View
227
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Die Schrödinger Gleichung
Egon BergerDidaktik der Physik
19.06.07
Hi
x
E
1. Historisch grundlegende Experimente
2. „Ableitung“ der Schrödinger Gleichung
3. Anwendung der SG:
1. Unendlich tiefe Potentialkasten
2. Endlich tiefe Potentialkasten
3.Harmonische Oszillator
Inhalt:
Hi
E
xE
x
4. Superposition ebener Wellen
Die graphische Interpretation der Wellenfunktion:
• Betrag
• Phase
• Nulldurchgänge
• Krümmung
• Exponentielles Abfallen
Im Vordergrund steht:
)(x
x
Wiederholung: Die Quantentheorie des Lichtes
• Beugung und Interferenz (1800)
• Hohlraumstrahlung (1900)
• Photoelektrische Effekt (1902)
• Comptoneffekt (1922)
Licht ist eine Welle
Licht besteht aus Teilchen,den sog. Photonen.
Unsere heutige Vorstellung:
Licht besitzt sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter.
kpE
1. Historisch grundlegende Experimente
Die de-Broglie-Wellenlänge:
Louis de Broglie machte 1924 den Vorschlag die duale Beschreibung durch Wellen- und Teilchenmodell, die sich bei Licht bewährt hatte, auch auf Teilchen wie Elektronen, Neutronen oder Atome zu übertragen.
Deren Wellencharakter wurde bis damals nie beobachtet.Beispiel:
Ein Elektron besitze eine kin. Energie von 100eV.
aus folgtseine de-Broglie-Wellenlänge l=0,12 nm.
seine Frequenz n=2,4*10^16 Hz.
E
kp
Davisson und Germer: Beugung von Elektronen
Sie demonstrierten 1926 den Wellencharakter von Teilchen.
Ergebnis: Beugungsringe –genau wie bei Röngtenstrahlung.
Experiment:
dünne Schicht(Al-Puder)
e--Strahl
Schirm
l=1nm - 5pm l (100eV)=0,12nmWas heißt: Wellencharakter haben?
• Einfall einer ebenen Welle
• Wellengleichung
• Ausbreitung von Kugelwellen
• Interferenz
• Intensitätdünne Schicht(Al-Puder)
)sin(),( wtxkAtxE
... ),,( ),,( 21 txEtxE KK
n
Kn txEtxE ),(),(
2),(~ txEI Schirm
Röntgen-Strahlung: Zustandekommen der Beugungsringe
2
2
22
2 ),(1),(ttxE
cxtxE
• Einfall einer ebenen Welle
• Wellengleichung
• Ausbreitung von Kugelwellen
• Interferenz
• Intensitätdünne Schicht(Al-Puder)
)sin(),( wtxkAtx
... ),,( ),,( 21 txtx KK
n
Kn txtx ),(),(
2),(~ txI
Schirm
Elektronen-Strahl: Gleiche Ergebnisse → e- ist eine Welle
?
Licht: Elektronen:
)sin(),( wtkxAtxE Beschreibung:
2~ EI
Zusammenstellen der Ergebnisse:
)sin(),( wtkxAtx
Intensität:2~ I
Wellengleichung:Im Vakuum
2
2
22
2 ),(1),(ttxE
cxtxE
Folgt aus den Maxwell- gleichungen für den ladungs- und stromfreien Raum (Physik 2).
?
Wir suchen eine Gleichung, von der wir eine Lösung kennen.
Nämlich:
Ist es vielleicht möglich diese Gleichung durch eine ihrer Lösungen zu rekonstruieren?
)sin(),( wtkxAtx
2. „Ableitung“ der Schrödinger Gleichung
)sin(),( tkxAtxE
Differentiation nach x bzw. t ergibt:
)cos(),(
)cos(),(
tkxAttxE
tkxAkxtxE
Also erfüllt E(x,t) die Differentialgleichung
ttxEk
xtxE
),(),(
Aber: Linkslaufende Wellen kommen als Lösungen nicht vor!
Wir testen diese Strategie am Beispiel der e.m. Welle!
Darum differenzieren wir die ebene Welle
),(),(
),(),(
22
2
22
2
txEttxE
txEkxtxE
)sin(),( wtkxAtxE ein zweites Mal:
Dies führt auf die Differentialgleichung
2
2
2
2
2
2 ),(),(ttxEk
xtxE
und entspricht der Wellengleichung im Vakuum.
mit 22
2 1c
k
Dispersionsrelation
Da uns die Rekonstruktion geglückt ist, versuchen wir nun auf diese Weise eine Wellengleichung für Teilchen zu erhalten.
)sin(),( wtkxAtx
Jedoch zuerst: Wie lautet die Dispersionsrelation für Teilchen?
VmpE 2
2
k
Vmk
2
22
Für freie Teilchen gilt:
2
2k
m
kDispersionsrelation
Nun gehen wir aus Symmetriegründen gleich zur zweiten Ableitung über:
),(),(
),(),(
22
2
22
2
txttx
txkxtx
2
2k
m
Dispersions-relation
24
22
2k
m
Auch negative Frequenzen würden die Gleichung erfüllen:
2
2k
m
Unphysikalisch!
