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ET/IT & TI
Mathe 3 / Analysis 3
Blankenbach / WS2012 / 23.09.2012 1
Fourier-Reihen & Fourier - Transformation
Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach
Hochschule Pforzheim
Tiefenbronner Str. 65
75175 Pforzheim
Überblick / Anwendungen:
Die Fourier-Transformation dient beispielsweisezur Analyse von Signalen (Signalverarbeitung),
der Filterung und der Analyse von Schwingungen.
Empfohlene Literatur:
- Böhme: Analysis 2, Springer
- Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln
- Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg
- Westermann : Mathematik für Ingenieure mit MAPLE, Band 2, Springer
- Burg et al. : Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, Teubner
- Tilman Butz: Fourier-Transformation für Fußgänger, Teubner
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Mathe 3 / Analysis 3
Blankenbach / WS2012 / 23.09.2012 2
1. Fourier - Reihenentwicklung (Wiederholung aus 2. Sem)
Fourier-Reihenentwicklung – warum, wozu ?:
- Methode zur Darstellung von Funktionen durch (unendliche) Reihen
„gut“ für Mikrocontroller falls mathematische Funktion nicht im Compiler
implementiert ist oder „eingebaute“ Compilerfunktion zu langsam.
- Anwendungen: Differentiation, Integration, „Spektrum“, …
1.1 Einschub zur Wiederholung: Allgemeines zu Reihen
Anwendungen: - Darstellung von Funktionen mit Reihen Numerik
- Integrierbarkeit von 'unlösbaren' Integralen
- Frequenzanalyse nach FOURIER
- In der Technik sind viele Zusammenhänge als Reihen angenähert
(oft auch, weil keine exakte Formel existiert bzw. experimentell ermittelt)
Bsp: Hooke‟sches Gesetz, T-abhängiger Längenausdehnung bzw.
elektrischer Widerstand: X = Xo (1 + T)
Definition: a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = an
n
1
(R - 1)
an : n-tes Reihenglied
Reihe ist - konvergent, wenn an
n
1
= S (Grenzwert S existiert, S < ) (R - 2)
- divergent: Grenzwert S existiert nicht an
n
1
=
Ideal: Unendliche Reihe
Reale Numerik: endliche Reihe an
n
N
1
= <sN> (R - 3)
Partialsumme
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Vorgehensweise bei Reihen: 1) existiert S ?
2) wenn ja (konvergent), bestimme S bzw. <sN>
Beispiele: nn
1
= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + = → divergent
1 1
1
1
21 nn
... = konvergent ?
Reihendefinitionen:
- geometrisch : an = a qn-1
- alternierend : a1 - a2 + a3 - …
- Potenzreihe : a0 + a1x + a2x² + … (Polynom)
- arithmetisch : an = a + (n-1) d
- harmonisch : an = 1/n
Geometrische Reihen
Def.: 1n
1n
qa
= a + aq + aq² + aq³ + .... (R - 4)
Konvergenzbed.: |q| < 1
Summe: q1
aS
für |q| < 1 (R - 5)
Bsp: ...4
1
2
11
2
1
2
1
1n
1n
1n
→ q = 1/2 also konvergent, a = 1
→ 2
2
11
1S
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Alternierende Reihen
Def.:
1n
n
1na1 = a1 - a2 + a3 - a4 + .... (R - 6)
Leibnitz - Konvergenzkriterium:
1) an > an+1 (R - 7)
2) 0alim nn
alternierende Reihe konvergent, wenn beide Bed. erfüllt
Bsp: ...3
1
2
11
n
11
1n
1n
an = 1/n
Leibnitz: 1) 1 1
1n n
2) limn n
1
0 → Reihe ist konvergent
Potenzreihen
Def.:
0n
n
n xa = ao + a1x + a2x2 + a3x
3 + .... (R - 8)
mit an R
Potenzreihe = Polynom
Konvergenzradius 1n
n
n a
alimr
(R - 9)
- konvergent : |x| < r
- divergent : |x| > r
- keine Aussage : |x| = r
Bsp: ...2
x
1
x1
!n
x 2
0n
n
)1n(lim!n
)!1n(lim
a
alimr
nn1n
n
n
→ Reihe konvergent für alle x R (Fakultät > Potenz)
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Potenzdarstellung von Funktionen
konvergente Potenzreihe stellt eine reelle Zahl dar:
n
0n
n xa)x(fy
(R - 10)
somit gilt auch:
- Differential y f xd
dxa x n a xn
n
n
n
n
n' '( )
0 1
1
- Integral F x f x dx a x dx ax
nCn
n
n
n
n
n
( ) ( )
0 0
1
1
Bsp: ( )
x n
n 0
1 - x + x² - x³ + ...
