Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 2 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Grundbegriffe der Schulgeometrie

SS 2008 Teil 2

(M. Hartmann)

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

• Begriffsbildung durch – Kombinieren (Bsp. Kreatives Ordnen)– Reduzieren (Bsp. Diagonaleneigenschaft des

Rechtecks reduzieren zu „Halbieren sich gegenseitig“)– Variieren (Bsp. Pythagoräisches Viereck)– Analogisieren

Fachmathematischer Aspekt

Welche Techniken kreativer Begriffsbildung gibt es?

Was ist Analogie?

• „…, analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein.“ (Polya 1967)

Was ist Analogisieren?

• Ein Vorgehen, welches sich bereits einmal bewährt hat, wird auf eine analoge Situation übertragen.

Wie analogisiert man?

1. Schritt: Man schafft sich ein neues irgendwie ähnliches Systemähnliches System zu einem, welches sich bereits als fruchtbar erwiesen hat.

2. Schritt: Man sucht in diesem System gezielt nach irgendwie ähnlichen Beziehungenähnlichen Beziehungen

Dreieck

Viereck

Dreiecksprisma Dreieckspyramide

Kugeldreieck

Kurzer historischer Überblick

• Heuristik– Archimedes, Pappos– Descartes, Leibniz

• Mathematikunterricht (Polya 1949)• Zentrales Lernziel (Winter 1972)• Kreative Begriffsbildung (Weth 2000)• Variation (Schupp 2002)• Analogisieren im Schulbuch (Zimmermann 2003)• Von Ebene zum Raum

– Dreieck-Tetraeder (Fritsch 1984, Neubrand 1985, Bubeck 2003)– Pythagoras am Tetraeder (Bubeck 1992)

• Phänomenfindung (Loska/Hartmann 2005)• MU Themenheft Analogisieren (Heinrich 2006)

– Computereinsatz (Schumann)

Satz von Pappos (Verallgemeinern durch Analogisieren)

beliebiges Parallelogramm beliebiges Parallelogramm

durch Vektor SC festgelegtes Parallelogramm

A B

A + B

C

S

Pythagoras in Vierecken

a² + c² = b² + d²

ab

cd

a² - c² = d² - b²

a b

cd

Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras

Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks

Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks




Dreiecksprisma Faulhaber-Tetraeder

Schiefes TetraederBubeck-Tetraeder


Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche

zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?

Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche

zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?

Dreiecksprisma

Pythagoras im Raum / Dreiecksprisma

Faulhaber-Tetraeder

Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder

Faulhaber-Tetraeder

Johannes Faulhaber(1622)

Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder

Bubeck-Tetraeder (1992)

Pythagoras im Raum / Bubeck-Tetraeder

Schiefes Tetraeder

Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder

Schiefes Tetraeder (Beweis)


C² = A² + C‘² D² = A² + D‘²

B² = A² + C‘² + D‘²

Faulhaber

Dreiecksprisma

I. C² + D² = 2A² + C‘² + D‘²

II. A² + B² = 2A² + C‘² + D‘²

Schiefes Tetraeder (Beweis)


C² = A² + C‘² D² = A² + D‘²

B² = A² + C‘² + D‘²

Faulhaber

Dreiecksprisma

I. C² + D² = 2A² + C‘² + D‘²

II. A² + B² = 2A² + C‘² + D‘²

Auf Kantenlängen bezogene Analogien

Pythagoras im Raum / Kanten

a‘a‘²aa ²+ bb= ² b‘b‘² cc ² c‘c‘+ ²=+

ccaa ²a‘a‘² - = bb ²b‘b‘ ²c‘c‘=-² ²- a‘a‘aa bb b‘b‘- = +²² ² ²

bb b‘b‘ ccc‘c‘²²

-²

=²

-a‘a‘aa cc c‘c‘²²

+²+

²=

a² + c² = b² + d²

ab

cd

a² - c² = d² - b²

a b

cd

Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras

Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken

Wie findet man solche Zerlegungen?

Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken

Analyse des Analogisierungsprozesses

Zerlegung der Katheten-quadrate

Zerlegung der Katheten-quadrate

SonderfallSonderfall AllgemeinfallAllgemeinfall

Puzzlen auf dasHypotenusen-

quadrat

Puzzlen auf dasHypotenusen-

quadrat Verbalisieren:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit

Verbalisieren:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit

1. Schnittführung1. Schnittführung

2. Abbildung der Teile2. Abbildung der Teile

AnalogeTeilstückeAnaloge

Teilstücke

unvollständigeLösung

unvollständigeLösung

endgültigeLösung

endgültigeLösung

ProbierenProbieren

AnalogisierungAnalogisierung

Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

2. Beispiel


Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung

2. Diagonale2. Diagonale

1. Diagonale 1. Diagonale



C

c

d

C

c

d Verlängerung von Seite d Verlängerung von Seite d

Parallele zu c durch C Parallele zu c durch C



C

c

C

c

Parallele zu d durch D Parallele zu d durch D

Parallele zu c durch C Parallele zu c durch C

d

D

d

D



M

c

d

M

c

d Parallele zu d durch M Parallele zu d durch M

Parallele zu c durch M Parallele zu c durch M



B

C E

D

c

d

B

C

E

D

Parallele zu d durch B und DParallele zu d durch B und D

Parallele zu c durch C und EParallele zu c durch C und E

c

d


Analogisierung der Teileabbildung


DGS

PerigalPerigal

Analogisieren im Bereich der Inhaltslehre

Beispiel 1: Vom Flächeninhalts- zum Volumenbegriff

G 1G 2

G 3

G 4

Begriffliche Grundidee:Auslegen

Begriffliche Grundidee:Auslegen

Abzählverfahrenliefert Formel fürSonderfall

Abzählverfahrenliefert Formel fürSonderfall

Rückführungauf Sonderfalldurch Umbau

Rückführungauf Sonderfalldurch Umbau

Triangulation Triangulation

An

alo

gisie

ren

An

alo

gisie

ren

An

alo

gisie

ren

An

alo

gisie

ren

Beispiel 2: Die vielfältigen Analogisierungs-möglichkeiten der Tortenstückmethode

½ U

r

Anwendung auf Kreissektorinhalt

½ b

AKreis•Rechteck ? r

Anwendung auf Kreisring

½ U2 + ½ U1

U1 U2

= Um

Documents

Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 2 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik