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Elektrotechnik Formelsammlung\Format A4\Sprache Deutsch
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ElekElekElekElektrotechniktrotechniktrotechniktrotechnik
Formelsammlung
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Lloyd Beeler
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 1 Lloyd Beeler
Inhaltsverzeichnis Vorwort ................................................................................................................................................... 3 Grundlagen ............................................................................................................................................ 4
Strom.................................................................................................................................................... 4 Strom Dichte ........................................................................................................................................ 4 Spannung............................................................................................................................................. 4 Widerstand........................................................................................................................................... 4 Drahtwiderstand................................................................................................................................... 4 Temperaturwiderstand ......................................................................................................................... 5
Widerstandsschaltungen...................................................................................................................... 6 Serielle Widerstandsschaltung ............................................................................................................ 6 Parallel Widerstandsschaltung ............................................................................................................ 6 Brückenschaltung ................................................................................................................................ 7
abgeglichen: .................................................................................................................................................... 7 unabgeglichen: ................................................................................................................................................ 7
Spannungs- Strom Quellen .................................................................................................................. 8 Spannungsquelle ................................................................................................................................. 8 Ersatzspannungsquelle........................................................................................................................ 8
Vorgehen: ........................................................................................................................................................ 8 Überlagerungsmethode ....................................................................................................................... 9
Vorgehen: ........................................................................................................................................................ 9 Energie/Leistung ................................................................................................................................. 10
Energie............................................................................................................................................... 10 Leistung.............................................................................................................................................. 10 Anpassung ......................................................................................................................................... 10 Wirkungsgrad..................................................................................................................................... 10 Wärmewiderstand .............................................................................................................................. 10
Ohne Kühlkörper ........................................................................................................................................... 10 Mit Kühlkörper ............................................................................................................................................... 11
Messtechnik ......................................................................................................................................... 12 Spannungserweiterung: ..................................................................................................................... 12 Stromerweiterung............................................................................................................................... 12 Anzeigefehler Analoges Messinstrument .......................................................................................... 12
Kennwiderstand:............................................................................................................................................ 12 Anzeigefehler:................................................................................................................................................ 12
Anzeigefehler Digitales Messinstrument............................................................................................ 12 Spannungsfunktion............................................................................................................................. 13
Frequenz............................................................................................................................................ 13 Kreisfrequenz..................................................................................................................................... 13 Momentanwert ................................................................................................................................... 13 Effektivwert ........................................................................................................................................ 13