mit a = 1, q = -x : geometrische Reihe
( )
xx
n
n 0
1
1 für |x|< 1
f(x) = 1 / (1+x) (Summe)
Diff. und Int. Mit obiger Reihendefinition und Summe
Diff: f‟(x) = -1/(1+x)² = -1 + 2x - 3x² + ... = ( )
1 1
1
n n
n
n x
(so erhält man auch Summen von ‚neuen‟ Reihen)
Int : f x dxdx
xx( ) ln( )
1
1 ‚zu Fuß unmöglich‟ – aus Formelsammlung
C...3
³x
2
²xxdx)x(
0n
n
= ln(1+x) !
C aus ln 1 = 0 für x=0 C = 0
ln(1+x) x – x²/2 + x³/3 …
Anwendung: Numerik
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Beispiele von Potenzreihen (aus Papula Formelsammlung)
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MacLaurin - Reihe
Kann y = f(x) in eine konvergente Potenzreihe entwickelt werden,
so ist dies nur mit der ML - Reihe möglich:
0n
n)n(
nn
x!n
)0(fx
!n
)0(f...²x
!2
)0(''fx
!1
)0('f)0(f)x(f (R - 11)
Achtung: Entwicklung nur um x = 0 !
Beispiele: - lineare Näherung f(x) f(0) + f‟(0) x
F = 0 + D x Hookesches Gesetz für Feder
R = Ro + Ro T aus Ro (1 + T)
V = Vo + Vo T aus Vo (1 + T)
- f(x) = ex
f(x) = f‟(x) = f‟‟(x) = ……..= ex
f(0) = f‟(0) = f‟‟(0) = ……..= e0 = 1
→ ex = 1 + x/1 ! + x²/2! + x³/3!
- y = x²
- f(0) = 0
- f‟(x) = 2x ; f‟(0) = 0
- f‟‟(x) = 2 ; f‟‟(0) = 2
- f‟‟‟ und folgende: Null
→ f(x) = 0 + 0 + 2/2 x² + 0 + … = x²
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Taylor - Reihe
- allgemeiner Fall der MacLaurin - Reihe für x0 = 0
- Entwicklung um ‚beliebigen‟ Wert x0 , der bekannt sein muß
- h ist Abstand von x0
0n
no
)n(no
n
oooo h
!n
)x(fh
!n
)x(f...²h
!2
)x(''fh
!1
)x('f)x(f)hx(f (R - 12)
Bsp: e1,4
e1 = 2,718 bekannt -> xo = 1, xo + h = 1,4 h = 0,4
f(1 + 0,4) = e1 + e1h + e1/2! h² + e1/3! h³ + ...
= e1 ( 1 + h + h²/2 + h³/6 + ... )
Vergleich (an der Tafel) MacLaurin und Taylor
für f(x) = ex mit x = 2 , für Taylor : exo mit xo = 1 also e1 = 2,72 ‚bekannt‟
Exakt: 7,389
n MacLaurin Taylor
0 e0 = 1,00 e1 = 2,72
1 3,00 5,44
2 5,00 6,80
3 6,33 7,25
4 7,00 7,36
5 7,27 7,38
Mit Taylor-Reihe kommt man ‚schneller‟, d.h. für kleiner n, dem exakten Wert näher.
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Näherungspolynome (aus Papula Formelsammlung)
… liefern (nur) in der Nähe des Nullpunkte brauchbare Ergebnisse !
(Bsp: sinx = x und e-x = 1 - x geht für größere x, z.B. 2 ‚schief‟)
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1.2 Fourier – Reihen
Vorteil Fourier im Vergleich zu Taylor- und MacLaurin-Reihe:
- basiert auf periodischen Vorgängen, welche technische
Schwingungen besser als Potenzreihen beschreiben !
- Analyse des Frequenzspektrums (→ Fouriertrafo)
Fourier-Analyse von Musikinstrumenten
Allerdings: Idealisierte Betrachtung (scharfe Peaks) für Reihen.
Bei Messung und Fourier-Transformation verbreitern sich diese Peaks.
rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Trompete rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Horn
rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Oboe rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Clarinette
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Periodische Funktionen
Def.: f(t + P) = f(t) mit P = n T n = 0, 1, 2, … , T : Periodendauer
Beispiele einfachster periodischer Funktionen:
- y = A cos t
- y = A sin t
mit A : Amplitude
= 2 / T : Kreisfrequenz, wichtig bei Fourier-Reihe: sin(kt), cos(kt), aus T
f = 1 / T : Frequenz
→ = 2 f
Integrationseigenschaften periodischer Funktionen:
Verschieben der Integrationsgrenzen ist erlaubt:
∫ ( )
= ∫ ( )
Def.: - Gerade Funktion : g (t) = g (-t) symmetrisch zur Y-Achse
- Ungerade Funktion : u (-t) = -u (t) symmetrisch zum Ursprung
Beispiele:
- Cosinus : y = A cos t : y (t) = y (-t) → gerade
- Sinus : y = A sin t : y (-t) = -y (t) → ungerade
‟Hausaufgabe‟ : Rechteck-, Dreieck-, Kippspannung, Gleichgerichteter Sinus, …
y
t
Periodendauer T
A
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1.2.1 Definition der Fourier – Reihe
Ziel: Zerlegung einer periodischen Funktion nach Sinus und Cosinus
Def.:
1k
kko tksinbtkcosaa)t(f
mit den Fourier – Koeffizienten (k reelle ganze Zahlen):
relative
Amplitude
Zeit t
(Periode T mit T = 2/ )
Ort ‚x’
a0
(DC-Anteil)
T
0
dt)t(fT
1
2
0
dx)x(f2
1
ak
T
0
dt)tkcos()t(fT
2
2
0
dxkxcos)x(f1
bk
T
0
dt)tksin()t(fT
2
2
0
dxkxsin)x(f1
Bemerkungen
Die Integrationsgrenzen können verschoben werden. Salopp formuliert: Man muß ‚nur‟
darauf achten, dass über eine ganze Periode integriert wird:
T
0
TTo
To
dt)t(fT
1dt)t(f
T
1
Man findet auch oft eine Fourier-Reihenentwicklung nach ‚x‟.
In der Technik meist zeitabhängige Messwerte etc. deshalb Zeit (Periode T) verwenden !
Vereinfachung für folgende Fälle (Symmetrie):
Funktion Definition alle Bsp.
gerade f(-t) = f(t) bk = 0 cos
ungerade f(-t) = - f(t) ak = 0
(inkl. ao)
sin
d.h. Approximation nur durch Sinus bzw. Cosinus !
1k
kko xksinbxkcosaa)x(f
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Vereinfachung für Rechnung mit Periode T:
Def.:
1k
kko
1k
kko tksinAatksinbtkcosaa)t(f
mit k
kk
2
k
2
kka
btan;baA , Rest siehe oben
Anmerkung: Dirichletsche Bedingungen
Die Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe ist unter folgenden
Voraussetzungen (sog. Dirichletsche Bedingungen) möglich:
1. Das Periodenintervall lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen die
Funktion stetig und monoton ist
2. In den Unstetigkeitsstellen existiert sowohl der links- als auch rechtsseitige Grenzwert
(es kommen nur Sprungunstetigkeiten mit endlichen Sprüngen in Betracht)
Diese Bedingung ist z.B. nicht für Tangens als periodische Funktion erfüllt!
