1 Polynome und mehrfache Nullstellen Polynome sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren Eigenschaften. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität

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Polynome und mehrfache Nullstellen

Polynome sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren

Eigenschaften.

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus

Stichwort: Polynome im Affenkasten

www.mathematik-verstehen.de

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Polynome und mehrfache Nullstellen


www.mathematik-verstehen.de

gerade

schräg

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\affenka.ggb

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\gerader_affenkasten.ggb

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doppelte Nullstelle

x= -1

einfache Nullstelle

x= 2

Nullstellen Linearfaktoren

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Nullstellen Linearfaktoren


doppelte Nullstelle

x= -1

einfache Nullstelle

x= 2

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Welche Gleichung kann dieses Polynom haben?


C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\Polynom_1_1_2_fach.ggb

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\mehrfach-nullstellen.mn

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Welche Gleichung kann dieses Polynom haben?


Diese

Funktion

Vieta

Vieta, mehr

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\vieta.ggb

D:\matheomnibus\themen\funktionen\mehrfach-nullstellen.mn

C:\Program Files\Windows Journal\Journal.exe

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\vieta_.ggb

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\Polynom_1_1_2_fach.ggb

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Was ist eigentlich ein Polynom?


11 1 0( ) ...n n

n nf x a x a x a x a

Ein Polynom ist eine Summe von Potenzfunktionen.

Der höchste Exponent, der vorkommt, heißt Grad des Polynoms.

• Polynome 1. Grades sind die Geraden

• Polynome 2. Grades sind die Parabeln

• Polynome 3. Grades haben immer eine symmetrische s-Form.

• Polynome 4. Grades haben höchstens 3 Extrema.

• Je höher der Grad, desto vielfältigere Formen sind möglich.

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\vieta_.ggb

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\mehrfach-nullstellen.mn

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Polynome und ihre Linearfaktoren


( ) ( ) ( ) ( ) 0kf x x a p x mit p a

Jede reelle Nullstelle erzeugt einen Linearfaktor.

a( )x a

( ) ( ) ( )f x x a q x Wenn das Restpolynom auch noch die Nullstelle enthält, kann man den Linearfaktor mehrfach „herausziehen“.

a

Geht das maximal k-mal, dann heißt k-fache Nullstelle,oder „Nullstelle der Vielfachheit k“

a

D:\matheomnibus\themen\funktionen\vieta_.ggb


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( ) ( ) ( ) ( ) 0kf x x a p x mit p a

3 2 3

2 2

( ) ( 5) ( 2) ( 1) ( 2)

( 1) . ( 1) . ( 1)

f x x x x x x

f nahe pos Zahl x neg Zahl t x

In der Nähe eine k-fachen Nullstelle verhält sich das Polynom wie sich die k-Potenzfunktion im Ursprung verhält.

Ein Polynom n-ten Grades hat höchsten n Nullstellen, mit ihrer Vielfachheit gezählt. Fundamentalsatz der Algebra (reell)

Grad 10 Gesamtverlauf



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3 2 3( ) ( 5) ( 2) ( 1) ( 2)f x x x x x x

Qualitativer Graph eines durch Linearfaktoren gegeben Polynoms

Vorzei-chen

Grad Ges. Verlauf

gerade

gerade

ungerade

ungerade



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Übung 2 mit Polynomen

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\diff2.ggb

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D:\matheomnibus\themen\funktionen\diff3.ggb

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Funktionen als zentrales Werkzeug


• Potenzfunktionen

• Polynome

• Trigonometrische Funktionen

• Exponentialfunktionen

• Davon so manche Umkehrfunktionen

• Wurzelfunktionen

• Arkusfunktionen

• LogarithmusfunktionenUnd das noch koppeln mit und Verkettung./ ^

Das war‘s dann aber auch

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Funktionen als zentrales Werkzeug


Sinusfunktion

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\sinus_einheitskreis.ggb

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Die Winkel-Funktionen


x wird Argument einer Funktion

Einheitskreis

Der Punkt Q läuft im Einheitskreis vom Start (1/0). (mathematisch positiv = gegen die Uhr)

Den von Q zurückgelegten Weg x nennt man auch„das Bogenmaß des Winkels“, um den sich Q gedreht hat.Kurz: x ist der Winkel im Bogenmaß


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Die Sinus-Funktion


Sinusfunktion

Einheitskreisx = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis

Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet.

Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion.


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Die Sinus-Funktion


Sinusfunktion


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Eigenschaften der Sinus-Funktion


2• Die Sinus-Funktion ist periodisch.

• Die Periode ist .

• Die Sinuswerte liegen zwischen -1 und + 1.

• Die Sinusbögen sind symmetrisch.

• Die Sinuskurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung

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Die Sinus-Funktion


Sinusfunktion




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Die Kosinus-Funktion


Sinusfunktion




Tangens Kosinus

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\kosinus_einheitskreis.ggb

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\tangens_einheitskreis.ggb

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Eigenschaften der Kosinus-Funktion


2• Die Kosinus-Funktion ist periodisch.

• Die Periode ist .

• Die Kosinuswerte liegen zwischen -1 und + 1.

• Die Kosinusbögen sind symmetrisch.

• Die Kosinuskurve ist symmetrisch zur y-Achse

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Sinus strecken und stauchen


C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\typ-trigonometrischefkt.ggb

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Funktionen strecken und stauchen


Ein Faktor direkt beim xsorgt für waagerechtesStrecken und Stauchen.


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Ein Faktor vor dem Funktionsterm sorgt für senkrechtesStrecken und Stauchen.

Funktionen strecken und stauchen


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Funktionen variierenFkt-Vari-Sin Sin-Ueb

D:\matheomnibus\themen\funktionen\typ-trigonometrischefkt.ggb

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\sin-cos-ueb.ggb

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\funktionsvariation-sin.ggb

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Übung mit FunktionsgraphenSin-Ueb

C:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\sin-cos-ueb.ggb

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Welle

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Übung mit Funktionsgraphen

D:\matheomnibus\themen\funktionen\ln-w<E4>chst-nicht so recht.ggb

D:\matheomnibus\themen\funktionen\umkehrfkt.ggb

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