Infinitesimales Hier wächst Ihr Wissen über das unendlich Kleine Prof. Dr. Dörte Haftendorn,...

InfinitesimalesHier wächst Ihr Wissen über das

unendlich Kleine

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus1

Der ModellierungskreislaufEin erfundenes Beispiel:

16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. MündenEin Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich Werbeschrift gesehen zu haben.

Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in Hann.Münden gewesen.

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Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Der Fahrtenschreiber zeigt: Reale Situation

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Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.

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Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Der Fahrtenschreiber zeigt: Reale Situation

mathematisches Modell

Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.

Fläche unter der Modellkurve gesucht.

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Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.

Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation

mathematisches Modell

Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.

Fläche unter der Modellkurve gesucht.

mathematische Lösungsidee

0.75

0( )s v t d t

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Der Modellierungskreislauf

0.75

0( )s v t d t

Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.

Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation

mathematisches Modell

Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.

Fläche unter der Modellkurve gesucht.

mathematische Lösungsidee

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mathematische Antwort 60s km6

Der Modellierungskreislauf

0.75

0( )s v t d t

Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.

Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation

mathematisches Modell

Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.

Fläche unter der Modellkurve gesucht.

mathematische Lösungsidee

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mathematische Antwort 60s km7

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Funktionen werden zum Werkzeug

Funktionen beschreiben Zusammenhänge

Man erhält Antworten beim

Blick auf „das Ganze“ mit dem Integralinteger (lat.)= ganz

pane integrale (it.) = Vollkornbot

Man erhält punktuelle Antworten mit dem Differential

( )f x d x

, , '( )d yd f f xd x 8

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Das IntegralMan erhält Antworten beim

Blick auf „das Ganze“ mit dem Integralinteger (lat.)= ganz

pane integrale (it.) = Vollkornbot

( )f x d x( )

baf x d x

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Das Riemannsche Integral

( )baf x d x Bernhard Riemann

Abi 1846

Johanneum LüneburgOriginaltext aus „Gesammelte Werke“

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Riemannsches Integral( )baf x d x

Bernhard Riemann

Abi 1846

Johanneum Lüneburg

, bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben,Originaltext aus „Gesammelte Werke“

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Das Integral als verallgemeinertes Produkt

( )ba

s v t d tWegGeschwindigkeit Zeit

Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....

s v t v konstant ( )v v t variabel

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Das Integral als verallgemeinertes Produkt

( )ba

s v t d t

( )ba

W F s d s

WegGeschwindigkeit Zeit

ArbeitKraft Weg

s v t v konstant ( )v v t variabel

konstantF W F s ( )F F s

13Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....

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Das Integral als verallgemeinertes Produkt

( )ba

s v t d t

( )ba

W F s d s

WegGeschwindigkeit Zeit

ArbeitEnergie

Kraft Weg

Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....

s v t v konstant ( )v v t variabel

konstantF W F s ( )F F s

variabelkonstantR U R I ( )R R I( )

ba

U R I d ISpannungWiderstand Stromstärke

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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert

Integral für Mittelwert und Bilanzen....

WetterTemperaturverlauf

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17 14 214 2T T T T mittel

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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert

Integral für Mittelwert und Bilanzen....

Flächenbilanz=016

17 14 214 2T T T T mittel

Ist die Modellierung der

Metereologen

nicht viel zu grob?????

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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert

Integral für Mittelwert und Bilanzen....

Flächenbilanz=017

17 14 214 2T T T T mittel

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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert

Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....18

1Mittelwert ( )b

af x dx

b a

Mittelwertder Funktionswerte

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Eigenschaften des Integrals

Intervall [A,B]

( )baf x d x

Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.

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Eigenschaften des Integrals

Intervall [A,B]

( )baf x d x

Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen.

Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.

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Eigenschaften des Integrals

Intervall [A,B]

( )baf x d x

Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen.

Beim Vertauschen der Grenzenändert sich das Vorzeichendes Integrals

Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.

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Übungen zum Integral

Intervall [A,B]

( )baf x d x 8, 20, 24

mögliche Werte

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Übungen zum Integral

Intervall [A,B]

( )baf x d x 8, 20, 24

mögliche Werte

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Die Integralfunktion

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„Teppich-Abroll-Funktion“ ( , ) : ( )xa

F x a f t d t

a ax x

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Die Integralfunktion

( , ) : ( )xa

F x a f t d t„Teppich-Abroll-Funktion“

Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an.25

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Die Integralfunktion

( , ) : ( )xa

F x a f t d tDer Zuwachs der Integralfunktionhängt nur vom Zuwachs der Fläche ab.Also sind die verschiedenenIntegralfunktionen an jederStelle x gleich steil.(x ist hier die Stelle von B)

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Die Integralfunktion

( , ) : ( )xa

F x a f t d tAlle Integralfunktionen

haben dieselbe Form.

An den Extremstellen

von F hat f eine Nullstelle.

An der Sattelstelle von F

hat f eine Berühr-Nullstelle.

Wo F eine Wendestelle hat, hat f eine Extremstelle.27

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Nochmal die Teppichabrollfunktion

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die Intergralfunktion F von f =„Teppichabrollfunktion“

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Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung

( ) '( )f x F xd. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start

haben ihr f auch als Ableitung. Sie heißen daher auch

„Stammfunktionen“ von f,

sie unterscheiden sich nur um eine

additive Konstante c. Man schreibt:

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Optimierung als Ziel

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Optimierung als Ziel

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Wirtschaftsfunktionen

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Wasser in der Mühle

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Im kegelförmigen Dach einer Mühle soll ein zylindrischerWasserbehälter mit möglichst großem Volumen eingebautwerden.

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Wasser in der Mühle

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Ein Zylinder mit4 m Radius istoptimal

Funktionen Optimum 3 D

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