Beispiele:
zu 1. : Rechteck- bzw. Sägezahnsignal sind stetig und monoton in Teilintervallen
zu 2. : Dreiecksfunktion an der ‚Spitze‟ Unstetigkeit mit endlichem Sprung
Hilfreiche Integrale und Definitionen :
-
0kfürT
0kfür0dttkcos
T
0
- kallefür0dttksinT
0
- )(cos)(cos2
1sinsin
- )(cos)(cos2
1coscos
- )(sin)(sin2
1cossin
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Bsp: Fourier-Reihe eines Sägezahn-Signales
ftt für t
für t( )
| |
| |
0
mit f(t + 2) = f(t)
=T
t
f(t)
0
T
„Kochrezept“:
1. Bestimmung von aus Periodendauer: T = 2 (hier, aus Defintion, siehe auch Skizze);
Definition der Periodendauer T = 1/f = 2/
T = 2 = 2/ = 1
2. Sind Dirichletsche Bedingungen erfüllt?
3. Symmetrie ? (vereinfacht Rechnung):
ungerade Funktion, da f(-t) = -f(t) alle ak = 0 (inkl ao )
4. DC-Anteil ? hier keiner wg. Symmetrie (3.)
5. Berechnung der Fourierkoeffizienten
bT
f t k t dtk
T
2
0
sin (Verschiebung der Integrationsgrenzen möglich)
mit f(t) = t (s.o.), T = 2 und = 1 :
dtkttbk sin1
²
sincos1Pr k
kt
k
kttbknIntegratioodukt
Bem.: sin(k) = sin(k{-}) = 0
k
kkk
k
k
k
k
kb
kk
k
cos2
)cos(cos1
0)cos()(
)1(0cos1
)cos()cos(
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kk
bk cos2
„Klappt das im Mikrocontroller?“ „Nein“, da „ungenau“
Überlegung zur Vereinfachung: Welche Werte nehmen die bk‟s an?
cos(k) wird für alle k‟s (reelle ganze Zahlen) nur „+1“ oder „-1“
bk
k gerade
k ungerade kk
k
2 1
11
21
( )
6. Explizites Hinschreiben der Fourier-Reihe
1
1
11:
)(sin2
)1()(sin)(k
k
khier
k ktk
tkbtf
Def. Rel. Amplitude , k „Frequenz“
7. Explizite Beschreibung der ersten Glieder
k 1 2 3
Amplitude 2 - 1 + 2/3
f(t) 2 sint - sin2t + 2/3 sin3t
Hier: = 1 (s.o.)
(Bedeutung)
Grundfrequenz
des Sägezahns
1. harmonische
Oberwelle
2. harmonische
Oberwelle
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Die bk‟s ‚fallen‟ relativ langsam, da die ‚Spitzen‟ des Sägezahnes nachgebildet werden müssen.
Fourier-Darstellung Sägezahn
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
t
y
Sägezahn (nicht maßstäblich)
bis k=1
bis k=2
bis k=3
Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite
Fourier - Koeffizienten Sägezahn (Spektrum)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
|bk|
Liniendiagramm, da einzelne diskrete 'x-Werte', hier k
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Beispiele für Fourier-Reihen (aus Papula Mathematische Formelsammlung)
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Rechtecksignal
Gegeben:
2tfür1
t0für1)t(f
1. Bestimmung von aus Periodendauer: T = 2 = 2/
Definition Kreisfrequenz = 2/T = 1
2. Sind Dirichletsche Bedingungen erfüllt?
3. Symmetrie ? (vereinfacht Rechnung):
ungerade Funktion, da f(-t) = -f(t) alle ak = 0 (inkl ao )
4. DC-Anteil ? hier keiner wg. Symmetrie (3.)
auch aus Skizze: kein DC-Anteil (DC = 0) erkennbar a0 = 0
5. Berechnung der Fourierkoeffizienten
2
00
)(sin1
)sin(1
)(sin2
dtktdtktdttktfT
b
T
k
2
0)(cos
1)(cos
1kt
kkt
kbk
1
1
)cos(12
)cos(11)cos(1
)cos()2cos(1
1)cos(1
kk
kkk
kkk
kk
bk
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- k gerade = cosk= +1 () = 0 bk = 0
- k ungerade = cosk= -1 () = +2 bk = 4 / k ist aber ”ungeschickt”
”besser”: ungerade durch 2k-1 ”ausdrücken”
k 2k – 1 )12(
4)2(
)12(
2
kkbk
6. Explizites Hinschreiben der Fourier-Reihe
})12{(sin)12(
4)(
1
tkk
tfk
7. Explizite Beschreibung der ersten Glieder
Die ersten 3 Glieder der Reihenentwicklung:
t5sin
5
1t3sin
3
1tsin
4t5sin
5
4t3sin
3
4tsin
4)t(f
1k
kko tksinbtkcosaa)t(f
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Rechteck-Signal durch Fourier-Reihe approximiert
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Komplexe Darstellung der Fourier-Reihe
es galt:
1k
kko tksinbtkcosaa)t(f (Reihe)
mit ej = cos jsin (Euler)
erhält man: coskt = 1/2 (ejkt + e-jkt )
sinkt = 1/j2 (ejkt - e-jkt )
akcoskt + bksinkt = 1/2(ak - jbk) ejkt + 1/2(ak + jbk) e
-jkt
Substitution: ck c-k
1k
tkj
k
tkj
ko ececa)t(f
wegen:
1k
tkj
k
1k
tkj
k ecec
folgt: tkj
k
kec)t(f
bzw. xkj
k
k ec)x(f
„-‟ entspricht negativen Frequenzen !
ao Co
mit dte)t(fT
1C
T
0
tkj
k dxe)x(f
2
1C
2
0
xkj
k
Beziehungen zwischen ak, bk, Ak und Ck:
Co = ao ; ak = 2 Re {Ck} ; bk = - 2 Im {Ck} ; kkkk ²b²aC2A
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Beispiel: Rechteckfunktion komplex
f(x) = f(x + 2)
ungeradekk
j
geradek
kundkmit
kjkk
j
k
j
kjj
j
kjNR
eekj
ekj
dxedxexfC
jjerweiternju
kjkjxkj
xkjxkj
k
0
0sin1cos
1)(sin)(cos2
1:
1
2
11
2
1
12
1)(
2
1
1
0
0
0
2
0
2
1
22
111
2
1)(
2
10
0
2
0
0
0
xdxdxexfC xj
Damit lautet die komplexe Fourier-Reihe ausgeschrieben:
( )
∑
∑
( ) ( )
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Beginn: k = 0, -1, +1, -3, +3
Ziel: f(x) „reell“
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2.1.2 Fourier - Transformation
Technik: - Meßzeit begrenzt, nicht
- oft nicht periodische Funktionen (z.B. Sprache)
deshalb Fourier-Reihe oft nicht Mittel der Wahl
- „Trick“ des Fourier-Integrales hierbei: periodische Fortsetzung
- Ergebnis der Fourier-Transformation ist ein kontinuierliches Spektrum
Fourier-Reihe Fourier-Integral
Signal
t
f(t)
Messung
+
. . . . . .
|<----->| Periode T
t
f(t)
Messung periodische Fortsetzung
- T/2 + T/2
0 T
Messzeit
Spektrum
f
a
diskret
f
a
kontinuierlich
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Vergleich Fourier- Reihe und Fourier –Transformation
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Fourier – Transformation
Bezeichnung: f(t) F()
komplexe Darstellung (ejt = cost jsint)
Definition der Integrale
Summe Integral Einzelglieder Fourier-Transformierte
diskret kontinuierlich
Fourier-
Reihe
tkj
k
kec)t(f
- für c.c.
dte)t(fT
1C
T
0
tkj
k
Fourier-
Integral
F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spektraldarstellung
im Allgemeinen komplex, d.h. Amplitude + Phase
ACHTUNG: - Nie = 2 / T verwenden wie bei Fourier-Reihe!
