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Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-1
Thema Bereiche SeiteMagnetismus Unterscheidung und Verlauf 3-2 Magnetfeld in Leitern Zeichnung 3-2 Magnetfeld in Spule Zeichnung 3-2 Merkblatt Magnetismus Wesen 3-3 Vorkommen 3-3 Ursache 3-3 Wirkung 3-3 Wertung 3-3 Der Magnet Arten 3-3 Aufbau 3-3 Magnetfeld 3-3 Magnetischer Fluß Leitfähigkeit für magnetische Kraftlinien 3-3 Sättigung 3-3 Magnetische Flußdichte 3-3 Arten des Magneten Weicheisenmagnet 3-3 Harteisenmagnet 3-3 Stahlmagnet 3-3 Entmagnetisieren Erklärung 3-3 Magnetischer Fluß Einheit und Erklärung 3-4 Magnetische Flußdichte Berechnung 3-4 Magnetische Durchflutung Berechnung 3-4 Magnetische Feldstärke Berechnung 3-4 Zusammenhang Flußdichte – Feldstärke 3-5 Magnetisierungskennlinie 3-5 Hysteresekurve 3-5 Kräfte auf stromdurchflossenen Le. Zeichnung und Berechnung 3-6 Tragkraft eines Magneten Zeichnung und Berechnung 3-6 Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld (Motorprinzip) Linke-Hand-Regel 3-7
UVW-Regel 3-7 Berechnung 3-7 Induktion Rechte-Hand-Regel 3-8 UVW-Regel 3-8 Berechnung 3-8 Lenzsche Regel 3-8 Induktion der Ruhe (Trafoprinzip) Zeichnung und Berechnung 3-9 Spannungsübersetzungsverhältnis 3-9 Stromübersetzungsverhältnis 3-9 Widerstandsübersetzungsverhältnis 3-10 Selbstinduktion Zeichnung und Berechnung 3-10 Spule (Induktivität) Berechnung 3-11 Energie / Arbeit im magnetischen Feld 3-12 Reihenschaltung 3-12 Parallelschaltung 3-12 Ein- und Ausschalten einer Spule 3-13 Berechnung der Zeitkonstante 3-14 Berechnungen beim Einschaltvorgang 3-15 Berechnungen beim Ausschaltvorgang 3-16
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-2
Grundlagen Magnetismus: Unterscheidung der Magnete in:
- Dauermagnete (Permanentmagnete) - Elektromagnete - Erdmagnetfeld
Die magnetischen Feldlinien treten am N-Pol senkrecht aus und am S-Pol wieder senkrecht ein. Im Inneren des Magneten verlaufen die magnetischen Feldlinien vom S-Pol zum N-Pol. Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters Wird ein Leiter von einem Strom durchflossen, so baut sich um ihn kreisförmig ein Magnetfeld auf. • bedeutet: Strom fließt aus dem Leiter X bedeutet: Strom fließt in den Leiter Feldlinien in einer Spule:
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-4
Der magnetische Fluß Φ (phi): Einheit: [ ] WbVs 11 ==Φ Die Anzahl der magnetischen Feldlinien wir als sog. magnetischer Fluß Φ (phi) bez. Magnetische Flußdichte B:
AB Φ=
BA Φ= AB •=Φ [ ] T
mWb
mVsB === 22
B = magnetische Flußdichte in T (Tesla) Φ = magnetischer Fluß in Wb A = Fläche in m2 Die magnetische Durchflutung Θ (theta):
NI •=Θ N
I Θ= I
N Θ=
Θ = magnetische Durchflutung in A (auch magnetische Spannung) I = Strom in A N = Anzahl der Windungen der Spule Magnetische Feldstärke H:
mlNIH •=
HNIlm
•= N
lHI m•= I
lHN m•=
mlH Θ=
Hlm
Θ= Hlm •=Θ [ ]mAH =
H = magnetische Feldstärke in mA
I = Strom in A N = Anzahl der Windungen der Spule lm = mittlere Feldlinienlänge in m Θ = magnetische Durchflutung in A (auch magnetische Spannung)
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-5
Zusammenhang zwischen magnetischer Flußdichte B und Feldstärke H:
HB r ••= µµ0 r
BHµµ •
=0
H
Br •
=0µ
µ
µ0 = magnetische Feldkonstante AmVs610256,1 −• ; µr = Permeabilitätszahl (bei Luft ≈ µr=1)
Magnetisierungskennlinie:
Hysteresekurve (-schleife):
BR = Remanenz (= Restmagnetismus) HC = Koerzitivfeldstärke (=Ummagnetisierungsfeldstärke)
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-6
Kräfte auf stromdurchflossene Leiter: Feldlinien laufen entgegengesetzt Feldlinien laufen gleich ⇒ Feldschwächung ⇒ Feldverstärkung ⇒ Leiter ziehen sich an ⇒ Leiter stoßen sich ab Die Bewegung der Leiter folgt immer zum schwächeren Feld hin.
