Infinitesimales Hier wächst Ihr Wissen über das unendlich Kleine Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

InfinitesimalesHier wächst Ihr Wissen über das

unendlich Kleine

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus1

Der ModellierungskreislaufEin erfundenes Beispiel:

16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. MündenEin Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich Werbeschrift gesehen zu haben.

Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in Hann.Münden gewesen.


Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Der Fahrtenschreiber zeigt: Reale Situation

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus

Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.

3

Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Der Fahrtenschreiber zeigt: Reale Situation

mathematisches Modell


Fläche unter der Modellkurve gesucht.


Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.

Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation




mathematische Lösungsidee

0.75

0( )s v t d t


Der Modellierungskreislauf

0.75

0( )s v t d t

Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.







mathematische Antwort 60s km6

Der Modellierungskreislauf

0.75

0( )s v t d t

Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.







mathematische Antwort 60s km7


Funktionen werden zum Werkzeug

Funktionen beschreiben Zusammenhänge

Man erhält Antworten beim

Blick auf „das Ganze“ mit dem Integralinteger (lat.)= ganz

pane integrale (it.) = Vollkornbot

Man erhält punktuelle Antworten mit dem Differential

( )f x d x

, , '( )d yd f f xd x 8


Das IntegralMan erhält Antworten beim

Blick auf „das Ganze“ mit dem Integralinteger (lat.)= ganz

pane integrale (it.) = Vollkornbot

( )f x d x( )

baf x d x

9


Das Riemannsche Integral

( )baf x d x Bernhard Riemann

Abi 1846

Johanneum LüneburgOriginaltext aus „Gesammelte Werke“

10


Riemannsches Integral( )baf x d x

Bernhard Riemann

Abi 1846

Johanneum Lüneburg

, bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben,Originaltext aus „Gesammelte Werke“

11


Das Integral als verallgemeinertes Produkt

( )ba

s v t d tWegGeschwindigkeit Zeit

Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....

s v t v konstant ( )v v t variabel

12



( )ba

s v t d t

( )ba

W F s d s

WegGeschwindigkeit Zeit

ArbeitKraft Weg


konstantF W F s ( )F F s

13Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....



( )ba

s v t d t

( )ba

W F s d s

WegGeschwindigkeit Zeit

ArbeitEnergie

Kraft Weg

Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....


konstantF W F s ( )F F s

variabelkonstantR U R I ( )R R I( )

ba

U R I d ISpannungWiderstand Stromstärke

14


Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert

Integral für Mittelwert und Bilanzen....

WetterTemperaturverlauf

15

17 14 214 2T T T T mittel




Flächenbilanz=016


Ist die Modellierung der

Metereologen

nicht viel zu grob?????




Flächenbilanz=017




Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....18

1Mittelwert ( )b

af x dx

b a

Mittelwertder Funktionswerte


Eigenschaften des Integrals

Intervall [A,B]

( )baf x d x

Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.

19



Intervall [A,B]

( )baf x d x

Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen.


20

c:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\integral_einfuehrung.ggb



Intervall [A,B]

( )baf x d x

Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen.

Beim Vertauschen der Grenzenändert sich das Vorzeichendes Integrals


21


Übungen zum Integral

Intervall [A,B]

( )baf x d x 8, 20, 24

mögliche Werte

22


Übungen zum Integral

Intervall [A,B]

( )baf x d x 8, 20, 24

mögliche Werte

23


Die Integralfunktion

24

„Teppich-Abroll-Funktion“ ( , ) : ( )xa

F x a f t d t

a ax x



( , ) : ( )xa

F x a f t d t„Teppich-Abroll-Funktion“

Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an.25



( , ) : ( )xa

F x a f t d tDer Zuwachs der Integralfunktionhängt nur vom Zuwachs der Fläche ab.Also sind die verschiedenenIntegralfunktionen an jederStelle x gleich steil.(x ist hier die Stelle von B)

26



( , ) : ( )xa

F x a f t d tAlle Integralfunktionen

haben dieselbe Form.

An den Extremstellen

von F hat f eine Nullstelle.

An der Sattelstelle von F

hat f eine Berühr-Nullstelle.

Wo F eine Wendestelle hat, hat f eine Extremstelle.27


Nochmal die Teppichabrollfunktion

28

c:\Users\User\matheomnibus\themen\funktionen\int_fkt.ggb


die Intergralfunktion F von f =„Teppichabrollfunktion“

29


Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung

( ) '( )f x F xd. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start

haben ihr f auch als Ableitung. Sie heißen daher auch

„Stammfunktionen“ von f,

sie unterscheiden sich nur um eine

additive Konstante c. Man schreibt:

30

Optimierung als Ziel


Optimierung als Ziel


Wirtschaftsfunktionen

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Wasser in der Mühle


Im kegelförmigen Dach einer Mühle soll ein zylindrischerWasserbehälter mit möglichst großem Volumen eingebautwerden.

33

Wasser in der Mühle


Ein Zylinder mit4 m Radius istoptimal

Funktionen Optimum 3 D


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