- Vereinfachung für reelle gerade bzw. ungerade Funktionen f(t) – siehe 9 !
Aufsplittung von F() in Real- und Imaginärteil e-jt = cost - jsint :
PhaseR
I
BetragIRF
IjRF
dtttfjdtttfdtetfF tj
:)(
)()(
:)²()²()(
)()()(
)sin()()cos()()()(
A() = |F()| : Amplitudenspektrum : Praxis !
ft F e dj t
( ) ( )
1
2
F ft e dtj t
( ) ( )
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Beispiele Rechteck-Signale vs. Optik (Beugung)
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Tabelle Fourier-Transformierte (aus Föllinger, HÜTHIG)
Vergleiche Rechteckimpuls und sinx/x (Si)
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Mathe 3 / Analysis 3
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ET/IT & TI
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Fourier-Transformierte und Fensterfunktionen
Vorgehensweise: Erfassung (z.B. Oszi) und Multiplikation im Zeitbereich mit Fensterfunktion
Fensterfunktionen dämpfen die Nebenzipfel (Frequenz im Original nicht vorhanden!) zu Lasten der Amplitude des Hauptmaximums
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Weitere Fensterfunktionen (aus Butz: FT für Fußgänger, Teubner)
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Frequenz – „Auflösung“ verschiedener Fensterfunktionen
(aus Butz: FT für Fußgänger, Teubner)
Gegeben ist folgende Funktion: f(t) = cos(t) + 10-2 cos(1,15 t) + 10-3 cos(1,25 t) + 10-3 cos(2 t) + 10-4 cos(2,75 t) + 10-5 cos(3t)
Frequenz 1 1,15 1,25 2 2,75 3
Amplitude 1 10-2 10-3 10-2 10-4 10-5
Frage: Mit welcher Fensterfunktion wird das Signal mit benachbarten Frequenzen und teilweise
geringen Amplituden aufgelöst?
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Fourier-Fenster-Funktion: Rechteck ‘Spaltfunktion’ (Zoom, s.u.)
Verbreiterung des 10 Hz-Peaks
Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f /Hz
|F|
(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 1s : 10 gemessene Schwingungen
Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f /Hz
|F|
(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 10s : 100 gemessene Schwingungen
Nebenzipfeldämpfung durch mehr Perioden, aber Gefahr der Unterabtastung
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Beispiel: Fourier-Transformation eines RLC-Schwingkreis mit schwacher Dämpfung
Gedämpfte Schwingungen
-1
-0,5
0
0,5
1
0 1 2 3 4 5 6
Zeit
Amplitude
schw ach gedämpft
Kriechfall
Aperiodischer Grenzfall
Einhüllende
FT gedämpfte Schwingung
0
2
4
6
8
10
0 0,5 1 1,5 2 2,5
rel. Frequenz (w/ws)
rel. Amplitude
A (d= 0,1)
A (d = 0,25)
A (d = 1)
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Übungsaufgaben Fourier-Reihen und -Transformation
1. Entwickle die Funktion
2,,0t
2t
t0
für
0
a
a
)t(f
mit f(t+2) = f(t) in eine Fourier-Reihe und skizziere das Ergebnis.
Lsg: 1mit...5
t5sin
3
t3sin
1
tsina4)t(f
...,3,1k4
...,4,2k0
k
abk
2. Entwickle die Funktion f tt
tfür
t
t( )
sin
sin
0
0
mit f(t+2) = f(t) in eine Fourier-Reihe (Tipp: k = 2k und skizziere das Ergebnis.
Lsg: 1mit...35
t6sin
15
t4cos
3
t2cos42)t(f
aungerade = 0 ; agerade = 4/(1-k²)
3. Berechne Fouriertransformierte eines Dreieckimpulses und skizziere das Ergebnis
f(t)
t0
A
Tmess/2-
Lösung:
2
T²sin
²T
A8)(F m
m
4. Berechne die FT des doppelten Rechteckpuls und skizziere das Ergebnis
t-3T 3T-T T
1
0
f(t)
Lösung: F T T( ) sin cos
4
2
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