Sinus:............................................................................................................................................................. 13 Rechteck:....................................................................................................................................................... 13 Rechteckimpuls: ............................................................................................................................................ 13 Sägezahn: ..................................................................................................................................................... 13
Gleichrichter ........................................................................................................................................ 14 Glättung:............................................................................................................................................. 14 Siebung: ............................................................................................................................................. 14
Kondensator ........................................................................................................................................ 15 Feldstärke .......................................................................................................................................... 15 Kondensator (Kapazität) .................................................................................................................... 15 Kondensator an konstantem Strom ................................................................................................... 15 Kondensator an Gleichspannung ...................................................................................................... 16
Laden:............................................................................................................................................................ 16 Entladen: ....................................................................................................................................................... 16
Kondensator an Wechselspannung (Sinus) ...................................................................................... 17 Verluste: ........................................................................................................................................................ 17
Kondensatorschaltungen ................................................................................................................... 17 Serie: ............................................................................................................................................................. 17 Parallel:.......................................................................................................................................................... 17
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 2 Lloyd Beeler
Spule ..................................................................................................................................................... 18 Durchflutung....................................................................................................................................... 18 Magnetische Feldstärke..................................................................................................................... 18 Magnetischer Fluss............................................................................................................................ 18 Hysteresisschleife .............................................................................................................................. 18 Spule (Induktivität) ............................................................................................................................. 18 Spule an konstanter Spannung ......................................................................................................... 19 Spule an Gleichstrom......................................................................................................................... 20
Einschalten: ................................................................................................................................................... 20 Ausschalten: .................................................................................................................................................. 20
Spule an Wechselstrom (Sinus) ........................................................................................................ 21 Verluste: ........................................................................................................................................................ 21
Spulenschaltungen ............................................................................................................................ 21 Serie: ............................................................................................................................................................. 21 Parallel:.......................................................................................................................................................... 21
Zwei Spulen auf einem Kern:............................................................................................................. 21 Transformator .................................................................................................................................... 22
RLC Schaltungen................................................................................................................................. 23 RC Serieschaltung ............................................................................................................................. 23 RL Serieschaltung.............................................................................................................................. 24 RLC Serieschaltung ........................................................................................................................... 25
