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Grundbegriffe der Schulgeometrie
SS 2008 Teil 2
(M. Hartmann)
Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
• Begriffsbildung durch – Kombinieren (Bsp. Kreatives Ordnen)– Reduzieren (Bsp. Diagonaleneigenschaft des
Rechtecks reduzieren zu „Halbieren sich gegenseitig“)– Variieren (Bsp. Pythagoräisches Viereck)– Analogisieren
Fachmathematischer Aspekt
Welche Techniken kreativer Begriffsbildung gibt es?
Was ist Analogie?
• „…, analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein.“ (Polya 1967)
Was ist Analogisieren?
• Ein Vorgehen, welches sich bereits einmal bewährt hat, wird auf eine analoge Situation übertragen.
Wie analogisiert man?
1. Schritt: Man schafft sich ein neues irgendwie ähnliches Systemähnliches System zu einem, welches sich bereits als fruchtbar erwiesen hat.
2. Schritt: Man sucht in diesem System gezielt nach irgendwie ähnlichen Beziehungenähnlichen Beziehungen
Dreieck
Viereck
Dreiecksprisma Dreieckspyramide
Kugeldreieck
Kurzer historischer Überblick
• Heuristik– Archimedes, Pappos– Descartes, Leibniz
• Mathematikunterricht (Polya 1949)• Zentrales Lernziel (Winter 1972)• Kreative Begriffsbildung (Weth 2000)• Variation (Schupp 2002)• Analogisieren im Schulbuch (Zimmermann 2003)• Von Ebene zum Raum
– Dreieck-Tetraeder (Fritsch 1984, Neubrand 1985, Bubeck 2003)– Pythagoras am Tetraeder (Bubeck 1992)
• Phänomenfindung (Loska/Hartmann 2005)• MU Themenheft Analogisieren (Heinrich 2006)
– Computereinsatz (Schumann)
Satz von Pappos (Verallgemeinern durch Analogisieren)
beliebiges Parallelogramm beliebiges Parallelogramm
durch Vektor SC festgelegtes Parallelogramm
A B
A + B
C
S
Pythagoras in Vierecken
a² + c² = b² + d²
ab
cd
a² - c² = d² - b²
a b
cd
Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras
Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Dreiecksprisma Faulhaber-Tetraeder
Schiefes TetraederBubeck-Tetraeder
Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche
zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?
Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche
zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?
Dreiecksprisma
Pythagoras im Raum / Dreiecksprisma
Faulhaber-Tetraeder
Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder
Faulhaber-Tetraeder
Johannes Faulhaber(1622)
Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder
Bubeck-Tetraeder (1992)
Pythagoras im Raum / Bubeck-Tetraeder
Schiefes Tetraeder
Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder
Schiefes Tetraeder (Beweis)
Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder
C² = A² + C‘² D² = A² + D‘²
B² = A² + C‘² + D‘²
Faulhaber
Dreiecksprisma
I. C² + D² = 2A² + C‘² + D‘²
II. A² + B² = 2A² + C‘² + D‘²
Schiefes Tetraeder (Beweis)
Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder
C² = A² + C‘² D² = A² + D‘²
B² = A² + C‘² + D‘²
Faulhaber
Dreiecksprisma
I. C² + D² = 2A² + C‘² + D‘²
II. A² + B² = 2A² + C‘² + D‘²
Auf Kantenlängen bezogene Analogien
Pythagoras im Raum / Kanten
a‘a‘²aa ²+ bb= ² b‘b‘² cc ² c‘c‘+ ²=+
ccaa ²a‘a‘² - = bb ²b‘b‘ ²c‘c‘=-² ²- a‘a‘aa bb b‘b‘- = +²² ² ²
bb b‘b‘ ccc‘c‘²²
-²
=²
-a‘a‘aa cc c‘c‘²²
+²+
²=
a² + c² = b² + d²
ab
cd
a² - c² = d² - b²
a b
cd
Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken
Wie findet man solche Zerlegungen?
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken
Analyse des Analogisierungsprozesses
Zerlegung der Katheten-quadrate
Zerlegung der Katheten-quadrate
SonderfallSonderfall AllgemeinfallAllgemeinfall
Puzzlen auf dasHypotenusen-
quadrat
Puzzlen auf dasHypotenusen-
quadrat Verbalisieren:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit
Verbalisieren:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit
1. Schnittführung1. Schnittführung
2. Abbildung der Teile2. Abbildung der Teile
AnalogeTeilstückeAnaloge
Teilstücke
unvollständigeLösung
unvollständigeLösung
endgültigeLösung
endgültigeLösung
ProbierenProbieren
AnalogisierungAnalogisierung
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
2. Beispiel
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
2. Diagonale2. Diagonale
1. Diagonale 1. Diagonale
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
C
c
d
C
c
d Verlängerung von Seite d Verlängerung von Seite d
Parallele zu c durch C Parallele zu c durch C
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
C
c
C
c
Parallele zu d durch D Parallele zu d durch D
Parallele zu c durch C Parallele zu c durch C
d
D
d
D
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
M
c
d
M
c
d Parallele zu d durch M Parallele zu d durch M
Parallele zu c durch M Parallele zu c durch M
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
B
C E
D
c
d
B
C
E
D
Parallele zu d durch B und DParallele zu d durch B und D
Parallele zu c durch C und EParallele zu c durch C und E
c
d
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Analogisierung der Teileabbildung
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
DGS
PerigalPerigal
Analogisieren im Bereich der Inhaltslehre
Beispiel 1: Vom Flächeninhalts- zum Volumenbegriff
G 1G 2
G 3
G 4
Begriffliche Grundidee:Auslegen
Begriffliche Grundidee:Auslegen
Abzählverfahrenliefert Formel fürSonderfall
Abzählverfahrenliefert Formel fürSonderfall
Rückführungauf Sonderfalldurch Umbau
Rückführungauf Sonderfalldurch Umbau
Triangulation Triangulation
An
alo
gisie
ren
An
alo
gisie
ren
An
alo
gisie
ren
An
alo
gisie
ren
Beispiel 2: Die vielfältigen Analogisierungs-möglichkeiten der Tortenstückmethode
½ U
r
Anwendung auf Kreissektorinhalt
½ b
AKreis•Rechteck ? r
Anwendung auf Kreisring
½ U2 + ½ U1
U1 U2
= Um
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