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Institut für VerfahrenstechnikMechanische Verfahrenstechnik

Einführung in die Diskrete Elemente Methode

Dr.-Ing. P. Müller

Dr.-Ing. W. Schubert, Dr.-Ing. M. Khanal, Prof. J. Tomas

EinleitungZerkleinerung von Erz in einem Pochwerk des Mittelalters

Georgius Agricola „De re metallica libri XII“ (1556) 2

Schüttgutmechanik

Schüttgut (granulares Medium):• Vielzahl von Einzelpartikeln im Kontakt• Kräfte aufeinander übertragen

BeschreibungKontinuumsmodell:• Betrachtung der auf ein Volumen-element wirkenden Kräfte bzw. Spannungen und die resultierenden Deformationen• klassischer Ansatz der Schüttgut-mechanik mit Fließkriterien (Bruch-hypothesen)• Finite-Elemente-Methode (FEM)

Zweiachsige Spannungszustände am MOHRschen Spannungskreis

Grenzspannungsfunktionen für beginnende Verfestigung, Fließen, kohäsives stationäres Fließen und Zeitverfestigung

Schüttgut (granulares Medium):• Vielzahl von Einzelpartikeln im Kontakt• Kräfte aufeinander übertragen

BeschreibungKontinuumsmodellPartikelwechselwirkungsmodell:• Beschreibung der einzelnen Partikel• diskontinuumsmechanisch• Diskrete-Elemente-Methode (DEM)• hohe Anzahl an Partikeln!• oft unregelmäßige Form!

Numerische Simulationsmethoden

• quasi homogenes Materievolumen• Diskretisierung in finite Elemente (Netz)• Kräfte, Spannungen, Dehnungen an Knoten übertragen• Engmaschigkeit erhöht Genauigkeit, aber erhöhte Rechenzeit• Anordnung, Zusammenhalt des Körpers (Kontinuum) bleibt erhalten

Probleme:• Partikelsysteme• inhomogene, poröse

Körper• multiple Rissausbreitung

und Bruchvorgänge

Finite-Elemente-Methode (FEM)

1 M. J. Adams, C. J. Lawrence, M. E. D. Urso, J. Rance: Modelling collisions of soft agglomerates at the continuum length scale, Powder Technol. 2004, 140 (3), 268-279

Molekulardynamik (MD)• Beschreibung der Interaktion von Atomen und Molekülen und deren räumliche Bewegungen (netzfrei)• klassische Mechanik keine Gültigkeit Gesetze der Quantenmechanik basiert auf Schrödingergleichung

Modellierung der Interaktion von Gesteinen und granularen Medien (netzfrei)

Beschreibung der Dynamik diskreter Elemente: Partikel• auf Basis der Newtonschen Bewegungsgesetze• Partikel starr, nicht deformierbar• Kontakte können sich bilden und auflösen• Kontaktdetektionsalgorithmus• Überlappungen in den Kontaktbereichen• Überlappungen klein im Vergleichzu den Partikeln• Interaktion über Kontaktgesetze(Feder-, Dämpfer-, Reibungselement)

RadiusOrtsvektorÜberlappungGeschwindigkeitWinkelgeschwindigkeitPartikel i und j

Diskrete-Elemente-Methode / Distinct Element Method1 (DEM)

1 Cundall P. A., Strack O. D. L., A discrete numerical model for granular assemblies, Géotechnique 29 (1), 47-65 (1979)

Kontaktgesetzelinear elastisch: Federelement (Hookesches Gesetz)

Parallelschaltung Reihenschaltung

F = k s

g e s 1 2 n ii=1

s = s + s +. . .+ s = s

g e s 1 2 nF = F = F = . . . = F

g e s 1 2 n ii=1

k = k + k +. . .+ k = kg e s 1 2 ns = s = s = . . . = s

g e s 1 2 n ii=1

F = F + F +. . .+ F = F n

i=1g e s 1 2 n i

1 1 1 1 1= + +. . .+ =

k k k k k

F Federkraftk Federsteifigkeits Auslenkung

maximaler Kontaktdruck:

Kontaktkraft:

Kontaktsteifigkeit:

* 3el 1

2F = E R s3

* *eln,el 1 k

dFk = = E R s = E rds

max k,el

p r= 1-p r

elmax m2

F3 3p = = p2 πr 2

effektiver Elastizitätsmodul:-12 2

1- ν 1- νE = 2 +E E

rk Kontaktkreisradiuss DeformationswegR1 Radius des Partikels pm mittlerer Kontaktdruck