Induktiv .......................................................................................................................................................... 25 Kapazitiv ........................................................................................................................................................ 25
RC Parallelschaltung ......................................................................................................................... 26 RL Parallelschaltung .......................................................................................................................... 27 RLC Parallelschaltung ....................................................................................................................... 28
Induktiv .......................................................................................................................................................... 28 Kapazitiv ........................................................................................................................................................ 28
Kompensationsschaltung................................................................................................................... 29 Induktiv............................................................................................................................................... 29
RLC Reihenschwingkreis (Saugkreis)............................................................................................... 30 Bei Resonanzfrequenz (fo) ................................................................................................................ 30
RLC Parallelschwingkreis (Sperrkreis) ............................................................................................. 31 Schaltungsumwandlung..................................................................................................................... 31 Bei Resonanzfrequenz (fo) ................................................................................................................ 31
Passive Filter ....................................................................................................................................... 33 Tiefpass.............................................................................................................................................. 33 Hochpass ........................................................................................................................................... 34 Bandpass ........................................................................................................................................... 35
RC ................................................................................................................................................................. 35 Bandsperre ........................................................................................................................................ 36
RC ................................................................................................................................................................. 36 Verstärkung und Dämpfung ............................................................................................................... 37
Verstärkungsfaktor............................................................................................................................. 37 Verstärkungsmass ............................................................................................................................. 37 Dämpfungsfaktor................................................................................................................................ 37 Dämpfungsmass ................................................................................................................................ 37 Pegel .................................................................................................................................................. 38 Relativer Pegel................................................................................................................................... 38 Absolute Pegel................................................................................................................................... 38
Gewöhnlich.................................................................................................................................................... 38 Antennentechnik............................................................................................................................................ 38
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 3 Lloyd Beeler
Vorwort
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 4 Lloyd Beeler
+ -
höheres Potential
tieferes Potential
Grundlagen
Strom
I Strom [A]
t∆Q∆
I = ∆Q Ladungsänderung [C]
∆t Vergangene Zeit [s]
Strom Dichte
I Strom [A]
AI
J = J Stromdichte [2mm
A]
A Fläche [mm2] (5 – 10A/1mm2)
Spannung
U Spannung [V]
Widerstand
R Widerstand [Ω]
IU
R = U Spannung [V]
I Strom [A]
R1
G = G Leitwert [S]
Drahtwiderstand
R Drahtwiderstand [Ω]
Alρ
R⋅
= ρ Spez. Widerstand [mmmΩ 2
⋅]
l Drahtlänge [m]
ρ=
1X χ Leitfähigkeit [
2mmΩ
m⋅
]
A Drahtquerschnitt [mm2]
ρKupfer = 0.0179m1mm1Ω 2
⋅
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 5 Lloyd Beeler
PTC
NTC
+α
-α
R
φ
Temperaturwiderstand
∆R = α · ∆φ · RK ∆R Widerstandsänderung [Ω]
α Temp. Koeffizient [K1
]
RW = RK + ∆R ∆φ Temp. Änderung [K] RW = RK (1 + α · ∆φ) RK Kaltwiderstand (20°C) [Ω] RW Warmwiderstand [Ω] RK = R20 = R1 RW = Rφ = R2 = RX
αKupfer = 0.0039K1
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 6 Lloyd Beeler
R1
R2
R3
U1
U2
U3
I
UG
es
IGes
I1 I2 I3
R1 R2 R3 U
Widerstandsschaltungen
Serielle Widerstandsschaltung
RGes = R1 + R2 + R3 RGes Gesamt Widerstand [Ω] RGes = UGes · I UGes Gesamt Spannung [V] I Strom [A]
2
1
2
1
RR
UU
=
Parallel Widerstandsschaltung
RGes =
321 R1
R1
R1
1
++
RGes Gesamt Widerstand [Ω]
IGes Gesamt Strom [A]
