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Filter - Theorie und Praxis Einführung in die Biosignalverarbeitung (BMT1604)

23.06.2016 Manuel C. Kohl, M.Sc. 1

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Agenda Einführung und Motivation

Analoge und digitale Übertragungssysteme

Grundlegende Filtertypen

Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung

Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter)

Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR-Filter)

Filtercharakteristiken (analoge Prototypen, linearphasige Filter)

Design von FIR- und IIR-Filtern mit MATLAB

Literatur

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Einführung und Motivation Was ist ein Filter ?

https://m.torquato-cdn.net/productdetail/ 410x410/102450/melitta-porzellan-kaffeefilter.jpg

http://www.native-instruments.com/typo3temp/pics/img-ce-04_monark_making-the-pilgrimage_03-a959560efb350e67a4f028bd961f6c0f-d.jpg

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Einführung Was ist ein Filter ? Ein Filter/Operator ist ein System, das die Eigenschaften eines Signals verändert.

→ Hervorhebung erwünschter Signalkomponenten → Dämpfung unerwünschter Signalkomponenten

→ Trennung des Nutzsignals vom Störsignal (Rauschen)

Kein Filter kann Information aus einem Signal herausholen, die nicht bereits zuvor darin enthalten war.

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Motivation Typische Einsatzmöglichkeiten für eindimensionale (Zeit-)Signale : Glättung Erkennung von Sprüngen Detrending Denoising

Typische Anwendungen auf mehrdimensionale Signale (z.B. Bilder) : Kantenerkennung Beseitigung von Bildstörungen (z.B. Staub, Kratzer) Denoising

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Motivation Beispiel : Unbearbeitete ERP-Map eines auditorisch evozierten Potentials

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Motivation Beispiel : ERP-Map nach Anwendung eines Denoising-Bildfilters

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Motivation Beispiel : Unbearbeitetes Elektrokardiogramm

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Motivation Beispiel : Detrending des EKG-Signals mithilfe eines Hochpassfilters

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Motivation Beispiel : Entfernung des Netzbrummens mithilfe eines Kerbfilters

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Motivation Beispiel : Entrauschen des EKG-Signals mithilfe eines Tiefpassfilters

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Motivation Beispiel : R-Zackenerkennung im EKG-Signal (Hochpassfilter + Schwellwert)

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Analoge und digitale Übertragungssysteme Analoge (zeitkontinuierliche) Systeme werden i.d.R. als elektronische Schaltungen um Operationsverstärker aufgebaut

(Spannungs-)Übertragungsfunktion

Beschreibung des Systemverhaltens

durch Differentialgleichung

→ Vorteil : Systemantwort ist praktisch instantan (keine Verarbeitungslatenz) ideal für (i.d.R. stark zeitkritische) Regelaufgaben

→ Nachteil : Anzahl an möglichen Filtercharakteristiken ist stark begrenzt

http://bilder.hifi-forum.de/medium/723397/aktivertiefpass2-terordnung_199260.png

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Analoge und digitale Übertragungssysteme Digitale Systeme arbeiten mit zeitdiskreten Repräsentationen kontinuierlicher Signale → Beschreibung des Systemverhaltens durch Differenzengleichung

→ Nachteil : Einführung größerer Verarbeitungslatenzen, dadurch meist ungeeignet für stark zeitkritische Einsatzfelder

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Analoge und digitale Übertragungssysteme Vorteile von DSP-Systemen im Vergleich zu analoger Technik : Praktisch beliebig komplexe mathematische Operationen können flexibel,

exakt und ohne zusätzlichen Hardwareaufwand durchgeführt werden

Praktisch beliebig große Signalmengen können für Berechnungszwecke verlustfrei zwischengespeichert und übertragen werden

