Institut für Angewandte Physik LINAC...

Institut für Angewandte PhysikLINAC AG

Hochfrequenz-ResonatorenHochfrequenz Resonatoren

Prof. Dr. H. Podlech 1

MaxwellgleichungenMaxwellgleichungen

Bedeutung??

Maxwellgleichungen im VakuumMaxwellgleichungen im Vakuum

WellengleichungenWellengleichungen2. Maxwell-Gl.

Wellengleichung im VakuumHomogen, linear, 2. Ordnung

Es gibt kein E-Feld, dass senkrecht auf nsteht

Keine tangenziale E-Feldkomponente

Es gibt kein B-Feld, dass parallel zu nsteht

Keine normale B-Feldkomponente

Wellengleichung in Zylinderkoordinaten

Zahl der Knoten in Φ-Richtung

Zahl der Knoten in radialer Richtung

Zahl der halben Perioden in z-Zahl der halben Perioden in zRichtung

Lösungen Zylindrische Wellengleichung: TMLösungen Zylindrische Wellengleichung: TM

Lösungen Zylindrische Wellengleichung: TELösungen Zylindrische Wellengleichung: TE

Nullstellen der BesselfunktionNullstellen der Besselfunktion

ResonanzfrequenzResonanzfrequenz

TM010-Mode: E-FelderTM010 Mode: E Felder

m=0n=1

00n=1p=0

Ez=const.

TM010-Mode: E-FelderTM010 Mode: E Felder

TM010-Mode: B-FelderTM010 Mode: B Felderm=0n=1p=0p=0

ΒΦ=const

ΒΦ const. 0

TM010-Mode: B-FeldTM010 Mode: B Feld

TM010-Mode: B-FelderTM010 Mode: B Felder

Verlauf der E- und B-FelderVerlauf der E und B Felder

TM010-ModeTM010 Mode

Mantel Deckel

TM010-Mode: GüteTM010 Mode: Güte

TM010-Mode: GeometriefaktorTM010 Mode: Geometriefaktor

reiner Geometriefaktor

TM010-Mode: Geometriefaktor GTM010 Mode: Geometriefaktor G

G=257 Ω

TM010-Mode: Impedanz RaTM010 Mode: Impedanz Ra

TM010-Mode: Ra/Q0TM010 Mode: Ra/Q0

Ua2 1/W 1/ω

TM010-Mode: BeispielTM010 Mode: Beispiel

Zylinderresonator mit R=7.65 cm, L=10 cm

f=1 5 GHzf=1.5 GHz

SL: Rs=20 nΩ

NL: σ=5 8e7 Ω-1m-1 (Cu)NL: σ=5.8e7 Ω 1m 1 (Cu)

Ua=1 MV

E =10 MV/mEa 10 MV/m

J1(2.405) ≈ 0.52

TM010-Mode: BeispielTM010 Mode: Beispiel

NormalleitungSupraleitung

Radiofrequenz-Quadrupole (RFQ)Radiofrequenz Quadrupole (RFQ)

RFQRFQ

Problem:

Strahl nach der Ionenquelle ist DC-Strahl mit kleiner Energie (1-100 keV)

Driftröhrenbeschleuniger benötigt gebunchten Strahl hinreichende hoher Energie (300 keV bis einigen MeV), je nach Frequenz

Früher:

Verwendung gepulster Gleichspannungsgeneratoren (z.B. Cockcroft-Walton)und Buncherstrukturen

RFQRFQ

Nachteile:

Nur gepulste Strahlen, kein Dauerstrichbetrieb geringerer mittlerer Strom

Große Vorbeschleuniger

Longitudinal kein sauberer Strahlg

RFQRFQ750 keV Cockcroft-Walton Generator für ProtonenProtonen

©Fermilab

RFQRFQ750 keV Cockcroft-Walton Generator für ProtonenProtonen und neuer RFQ

©Fermilab

RFQRFQ

Wünschenwert:

Vorbeschleuniger, der

• DC-Strahl zu 100% buncht

• Strahl fokussiert

• Strahl beschleunigt

RFQRFQ

Erfunden 1969 durch Tepliakov und KapchinskiyErfunden 1969 durch Tepliakov und Kapchinskiy

Durchbruch in der Beschleunigerphysik im Hinblick aufhohe mittlere Strahlströme für Protonen und Ionenhohe mittlere Strahlströme für Protonen und Ionen

Erster RFQ 1980 in Los Alamos realisiert

50% aller RFQ‘s weltweit aus Frankfurt (IAP)

