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Kapitel 11 - Wellen
11. Wellenlehre11.1 Harmonische Wellen
Definition: Gebilde, die harmonische Schwingungen ausführen können, bezeichnet man als harmonische Oszillatoren.
Kopplung gleichartiger harmonischer Oszillatoren durch Kopplungskräfte:
Versuch mit Wellenmaschine:
Hin und Herbewegen
y-Richtung
x-Richtung Die einzelnen Oszillatoren führen, um einen bestimmten Zeitabschnitt verschoben, gleiche Schwingungen aus.
Kapitel 11 - Wellen
Wir verwenden wieder die übliche mathematische Orientierung:
x
yy .... Schwingungsrichtung des einzelnen Oszillators.x .... Fortpflanzungsrichtung der Schwingungsbewegung.
Eine Welle entsteht, wenn eine Reihe gekoppelter Oszillatoren nacheinander gleichartige Schwingungen ausführt.
Wir unterscheiden:
Transversalwelle: Die Schwingungsrichtung (der Oszillatoren) steht normal auf die Fortpflanzungsrichtung.
Longitudinalwelle: Die Schwingungsrichtung (der Oszillatoren) steht parallel zur Fortpflanzungsrichtung.
Kapitel 11 - Wellen
Beispiel für Transversalwellen: Wellenmaschine.
Beispiel für Longitudinalwellen: Schallwellen in Luft.
Begriffe:
Amplitude der Welle = Amplitude des OszillatorsSchwingungsdauer der Welle = Schwingungsdauer des OszillatorsFrequenz der Welle = Frequenz des OszillatorsElongation der Welle = Elongation des Oszillators
Neue Begriffe:
Versuch: Langsames Hin- und Herbewegen des ersten Oszillators:
Schnelles Hin- und Herbewegen des ersten Oszillators:
Ergebnis: Die Entfernung zweier Wellenberge ändert sich.
Kapitel 11 - Wellen
x
y
λ ... Wellenlänge
= Abstand zweier Wellen-berge, bzw.Abstand zweier benach-barter gleichartiger Schwingungszustände.
bei Longitudinalwellen: Abstand zweier Verdichtungen.
Grundgleichung der Wellenlehre:
f
cTc c … Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle.
Beachte: c ≠ v (v .... Geschwindigkeit des Oszillators)
Kapitel 11 - Wellen
11.1.1 Mathematische Behandlung der Wellenbewegung:
Ausgangspunkt: harmonische Schwingung: y = y0·sin t
Im Ort x beginnt die Schwingung um die Zeit tx später.
y
y
Ort :x=0
Ort: x
t
t
xt x= c
t x
xx
x = c.t x
für Ort x = 0: tsinyy 0
für den Ort x: )]tt(sin[yy x0
)]c
xt(sin[yy 0 wir setzen :
ω = 2π/T
)]Tc
x
T
t(2sin[yy 0
Kapitel 11 - Wellen
)]Tc
x
T
t(2sin[yy 0
)]x
T
t(2sin[yy 0
Wellengleichung:
Dabei gibt die zeitliche Periodizität, die räumliche Periodizität an.
T
t
x
Diskussion:• für x = konst. : Jeder Schwingungszustand an der Stelle x kann berechnet werden. Videokamera mit Schlitzblende.• für t = konst. : Für einen bestimmten Zeitpunkt wird eine räumliche Aufnahme gemacht. (Schnappschuss mit Fotoapparat).
Kapitel 11 - Wellen
Aufgabe: Mache für die Zeitpunkte: t = 0 s; t = T/8 s; t = T/4 s;t = 3T/8 s; ... 7T/8 s; t = T s Momentaufnahmen an den Orten
x = 0; x = 1 cm; x = 2 cm; ... x = 8 cm
c=8 cm/s; T = 1 s; y0 = 1 cm
)]8
x
1
t(2sin[1y
Damit ergibt sich als Wellengleichung:8
T
4
T
8
T3
2
T
8
T5
4
T3
8
T7
T
0
Kapitel 11 - Wellen
8
T
4
T
8
T3
2
T
8
T5
4
T3
8
T7
T
00 1 2 3 4 5 6 7 8
Ort
Ze
itpun
kte
Entstehung einer Welle
λ = c∙T
)]8
x
1
t(2sin[1y
Kapitel 11 - Wellen
Kapitel 11 - Wellen
11.1.2 Überlagerung von Wellen:Versuch: Mit einer Installationsfeder erzeugen wir am einen Ende eine waagrechte Querstörung, mit dem anderen eine senkrechte Querstörung. Etwa in der Mitte treffen sich die beiden.
Zwei Wellen laufen übereinander hinweg ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. An der Überlagerungsstelle erhält man die Elongation der resultierenden Welle durch vektorielle Addition der El. der Einzelwellen.
Kapitel 11 - Wellen
Begriffe:
Schwingungsebene einer Transversalwelle: = Ebene, die von der Schwingungsrichtung und der Fortpflanzungsrichtung festgelegt ist.
Gangunterschied zweier harmon. Wellen mit gleicher Wellenlänge: = Abstand, um den die erste Welle vor der zweiten herläuft.