rIIl
F••
•••=
πµ
2210
rIIlkF 21 •••=
πµ•
=2
0k
FIIlr
•••••
=π
µ2
210 F
IIlkr 21 •••= 1
2 IlkrFI
•••=
102
2Il
rFI••
•••=µ
π 2
1 IlkrFI
•••=
12 IIkrFl••
•=
201
2Il
rFI••
•••=µ
π 120
2IIrFl
•••••=
µπ
F = Kraft in N
µ0 = magnetische Feldkonstante AmVs610256,1 −•
l = wirksame Leiterlänge in m I1 ; I2 = Strom durch den jeweiligen Leiter in A r = Abstand der Leiter Tragkraft eines Magneten:
••=
0
2
2 µLBAF 2
02
LBFA µ••=
AF
BL02 µ••
=
sFW •= s
WF = FWs =
F = Kraft in N ; W = Hubarbeit des Magneten in Nm A = wirksame Ankeroberfläche BL = magnetische Flußdichte der Spule in T
µ0 = magnetische Feldkonstante AmVs610256,1 −•
s = Abstand von Anker und Magnet in m
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-7
Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld (Motorprinzip): Der stromdurchflossene Leiter bildet mit seinem Magnetfeld und dem des Dauermagneten ein resultierendes Magnetfeld. Es entsteht eine Feldverstärkung und eine Feld-schwächung. Der stromdurchflossene Leiter bewegt sich in Richtung Feldschwächung. Linke-Hand-Regel: Hält man die linke Hand so, dass die Feldlinien auf die Innenfläche der Hand auftreffen und die gestreckten Finger in Stromrichtung zeigen, dann gibt der abgespreizte Daumen die Richtung der Kraft F an. U-V-W-Regel (rechte Hand): Ursache: Strom I Vermittlung: Magnetfeld B Wirkung: Kraft F
NlIBF •••= NlI
FB••
= NlB
FI••
= NIB
Fl••
= lIB
FN••
=
[ ] Nm
Nmm
WsmAmVsF ===••= 2
F = Kraft in N
B = Flußdichte in TmWb
mVs == 22
I = Strom in A l = wirksame Leiterlänge in m N = Anzahl der Leiter im Magnetfeld
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-8
Induktion (Generatorprinzip): Schneidet ein Leiter die Feldlinien eines Magnetfeldes, so wird in dem Leiter eine Spannung erzeugt (=induziert). Rechte-Hand-Regel: Treffen die Feldlinien auf die Innenfläche der Hand auf und zeigt der abgespreizte Daumen in Richtung der Leiterbewegung, dann fließt der induzierte Strom in Richtung der ausgestreckten Finger. U-V-W-Regel (rechte Hand): Ursache: Kraft F (Bewegung v) Vermittlung: Magnetfeld B Wirkung: Strom I
NlvBUi •••−= Nlv
UB i
••−=
NlBUv i
••−=
NvBUl i
••−=
lvBUN i
••−=
[ ] Vmsm
mVsUi =••= 2
Ui = induzierte Spannung in V
B = Flußdichte in TmWb
mVs == 22
v = Geschwindigkeit in sm
l = wirksame Leiterlänge in m N = Anzahl der Leiter im Magnetfeld Die induzierte Spannung Ui ist negativ, da sie nach der Lenzschen Regel so gerichtet ist, dass sie ihrer Ursache entgegenwirkt. Lenzsche Regel: Die induzierte Spannung Ui ist stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache (Kraft F) entgegenwirkt.