1 H. Hertz: Ueber die Berührung fester elastischer Körper, J. reine u. angew. Math. 1881, 92, 156-171

ν1, ν2 Querdehnungszahlen des Partikels und der PlatteE1, E2 Elastizitätsmodule des Partikels und der Platte

nicht linear elastisch: Hertzgesetz – Kontaktdruck elliptisch verteilt

viskose Dämpfung: Dämpferelement

lineare gedämpfte Schwingung:

Grenzfälle:Schwingfall

Kontaktgesetze

η2 δ =

d 0ω = ω -δ

dω = +

η < 2 k m

mits Auslenkung

Geschwindigkeit

Beschleunigungm Masseη Dämpfungskonstantek Federsteifigkeits Auslenkungδ Abklingkonstante

Eigenfrequenz unged.ωd Eigenfrequenz ged.

m s + η s + k s = 0

dF = η s

20s + 2 δ s + ω s = 0

Grenzfälle:aperiodisch

Kontaktgesetze

dF = η s

m s + η s + k s = 0 η

2 δ =m

d 0ω = ω -δ20s + 2 δ s + ω s = 0

mits Auslenkung

Geschwindigkeit

dω = 0

η = 2 k m

Grenzfälle:Kriechfall

Kontaktgesetze

η2 δ =

d 0ω = ω -δ

mits Auslenkung

Geschwindigkeit

dω = -

η > 2 k m

m s + η s + k s = 0

dF = η s

20s + 2 δ s + ω s = 0

Kontaktgesetze

Reibungselement: Coulombsche Reibung

R NF = μ F

Anwendung der DEM:• Modellierung von Partikelsystemen • Simulation von Mikro- und Makroprozessen• Simulation aufwändiger Experimente• Optimierung von Prozessparametern und ApparatenZielstellung:• Energieeinsparung• Verschleißminderung• Partikelgrößen- und Partikelformanpassung• verbesserte SelektivitätSimulation in der Verfahrenstechnik von:• Silobefüllung, -lagerung, -entleerung, Zerkleinerung, Mischen…Parameter:• Partikeltrajektorien, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Kräfte (Partikel, Apparatewände), Reibungskoeffizienten, Spannungen (Schüttgut, Werkstück)…

DEM-Software

• Particle Flow Code (PFC2D, PFC3D) kommerziell (Itasca) gegründet von P. A. Cundall und O. D. L. Strack • EDEM kommerziell• Newton kommerziell• LIGGGHTS Open Source• Pasimodo Uni Stuttgart • MUSEN Uni Hamburg• …

Weitere numerische Simulationsmethoden

• numerische Strömungsmechanik (CFD) Strömungssimulationen • Kopplung aus der numerischen Strömungsmechanik und der Partikeldynamik (CFD-DEM oder CCDM – Combined Continuum and Discrete Model) Zyklone, Wirbelschichten, pneumatische Förderung, Sedimentation• Extended Finite Element Method (XFEM) Ausbreitung von Diskontinuitäten (Bruchvorgang)• Smooth-Particle-Hydrodynamics (SPH) Simulation von Flüssigkeiten auf Basis von diskreten Elementen• Randelementmethode (REM) diskretisierte Betrachtung des Randes bzw. der Oberfläche eines Körpers (ähnlich der FEM)• Mehrkörpersysteme (MKS)• …

Particle Flow Code (PFC2D, PFC3D)

Federelement:Normalrichtung:Tangentialrichtung:

Hertzgesetz:Normalrichtung:

Tangentialrichtung:

effektiver Radius:

n n nF = k sn e u a l tt t tF = F F

t t tF = k s

1 ,2n n

G 2 R2k = s

3 1- ν

2 311 ,2 3

2 3 G 1- ν Rk = F

2 - ν

Berechnung der elastischen repulsiven Kraft

1,21 2

1 1R = +R R

G =2 1+ ν

Schermodul:

snsn,F

i j i j i j i j i j i jk ,t ,m a x i jt t t n i j k ,nF = k s + η s ,μ F t.

Normalrichtung:

Tangentialrichtung:

lineares Federmodell

viskose Dämpfung

i j i j i j i j i jk ,n i jn n n nF = k s + η s n.

Reibungsmodell

Beispiel eines Kontaktmodells

i jk KontaktsteifigkeitDämpfungskonstanteÜberlappungGeschwindigkeitReibungskoeffizientNormal- und Tangentialenvektor

i j i jn t,

i js i js .

