie hängt mit der kinetischen akustischen Energie zusammen.

– Die Kompressibilitätsmatrix beschreibt die Kompressibi-lität. Sie hängt mit der potentiellen akustischen Energie zu-sammen.

[H E ]=∫G E

10

[∇ N E ]T[∇ N E ]dV

[QE ]=∫GE

1

0 c2[N E ]

T[N E ]dV

[H E ]−2 [QE ] [P E ]=−i∫S E

[N E ]TV ndS

[H E ]

[QE ]



– Mobilitätsmatrix und Kompressibilitätsmatrix sind beide reell und symmetrisch.

– Für die Randflächen eines finiten Elements können vier Fäl-le auftreten:

● Die Fläche ist Teil der Randfläche Sp, auf der der Schalldruck

vorgeschrieben ist.

● Die Fläche ist Teil der Randfläche Sv, auf der die Schallschnel-

le vorgeschrieben ist.

● Die Fläche ist Teil der absorbierenden Randfläche Sa.

● Die Fläche ist eine innere Fläche.



– Schalldruck vorgegeben:● Auf dieser Fläche ist die Testfunktion null. Das entsprechende

Integral wird daher nicht benötigt.

– Schallschnelle vorgegeben:● Da die Schallschnelle bekannt ist, kann das Integral berech-

net werden:

– Absorbierende Fläche:

● Für das Integral gilt:

S jE=S p

E⊂S p

S jE=S v

E⊂S v

[G E ]=∫S vE

[N E ]TV n dS

S jE=S a

E⊂S a

∫S aE

[N E ]TV n dS=∫

SaE

A [N E ]T[N E ]dS [P E ]



● Mit der Absorptionsmatrix

gilt:

– Innere Fläche:

● Da die Schallschnelle nicht bekannt ist, kann das Integral nicht berechnet werden.

● Die Beiträge von zwei aufeinanderfallenden Flächen benach-barter Elemente heben sich jedoch gegenseitig auf, da der Normalenvektor jeweils aus dem Element zeigt.

[ AE ]=∫SaE

A [N E ]T[N E ]dS

∫SaE

[N E ]TV ndS=[ AE ] [P E ]

[G iE ]=∫

S iE

[N E ]TV ndS



● Berechnung der Element-Matrizen:

– Die Interpolationsfunktionen sind Funktionen der Parameter ξ, η und ζ.

– Für die Ableitungen nach den Koordinaten x, y und z gilt:

∂∂

=∂ x∂

∂∂ x

∂ y∂

∂∂ y

∂ z∂

∂∂ z

∂∂

=∂ x∂

∂∂ x

∂ y∂

∂∂ y

∂ z∂

∂∂ z

∂∂

=∂ x∂

∂∂ x

∂ y∂

∂∂ y

∂ z∂

∂∂ z

[∇ ]=[ J ] [∇ x ]



– Dabei ist

– Die Jacobi-Matrix kann aus den Interpolationsfunktionen und den Koordinaten der Knotenpunkte berechnet werden.

– Die inverse Beziehung lautet:

– Für das Volumenelement gilt:

[∇ ]=[∂∂∂∂∂∂

] , [∇ x ]=[∂∂ x∂∂ y∂∂ z

] , [ J ]=[∂ x∂

∂ y∂

∂ z∂

∂ x∂

∂ y∂

∂ z∂

∂ x∂

∂ y∂

∂ z∂

][∇ x ]=[J ]

−1[∇ ]

dV x=J dV mit J=det [ J ]

[ J ]



– Damit gilt für die Element-Matrizen:

– Die Integrale werden numerisch mit dem Verfahren der Gauß-Integration berechnet.

[H E ]=∫G E

10

[J ]−1 [∇ N

E ] T

[J ]−1 [∇ N

E ] J dV

[QE ]=∫GE

1

0 c2[N E ]

T[N E ] J dV

[GE ]=∫S vE

[N E ]TV n J S dS , [ AE ]=∫

S aE

A [N E ]T[N E ] J S dS



● Assemblierung:

– Da der Schalldruck stetig ist, hat der Schalldruck für alle Elementknoten, die auf denselben Gebietsknoten fallen, den gleichen Wert.

