Frankreich 17.Jhd Paris Beim Glücksspiel. Mitten unter ihnen befindet sich der französische...

Frankreich 17.JhdParis

Beim Glücksspiel

Mitten unter ihnen befindet sich der französische Adelige Chevalier de Méré

* 1607 in Poitou

† 1684

Glücksspieler

Beim Würfelspiel macht sich de Mèrè Gedanken…

Ich werfe mit zwei Würfeln…

Ist die Chance, Augensumme 11 zu erhalten gleichgroß, wie

Augensumme 12 zu erhalten…?

Es verhält sich doch so:Für Augensumme 11

brauche ich eine 5 und eine 6. Für Augensumme 12 brauche

ich eine 6 und noch eine 6.

Also müssen die Wahrscheinlichkeiten doch gleich sein…!

De Méré möchte nun seine Annahme durch einen Versuch beweisen.

Er würfelt 1000 mal mit zwei Würfeln und will von der relativen Häufigkeit der Ereignisse „Augensumme 11“ und „Augensumme 12“ auf deren Wahrscheinlichkeit schließen.

Relative Häufigkeit:

Sei x die Anzahl der Ereignisse „Augensumme 11“ nach 1000 Würfen.

1000)"11("1000

xh

Er stellt fest, dass die relativen Häufigkeiten der Ereignisse „Augensumme 11“ und „Augensumme 12“ nicht übereinstimmen.

Irritiert, dass sich seine vorherigen Überlegungen nicht bestätigt haben, schreibt er daraufhin einen Brief an Blaise Pascal, und beschwert sich über die Unzuverlässigkeit der Mathematik…

Blaise Pascal

*19.6.1623 in Clermont-Ferrand

+19.8.1662 in Paris

Philosoph

Mathematiker

Physiker

Daraufhin entsteht ein reger Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat.

Sie suchten nach einem Modell, welches das Problem mathematisch korrekter beschreibt als die Überlegungen von de Méré.

Pierre de Fermat

Ergebnisraum:

Ereignis „Augensumme 11“:

Ereignis „Augensumme 12“:

Alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:

11;12;13;...;21;22;...;...;61;...;66

12 66AugensummeE

1 1 1( 66 ) ( 12 ) ...

6 6 36P P

11 56;65AugensummeE

Der zweifache Würfelwurf ist also ein Laplace-Experiment.

36 11 2AugensummeE 12 1AugensummeE

11

2( )

36AugensummeP E 12

1( )

36AugensummeP E

" "( )

" "

EAnzahl günstige ErgebnisseP E

Anzahl mögliche Ergebnisse

Also gilt:

Die Wahrscheinlichkeit für Augensumme 11 ist doppelt so hoch wie die Wahrscheinlichkeit für Augensumme 12.

Ein weiteres Modell:

Das Baumdiagramm

Start

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4 5

6

Wahrscheinlichkeit für Augensumme 12: 36

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Start

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4 5

6

Wahrscheinlichkeit für Augensumme 11: 18

1

36

2

6

1

6

1

6

1

6

1

6

16

1

6

1

6

1

Also gilt:

Die Wahrscheinlichkeit für Augensumme 11 ist doppelt so hoch wie die Wahrscheinlichkeit für Augensumme 12.