Reibungsmodell – tangentiale Kontaktreibung:Tangentialrichtung

Viskose Dämpfung – dämpft Kontakte:Normalrichtung Tangentialrichtung

Lokale Dämpfung – dämpft Beschleunigungen:

Dämpfungskraft DämpfungskoeffizientDeformationsgeschwindigkeit

i j i j i jd ,n n nF = η s .

i j i j i j

d ,t t tF = η s .

.i i ,d i iF + F = m a

Dämpfungskraft

Maximale ScherkraftReibungskoeffizient

Normalkraft i j i jk ,t ,m a x k ,ni jF = μ F

Normalrichtung:

Tangentialrichtung:

Bruchkriterium:

i j i j i j i jP B ,n P B ,n P B n i jF = k A s n

i j i j i j i jP B ,t P B ,t P B t i jF = k A s t

i ji j P B

P B ,ni j i jm a x ,P B P B P B ,k r i ti j i j

P B P B

M-Fσ = + R σ

i j i jP B ,t P B ,x

i j i jm a x ,P B P B P B ,k r i ti j i j

P B P B

F Mτ = + R τ

Cluster – Parallelbindungen (Festkörperbrücken)

i j i jm a x ,P B m a x ,P Bσ τ,

flächenbezogene SteifigkeitQuerschnittsflächemaximale Normal- und SchubspannungBruch- und Scherfestigkeit i j i j

m a x ,k r i t m a x ,k r i tσ τ,

i jP Bk i jP BA

axiales und polares FlächenträgheitsmomentBiege- und Torsionsmoment

i j i jP B P BI J,

i j i jP B P B ,xM M,

• elastische Verbindung zwischen den Partikeln mit Bruchfestigkeit

i j i jP B ,t P B

i j i jm a x ,P B P Bi j i j

P B P B

F Mτ = + R

Zugbeanspruchung

Biegebeanspruchung

Scherbeanspruchung

Torsionsbeanspruchung

i ji j P B

P B ,ni j i jm a x ,P B P Bi j i j

P B P B

M-Fσ = + R

Clumps• Partikel komplexer Geometrien zusammengesetzt aus mehreren Partikeln (betrachtet als ein Partikel)

Modellränder oder Apparatewände• starre Flächen komplexe Geometrien möglich

1 http://www.itascacg.com

22 Partikel 110 Partikel 573 Partikel

Kontaktbindungen• steife Verbindung zwischen den Partikeln mit Bruchfestigkeit

Kräftebilanz:

Momentenbilanz:

k P Bn ni j i jk P Bi i i

j=1 j=1m s = F + F + m g

k P Bn ni j i jk P Bi i

j=1 j=1J ω = M + M.

Trägheitskraft

repulsive Kontaktkräfte

attraktive BindekräfteSchwerkraft

Drehmoment

Roll- und Torsionsmomente

Biegemomente in Bindungen

i j i j i jk k ,n k ,tF = F + F

i j i j i jP B P B ,n P B ,tF = F + F

i j i j nk k ,t i

sM = F ×(R - )

Bewegungsgleichungen für jedes Partikel

Integration der Bewegungsgleichungen

zentrale Differenzenmethode Anfangsbedingung

Beschleunigung

Geschwindigkeit

Verschiebung

. . .i i i

1 Δ t Δ ts ( t ) = s ( t + ) - s ( t - )

Δ t 2 2

k P Bn ni j i jk P Bi i i

j=1 j=1i

Δ t Δ t 1s ( t + ) = s ( t - ) + F + F + g Δ t

. .i i i

Δ ts ( t + Δ t ) = s ( t ) + s ( t + ) Δ t

i i ,0s ( t = 0 ) = s

• Rechengenauigkeit abhängig vom Zeitschritt• Zeitschritt muss ausreichend kleiner sein als Kontaktzeit• ungedämpfte, harmonische Schwingung eines Federpendels

Kräftebilanz: Bewegungsgleichung:Trägheitskraft = Federkraft

Periodendauer: kritischer Zeitschritt:

Translationsbewegung: Rotationsbewegung:

Ermittlung des kritischen Zeitschritts Δt

ik r i t

T mΔ t = =

2 π mT = = 2 π

m s = - k s

i ,m i nk r i t ,t r a n

t r a n ,m a x

mΔ t =

ki ,m i n

k r i t ,r o tr o t ,m a x

JΔ t =

ks = - s

m Masse k Federsteifigkeits Auslenkung

ω0 EigenfrequenzJ Trägheitsmoment

explizite inkrementelleZeitintegration

Anwendungsgebiete

Bestimmung des Böschungswinkels

Lagerung von Schüttgütern

Bestimmung der Kräfte beim Lagern und beim Transport

Fließverhalten im Silo und Trichter

Fließstörungen in Trichtern

Brückenbildung

Zerkleinerung in Walzenmühlen

Bruchverhalten von Betonkugeln

Setzmaschine, Schwingsieb, Prallbrecher

Forschungsergebnisse der MVT

Zement, d = 2,3 mm

Zusatzstoff, d = 2 – 16 mmQuerschnittsfläche, d = 150 mm

Simulation einer Betonkugel

Simulation: Prallvorgang gegen eine steife Wand, vA = 15 m/s

Experiment: Prallvorgang gegen eine steife Wand, vA = 15 m/s

FEM-Simulation des Prallvorgangs mittels ANSYS

v = 20 m/s

Kalibrierung des ModellsEingabe der Mikroeigenschaften der

Primärpartikel, die die Makroeigenschaften des Modells bestimmen.

DEM-Simulation des Prallvorgangs. Bestimmung der Partikelgrößenverteilung und

des Aufschlussgrades.

Stimmen Simulation und

Experimentüberein?

Anwendung des kalibrierten Modells für weitere Prallsimulationen mit veränderten

Randbedingungen.

experimentelle Daten:z. B. Videos,

Partikelgrößenverteilung,Aufschlussgrad.

Anpassung der Mikro-

eigenschaften

Bruchvorgänge: Experiment und Simulation

t=2 ms

t=1 ms t=0

t=3 ms

v = 53 m/s

1 2 3 40

Zeit in ms

v = 15 m/s

Bruchmuster bei unterschiedlichen Aufprallgeschwindigkeiten nach t = 5 ms

Feingutkegel

Sekundärbruch

Restkegel

Meridianbruch

v = 15 m/s

v = 25 m/s

v = 35 m/s

Vergleich: Modell und Realität

Eigenschaft Zement ZusatzstoffMikroeigenschaften 2D-DEM-Model, d = 150 mm

Anzahl und Form 2283 Kugeln 120 KugelnDurchmesser 2,3 mm 2 – 16 mmFeststoffdichte, Volumenanteil 1790 kg/m3, 30 % 2570 kg/m3, 70 %Zugfestigkeit einer Bindung 6,5 MPa

Eigenschaften der realen Betonkugel, d = 150 mm Anzahl und Form ∞, unregelmäßig ∞, unregelmäßigDurchmesser 0 – 2 mm 0 – 16 mmFeststoffdichte, Volumenanteil 1790 kg/m3, 30 % 2570 kg/m3, 70 %Zugfestigkeit 4 MPa

Partikelgrößenverteilung – Simulation und Experiment

0 50 100 150Partikelgröße in mm

Simulationv = 35 m/sv = 30 – 40 m/s

röße

v = 50 – 60 m/s

röße

Simulationv = 55 m/s

röße

v = 10 – 20 m/s

0 50 100 150Partikelgröße in mmPa

v = 40 – 50 m/s

Aufschlussgrad des Zusatzstoffes – Simulation und Experiment

Masse aufgeschlossener WertstoffGesamtmasse Wertstoff

aufgeschlossen nicht aufgeschlossen

010203040506070

10 20 30 40 50 60

Aufprallgeschwindigkeit v in m/s

in % Experiment

Simulation

Exponentiell(Simulation)

Senkrechte Wand

Halbe WandSchräge Wand

90°-Kante Doppelkante

Prallvorgang gegen verschiedene Geometrien, vA = 45 m/s

Mit der DEM können Zerkleinerungs-, Klassier-, Misch- und Sortierprozessenachgebildet werden. Die Methode ist ein Werkzeug bei der Lösung technischerProbleme für Maschinenbauer und Verfahrenstechniker.

Prozessparameter bei der Zerkleinerung

Übertragung auf die DEM

Geometrie des Prozessraumes gerade und gekrümmte Wände

Geschwindigkeit, Frequenz und Amplitude der Brechwerkzeuge

bewegte Wände: gleichförmig/ beschleunigt/schwingend/rotierend

Partikelgröße und –form,Aufschlussgrad, Reinheit

Clustergröße und –form,Anteil der Komponente im Cluster

Energieverbrauch Beanspruchungsenergie auf die Cluster (=Kugelpackungen)