– Die Matrix mit den Werten des Schalldrucks an den Elementknoten kann für jedes Element aus der Matrix mit den Werten des Schalldrucks an den Gebietsknoten ex-trahiert werden:

– Die Zeilen der Matrix entsprechen den Elementknoten und die Spalten den Gebietsknoten.

[ P E ][P ]

[ P E ]=[aE ] [P ]

[a E ]



– Jede Zeile enthält eine Eins in der Spalte, die dem Gebiets-knoten entspricht, der mit dem betreffenden Elementknoten zusammenfällt.

– Alle anderen Elemente einer Zeile sind null.

– Da auch die Testfunktionen stetig sein müssen, gilt entspre-chend:

– Aus der schwachen Formulierung für das Element folgt:

[ P E ]=[aE ] [ P ]

[ P ]T [aE ]

T[H E ] [aE ]−

2 [aE ]T[QE ] [aE ] [P ]

=−i [ P ]T [aE ]

T[GE ][a E ]

T[ AE ] [a E ] [P ][aE ]

T

[G iE ]



– Damit diese Gleichung für beliebige erfüllt ist, muss gel-ten:

– Summation über alle Elemente ergibt:

[ P ]

[aE ]T[H E ] [aE ]−

2 [aE ]T[QE ] [a E ] [P ]

=−i [aE ]T[GE ][aE ]

T[ AE ] [aE ] [P ][aE ]

T

[G iE ]

∑E [aE ]T[H E ] [aE ]−2∑

E

[aE ]T[QE ] [aE ] [P ]

=−i∑E [a E ]T[GE ]∑

E

[aE ]T[ AE ] [aE ] [P ]∑

E

[a E ]T

[G iE ]



– Die Beiträge der inneren Flächen heben sich bei der Sum-mation auf, da jede Fläche genau zweimal mit entgegenge-setztem Normalenvektor auftritt:

– Mit den Gesamtmatrizen

folgt:

[H ]=∑E

[a E ]T[H E ] [aE ] , [Q ]=∑

E

[aE ]T[QE ] [a E ]

[ A ]=∑E

[aE ]T[ AE ] [aE ] , [G ]=∑

E

[aE ]T[GE ]

∑E

[aE ]T

[G iE ]= [0 ]

[H ]i [ A ]−2 [Q ] [P ]=−i [G ]



– Die Mobilitätsmatrix ist reell, symmetrisch und positiv semi-definit:

– Für ein räumlich konstantes Schallfeld gilt:

– Die Kompressibilitätsmatrix ist reell, symmetrisch und positiv definit:

– Die Absorptionsmatrix ist komplex und symmetrisch. Sie kann außerdem von der Kreisfrequenz ω abhängen.

[P ]T

[H ] [P ]≥0 für [P ]≠[0 ]

[ P 0 ] [H ] [P 0 ]=[0 ]

[H ]

[Q ]

[P ]T

[Q ] [P ]0 für [P ]≠[0 ]

[ A ]



● Geometrie:

– Hexaeder und Pentaeder liefern in der Regel bessere Er-gebnisse als Tetraeder.

– Große Unterschiede in den Kantenlängen eines Elements sind zu vermeiden.

– Spitze Winkel zwischen Elementkanten sind zu vermeiden.



● Elementgröße:

– Die größte Kantenlänge Lmax

hängt von der Wellenlänge λ ab:

● Bei Verwendung von Elementen mit linearer Interpolation des Schalldrucks gilt:

● Bei Verwendung von Elementen mit quadratischer Interpolati-on des Schalldrucks gilt:

● Ausschlaggebend ist die Wellenlänge, die zum dreifachen Wert der höchsten Erregerfrequenz f

max gehört:

Lmax/6

Lmax/2

=c

3 f max



● Nahbereich und Außenbereich:

– Bei Außenraumproblemen ist das Gebiet, in dem das Schallfeld berechnet werden soll, unendlich.

– Es wird unterteilt in einen Nahbereich Gi und den unendli-

chen Außenbereich Ga.

– Die Grenzfläche SG zwischen Nahbereich und Außenbereich

muss konvex sein und alle Schallquellen einschließen.

– Der Nahbereich kann mit finiten Elementen diskretisiert werden.



Sv

Gi

Ga

SG



– Im Außenbereich hat die Lösung der Helmholtz-Gleichung, die die Abstrahlbedingung von Sommerfeld erfüllt, die Dar-stellung

(Reihenentwicklung von Atkinson und Wilcox).