Radiofrequenz-QuadrupoleRadiofrequenz Quadrupole

Radiofrequenz-Quadrupole

Mechanische Modulation führt zu longitudinalen l kt i h F ld B h d B hl i

Radiofrequenz Quadrupole

elektrischen Feldern zum Bunchen und Beschleunigen

RFQ TheorieRFQ Theorie

• Ableiten des Potentials im modulierten QuadrupolkanalQ p

• Berechnung der elektrischen Felder

• Aufstellung der Bewegungsgleichung

• Ladungsfreier Raum ohne Magnetfeld

• Quasi-statische Approximation

Separation der Variablen mittels des Ansatzes für das Potential

Durch Einsetzten dieses Ansatzes in die Laplace-Gleichung erhält man ein System von entkoppelten DGL:man ein System von entkoppelten DGL:

Dabei sind k und k zunächst unbekannte Konstanten

Dabei sind kθ und kz zunächst unbekannte Konstanten

Obwohl der modulierte Quadrupolkanal nicht perfekt periodisch ist,kann von „Quasi-Periodizität“ ausgegangen werden, da sich diekann von „Quasi Periodizität ausgegangen werden, da sich dieParameter wie Zellenlänge, Modulation und Apertur von Zelle zuZelle nur sehr langsam ändern.

Durch Einsetzen der Symmetriebedingungen in die entkoppeltenDGL erhält man schließlich die allgemeine Lösung der Laplace-DGL erhält man schließlich die allgemeine Lösung der LaplaceGleichung in einem Quadrupolkanal mit modulierten Elektroden(KV- bzw. Kapchinsky-Teplyiakov-Potential):

U A lit d i h d El kt dU0: Amplitudenspannung zwischen den ElektrodenI2n: Modifizierte Besselfunktion der Ordnung 2nK: Wellenzahl der sinoidalen ModulationA nd A Konstanten die sich a fgr nd derA0n und Aνn: Konstanten, die sich aufgrund derRandbedingungen ergeben und die von a und m abhängen

In Realität kann für einen RFQ das Potential vereinfachtgeschrieben werden, indem nur die beiden ersten Terme (n=1)geschrieben werden, indem nur die beiden ersten Terme (n 1)verwendet werden (2-Term-Potential):

Mit d P i di ität b di d d R db di dMit den Periodizitätsbedingungen und der Randbedingung, dassdie Elektrodenoberfläche eine Äquipotentialfläche ist, lassen sichA0n und Aνn bestimmen:

RFQ TheorieRFQ TheorieDurch Differenzieren des Potentials lassen sich die elektrischenFelder bestimmen:

k t i h

kartesisch

Der erste Term von Ex und Ey beschreibt den fokussierenden bzw.defokussieren Teil aufgrund des Quadrupolfeldes. während jeweils derzweite Term die HF-Defokussierung darstelltzweite Term die HF-Defokussierung darstellt.

Ez liefert die Beschleunigungskraft auf den Strahl

Für m=1 (unmoduliert) wird A10 bzw A null und wir erhalten denreinen Quadrupol ohne Beschleunigung.p g g

Für steigende Modulation m wächst A an. Dadurch steigen Ez undgleichzeitig die transversalen defokussierenden Terme, was zurAbschwächung der gesamtfokussierenden Kraft führt.

Energiegewinn pro Zelle:

Der Energiegewinn pro Zelle ist unabhängig von der Zellenlänge!!

Dadurch nimmt für höhere Teilchengeschwindigkeiten dieBeschleunigungseffizienz ab

RFQ nicht für Elektronen geeignet

Maximal einige Prozent der Lichtgeschwindigkeit

Bewegungsgleichung

Hillsche Gleichung vom Matthieu-Typ

wobei Ω<<ω und ε<<1 ist

Ω ist die Betatronfrequenz

Verlauf der Modulation für FAIR p-Linac RFQVerlauf der Modulation für FAIR p Linac RFQ

Beispiel einer StrahldynamiksimulationBeispiel einer Strahldynamiksimulation

352 MHz 4-Vane RFQ352 MHz 4 Vane RFQ

36 MHz IH-RFQ GSI36 MHz IH RFQ GSI

175 MHz cw 4-Rod RFQ (MYRRHA/FRANZ)175 MHz cw 4 Rod RFQ (MYRRHA/FRANZ)

217 MHz 4-Rod RFQ MedAustron217 MHz 4 Rod RFQ MedAustron

200 MHz Protonen 4-Rod-RFQ Fermilab200 MHz Protonen 4 Rod RFQ Fermilab

35 MHz Spiral-RFQ ISAC/TRIUMF35 MHz Spiral RFQ ISAC/TRIUMF

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