Formelsammlung Elektrotechnik - techniker.pi-pro.detechniker.pi-pro.de/fs/elektrotechnik/pdf/magnetismus.pdf · Formelsammlung Elektrotechnik Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-1 Thema

Formelsammlung Elektrotechnik

Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-1

Thema Bereiche SeiteMagnetismus Unterscheidung und Verlauf 3-2 Magnetfeld in Leitern Zeichnung 3-2 Magnetfeld in Spule Zeichnung 3-2 Merkblatt Magnetismus Wesen 3-3 Vorkommen 3-3 Ursache 3-3 Wirkung 3-3 Wertung 3-3 Der Magnet Arten 3-3 Aufbau 3-3 Magnetfeld 3-3 Magnetischer Fluß Leitfähigkeit für magnetische Kraftlinien 3-3 Sättigung 3-3 Magnetische Flußdichte 3-3 Arten des Magneten Weicheisenmagnet 3-3 Harteisenmagnet 3-3 Stahlmagnet 3-3 Entmagnetisieren Erklärung 3-3 Magnetischer Fluß Einheit und Erklärung 3-4 Magnetische Flußdichte Berechnung 3-4 Magnetische Durchflutung Berechnung 3-4 Magnetische Feldstärke Berechnung 3-4 Zusammenhang Flußdichte – Feldstärke 3-5 Magnetisierungskennlinie 3-5 Hysteresekurve 3-5 Kräfte auf stromdurchflossenen Le. Zeichnung und Berechnung 3-6 Tragkraft eines Magneten Zeichnung und Berechnung 3-6 Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld (Motorprinzip) Linke-Hand-Regel 3-7

UVW-Regel 3-7 Berechnung 3-7 Induktion Rechte-Hand-Regel 3-8 UVW-Regel 3-8 Berechnung 3-8 Lenzsche Regel 3-8 Induktion der Ruhe (Trafoprinzip) Zeichnung und Berechnung 3-9 Spannungsübersetzungsverhältnis 3-9 Stromübersetzungsverhältnis 3-9 Widerstandsübersetzungsverhältnis 3-10 Selbstinduktion Zeichnung und Berechnung 3-10 Spule (Induktivität) Berechnung 3-11 Energie / Arbeit im magnetischen Feld 3-12 Reihenschaltung 3-12 Parallelschaltung 3-12 Ein- und Ausschalten einer Spule 3-13 Berechnung der Zeitkonstante 3-14 Berechnungen beim Einschaltvorgang 3-15 Berechnungen beim Ausschaltvorgang 3-16



Grundlagen Magnetismus: Unterscheidung der Magnete in:

- Dauermagnete (Permanentmagnete) - Elektromagnete - Erdmagnetfeld

Die magnetischen Feldlinien treten am N-Pol senkrecht aus und am S-Pol wieder senkrecht ein. Im Inneren des Magneten verlaufen die magnetischen Feldlinien vom S-Pol zum N-Pol. Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters Wird ein Leiter von einem Strom durchflossen, so baut sich um ihn kreisförmig ein Magnetfeld auf. • bedeutet: Strom fließt aus dem Leiter X bedeutet: Strom fließt in den Leiter Feldlinien in einer Spule:





Der magnetische Fluß Φ (phi): Einheit: [ ] WbVs 11 ==Φ Die Anzahl der magnetischen Feldlinien wir als sog. magnetischer Fluß Φ (phi) bez. Magnetische Flußdichte B:

AB Φ=

BA Φ= AB •=Φ [ ] T

mWb

mVsB === 22

B = magnetische Flußdichte in T (Tesla) Φ = magnetischer Fluß in Wb A = Fläche in m2 Die magnetische Durchflutung Θ (theta):

NI •=Θ N

I Θ= I

N Θ=

Θ = magnetische Durchflutung in A (auch magnetische Spannung) I = Strom in A N = Anzahl der Windungen der Spule Magnetische Feldstärke H:

mlNIH •=

HNIlm

•= N

lHI m•= I

lHN m•=

mlH Θ=

Hlm

Θ= Hlm •=Θ [ ]mAH =

H = magnetische Feldstärke in mA

I = Strom in A N = Anzahl der Windungen der Spule lm = mittlere Feldlinienlänge in m Θ = magnetische Durchflutung in A (auch magnetische Spannung)