– Die Funktionen werden durch die Werte auf der Grenzfläche S

G festgelegt.

– Der Außenbereich wird mit halbunendlichen Elementen dis-kretisiert, die als semi-infinite Elemente bezeichnet werden.

P r , ,=e−i k r∑n=1

∞ Pn ,

r n

Pn ,



● Geometrie eines semi-infi-niten Elements:

– Die Geometrie eines se-mi-infiniten Elements wird festgelegt durch seine Basisfläche S

B und den

Pol P.

– Die Basisfläche ist Teil der Grenzfläche:

S B⊂SGP

1

23

4

SB

O

x3

xP

x3 - x

P



– Die Geometrie wird durch folgende Interpolation beschrie-ben:

– Dabei ist

● xP der Ortsvektor des Pols und

● xk der Ortsvektor eines Knotenpunkts.

– Die Summation erstreckt sich über alle Knotenpunkte der Basisfläche.

x , ,=xP∑k

N k , g xk−xP

−1≤≤1, −1≤≤1, 0≤≤1



– Die Funktionen sind die üblichen Interpolations-funktionen für 2-dimensionale finite Elemente.

– Für ein lineares Element mit 4 Knoten gilt z.B.

– Die Interpolationsfunktionen müssen die Bedingung

erfüllen.

N k ,

N 1 ,=14

1− 1− , N 2 ,=14

1 1−

N 3 ,=14

1 1 , N 4 ,=14

1− 1

∑k

N k ,=1



– Von der Funktion wird gefordert:

– Die einfachste Funktion, die diese Bedingungen erfüllt, ist

– Die Punkte mit ζ = 0 liegen in der Basisfläche:

g

g −1=0, g 0=1, lim1

g =∞

g =1

1−

x , ,0=xP∑k

N k , xk−xP =∑k

N k , xk



– Für feste Werte von ξ und η ergeben sich Halbgeraden, die im Pol beginnen.

– Für den Abstand eines Punktes auf der Halbgerade vom Pol gilt:

– Dabei ist rB der Abstand zwischen dem Pol und dem Basis-

punkt, in dem die entsprechende Halbgerade die Basisflä-che schneidet.

– Es folgt:

r=∥x−xP∥=g ∥∑k

N k , xk−x P ∥=g r B

rr B=g =

1

1−,r Br=1−

1



P

BxB - x

P

1

2

3

4



● Interpolation des Schalldrucks:

– Nach der Reihenentwicklung von Atkinson und Wilcox gilt für den Verlauf des Schalldrucks in radialer Richtung

– Die unendliche Reihe wird durch eine endliche Summe ap-proximiert:

P r =e−i k r−r B ∑

n=1

∞

n , r Br n

P r ≈e−i k r−r B ∑

n=1

p

n , r Br n

=e−i k r−r B ∑

n=1

p

PBn , n r Br



– Die Funktionen sind Polynome vom Grad n, von de-nen gefordert wird:

– Dann gilt:

– Die Funktionen werden mithilfe der Interpolations-funktionen für die Basisfläche definiert:

– Mit lautet der Ansatz für den Schalldruck:

11=1, n1=0 für n1

PBn , =∑k

N k , Pkn

=k r−r B

P , ,=e−i∑n=1

p

∑k

N k , n1−

1 Pkn

n x

PBn ,

P r B=P B 1



– Aus den für die Polynome geforderten Eigenschaften folgt:

● Die Koeffizienten Pk1 geben den Schalldruck an den Knoten-

punkten der Basisfläche an.● Sie stimmen mit dem Schalldruck an den entsprechenden

Knotenpunkten der an die Basisfläche angeschlossenen fini-ten Elemente überein.

● Die übrigen Koeffizienten haben keine unmittelbare physikali-sche Bedeutung.

n x



– Die numerischen Eigenschaften der entstehenden Matrizen hängen entscheidend von einer geschickten Wahl der Poly-nome ab.

– Günstige Eigenschaften werden erzielt, wenn orthogonale Polynome (Legendre-Polynome, Jacobi-Polynome) gewählt werden.

● Schwache Formulierung für den Außenbereich:

– Zur Herleitung der schwachen Formulierung wird der Au-ßenbereich durch eine äußere Grenzfläche abgeschlossen, auf der die Abstrahlbedingung von Sommerfeld als Rand-bedingung angesetzt wird.



