Funktionale Abhängigkeiten anschaulich machen Prof. Dr. Astrid Beckmann PH Schwäbisch Gmünd...

Funktionale Abhängigkeiten anschaulich machen

Prof. Dr. Astrid Beckmann

PH Schwäbisch Gmünd

20.10.2006

• Ablauf

• Funktionale Abhängigkeit und Experimente

• Funktionale Abhängigkeiten und die Aspekte des Funktionsbegriffs authentisch erfahren

• Bericht über die schulische Erprobung

• Was ist das Problem?

„Das Auto rolltden Berg herunter.“

„Das Auto fährtimmer geradeaus.“

Beziehung zwischen x und y

y

x

„Die Linie teilt das Koordinatensystem.“

Proportionale Funktion

y

x

• Gerade durch den Ursprung• y/x = konstant

• Proportionale

Funktiony

x

Funktionale Abhängigkeit

jedem x ist genau ein y zugeordnet (Zuordnung)

wenn x sich ändert, ändert sich auch y (Kovariation)

x

y

konstx

y

x0

y0

• Wie kann ein Verständnis für die funktionale Abhängigkeit erreicht werden?

x

y

Zeit

Strecke

Realitätsbezüge

Authentische Erfahrungen! Experimente

• Zusammenhang zwischen Aspekten des Funktionsbegriffs und Experimenten

• Zuordnung (einfache): Aufnahme von Einzeldaten

Beim Eintauchen eines Balls mit einem bestimmten Radius

wird genau

ein bestimmtes Wasservolumen verdrängt.

Zuordnung: Jedem Radius – genau ein Wasservolumen

Die einfache Zuordnung wird handelnd erfahren.

• Zuordnung (kontinuierliche):

Aufnahme von verschiedenen Daten/ Messreihe

Jetzt wird nicht nur ein Ball betrachtet,sondern (kontinuierlich der Reihe nach)mehrere.

Der Radius wird jeweils dem verdrängten Volumen zugeordnet.

Die kontinuierliche Zuordnung wird handelnd erfahren.

• Kovariation (diskrete)

Beispiel: Zeit und Strecke, die ein Wagen in der Zeit fährt.

Gucken wir nach bestimmten Zeitenauf die Uhr ,

stellen wir fest,dass die gefahrene Strecke des Wagenssich ebenfalls geändert hat.

Die diskrete Kovariation wird erfahren.

• Kovariation (kontinuierliche)Jetzt gucken wir nicht immer erst nach bestimmten Abständen auf die Uhr, sondern ständig.Die Zeit läuft und gleichzeitig erleben wir, wie der Wageneine immer längere Strecke fährt.

Die kontinuierliche Kovariation wird erlebt.

• Objektaspekt

Der Objektaspekt umfasst den Zuordnungs- und den Kovariationsaspekt. Er fasst die Funktion als Objekt,als etwas Ganzes auf.

Dazu gehört:- Beschreibung der Funktion durch ein Objekt, alsozum Beispiel durch eine Gleichung, einen Graphen usw.- Das inhaltliche Erfassen dieses Objekts, also die Fähigkeit,mit einer Funktionsgleichung wie y = axoder mit einem Namen wie ganzrationale Funktion die entsprechende Zuordnung und Kovariation zu verbinden.

• ObjektaspektDie Grenzen des Experiments motivieren dazu,die Funktion als Objekt zu fassen.

Der Objektaspekt wird erfahren und erlebt.

• Experimente im Unterricht

Ziel: Funktionale Abhängigkeiten anschaulich machen

Das heißt u.a.:• Funktionale Abhängigkeiten in Realitätsbezügen

diskutieren und erfahren• Funktionale Abhängigkeiten authentisch erleben• Die Aspekte Zuordnung und Kovariation während

der einzelnen Experimentierschritte bewusst machen

Experimente mit Anregungen

• Realitätsbezug/ Impuls:Wenn du die Wahl hast, Fußball am Hang oder auf einer ebenen Fläche zu spielen, entscheidest du dich sicher für das Spiel auf der Ebene. Offensichtlich verhält sich der Ball am Hang und auf der Ebene unterschiedlich.