RGes = 21
21
RR
RR
+
⋅ U Spannung [V]
RGes = U · IGes
1
2
2
1
R
R
I
I=
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 7 Lloyd Beeler
0A
R3
R2 R4
R1 U1 U3
U4 U2
UG
es
R3
R2 R4
R1 U1 U3
U4 U2
UG
es
RL
RL
RI
Uge
s
Brückenschaltung
abgeglichen:
4
3
2
1
UU
UU
=
unabgeglichen:
Berechnen mit Ersatzspannungsquelle
4
3
2
1
RR
RR
=
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 8 Lloyd Beeler
RL
RI
U0
I
UR
L
URi
IK
G
[I]
[U]
IK
U0
Ri
Kennlinie
Leistungsanpassung bei Ri = RL
R1 R2
RL
R1
R2
A
B
A B
RL
RI
U0
I
UR
L
URi
IK
G
Spannungs- Strom Quellen
Spannungsquelle
Ri = K
0
IU
Ri Innenwiderstand [Ω]
Ri = I∆
U∆ RL U0 Lehrlaufspannung [V]
U0 = URL + URi IK Kurzschlusssrom [A]
Ersatzspannungsquelle
zum Schaltungen verreinfachen
Vorgehen:
1. Ri berechnen Die Schaltung wird von RL aus angeschaut. Die nun entstandene Widerstandsschaltung bildet Ri. 2. U0 berechnen -Kann mit Überlagerungsmethode berechnet werden (RL kurzschliessen IK berechnen) U0 = Ri · IK (IK = IRL) -Kann mit Spannungspotential berechnet werden (RL unterbrechen Potential über dem Unterbruch A-B bestimmen) U0 = UA-B (bei mehreren Spannungsquellen, Spannungsquellen voneinander abziehen ergibt eine)
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 9 Lloyd Beeler
U1
I2l
I1l
IRLl
RL
R1
R2
U2
I1ll
I2ll
IRLll
RL
R2
R1
U1 U2
R2 R1
RL
I2 I1
IRL
Überlagerungsmethode
Für zwei Spannungsquellen
Vorgehen:
1. eine Spannungsquelle wird kurzgeschlossen 2. der gesuchte Strom berechnen 3. die ander Spannungsquelle kurzschliessen 4. der gesuchte Strom erneut berechnen 5. Beide Ströme addieren I1 = I1
l + I1ll
I2 = I2l + I2
ll
IRL = IRLl + IRL
ll
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 10 Lloyd Beeler
RL
RI
U0
I
UR
L
URi
IK
G
Energie/Leistung
Energie
W = U · I · t W Energie [Ws][Nm][J] U Spannung [V] I Strom [A] t Zeit [s]
Leistung
P = t
W P Leistung [W]
P = U · I
P = RU2
R Widerstand [Ω]
P = I2 · R
Anpassung
Leistungsanpassung (Pmax) bei RL = Ri Spannungsanpassung bei RL > Ri Stromanpassung bei RL < Ri
Wirkungsgrad
η = zu
ab
P
P =
zu
ab
W
W η Wirkungsgrad [ ]
Wärmewiderstand
Ohne Kühlkörper
RthJU Wärmewiderstand zwischen
RthJU = V
uj
P
υυ − Sperrschicht-Umgebug [
WK
]
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 11 Lloyd Beeler
Sperrschicht
RthU
RthJG
RthG/K
RthK
Umgebung Umgebung
Sperrschicht
Mit Kühlkörper
RthU = V
uj
P
υυ − υj Sperrschichttemp. [K]
RthU = RthJG + RthG/K + RthK υu Umgebungstemp. [K]
RthU = As
1⋅
PV Verlustleistung [W]
RthU ges. Wärmewiderstand [WK
]
RthU < RthJU s Wärmeaustauschkonst. [Kcm
mW2 ⋅
]
A Fläche [m2]
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 12 Lloyd Beeler
G R
RV
RI
URV
URI
UBereich
IInst.
G
RI
RN
R
IBereich
IInst.
IN
UInst.
Messtechnik
Spannungserweiterung:
RIBereichRV UUU −=
.Inst
RIBereichV I
UUR
−=
V
I
RV
RI
R
R
U
U=
Stromerweiterung
.InstBereichN III −=
.InstBereich
.InstN II
UR
−=
I
N
N
.Inst
R
R
I
I=
Anzeigefehler Analoges Messinstrument
Kennwiderstand:
RI Innenwiderstand [Ω]
B
RK I
R = KR Kennwiderstand [VΩ
]
B Messbereich [V]
Anzeigefehler:
F Fehler Anzeige [V] oder [A]
100BG
F⋅
±= G Genauigkeitsklasse [%]
B Messbereich [V] oder [A]
A100F
P⋅
±= P Messfehler [%]
A angezeigter Wert [V] oder [A]
Anzeigefehler Digitales Messinstrument
ABB
A = A Auflösung [ ]
B Messbereich [ ]
⋅+
⋅±= An
100XP
F AA BA Anzeigebereich [ ]
FA absoluter Fehler [ ] P Fehler [%] XA angezeigter Messwert [V] oder [A] n Zähler Fehler [Digit]
(max angezeigter Wert z.B. 19,99)
(max angezeigter Wert überhaupt z.B. 1999)
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 13 Lloyd Beeler
u û Ueff
upp
T t
Spannungsfunktion
Frequenz
T1
f = f Frequenz [Hz]
T Periodendauer [s]
Kreisfrequenz
fπ2ω ⋅= ω Kreisfrequenz [Hz]
Momentanwert
Ueff Effektivwert [V] u Momentanwert [V] û Spitzenwert [V] upp Spitzen-Spitzen Wert [V] T Periodendauer [s] t Zeit beim Momentanwert [s]
)tωsin(uu ⋅⋅=
)tf360sin(uu ⋅⋅°⋅=
)tωsin(îi ⋅⋅= Ieff Effektivwert [A]
)tf360sin(îi ⋅⋅°⋅= i Momentanwert [A] Î Spitzenwert [A]
Effektivwert
Sinus:
2
ûUeff =
Rechteck:
ûUeff =
Rechteckimpuls:
p
ieff t
tûU ⋅= ti Impulsdauer [s]
tp Pausendauer [s]
Sägezahn:
3
ûUeff =
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 14 Lloyd Beeler
Gleichrichter Filter
Glättung Siebung
Ueff Ugl
Ieff Igl
RS
CS U1 U2
LS
CS U1 U2
Ueff Ugl Ueff
Ugl
Gleichrichter
Glättung:
Einweg Mittelpunkt Brücken
Ugl = effU2.1 ⋅ effU3.1 ⋅ effU3.1 ⋅
Igl = effI5.0 ⋅ effI9.0 ⋅ effI6.0 ⋅
UBr = G
gl3
C
I108.4 ⋅⋅−
G
gl3
C
I108.1 ⋅⋅−
G
gl3
C
I108.1 ⋅⋅−
UBrss = G
gl3
C
I1014 ⋅⋅−
G
gl3
C
I107 ⋅⋅−
G
gl3
C
I107 ⋅⋅−
fBr = Hz50fNetz = Netzf2 ⋅ Netzf2 ⋅
Siebung:
RC Siebung LC Siebung
G = 2Brss
1Brss
2Br
1Br
UU
UU
= 2Brss
1Brss
2Br
1Br
UU
UU
=
G = CS
2
CS
2
S
X
XR +
CS
CSLS
XXX +
G ~ SSBr
CS
S CRf2XR
⋅⋅⋅π= ( ) SS
2
Br
CS
LS LCf2XX
⋅⋅⋅π=
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 15 Lloyd Beeler
ℓ
U
U
I
t
t
∆U = Uend - Uanfang
Kondensator
Feldstärke
U Spannung [V]
l
UE = E Feldstärke [
mV
]
ℓ Plattenabstand [m]
Kondensator (Kapazität)
C Kapazität [F]
l
AεεC R0 ⋅⋅
= ε0 Dielektrizitätskonstante [VmAs
]
εr Dielektrizitätstzahl [ ] ε0 = 8.859 · 10-12
VmAs A Plattenfläche [m2]
εrLuft = 1.0059
Kondensator an konstantem Strom
∆Q Ladungsänderung [As]
CQ∆
U∆ = ∆U Spannungsänderung [V]
Ct∆I
U∆⋅
= ∆t vergangene Zeit [s]
t∆Q∆
I = I Strom [A]
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 16 Lloyd Beeler
63%
5 τ
0
1
uc
t
5 τ
0
1
uc
t
37%
5 τ
0
1
ic
t
37%
37% 5 τ
-1
0
ic
t
R
uc C
UE
I0 / ic
R
U0 / uc C
I0 / ic
Kondensator an Gleichspannung
5t
CRτ =⋅= τ Zeitkonstante [s]
Laden:
−⋅=
−
τ
t
Ec e1Uu uc Augenblickswert der C Spannung [V]
τ
t
0c eIi−
⋅= ic Augenblickswert des C Stromes [A]
R
UI E
0 = UE Eingangsspannung [V]
I0 Strom am Anfang [A] t Zeit [s]
−−=
E
c
U
u1ln
τ
t
Entladen:
τ
t
0c eUu−
⋅= uc Augenblickswert der C Spannung [V]
τ
−
⋅=t
0c eIi ic Augenblickswert des C Stromes [A]
RU
I 00 = U0 Kondensatorspannung [V]
I0 Strom am Anfang [A] t Zeit [s]
−=
τ 0
c
Uu
lnt
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 17 Lloyd Beeler
φ = 90°
iC uC
U
IC
IRP
I
RP
C
Kondensator an Wechselspannung (Sinus)
XC Blindwiderstand [Ω]
CXfπ21
C⋅⋅
= f Frequenz [Hz]
Verluste:
Der Verlust eines Kondensators wird mit einem parallelen Widerstand (RP) dargestellt. Für die Berechnung siehe RC Parallelschaltung.