– Anschließend wird der Grenzübergang betrachtet, dass die äußere Grenzfläche unendlich weit nach außen verschoben wird.

● Testfunktionen:

– Für semi-infinite Elemente werden in der Regel Testfunktio-nen gewählt, die nicht mit den für die Interpolation gewähl-ten Funktionen übereinstimmen.

– Diese allgemeineren Galerkin-Verfahren werden als Petrov-Galerkin-Verfahren bezeichnet.



– Folgende Verfahren sind gebräuchlich:● Werden die Interpolationsfunktionen als Ansatzfunktionen

gewählt, ergeben sich komplexe frequenzabhängige Matri-zen, die symmetrisch sind (Bettess, Burnett).

● Werden die komplex konjugierten Ansatzfunktionen gewählt, ergeben sich komplexe unsymmetrische Matrizen, die nicht von der Frequenz abhängen.

● Besonders leistungsfähige Elemente ergeben sich, wenn als Ansatzfunktionen die durch r2 dividierten komplex konjugierten Ansatzfunktionen gewählt werden (Astley, Leis).



● Hinweise zur Modellierung:

– Damit die semi-infiniten Elemente den gesamten Außenbe-reich überlappungsfrei überdecken, muss die Grenzfläche zwischen Nahbereich und Außenbereich konvex sein, und alle Elemente müssen den gleichen Pol haben.

– Bei Schallabstrahlung in den Halbraum muss der Pol in der den Halbraum begrenzenden schallharten Ebene liegen

– Der Grad des Polynoms in radialer Richtung hängt ab

● vom Abstand der Grenzfläche SG zwischen Nahbereich und

Außenbereich vom abstrahlenden Körper● von der Richtungsabhängigkeit der Schallabstrahlung



– Der Grad des Polynoms muss umso höher sein,● je näher die Grenzfläche am abstrahlenden Körper ist, ● je komplizierter die Richtungsabhängigkeit der Schallabstrah-

lung ist.


1.3 Analysen

● Die wichtigsten akustischen Analysen sind die Eigen-schwingungsanalyse und die Frequenzganganalyse.

● Die Eigenschwingungsanalyse ermittelt die akustischen Eigenschwingungen bei Innenraumproblemen.

● Die Frequenzganganalyse ermittelt Amplitude und Phase des Schalldrucks in Abhängigkeit von der Erregerfre-quenz.

● Mit den Ergebnissen der Frequenzganganalyse lässt sich das Leistungsdichtespektrum des Schalldrucks aus dem Leistungsdichtespektrum der Anregung ermitteln.


1.3 Analysen

● Eigenschwingungsanalyse:

– Wenn keine Anregung und keine Absorption vorhanden sind, lautet das diskrete Gleichungssystem für das Innen-raumproblem

– Die Matrizen und sind symmetrisch. Matrix ist po-sitiv semi-definit und Matrix positiv definit.

– Daraus folgt:● Es gibt genau n positive Eigenwerte , für die nichttriviale

Lösungen des Gleichungssystems existieren. Dabei ist n die Dimension des Gleichungssystems.

[H ]−2 [Q ] [P ]=[0 ]

2

[H ] [Q ] [H ][Q ]


1.3 Analysen

● Die zugehörigen Frequenzen sind die Resonanz-frequenzen.

● Zu jedem Eigenwert gibt es einen reellen Eigenvektor :

● Für die Eigenvektoren gilt:

● Die Eigenvektoren können bezüglich der Kompressibilitätsma-trix normiert werden:

● Dann gilt:

f = /2

[ x ][H ] [ x ]=

2 [Q ] [ x ]

[ x ]T

[H ] [ x ]=0, [ x ]T

[Q ] [ x ]=0 für ≠

[ x ]T

[Q ] [ x ]=1

[ x ]T

[H ] [ x ]=2


1.3 Analysen

● Jedes diskrete Schalldruckfeld lässt sich als Überlagerung der Eigenvektoren darstellen:

● Die im Allgemeinen komplexen Koeffizienten qν werden als

modale Koordinaten bezeichnet.

– Wenn der Wert des Schalldrucks an keiner Stelle des Ran-des zu null gesetzt ist, dann gibt es einen Eigenwert .