Verschleiß von Bauteilen Wandkraft

Staubmenge und Entstehungsort Wandkraft

DEM-Maschinensimulationen

DEM-Simulationen eines Backenbrechers

Nachbildung der Maschine Nachbildung des Aufgabegutes

2D-Skizze

3D-Vektorgraphik

Bewegung der Maschinenelemente

3D-Maschine mit Aufgabegut

Aufgabenstellung

Materialeigenschaften

Kalibrierung:• Prallversuch• Druckversuch• OberflächenreibungWerkstoff

Aufgabe: Simulation der Zerkleinerung von Beton B35 in einem Backenbrecher

Veränderung folgender Parameter: Einzugswinkel s Spaltweite Durchsatzn Drehzahl w, b Maulweite, -breite Aufgabekorngrößeh Hub H Brechraumhöhe

2D-Modell des Backenbrechers

2D-Skizze

Aufgabenstellung

Kalibrierung• Prallversuch• Druckversuch• OberflächenreibungWerkstoff

3D-Vektorgraphik

Technische Daten des Backenbrechers

Bezeichnung PKSB 200x125Typ Pendelschwingenbrecher

Hersteller und Baujahr SKET Schwermaschinenbau Magdeburg GmbH, 1994

elektr. Anschlussleistung 3 kW bei 380 VHubzahl der Schwinge 150 min-1

Maulbreite x Maulweite 200 x 125 mmSpaltweite, eng 10 mm, verstellbarSchwingenhub 5 mm, verstellbar

cbr,r 0

22 cas arr 0

Spaltweite Vorderkante

Ebene der Schwingerbacke

Einzugswinkel zwischen beiden Brechbacken

x in mm

)tsin(A)t(h Schwingenhub am Austragsspalt

babaarccos

3D-Vektorgraphik, Bewegungsgleichung

2D-Skizze

3D-Vektorgraphik

Aufgabenstellung

Beton B35 DEM-KugelmodellZuschlagstoff (Granit, Basalt) = 2570 kg/m3

d = 1 – 16 mmSteifigkeit k = ?

50 Kugeln (rot) = 2570 kg/m3

d = 4 – 8 mmk = 6·108 N/m

Zementstein (Zement, Sand) = 1790 kg/m3

d = 0,002 – 1 mmSteifigkeit k = ?

390 Kugeln (gelb) = 1790 kg/m3

d = 4 mmk = 5·108 N/m

E-Modul E = 30 – 40 kN/mm2 E 6 kN/mm2

Bruchfestigkeit B > 35 N/mm2

B 40 N/mm2

Reibung Beton-Stahl 0,3 = 0,3

Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Reibung von Beton auf Stahl

Drucktest einer Betonkugel

v = 0,1 mm/minv = 0,1 mm/min

Weg [mm] Weg [mm]

elastisch-plastisch

elastisch-plastischHertz,elastisch

Bruchpunkt

Fließpunkt

Hertz,elastisch

v = 1 mm/min

Weg [mm]

Vergleich zwischen Experiment und Simulation

2D-Skizze

3D-Vektorgraphik

Aufgabenstellung

Partikelgrößenverteilung des Produktes

020406080

0 5 10 15 20Partikelgröße in mm

Experiment 1AExperiment 1BExperiment 1CExperiment 2Experiment 3DEM Simulation

Aufschlussgrad des Zusatzstoffes

Masse aufgeschlossener WertstoffGesamtmasse Wertstoff

aufgeschlossen nicht aufgeschlossen

50 51 54 56 55

Versuche und Simulation

experiment 1Aexperiment 1Bexperiment 1Cexperiment 2experiment 3simulation

Prallbrecher

Simulation einer Kugelmühle

Simulation des Druckversuchs eines Granulats

DEM-Simulationen im Rahmen der DEM-Lehrveranstaltung

Simulation eines Backenbrechers

Simulation einer Siloentleerung

Simulation einer Schneekugel

Simulation eines Schneemanns

Simulation eines Schneemanns mit LIGGGTHS

Diskrete-Elemente-Methode:

• starre, diskrete Elemente

• Mehrkörpersysteme, Porosität, Bruchvorgänge

Anwendung der DEM:

• Modellierung von Partikelsystemen

• Simulation von Mikro- und Makroprozessen

• Simulation aufwändiger Experimente

• Optimierung von Prozessparametern und Apparaten

Zielstellung:

• Energieeinsparung

• Verschleißminderung

• Partikelgrößen- und Partikelformanpassung

• verbesserte Selektivität

Zusammenfassung

Zerkleinerung von Erz in einem Pochwerk des Mittelalters

Georgius Agricola „De re metallica libri XII“ (1556)

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

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