Weiters möchte man allein schon mit bestimmen können.
),( tx ),( 0tx
Zu diesem Zweck darf nur die erste Zeitableitung vorkommen.
Wir versuchen also
ttx
xtx
),( und ),(
2
2
miteinander zu kombinieren.
Die Ableitungen ergeben:
? )cos(2
),(
)sin(),(
2
22
2
tkxAmk
ttx
tkxAkxtx
Wir versuchen nun eine andere mögliche Wellenfunktion:
)(),( tkxieAtx Bemerkung:
In der klassischen Physik wird diese Funktion nur verwendet, weil damit leichter zu rechnen ist. Physikalische Relevanz hat jedoch nur der Realteil.
Zweimalige Differentiation von
22
2
kx
)(),( tkxieAtx ergibt:
kp
2
2
p
2
))((2
xVEm
Ei
tiE
E
it
ExV
xm)(
2 2
22
Diskussion von Y(x,t):
Zeit Ort :
In unserem Experiment:
2~ Intensität
Was geschieht wenn jeweils nur ein Elektron auf die Folie trifft?
Hypothese:
entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass das Elektronen an der Stelle [x,x+Dx] auftrifft.
xtx 2),(
Physlet: Doppelspalt
Postulat:Der Zustand eines aus einem Massenpunkt bestehenden quantenmechanischen Systems zum festen Zeitpunkt t0 ist durch Angabe der (komplexen) Wellenfunktion
beschrieben.
),( tx
Statistische Interpretation:Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu t0 im Volumen d3x um
x0 zu finden ist:
Normierung:
xdtx 32),(
1),(32 xdtx
Postulat:Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion ist durch die Schrödingergleichung
gegeben.
),( tx
),()(2
),( 22
txxVm
txt
i
Erwin Schrödinger (* 1887 in Wien; † 1961 in Wien)
1926 formulierte Schrödinger die nach ihm benannte Schrödinger-Gleichung. Sie bildet eine der Grundlagen der Quantenmechanik. Diese Arbeiten brachten ihm Weltruhm und schließlich auch den Nobelpreis für Physik im Jahre 1933 ein.
Lösungen der SG:
),()(2
),( 22
txxVm
txt
i
=H … Hamiltonian
Separartionsansatz: )()(),( xtftx
Einsetzen ergibt:
)()(
1)()(
1 xHx
tft
itf
)()( tEftft
i
)( )( xExH
Lösung:tEi
etf
)(
zeitunabhängige SG
)(),( xetxtEi
)()()(2 2
22
xExxVxm
E
a0 x
)(xVsonst
axfür
0 0
0),( txAußerhalb des Potentialkastens:
Innerhalb: )()( xExH
=0
3. Anwendung der Schrödinger Gleichung 1. Der unendlich tiefe Potentialkasten:
)(2)( 22
2
xEmxx
)(2
2
xp
)(2 xk
Lösung:ikxikx BeAex )(
Randbedingungen: 0)()0( a
0)0( BA
0sin 2)( kaiAeeAa ikaika
AB
... ,3 ,2 ,1 nnka
3,... 2, 1,n )sin(2)( xaniAxn
Energie En?
)()(2 2
22
xExxm nnn
)()1(2 2
222
xan
m n
SG:
nE
)(),( xetx n
tEi
n
n
Normierung: Axdtx 1),( 2
3,... 2, 1,n )sin(2)( xaniAxn
)(2
22
22
xnam n
Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Energieeigenwerte:
)(sin~),( 22 xantxn
E
a0 x
2~ nEn
1E
4E
3E
2E
116 E
19 E
14 E
Bemerkung:Anzahl der Nulldurchgänge von Y entspricht dem Anregungsniveau.
Bemerkung:Die Phase geht nicht inein.
2),( txn
Darstellung von in C:),( txn
Wir hatten:
)sin()(),(2
2
2 xanAexAetx
tnam
n
tEi
n
n
Physlet 7.6
Geogebra: Unendlich tiefer Potentialtopf
Anwendung der SG2. Der endlich tiefe Potentialkasten:
)(
)(
x
x
u
g
x
x
e
e
x
x
e
e
)sin(
)cos(
qxA
qxA
Bemerkung:Eindringen der Wellenfunktion in die Wände mit exponentiellem Abfall. Physlet 7.2
Unbekanntes Potential
Physlet 7.5 Pot1
Was sagt die Krümmung der Wellenfunktion aus?
)()()(2 2
22
xExxVxm
SG:
)())((2
)(2
2
2
xxVEm
xx
kinE
kinExx
für Maßein ist )(2
2
Lösung:E
x
V(x)
Anwendung der SG3. Der harmonische Oszillator.
)21( nEn)(x
Weitere Unbekannte Potentiale
Physlet 7.5
Aufgaben:
Physlet P.7.1
Physlet P.7.2
4. Superposition ebener Wellen
)sin()cos(),( tkxitkxtx
Kann geschrieben werden als:
)()( tkxiAex
Physlet 7.7
Physlet P.7.3
Physlet P.7.4
Geogebra: Superposition
Vielen Dank für die
Aufmerksamkeit
Recommended