Tauscht euch in der Gruppe darüber aus.

Angenommen es steht nur ein hügeliges Gelände zur Verfügung und der Ball rollt einen Hang herunter. Du rennst hinter dem Ball her und willst ihn einholen.Wie schnell musst du im Vergleich zum Ball rennen?Beschreibe die Situation, bis du den Ball eingeholt hast.

Tauscht euch darüber in der Gruppe aus.

• Hypothesenbildung und Anregung zur Prüfung

Allgemeine Aufgabe

Beschreibe den Zusammenhang zwischen der beim Hinabrollen zurückgelegten Strecke und der benötigten Zeit.

Überprüfe: Bestätigt der Zusammenhang eure obige Vermutung.

Beschreibe die besonderen Eigenschaften des Zusammenhangs.

• Authentisch erleben

Material:• Kugel• Maßband• Stoppuhren• Hang / Schiefe Ebene zum Beispiel auf dem Schulhof

Es werden die Zeiten für bestimmte Strecken gemessen,die eine an einem Hang hinabrollende Kugelfür diese Strecken benötigt.

• Aspekt der (einfachen) Zuordnung

Lass die Kugel den Hang hinunter rollen.Miss die Zeit, die sie für 4 m benötigt.

Trage den Messwert in das rechte Kästchen ein.

4 m

• Aspekt der (kontinuierlichen) Zuordnung

Führe sechs weitere Messungen durch.Trage die zusammen gehörenden Werte in die Tabelle ein.

Strecke sin m

Zeit tin s

0 0

1 1,7

4 3,7

9 5,5

15 7,4

• Aspekt der Kovariation

Betrachte die Tabelle. Erkennst du besondere Zusammenhänge?

Betrachte das Schaubild.Beschreibe es.

• Aspekt der Zuordnung

Betrachte das Schaubild.

Wie lange benötigt die Kugel für 15 m ?

• Aspekt der Kovariation

Wie verändert sich jeweils die Zeit, wenn dudie Kugel statt 2 m 4 m rollen lässtund wenn du sie statt 7 m 9 m rollen lässt?

• ObjektaspektBetrachte die Tabelle.Gibt es eine Rechenvorschrift, mit der du aus der erstenGröße stets die zugeordnete Größe ermitteln kannst und die für möglichst alle Messwerte gilt?Gib die Rechenvorschrift an.

Überprüfe die Funktionsgleichung mit Hilfe verschiedenerMesswerte.

Zeichne (mit dem CAS oder Grafiktaschenrechner) denGraphen zu deiner Funktionsgleichung. Vergleiche mit dem Graphen aus deinen Messwerten.

Allgemein:• Kennenlernen der Bestandteile des Experiments• Erkennen, welche Größen sich verändern lassen• Auswählen zweier voneinander abhängiger Größen,

Hypothesenbildung• Abhängigkeit beobachten: Verändern von x bewirkt Änderung von y• Feststellen der funktionalen Abhängigkeit, y ist Funktion von x• Erstellen einer systematischen Messreihe• Auswerten, um welchen Funktionstyp es sich handelt (auch

qualitativ am Graphen)• Untersuchen, welche Abhängigkeit interessiert, y = f(x) oder x = f(y)• Ergebnisse für Voraussagen nutzen

Offene Aufgabenstellung:

In der Geschichte vom Froschkönig fällt der Prinzessin ihre Kugel in den Brunnen. Um wie viel steigt der Wasserspiegel im Brunnen, wenn die Kugel einen Radius von 6 cm hat und der Brunnen einen Durchmesser von 1 m?

• Beispiele Auftrag:Bearbeiten Sie jeweils das Arbeitsblatt: Lesen Sie die Texte und führen Sie die Aufträge aus. Reflektieren Sie bitte ständig darüber, an welchen Stellen die funktionalen Abhängigkeiten besonders deutlich erfahren werden können.

Bitte führen Sie die Experimente - so wie vorgesehen - auch wirklich durch!