→ Realisierung von Filtern, die in analoger Technik nicht umsetzbar wären : Exakt linearphasige Filter / Zero-Phase-Filter Extrem schmalbandige Filter (→ hohe Ordnung) Filter mit sehr steilen Flanken (→ hohe Ordnung) Filter für enorm niedrige Frequenzen

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Grundlegende Filtertypen Tiefpassfilter („Lowpass“ bzw. „Highcut“)

http://www.electronics-tutorials.ws/filter/opamp78.gif?81223b

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Grundlegende Filtertypen Hochpassfilter („Highpass“ bzw. „Lowcut“)

http://www.electronics-tutorials.ws/filter/opamp88.gif?81223b

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Grundlegende Filtertypen Bandpassfilter und Peakfilter

http://www.sengpielaudio.com/FilterBandwidth09A.gif

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Grundlegende Filtertypen Bandsperrfilter und Kerbfilter („Bandstop“ bzw. „Notch“)

http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTblmQ3RoGAG02XerdaqMolyjevH9YfUj_nQOdc39QnqPYAFd281O02RQ

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Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung (kontinuierlich) Übertragungsfunktion H(s) : Beschreibung des Systemverhaltens

im Frequenzbereich / S-Bildbereich (→ Multiplikation)

Impulsantwort (Funktion) h(t) : Beschreibung des Systemverhaltens im Zeitbereich (→ Faltung)

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Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung (diskret) Übertragungsfunktion H(z) : Beschreibung des Systemverhaltens

im Frequenzbereich / Z-Bildbereich (→ Multiplikation)

Impulsantwort (Folge) h[∙] : Beschreibung des Systemverhaltens im Zeitbereich (→ Faltung)

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Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Konkretes Beispiel : diskrete Faltung zweier Folgen

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Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Faltung ist kommutativ :

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Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Filterung eines Signals durch Faltung : Originalsignal

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Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Filterung eines Signals durch Faltung : Verrauschtes Signal

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Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Gaußförmiger Faltungskern

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Was bedeutet das ?

(gleitender Mittelwert ≡ Tiefpassfilterung)

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Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Gefiltertes Signal (Faltungsprodukt)

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Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) LTI-Systeme Direkte Normalform Endliche Impulsantwort Keine Rückkopplung (nichtrekursiv) → immer stabil

Filtergleichung : Filterordnung N Zählerpolynom b[∙] ≡ h[∙] Ausgangsfolge y[∙] wird aus

aktuellen und vergangenen Werten der Eingangsfolge x[∙] abgeleitet (→ kausales System)

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/FIR_Filter.svg/1000px-FIR_Filter.svg.png

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Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR-Filter) LTI-Systeme Unendliche Impulsantwort Rückkopplung (rational / rekursiv) → nicht zwangsläufig stabil

Filtergleichung : Filterordnungen M und N Zählerpolynom b[∙] Nennerpolynom a[∙] Ausgangsfolge y[∙] wird aus aktuellen und vergangenen Werten der

Eingangsfolge x[∙] sowie vergangenen Werten der Ausgangsfolge selbst abgeleitet (→ kausales System)

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https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/DF1.png/509px-DF1.png

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/DF2b.png

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Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR-Filter) Direkte Form I Direkte Form II

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Vergleich FIR- und IIR-Filter FIR-Filter IIR-Filter

Eigenschaften▪ Endliche Impulsantwort▪ Keine Rückkopplung

▪ Unendliche Impulsantwort▪ Rückkopplung

Vorteile▪ Zwangsläufige Stabilität des Systems▪ Einfaches Design

▪ Bessere Filterwirkung▪ Steile Flanken mit geringer Ordnung▪ Höhere Anzahl an praktisch realisierbaren Filtercharakteristiken→ Geringerer Bedarf an Rechenleistung und Speicherplatz

Nachteile

▪ Nicht alle Filtercharakteristiken sind praktisch als FIR-Filter realisierbar▪ Endlicher Stopbandabstand▪ Hohe Ordnung für steile Flanken nötig→ Höhere Rechenleistung und höherer Speicherplatzbedarf