– Der zugehörige Eigenvektor beschreibt ein im gesamten Gebiet konstantes Schalldruckfeld.

[P ]=∑=1

n

q [ x ]

02=0

[P ]


1.3 Analysen

– Zur Lösung des Eigenwertproblems können dieselben Me-thoden eingesetzt werden, wie sie für die Berechnung der Eigenschwingungen von Strukturen verwendet werden.

– Die wichtigsten Methoden sind das Verfahren von Lanczos und die Unterraumiteration.


1.3 Analysen

● Frequenzganganalyse:

– Es wird zwischen der direkten und der modalen Frequenz-ganganalyse unterschieden.

– Bei der direkten Frequenzganganalyse wird das Glei-chungssystem

für jede vorgegebene Erregerfrequenz ω gelöst.

– Bei der modalen Frequenzganganalyse wird das Schallfeld als Überlagerung der Eigenvektoren dargestellt:

[P ]=∑=1

n

q [ x ]

[H ]i [ A ]−2 [Q ] [P ]=−i [G ]


1.3 Analysen

– In der Regel werden dabei nicht alle Eigenvektoren ver-wendet, sondern nur die m Eigenvektoren, die zu den nied-rigsten Resonanzfrequenzen gehören:

mit

[P ]≈ [Pm ]=∑=1

m

q [ x ]=[ X m ] [q ]

[ X m ]=[ [ x1 ] [ x2 ] [ xm ] ] und [q ]=[q1q2⋮qm

]


1.3 Analysen

– Dieses Verfahren wird als modale Reduktion bezeichnet. Dabei ist in der Regel .

– Einsetzen des Ansatzes für den Schalldruck und Multiplika-tion des entstehenden Gleichungssystems mit ergibt

– Aus den Eigenschaften der Eigenvektoren folgt

mit

[ X m ]T

[ X m ]T [H ]i [ A ]−

2 [Q ] [ X m ] [q ]=−i [ X m ]T

[G ]

[2 ]−2 [ I ]i [ X m ]

T[ A ] [ X m ] [q ]=−i [ X m ]

T[G ]

[ ]=[1 0⋮ ⋱ ⋮0 m

]

m≪n


1.3 Analysen

– Ohne Absorption ist die Matrix dieses Gleichungssystems eine Diagonalmatrix.

– Die so genannte Ausbreitungsdämpfung des Schalls infolge von Wärmeleitung und Viskosität der Luft kann bei der mo-dalen Frequenzganganalyse durch ein Lehrsches Dämp-fungsmaß von ca. 1‰ beschrieben werden.


1.4 Bewertung

● Die Methode der Finiten Elemente stößt wie jedes andere numerische Verfahren an Grenzen, wenn die Erregerfre-quenz zu groß wird.

● Ausschlaggebend dafür ist das Verhältnis der kleinsten Wellenlänge zur größten Abmessung des betrachteten Gebiets.

● Die Grenzen resultieren aus der Modellgröße sowie der Reproduzierbarkeit der Ergebnisse.


1.4 Bewertung

● Modellgröße:

– Pro Wellenlänge sollten mindestens 6 lineare oder 2 qua-dratische Elemente verwendet werden.

– Die Anzahl der benötigten Elemente NE lässt sich abschät-

zen durch

– Dabei ist V das Volumen des betrachteten Gebiets und

das Volumen eines typischen finiten Elements mit der Kan-tenlänge L

E.

N E=VV E

V E≈LE3


1.4 Bewertung

– Mit folgt● bei Verwendung von linearen Elementen:

● bei Verwendung von quadratischen Elementen:

– Dabei ist die höchste Erregerfrequenz.

=c / f

N E≈63V 3 f maxc

3

=5832V f maxc 3

N E≈23V 3 f maxc

3

=215V f maxc 3

f max


1.4 Bewertung

● Reproduzierbarkeit:

– Mit zunehmender Erregerfrequenz nimmt die Anzahl der Resonanzfrequenzen in der Umgebung der Erregerfre-quenz stark zu.

– Das hat zur Folge, dass die Antwort sehr stark von kleinen Ungenauigkeiten in den Daten abhängt.

– Bei hochfrequenter Anregung sind daher nur statistische Aussagen sinnvoll.

– Statistische Vorhersagen lassen sich zum Beispiel mit der Statistical Energy Analysis (SEA) machen.

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