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-9
Induktion der Ruhe (Trafoprinzip) Primärspule Sekundärspule Ändert sich der magnetische Fluss durch die Stromänderung I, so wird in der Sekundär-spule während der Änderung eine Spannung Ui induziert. (Lenzsche Regel)
tNUi ∆
∆Φ•−= iU
Nt ∆Φ•−=∆ ∆Φ
∆•−= tUN i N
tUi ∆•−=∆Φ
Ui = induziert Spannung in V N = Anzahl der Windungen der Sekundärspule ∆Φ = magnetischer Flußdifferenz in Wb ∆t = Zeitänderung in s Spannungsübersetzungsverhältnis:
2
1
uuü =
üuu 1
2 = 21 uüu •=
u1 = Primärspannung in V u2 = Sekundärspannung in V ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo Stromübersetzungsverhältnis:
1
2
iiü =
üii 2
1 = 12 iüi •=
i1 = Strom in der Primärspule in A i2 = Strom in der Sekundärspule in A ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo
2
1
NNü =
üNN 1
2 = 21 NüN •=
N1 = Anzahl der Windungen auf der Primärspule N2 = Anzahl der Windungen auf der Sekundärspule
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-10
Widerstandsübersetzung (-übertrager):
22
1 RüR •= 21
2 üRR =
2
1
RRü =
R1 = Widerstand der in der Quelle wirkt in Ω R2 = Widerstand im Sekundärkreis in Ω ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo Selbstinduktion:
v Ändert sich in einer Spule das Magnetfeld (∆I → ∆Φ → ∆B), so wird in der Spule selbst eine Spannung induziert. ⇒Selbstinduktionsspannung Ui
tILUi ∆
∆•−= iU
ILt ∆•−=∆ I
tUL i
∆∆•−=
LtUI i ∆•−=∆
Ui = Selbstinduktionsspannung in V L = Induktivität in H ∆I = Stromänderung in A ∆t = Zeitänderung in s
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-11
Induktivität: Herleitung:
tNUi ∆
∆Φ•−= ; AB •∆=∆Φ ; HB r ∆••=∆ µµ0 ; ml
NIH •∆=∆ ;
m
rri lt
ANIN
t
AHN
tABN
tN
U•∆
••∆•••−=
∆
•∆•••−=
ƥƥ
−=∆
∆Φ•−=
µµµµ 00
tIL
tI
Nl
A
tl
INNAU
m
r
m
ri ∆
∆•−=
∆∆
••••
−=∆•
∆•••••−= 200 µµµµ
20 Nl
AL
m
r •••
=µµ
20 NL
Al r
m •••
=µµ
20 N
lLA
r
m
•••
=µµ
A
lLN
r
m
•••
=µµ0
[ ] HA
VsmAm
mVsL ==•
•=2
L = Induktivität in H (Henry)
µ0 = magnetische Feldkonstante AmVs610256,1 −•
µr = Permeabilitätszahl (bei Luft ≈ µr=1) A = Fläche in m2
lm = mittlere Feldlinienlänge in m N = Windungsanzahl
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-12
Energie im magnetischen Feld:
2
21 ILW ••= 2
2IWL •=
LWI •= 2
W = Energie (=Arbeit) in Ws L = Induktivität in H U = Spannung in V
1 Ws = 1 • 10-3 kWs = 6,3
1 • 10-3 Wh = 6,3
1 • 10-6 kWh = 0,278 • 10-6 kWh = 1J
1 kWh = 1 • 103 Wh = 3,6 • 103 kWs = 3,6 • 106 Ws = 3,6 • 106 J Reihenschaltung von Spulen:
321 UUUU g ++=
321 LLLLg ++= Parallelschaltung von Spulen:
321 UUUU ===
321
1111LLLLg
++=
für 2 Spulen gilt:
21
21
LLLLLg +
•= g
g
LLLL
L−•
=2
21
g
g
LLLL
L−•
=1
12
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-13
Ein- und Ausschalten einer Spule:
Einschalten der Spule Ausschalten der Spule Spannung an der Spule:
Spannung am Widerstand, Strom i:
Nach 1τ fließt 63%, nach 2τ fließt 86%, nach 3τ fließt 95%, nach 4τ fließt 98% und nach 5τ fließt 100% von imax
Spannung an der Spule:
Spannung am Widerstand, Strom i:
Durch die Gegeninduktion in der Spule liegt nach 1τ noch 37%, nach 2τ noch 14%, nach 3τ noch 5%, nach 4τ noch 2% von UR und nach 5τ keine Spannung mehr an.