Zusammenhang zwischen magnetischer Flußdichte B und Feldstärke H:

HB r ••= µµ0 r

BHµµ •

=0

H

Br •

=0µ

µ

µ0 = magnetische Feldkonstante AmVs610256,1 −• ; µr = Permeabilitätszahl (bei Luft ≈ µr=1)

Magnetisierungskennlinie:

Hysteresekurve (-schleife):

BR = Remanenz (= Restmagnetismus) HC = Koerzitivfeldstärke (=Ummagnetisierungsfeldstärke)



Kräfte auf stromdurchflossene Leiter: Feldlinien laufen entgegengesetzt Feldlinien laufen gleich ⇒ Feldschwächung ⇒ Feldverstärkung ⇒ Leiter ziehen sich an ⇒ Leiter stoßen sich ab Die Bewegung der Leiter folgt immer zum schwächeren Feld hin.

rIIl

F••

•••=

πµ

2210

rIIlkF 21 •••=

πµ•

=2

0k

FIIlr

•••••

=π

µ2

210 F

IIlkr 21 •••= 1

2 IlkrFI

•••=

102

2Il

rFI••

•••=µ

π 2

1 IlkrFI

•••=

12 IIkrFl••

•=

201

2Il

rFI••

•••=µ

π 120

2IIrFl

•••••=

µπ

F = Kraft in N

µ0 = magnetische Feldkonstante AmVs610256,1 −•

l = wirksame Leiterlänge in m I1 ; I2 = Strom durch den jeweiligen Leiter in A r = Abstand der Leiter Tragkraft eines Magneten:

••=

0

2

2 µLBAF 2

02

LBFA µ••=

AF

BL02 µ••

=

sFW •= s

WF = FWs =

F = Kraft in N ; W = Hubarbeit des Magneten in Nm A = wirksame Ankeroberfläche BL = magnetische Flußdichte der Spule in T


s = Abstand von Anker und Magnet in m



Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld (Motorprinzip): Der stromdurchflossene Leiter bildet mit seinem Magnetfeld und dem des Dauermagneten ein resultierendes Magnetfeld. Es entsteht eine Feldverstärkung und eine Feld-schwächung. Der stromdurchflossene Leiter bewegt sich in Richtung Feldschwächung. Linke-Hand-Regel: Hält man die linke Hand so, dass die Feldlinien auf die Innenfläche der Hand auftreffen und die gestreckten Finger in Stromrichtung zeigen, dann gibt der abgespreizte Daumen die Richtung der Kraft F an. U-V-W-Regel (rechte Hand): Ursache: Strom I Vermittlung: Magnetfeld B Wirkung: Kraft F

NlIBF •••= NlI

FB••

= NlB

FI••

= NIB

Fl••

= lIB

FN••

=

[ ] Nm

Nmm

WsmAmVsF ===••= 2

F = Kraft in N

B = Flußdichte in TmWb

mVs == 22

I = Strom in A l = wirksame Leiterlänge in m N = Anzahl der Leiter im Magnetfeld



Induktion (Generatorprinzip): Schneidet ein Leiter die Feldlinien eines Magnetfeldes, so wird in dem Leiter eine Spannung erzeugt (=induziert). Rechte-Hand-Regel: Treffen die Feldlinien auf die Innenfläche der Hand auf und zeigt der abgespreizte Daumen in Richtung der Leiterbewegung, dann fließt der induzierte Strom in Richtung der ausgestreckten Finger. U-V-W-Regel (rechte Hand): Ursache: Kraft F (Bewegung v) Vermittlung: Magnetfeld B Wirkung: Strom I

NlvBUi •••−= Nlv

UB i

••−=

NlBUv i

••−=

NvBUl i

••−=

lvBUN i

••−=

[ ] Vmsm

mVsUi =••= 2

Ui = induzierte Spannung in V

B = Flußdichte in TmWb

mVs == 22

v = Geschwindigkeit in sm

l = wirksame Leiterlänge in m N = Anzahl der Leiter im Magnetfeld Die induzierte Spannung Ui ist negativ, da sie nach der Lenzschen Regel so gerichtet ist, dass sie ihrer Ursache entgegenwirkt. Lenzsche Regel: Die induzierte Spannung Ui ist stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache (Kraft F) entgegenwirkt.