P
C
R
Xd = d Verlustfaktor [ ]
C
P
X
RQ = Q Gütefaktor [ ]
Kondensatorschaltungen
Serie:
321
Ges
C1
C1
C1
1C
++
=
Parallel:
321Ges CCCC ++=
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 18 Lloyd Beeler
B
H
Br Hk
Spule
Durchflutung
Θ Durchflutung [A] NIΘ ⋅= I Spulenstrom [A]
N Anzahl Windungen [ ]
Magnetische Feldstärke
l Mittlere Feldlinienlänge [m]
l
ΘH = H Feldstärke [
mA
]
Magnetischer Fluss
Φ Magnetischer Fluss [Wb] [Vs] ABΦ ⋅= B Magnetische Flussdichte [T]
A Kernquerschnittsfläche [m2] HµµB r0=
AmVs6
0 10256.1µ = µ0 Feldkonstante [AmVs
]
1µrLuft = µr Permeabilitätszahl [ ]
Hysteresisschleife
Br Remanenz [T]
Hk Koerzitivfeldstärke [mA
]
Spule (Induktivität)
l
2r0 NAµµ
L⋅⋅⋅
= L Induktivität [H] [AVs
]
2L NAL ⋅= AL Spulenkonstante [ ]
INΦ
L⋅
=
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 19 Lloyd Beeler
I
U
t
t
∆I = Iend - Ianfang
Spule an konstanter Spannung
UI Induzierte Spannung [V]
t∆∆Φ
NUI ⋅−= N Anzahl Windungen [ ]
∆t vergangene Zeit [s]
t∆I∆
LUI ⋅−= L Induktivität [H]
0I UU = ∆Φ Magnetische Flussänderung [Wb]
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 20 Lloyd Beeler
63%
5 τ
0
1
iL
t
5 τ
0
1
uL
t
37%
5 τ
0
1
iL
t
37%
37% 5 τ
-1
0
uL
t
R
uL UE
I0 / iL
L
R
U0 / uL
L
I0 / iL
Spule an Gleichstrom
5t
RL
==τ τ Zeitkonstante [s]
Einschalten:
τ
−
⋅=t
EL eUu uL Augenblickswert der L Spannung [V]
−⋅= τ
− t
0L e1Ii iL Augenblickswert des L Stromes [A]
RU
I E0 = UE Eingangsspannung [V]
I0 Strom am Anfang [A] t Zeit [s]
−−=
τ 0
L
Ii
1lnt
Ausschalten:
−⋅= τ
− t
0L e1Uu uL Augenblickswert der L Spannung [V]
τ
−
⋅=t
0L eIi iL Augenblickswert des L Stromes [A]
RU
I 00 = U0 Kondensatorspannung [V]
I0 Strom am Anfang [A] t Zeit [s]
−=
τ 0
L
Ii
lnt
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 21 Lloyd Beeler
φ = 90°
uL iL
URS
I RS L
UL
U
L1
L2
Miteinander gewickelt Gegeneinader gewickelt
Spule an Wechselstrom (Sinus)
XL Blindwiderstand [Ω]
fπ2
XL L
⋅= f Frequenz [Hz]
Verluste:
Der Verlust einer Spule wird mit einem seriellen Widerstand (RS) dargestellt. Für die Berechnung siehe RL Serieschaltung (9001).
L
S
XR
d = d Verlustfaktor [ ]
S
L
RX
Q = Q Gütefaktor [ ]
Spulenschaltungen
Serie:
321Ges LLLL ++=
Parallel:
321
Ges
L1
L1
L1
1L
++
=
Zwei Spulen auf einem Kern:
Miteinander gewickelt: 2
2
2
1Ges LLL +=
Gegeneinander gewickelt: 2
2
2
1Ges LLL −=
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 22 Lloyd Beeler
U1 U2
I1 I2
P1 P2
N1 N2
Transformator
f Frequenz [Hz]
21 ff = P1 Leistung Primärseite [W]
21 PP = P2 Leistung Sekundärseite [W] ü Übersetzungsverhältnis [ ]
1
2
2
1
2
1
I
I
U
U
N
Nü === N Windungszahl [ ]
U Spannung [V]
2
12
R
Rü = I Strom [A]
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 23 Lloyd Beeler
I
R C
UR UC
UGes
I UR
φ
UC
UGes
(R)
(XC) (Z)
P
φ
QC
S
RLC Schaltungen
RC Serieschaltung
UGes Gesamtspannung [V] IZUGes ⋅= UR Spannung über R [V]
2
C
2
RGes UUU += UC Spannung über C [V]
IRUR ⋅= Z Scheinwiderstand [Ω]
IXU cC ⋅= R Widerstand [Ω] XC kapazitiver Blindwiderstand[Ω]
I
UR R= I Strom [A]
φ Winkel [°]
I
UX C
C = Cos φ Leistungsfaktor [ ]
Cfπ21
XC⋅⋅
= f Frequenz [Hz]
C Kapazität [F] S Scheinleistung [VA]
I
UZ Ges= P Wirkleistung [W]
2
C2 XRZ += QC kapazitive Blindleistung [var]
IUP R ⋅=
IUQ CC ⋅=
ZIZ
UIUS 2
2
GesGes ⋅==⋅=
2
C2 QPS +=
Zur Berechnung Trigonometrie verwenden: - Strom I ist 90° voreilend.
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 24 Lloyd Beeler
I UR φ
UL UGes
(R)
(XL)
(Z)
P φ
QL S
UR
I
R L
UL
UGes
RL Serieschaltung
UGes Gesamtspannung [V] IZUGes ⋅= UR Spannung über R [V]
2
L
2
RGes UUU += UL Spannung über L [V]
IRUR ⋅= Z Scheinwiderstand [Ω]
IXU LL ⋅= R Widerstand [Ω] XL induktiver Blindwiderstand [Ω]
I
UR R= I Strom [A]
φ Winkel [°]
I
UX L
L = Cos φ Leistungsfaktor [ ]
Lfπ2XL ⋅⋅= f Frequenz [Hz] L Induktivität [H] S Scheinleistung [VA]
I
UZ Ges= P Wirkleistung [W]
2
L2 XRZ += QL induktive Blindleistung [var]
IUP R ⋅=
IUQ CC ⋅=
ZIZ
UIUS 2
2
GesGes ⋅==⋅=
2
L2 QPS +=
Zur Berechnung Trigonometrie verwenden: - Spannung UL ist 90° voreilend.
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__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 25 Lloyd Beeler
UR
I
R L
UL
UGes
C
UC
I
UR
φ
UL
UGes
(R)
(XL)
(Z)
UC (XC)
UC
UX (X)
(XC)
I UR φ
UL
UGes
(R) (XL)
(Z) UC (XC) UL
UX (X)
(XL)
RLC Serieschaltung
UGes Gesamtspannung [V] IZUGes ⋅= UR Spannung über R [V]
2
X
2
RGes UUU += UX Spannung Blindelement [V]
IRUR ⋅= Z Scheinwiderstand [Ω] R Widerstand [Ω] X Blindwiderstand [Ω]
22 XRZ += I Strom [A] S Scheinleistung [VA] P Wirkleistung [W]
ZIZ
UIUS 2
2
GesGes ⋅==⋅= Q Blindleistung [var]
22 QPS +=
Induktiv
UL Spannung über L [V] UL > UC XL > XC XL induktiver Blindwiderstand [Ω] φ Winkel [°]
IXU LL ⋅= Cos φ Leistungsfaktor [ ]
CLX UUU −= f Frequenz [Hz] L Induktivität [H]
Lfπ2XL ⋅⋅= QL induktive Blindleistung [var]
CL XXX −=
CL QQQ −=
Kapazitiv
UC Spannung über C [V] UC > UL XC > XL XC kapazitiver Blindwiderstand[Ω] C Kapazität [F]
IXU cC ⋅= QC kapazitive Blindleistung [var]
LCX UUU −=
Cfπ21
XC⋅⋅
=
LC XXX −=
Lc QQQ −=
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__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 26 Lloyd Beeler
R C
IC IR
IGes
U
U IR φ
IC
IGes
(G)
(BC) (Y)
P φ
QC
S
RC Parallelschaltung
IGes Gesamtstrom [A]
UYZU
IGes ⋅== IR Strom durch R [A]
2
C
2
RGes III += IC Strom durch C [A]
UGRU
IR ⋅== Y Scheinleitwert [S]
UBXU
I c
C
C ⋅== G Leitwert [S]
BC kapazitiver Blindleitwert [S]
R1
G = U Spannung [V]
φ Winkel [°]
C
C X1
B = Cos φ Leistungsfaktor [ ]
Cfπ21
XC⋅⋅
= f Frequenz [Hz]
C Kapazität [F] S Scheinleistung [VA]
Z1
Y = P Wirkleistung [W]
2
C2 BGY += QC kapazitive Blindleistung [var]
RIUP ⋅=
CC IUQ ⋅=
ZIZ
UIUS 2
Ges
2
Ges ⋅==⋅=
2
C2 QPS +=
Zur Berechnung Trigonometrie verwenden: - Strom IC ist 90° voreilend.
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 27 Lloyd Beeler
R L
IL IR
IGes
U
U IR
φ
IL
IGes
(G)
(BL) (Y)
P
φ
QL
S
RL Parallelschaltung
IGes Gesamtstrom [A]
UYZU
IGes ⋅== IR Strom durch R [A]
2
L
2
RGes III += IL Strom durch L [A]
UGRU
IR ⋅== Y Scheinleitwert [S]
UBXU
I L
L
L ⋅== G Leitwert [S]
BL induktiver Blindleitwert [S]
R1
G = U Spannung [V]
φ Winkel [°]
L
L X1
B = Cos φ Leistungsfaktor [ ]
Lfπ2XL ⋅⋅= f Frequenz [Hz] C Kapazität [F] S Scheinleistung [VA]
Z1
Y = P Wirkleistung [W]
2
L2 BGY += QL induktive Blindleistung [var]
RIUP ⋅=
LL IUQ ⋅=
ZIZ
UIUS 2
Ges
2
Ges ⋅==⋅=
2
C2 QPS +=
Zur Berechnung Trigonometrie verwenden: - Spannung U ist 90° voreilend.