▪ Stabilität des Systems ist nicht zwangsläufig gegeben▪ Komplizierteres Design→ Besonders sorgfältigeDimensionierung nötig

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Filtercharakteristiken (analoge Prototypen) Butterworth-Charakteristik : Maximal flacher Amplituden-

gang im Passband

Monotoner Amplitudengang im Stopband

Moderates Abknicken bei der Grenzfrequenz

Moderate Nichtlinearität im Phasengang

Moderat frequenzabhängige Gruppenlaufzeit

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Filtercharakteristiken (analoge Prototypen) Chebyshev-Charakteristik : Welligkeit des Amplituden-

gangs im Passband

Steiles Abknicken bei der Grenzfrequenz

Hohes Überschwingen der Sprungantwort

Starke Nichtlinearität im Phasengang

Keine konstante Gruppen- laufzeit im Passband

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Filtercharakteristiken (analoge Prototypen) Elliptische/Cauer-Charakteristik : Oszillierender Verlauf des

Amplitudengangs in Pass- band und Stopband

Maximal steiler Übergang des Amplitudengangs vom Passband ins Stopband

Hohe Garantiedämpfung / Mindest-Stopbandabstand mit minimaler Ordnung

Sehr starke Nichtlinearität des Phasengangs

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Filtercharakteristiken (analoge Prototypen) Bessel-Charakteristik : Glatter Amplitudengang

im Passband

Geringe Steilheit bei der Grenzfrequenz

Minimales Überschwingen der Sprungantwort

Geringe Nichtlinearität im Phasengang

Konstante Gruppenlaufzeit im Passband

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Filtercharakteristiken (analoge Prototypen) Bessel-Charakteristik : Glatter Amplitudengang

im Passband

Geringe Steilheit bei der Grenzfrequenz

Minimales Überschwingen der Sprungantwort

Geringe Nichtlinearität im Phasengang

Konstante Gruppenlaufzeit im Passband

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Filtercharakteristiken (linearphasige Filter) Fensterbasierte FIR-Filter : Amplitudengang entspricht

einer Fensterfunktion (Tradeoff zwischen Flanken- steilheit, Welligkeit im Pass- band und Stopbandabstand bei gegebener Ordnung)

Endlicher Stopbandabstand

Linearer Phasengang im Passband

Konstante Gruppenlaufzeit im Passband

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Filtercharakteristiken Fensterfunktionen : Rechteckfenster (Rectangular Window)

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https://de.wikipedia.org/wiki/Fensterfunktion#/media/File:Window_function_(rectangular).svg

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Filtercharakteristiken Fensterfunktionen : Von-Hann-Fenster (Raised-Cosine-Window)

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https://de.wikipedia.org/wiki/Fensterfunktion#/media/File:Window_function_(hann).svg

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Filtercharakteristiken Fensterfunktionen : Hamming-Fenster

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https://de.wikipedia.org/wiki/Fensterfunktion#/media/File:Window_function_(hamming).svg

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Filtercharakteristiken Fensterfunktionen : Flat-Top-Fenster

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https://de.wikipedia.org/wiki/Fensterfunktion#/media/File:Window_function_and_frequency_response_-_SRS_flat_top.svg

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Design von FIR- und IIR-Filtern mit MATLAB Filter Design & Analysis Tool (fdatool)

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Literatur [1] Meyer, M. : “Signalverarbeitung : Analoge und Digitale Signale, Systeme und Filter”. 6. Aufl. Vieweg+Teubner, 2011 [2] “Kapitel 5 : FIR- und IIR-Filterentwurf”. Züricher Hochschule Winterthur, Departement Technik, Informatik und Naturwissenschaften, 2005 [3] “Lecture 8 - DT Filter Design : IIR Filters”. Massachusetts Institut of Technology, Department of Electrical Engineering and Computer Science, 2006

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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit !

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