Induktion der Ruhe (Trafoprinzip) Primärspule Sekundärspule Ändert sich der magnetische Fluss durch die Stromänderung I, so wird in der Sekundär-spule während der Änderung eine Spannung Ui induziert. (Lenzsche Regel)

tNUi ∆

∆Φ•−= iU

Nt ∆Φ•−=∆ ∆Φ

∆•−= tUN i N

tUi ∆•−=∆Φ

Ui = induziert Spannung in V N = Anzahl der Windungen der Sekundärspule ∆Φ = magnetischer Flußdifferenz in Wb ∆t = Zeitänderung in s Spannungsübersetzungsverhältnis:

2

1

uuü =

üuu 1

2 = 21 uüu •=

u1 = Primärspannung in V u2 = Sekundärspannung in V ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo Stromübersetzungsverhältnis:

1

2

iiü =

üii 2

1 = 12 iüi •=

i1 = Strom in der Primärspule in A i2 = Strom in der Sekundärspule in A ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo

2

1

NNü =

üNN 1

2 = 21 NüN •=

N1 = Anzahl der Windungen auf der Primärspule N2 = Anzahl der Windungen auf der Sekundärspule



Widerstandsübersetzung (-übertrager):

22

1 RüR •= 21

2 üRR =

2

1

RRü =

R1 = Widerstand der in der Quelle wirkt in Ω R2 = Widerstand im Sekundärkreis in Ω ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo Selbstinduktion:

v Ändert sich in einer Spule das Magnetfeld (∆I → ∆Φ → ∆B), so wird in der Spule selbst eine Spannung induziert. ⇒Selbstinduktionsspannung Ui

tILUi ∆

∆•−= iU

ILt ∆•−=∆ I

tUL i

∆∆•−=

LtUI i ∆•−=∆

Ui = Selbstinduktionsspannung in V L = Induktivität in H ∆I = Stromänderung in A ∆t = Zeitänderung in s



Induktivität: Herleitung:

tNUi ∆

∆Φ•−= ; AB •∆=∆Φ ; HB r ∆••=∆ µµ0 ; ml

NIH •∆=∆ ;

m

rri lt

ANIN

t

AHN

tABN

tN

U•∆

••∆•••−=

∆

•∆•••−=

∆•∆•

−=∆

∆Φ•−=

µµµµ 00

tIL

tI

Nl

A

tl

INNAU

m

r

m

ri ∆

∆•−=

∆∆

••••

−=∆•

∆•••••−= 200 µµµµ

20 Nl

AL

m

r •••

=µµ

20 NL

Al r

m •••

=µµ

20 N

lLA

r

m

•••

=µµ

A

lLN

r

m

•••

=µµ0

[ ] HA

VsmAm

mVsL ==•

•=2

L = Induktivität in H (Henry)


µr = Permeabilitätszahl (bei Luft ≈ µr=1) A = Fläche in m2

lm = mittlere Feldlinienlänge in m N = Windungsanzahl



Energie im magnetischen Feld:

2

21 ILW ••= 2

2IWL •=

LWI •= 2

W = Energie (=Arbeit) in Ws L = Induktivität in H U = Spannung in V

1 Ws = 1 • 10-3 kWs = 6,3

1 • 10-3 Wh = 6,3

1 • 10-6 kWh = 0,278 • 10-6 kWh = 1J

1 kWh = 1 • 103 Wh = 3,6 • 103 kWs = 3,6 • 106 Ws = 3,6 • 106 J Reihenschaltung von Spulen:

321 UUUU g ++=

321 LLLLg ++= Parallelschaltung von Spulen:

321 UUUU ===

321

1111LLLLg

++=

für 2 Spulen gilt:

21

21

LLLLLg +

•= g

g

LLLL

L−•

=2

21

g

g

LLLL

L−•

=1

12



Ein- und Ausschalten einer Spule:

Einschalten der Spule Ausschalten der Spule Spannung an der Spule:

Spannung am Widerstand, Strom i:

Nach 1τ fließt 63%, nach 2τ fließt 86%, nach 3τ fließt 95%, nach 4τ fließt 98% und nach 5τ fließt 100% von imax

Spannung an der Spule:

Spannung am Widerstand, Strom i:

Durch die Gegeninduktion in der Spule liegt nach 1τ noch 37%, nach 2τ noch 14%, nach 3τ noch 5%, nach 4τ noch 2% von UR und nach 5τ keine Spannung mehr an.



Zeitkonstante:

RL=τ

τLR = τ•= RL R = Widerstand in Ω ; L = Induktivität in H; τ in s

Nach 5 τ fließt der maximale Strom imax:

RUi 0

max = max

0

iUR = max0 iRU •=

U0 = maximale Spannung an der Spule R = Widerstand in Ω imax = maximaler Strom Zu jedem Zeitpunkt gilt:

LR uuU +=0



Berechnung zum Einschaltvorgang der Spule: Spannung an der Spule:

( ) τt

L eUtu−

•= 0

•−=

0

lnUut Lτ

−=

0

lnUut

L

τ

( ) LRt

L eUtu•

−•= 0

RUuL

t

L

−

•

= 0

ln

tUuL

R

L

−

•

= 0

ln

•−=

0

lnUu

RtLL

Spannung um Widerstand:

( )

−•=

−τt

R eUtu 10

−•−=

0

1lnUu

t Rτ ( )

−

−=

0

1lnUu

t

R

τ

( )

−•=

•−

LRt

R eUtu 10 R

Uu

Lt

R

−

−•

= 0

1ln

tUu

LR

R

−

−•

= 0

1ln

−

•−=

0

1lnUuRtL

R

Strom:

( )

−•=

−τt

eiti 1max

−•−=

max

1lni

it τ ( )

−

−=

max

1lni

itτ

( )

−•=

•−

LRt

eiti 1max R

iiL

t−

−•

= max

1ln

ti

iLR

−

−•

= max

1ln

−

•−=

max

1lni

iRtL

τ•= 5Et

U0 = Maximale Spannung an der Spule in V uL(t) = Spannung an der Spule zum Zeitpunkt t in V uR(t) = Spannung am Widerstand zum Zeitpunkt t in V i(t) = Strom zum Zeitpunkt t in A t = Zeitpunkt in s τ = Zeitkonstante in s R = Widerstand in Ω L = Induktivität in H tE = Zeit bis nahezu der maximale Strom fließt



Berechnung zum Ausschaltvorgang der Spule: Spannung der Spule:

( ) τt

L eUtu−

•−= 0

−•−=

0

lnUu

t Lτ ( )

−

−=

0

lnUut

L

τ

( ) LRt

L eUtu•

−•−= 0

RUuL

t

L

−

−•

= 0

ln

tUu

LR

L

−

−•

= 0

ln

−

•−−=

0

lnUu

RtLL

Spannung um Widerstand:

( ) τt

R eUtu−

•= 0

•−=

0

lnUut Rτ ( )

−=

0

lnUut

R

τ

( ) LRt

R eUtu•

−•= 0

RUuL

t

R

−

•

= 0

ln

tUuL

R

R

−

•

= 0

ln

•−−=

0

lnUu

RtLR

Strom:

( ) τt

eiti−

•= max

•−=

max

lni

it τ ( )

−=

max

lniitτ

( ) LRt

eiti•−

•= max Ri

iLt

−

•

= max

ln

ti

iLR

−

•

= max

ln

•−−=

max

lni

iRtL

τ•= 5At

U0 = Maximale Spannung an der Spule in V uL(t) = Spannung an der Spule zum Zeitpunkt t in V uR(t) = Spannung am Widerstand zum Zeitpunkt t in V i(t) = Strom zum Zeitpunkt t in A t = Zeitpunkt in s τ = Zeitkonstante in s R = Widerstand in Ω L = Induktivität in H tA = Zeit bis der Gegeninduktionsspanung der Spule abgeklungen ist

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