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 28 Lloyd Beeler
U IR φ
IC
IGes
(G) (BC)
(Y) IL (BL) IC
IB (B)
(BC)
I
IR
φ
IC
IGes
(G)
(BC)
(Y)
IL (BL)
IL
IB (B)
(BL)
R L
IL IR
IGes
U
IC
C
RLC Parallelschaltung
IGes Gesamtstrom [A]
YUZU
IGes ⋅== IR Strom durch R [A]
2
B
2
RGes III += IX Strom Blindelement [A]
GURU
IR ⋅== Y Scheinleitwert [S]
G Leitwert [S] B Blindleitwert [S]
22 BGY += U Spannung [U] S Scheinleistung [VA] P Wirkleistung [W]
ZIZ
UIUS 2
Ges
2
Ges ⋅==⋅= Q Blindleistung [var]
22 QPS +=
Induktiv
IL Strom durch L [A] IL > IC BL > BC XL < XC BL induktiver Blindleitwert [S] φ Winkel [°]
L
L
L BUXU
I ⋅== Cos φ Leistungsfaktor [ ]
CLB III −= f Frequenz [Hz] L Induktivität [H]
Lfπ2XL ⋅⋅= QL induktive Blindleistung [var]
L
L X1
B =
CL BBB −=
CL QQQ −=
Kapazitiv
IC Strom durch C [A] IC > IL BC > BL XC < XL BC kapazitiver Blindleitwert [S] C Kapazität [F]
C
C
C BUXU
I ⋅== QC kapazitive Blindleistung [var]
LCB III −=
Cfπ21
XC⋅⋅
=
C
C X1
B =
LC BBB −=
Lc QQQ −=
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
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Kompensationsschaltung
Induktiv
21C QQQ −= QC kapazitive Blindleistung [var]
C
2
C QU
X = XC kapazitiver Blindwiderstand[Ω]
CXπ21
C⋅
= C Kapazität [F]
Leistungsfaktor = Cos(φ2) Leistungsfaktor: 0.8 bis 0.95
φ2 S2
P
QC
Q2
Q1
S1
φ1
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I
UL
UR = UGes
(R = Zo)
(XL)
UC (XC)
UR
I
R L
UL
UGes
C
UC
f
Z fo
RLC Reihenschwingkreis (Saugkreis)
Bei Resonanzfrequenz (fo)
XL = XC φ = 0° R = Zo UR = UGes
fmfo = fo Resonanzfrequenz [Hz] Zo Scheinwiderstand [Ω]
I
URZo Ges== R Widerstand [Ω]
L Induktivität [H]
CLπ2
1fo
⋅⋅= C Kapazität [F]
QGes Gesamt Güte [ ]
22 foCπ41
L⋅⋅
= QL Spulen Güte [ ]
b Bandbreite [Hz]
22 foLπ41
C⋅⋅
=
LGes QQ ≈
VV
C
V
L
Ges
C
Ges
LL R
Lfoπ2R
X
R
X
U
U
U
UQ
⋅⋅=====
CL
R1
QV
L ⋅=
Lπ2
R
Qfo
b V
L ⋅==
Amplitudengang siehe Bandsperre. Bei Resonanzfrequenz (fo) kleinster Widerstand
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RS
L
C R L
IL IRP IC
C
IGes
U
U
IC
IR = IGes
(GP = Yo)
(BC)
IL (BL)
RLC Parallelschwingkreis (Sperrkreis)
Schaltungsumwandlung
S
2
LP R
XR = RS Serieller Widerstand [Ω]
P
P R1
G = RP Paralleler Widerstand [Ω]
GP Paralleler Leitwert [S]
LL XX = XL induktiver Blindwiderstand [Ω]
Bei Resonanzfrequenz (fo)
XL = XC φ = 0° GP = Yo IRP = IGes
fmfo = fo Resonanzfrequenz [Hz] Zo Scheinwiderstand [Ω]
U
IGYo Ges
P == Yo Scheinleitwert [S]
Ges
P IU
RZo == L Induktivität [H]
Zo1
Yo = C Kapazität [F]
CLπ2
1fo
⋅⋅=
22 foCπ41
L⋅⋅
=
22 foLπ41
C⋅⋅
=
Amplitudengang siehe Bandpass.