Beispiel: Überlagerung zweier harmonischer Wellen mit gleicher Schwingungsebene:a) Gangunterschied d = 0
x
y
x
x
1
y2
y
x
y
x
x
1
y2
y
Konstruktive Interferenz( Verstärkung )
Destruktive Interferenz( Auslöschung )
b) Gangunterschied d = λ/2
Kapitel 11 - Wellen
Die Schwebung:
Versuch:
Zwei Stimmgabeln, von denen die eine leicht verstimmt ist anschlagen. Mit Mikrophon und Oszillograph aufzeichnen ( Coach6-Versuch).
Ergebnis: Wir hören Lautstärkeschwankungen.
Eine Schwebung tritt auf, wenn sich zwei Wellen mit "benachbarten" Frequenzen überlagern.
Kapitel 11 - Wellen
Die Schwebung:
8Hz
9Hz
Kapitel 11 - Wellen
Mathematische Behandlung:
Wir halten einen Ort x fest und können daher nur die Schwingungen an diesem Ort betrachten.
Weitere Vereinfachung: die beiden Amplituden seien gleich groß y0.
Einzelschwingungen:
tsinyy 101 tsinyy 202
)tsint(sinytsinytsinyyyy 210201021 Zweiter Summensatz: )
2cos()
2cos(2sinsin
2
t)(sin
2
t)(cosy2y 2121
0
Bewirkt Amplituden-schwankung
bewirkt die Tonhöhe des gehörten Tones ( Mittelwert der Frequenzen der Einzeltöne.
Die Schwebungsfrequenz errechnet sich aus: 21S fff
Schwebungsgleichung
Kapitel 11 - Wellen
Anwendung der Schwebung:
Stimmen von Musikinstrumenten
Reine Schwebung, wenn die Amplituden der beiden Tonerzeuger gleich groß sind, sonst unreine Schwebung.
Kapitel 11 - Wellen
11.1.3 Fourier-Analyse
x
y
Jede Welle lässt sich eindeutig aus harmonischen Wellen zusammensetzen.
f(x) = A0 + A1 sinx + A2 sin2x + A3 sin3x + .... + B1 cosx + B2 cos2x + B3 cos3x + ...
x ... Grundfrequenz 2x, 3x, 4x, .... Oberfrequenzen
Zerlege die Rechteckwelle in eine Summe harmonischer Wellen!
Kapitel 11 - Wellen
x5cos5
1x3cos
3
1xcosy
x3cos3
1xcosy
xcosy
Kapitel 11 - Wellen
11.2 Reflexion von WellenVersuch: Mit Installationsfeder Störung von einem Ende zum anderen schicken.
1. festes Ende:
Wellenberg wird als Wellental reflektiert und umgekehrt. Es tritt ein Phasensprung auf.
Ist das Ende befestigt, kann das letzte Teilchen der Feder keine Schwingung senkrecht zur Feder ausführen. Kommt also ein Wellenberg an, so führen bereits die vorletzten Teilchen die ihnen nach oben erteilte Schwingung nicht voll aus, denn das feste Ende übt einen Zug nach unten auf sie aus, durch den sie einen Bewegungsantrieb nach unten erfahren. → Wellental.
Kapitel 11 - Wellen
2. loses Ende:
Wellenberg wird als Wellenberg reflektiert. Kein Phasensprung.
Ist das Ende lose, kann das letzte Teilchen der Feder die Schwingung senkrecht zur Feder voll ausführen. So als ob man diesem Teilchen eine ruckartige Bewegung nach oben erteilt hätte, die als Wellenberg zurückwandert.
Kapitel 11 - Wellen
Entstehung stehender Wellen
t = 0
4Tt
2Tt
43Tt
Tt
K K K KB B B
Eine Welle kommt von links, die andere von rechts. Die beiden überlagern sich.
Situation wie in einem begrenzten Medium.
Erkenntnis: Stehende Wellen entstehen nur in begrenzten Medien, wenn sich die Welle und die an der Mediengrenze reflektierte Welle überlagern.Es können sich dabei nur Wellen mit bestimmten Frequenzen (Eigenfrequenzen) ausbilden.
11.3 Stehende Wellen
Kapitel 11 - Wellen
11.3.1. Stehende Transversalwelle
Führe folgende Schülerversuche zur stehenden Welle aus:
Erregermotor wird an den Funktionsgenerator angeschlossen. (Sinus; x10; Amplitude ca. 0,5)
Frequenz langsam steigern, bis der Gummifaden in der Mitte besonders stark schwingt.
Kapitel 11 - Wellen
f 1 = ....
f 2 = ....
f 3 = ....
Länge l
Überprüfe die Ergebnisse mit folgender Berechnung:
Abstand zweier Knoten beträgt λ/2.
2l
und
f
c
l2
cf1
l2
cnfn Frequenzen der
stehenden Welle
22l 2
l2
c2f2 Zu f2:
Kapitel 11 - Wellen
Überprüfe die Ergebnisse mit folgender Berechnung:
Abstand zweier Knoten beträgt λ/2.