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-14
Zeitkonstante:
RL=τ
τLR = τ•= RL R = Widerstand in Ω ; L = Induktivität in H; τ in s
Nach 5 τ fließt der maximale Strom imax:
RUi 0
max = max
0
iUR = max0 iRU •=
U0 = maximale Spannung an der Spule R = Widerstand in Ω imax = maximaler Strom Zu jedem Zeitpunkt gilt:
LR uuU +=0
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-15
Berechnung zum Einschaltvorgang der Spule: Spannung an der Spule:
( ) τt
L eUtu−
•= 0
•−=
0
lnUut Lτ
−=
0
lnUut
L
τ
( ) LRt
L eUtu•
−•= 0
RUuL
t
L
−
•
= 0
ln
tUuL
R
L
−
•
= 0
ln
•−=
0
lnUu
RtLL
Spannung um Widerstand:
( )
−•=
−τt
R eUtu 10
−•−=
0
1lnUu
t Rτ ( )
−
−=
0
1lnUu
t
R
τ
( )
−•=
•−
LRt
R eUtu 10 R
Uu
Lt
R
−
−•
= 0
1ln
tUu
LR
R
−
−•
= 0
1ln
−
•−=
0
1lnUuRtL
R
Strom:
( )
−•=
−τt
eiti 1max
−•−=
max
1lni
it τ ( )
−
−=
max
1lni
itτ
( )
−•=
•−
LRt
eiti 1max R
iiL
t−
−•
= max
1ln
ti
iLR
−
−•
= max
1ln
−
•−=
max
1lni
iRtL
τ•= 5Et
U0 = Maximale Spannung an der Spule in V uL(t) = Spannung an der Spule zum Zeitpunkt t in V uR(t) = Spannung am Widerstand zum Zeitpunkt t in V i(t) = Strom zum Zeitpunkt t in A t = Zeitpunkt in s τ = Zeitkonstante in s R = Widerstand in Ω L = Induktivität in H tE = Zeit bis nahezu der maximale Strom fließt
Formelsammlung Elektrotechnik
Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-16
Berechnung zum Ausschaltvorgang der Spule: Spannung der Spule:
( ) τt
L eUtu−
•−= 0
−•−=
0
lnUu
t Lτ ( )
−
−=
0
lnUut
L
τ
( ) LRt
L eUtu•
−•−= 0
RUuL
t
L
−
−•
= 0
ln
tUu
LR
L
−
−•
= 0
ln
−
•−−=
0
lnUu
RtLL
Spannung um Widerstand:
( ) τt
R eUtu−
•= 0
•−=
0
lnUut Rτ ( )
−=
0
lnUut
R
τ
( ) LRt
R eUtu•
−•= 0
RUuL
t
R
−
•
= 0
ln
tUuL
R
R
−
•
= 0
ln
•−−=
0
lnUu
RtLR
Strom:
( ) τt
eiti−
•= max
•−=
max
lni
it τ ( )
−=
max
lniitτ
( ) LRt
eiti•−
•= max Ri
iLt
−
•
= max
ln
ti
iLR
−
•
= max
ln
•−−=
max
lni
iRtL
τ•= 5At
U0 = Maximale Spannung an der Spule in V uL(t) = Spannung an der Spule zum Zeitpunkt t in V uR(t) = Spannung am Widerstand zum Zeitpunkt t in V i(t) = Strom zum Zeitpunkt t in A t = Zeitpunkt in s τ = Zeitkonstante in s R = Widerstand in Ω L = Induktivität in H tA = Zeit bis der Gegeninduktionsspanung der Spule abgeklungen ist
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