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f
Z fo
LGes QQ ≈ QGes Gesamt Güte [ ] QL Güte [ ]
V
CL
CLGes
C
Ges
LL R
Lfoπ2Yo
B
Yo
B
XZo
XZo
I
I
I
IQ
⋅⋅======= b Bandbreite [Hz]
CL
R1
QV
L ⋅=
Lπ2
R
Qfo
b V
L ⋅==
Bei Resonanzfrequenz (fo) grösster Widerstand
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R
C
U1 U2
L
R
U1 U2
I UR
R
UC = U2 XC
φ UGes = U1
Z I
UR = U2
R
UL XL
φ
UGes = U1
Z
fg
-3dB
-20dB/D
-40dB
0dB
-45°
-90°
0°
6°
6°
f
f
Passive Filter
Tiefpass
RC RL
Cfπ21
XC⋅⋅
= Lfπ2XL ⋅⋅=
2
C2 XRZ += 2
L2 XRZ +=
φ
=
CXR
tanA φ
=
R
XtanA L
Z
X
U
UV C
1
2 == ZR
U
UV
1
2 ==
⋅=
1
2DB U
ULog20V
⋅=
1
2DB U
ULog20V
CRπ21
fg⋅⋅
= Lπ2
Rfg
⋅=
Bei fg: R = XC bei fg: R = XL Symbol:
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 34 Lloyd Beeler
C
R
U1 U2
R
L
U1 U2
I UR = U2
R
UC XC
φ UGes = U1
Z I
UR
R
UL = U2 XL
φ
UGes = U1
Z
fg
-3dB
-20dB/D
-40dB
0dB
45°
0°
90°
6°
6°
f
f
Hochpass
RC RL
Cfπ21
XC⋅⋅
= Lfπ2XL ⋅⋅=
2
C2 XRZ += 2
L2 XRZ +=
φ
=
R
XtanA C φ
=
LXR
tanA
ZR
U
UV
1
2 == Z
X
U
UV L
1
2 ==
⋅=
1
2DB U
ULog20V
⋅=
1
2DB U
ULog20V
CRπ21
fg⋅⋅
= Lπ2
Rfg
⋅=
Bei fg: R = XC bei fg: R = XL Symbol:
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Seite 35 Lloyd Beeler
R1 C1
C2 R2 Ue Ua
-3dB
-20dB/D
-40dB
0dB
-45°
90°
fgTp fgHp fm
-90°
45°
0°
-20dB/D
VmaxdB
f
f
Bandpass
fo = fm fgHp < fgTp
RC
12
gHp CRπ21
f⋅⋅
=
21
gTp CRπ21
f⋅⋅
=
2121 CCRRπ2
1fm
⋅⋅⋅⋅= (bei R1 = XC2 und R2 = XC1)
gTpgHp fffm ⋅=
2
1
2
1max C
C
R
R1V ++=
( )maxdBmax VLog20V ⋅=
gHpgTp ffb −=
2
1
2
1
emaxa
C
C
R
R1
UU
++
=
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
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R1
C1 R2
C2
Ue Ua
Bandsperre
fo = fm fgTp < fgHp
RC
12
gHp CRπ21
f⋅⋅
=
21
gTp CRπ21
f⋅⋅
=
2121 CCRRπ2
1fm
⋅⋅⋅⋅= (bei R1 = XC2 und R2 = XC1)
gTpgHp fffm ⋅=
2
1
1
2
2
1
1
2
min
C
C
R
R1
C
C
R
R
V++
+
=
( )mindBmin VLog20V ⋅=
gTpgHp ffb −=
2
1
1
2
2
1
1
2
emina
CC
RR
1
CC
RR
UU++
+
⋅=
-3dB -20dB/D
-40dB
0dB
-45°
90°
fgTp fgHp fm
-90°
45°
0°
-20dB/D VmindB
f
f
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
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Spannung Strom Leistung
Dämpfungsfaktor
Verstärkungsfaktor
Dämpfungsmass
Verstärkungsmass
2
1
U
UA =
A
UU 1
2 = V1
A =
A1
V =
20dBV
10V =
( )VLog20VdB ⋅= dBdB VA −=
dBdB AV −=
1
2
U
UV =
1
2
U
UV =
⋅=
1
2dB U
ULog20V
20dBV
1
2 10U
U=
( )ALog20A dB ⋅=
20dBV
10A =
20dBV
2
1 10U
U=
⋅=
2
1dB U
ULog20A
Verstärkung und Dämpfung
Verstärkungsfaktor
E
A
1
2U U
U
U
UV == V Verstärkungsfaktor [ ]
....21Ges VVV ⋅⋅= VU Spannungsverstärkungsfaktor [ ]
Verstärkungsmass
( )UUdB VLog10V ⋅= VdB Verstärkungsmass [dB]
....2UDB1UDBUdBGes VVV ++= VUdB Spannungsverstärkungsmass [dB]
Dämpfungsfaktor
A
E
2
1U U
U
U
UA == A Dämpfungsfaktor [ ]
....21Ges AAA ⋅⋅= AU Spannungsdämpfungsfaktor [ ]
Dämpfungsmass
( )UUdB ALog10A ⋅= AdB Dämpfungsmass [dB]
....2dB1dBdBGes AAA ++= AUdB Spannungsdämpfungsmass [dB]
ElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnikElektrotechnik
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UE U1 U2 U3
pr0 pr1 pr2 pr3
pa0 pa1 pa2 pa3
Pegel
pU Spannungspegel [dB]
⋅=
0
u UU
Log20p U Messspannung [V]
U0 Bezugsspannung [V]
Relativer Pegel
pr rel. Spannungspegel [dBr]
⋅=
E
r UU
Log20p U Messspannung [V]
Ue Eingangsspannung [V] (immer gleiche Spannung)
Absolute Pegel
Gewöhnlich
pa abs. Spannungspegel [dBm]
⋅=
V775.0U
Log20p a U Messspannung [V]
Antennentechnik
pa abs. Spannungspegel [dBµV]
⋅=
Vµ1U
Log20pu U Messspannung [V]