2l
und
f
c
l2
cf1
l2
cnfn Frequenzen der
stehenden Welle
22l 2
l2
c2f2 Zu f2:
f1 =
f2 =
f3 =
Länge l
f4 =
Kapitel 11 - Wellen
SeilschwingungsgerätSeilwellen
f1= l2
c
f2=2·f1
f3=3·f1
f4=4·f1
c=1·f1
1=2·l
Kapitel 11 - Wellen
11.3.2 Stehende Longitudinalwelle
Der Hebel des Schwingungserregers wird mit einem Gummi waagrecht gespannt, die Schraubenfeder wird in diesem Hebel eingehängt.
Verändere die Frequenz so, dass eine stehende Longitudinalwelle entsteht!
Auch hier ist zu erkennen, dass sich nur bei ganz bestimmten Frequenzen stehende Wellen ausbilden.
Kapitel 11 - Wellen
Beispiele für stehende Wellen:
Saiten bei Saiteninstrumenten
Hier gilt eine empirische Formel:
l ... Länge der SaiteF ... Spannkraftρ ...Dichte des SaitenmaterialsA ... Querschnitt des Saitenmat.
A
F
l2
1f
Kapitel 11 - Wellen
11.3.3 Stehende Wellen in Luftsäulen:Versuch:
l
Der Kolben wird so lange verschoben, bis ein lauter Ton hörbar ist.
1. Ergebnis: l = 19 cm
2. Ergebnis: l = 57 cm (also das dreifache)
Am festen Ende ist stets ein Knoten, am offenen ein Bauch.
Daher ist das erste Ereignis folgendermaßen anzugeben:
4l
f4
cl
Daraus lässt sich die Schallgeschwindigkeit in Luft berechnen:
c = 4·l·f c = 4·0,19·440 = 334,4m/s
Kapitel 11 - Wellen
Gedeckte und offene Pfeifen Frequenz bei gedeckter Pfeife: )1k2(
l4
cf
Frequenz bei offener Pfeife: kl2
cf
Funktion der Zungenpfeife: Die Zunge schwingt mit ihrer Eigenfrequenz und regt dadurch die Luftsäule zu periodischen Schwingungen an.Beispiele: Mundharmonika, Oboe, Fagott, Klarinette
Kapitel 11 - Wellen
Funktion der Lippenpfeife: Die Luft wird durch den Spalt gegen die Lippe geblasen. Die Luftwirbel dringen teilweise in die Pfeife ein und bringen die Luftsäule zum Schwingen. Die Schwingungen steuern nun die Wirbelablösung periodisch.
Kapitel 11 - Wellen
EndeEnde
Offene und gedeckte PfeifenOffene Pfeifen Gedeckte Pfeifen
f1= l2
c
f2=2·f1
f3=3·f1
f4=4·f1
f1= l4
c
f2=3·f1
f3=5·f1
f4=7·f1
Kapitel 11 - Wellen
Orgel
Kapitel 11 - Wellen
11. 4 Ausbreitung von Wellen11.4.1 Huygenssches Prinzip
Dabei geht es um ein Modell zur Ausbreitung von Wellen.
Wellenstrahl
Wellenfläche
Ein sich periodisch bewegender Stift erregt konzentrische Wellen.
Da sie von einem Punkt ausgehen werden sie Elementarwellen bezeichnet.
Die Punkte gleicher Schwingungsphase werden als Wellenflächen bezeichnet.
Kapitel 11 - Wellen
Wel
len
vorg
äng
e
Kapitel 11 - Wellen
Versuche:
Bei beiden Versuchen:
Die Öffnung wird zum Ausgangspunkt einer Elementarwelle.
Huygenssches Prinzip:Jeder Punkt einer Wellenfläche ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle.Die Einhüllende der Elementarwelle ergibt eine neue Wellenfläche.
Wellenfläche
Kapitel 11 - Wellen
11.4.2 Reflexion von Wellen:
"AAC"C
Die Dreiecke ACC" und C"A"A sind ähnlich.
Da sogar die Strecken gleich lang sind, sind sie kongruent und daher:
α = α´ Reflexionsgesetz
Einfallender und reflektierter Wellenstrahl schließen mit der Normale zur Wand gleiche Winkel ein. Einfallender und reflektierter Wellenstrahl liegen mit der Normalen in einer Ebene.
Kapitel 11 - Wellen
11.4.3 Brechung von Wellen
Ein Modell wäre: Auto kommt mit der einen Seite aufs Bankett, dadurch wird es auf einer Seite abgebremst, es erfährt eine Richtungsänderung.
"AC
tcsin 1
"AC
tcsin 2
ntc
tcsin
sin2,1
2
1
Brechungsgesetz von Snellius
c1·t
Kapitel 11 - Wellen
11.4.4 Interferenz von WellenVersuch mit Wellenwanne: Zwei punktförmige Erreger schwingen gleichphasig.
Kapitel 11 - Wellen
Ergebnis: Wo zwei Wellenberge, bzw. zwei Täler zusammentreffen, kommt es zur Verstärkung.
Verstärkung: NiiPFPFs 21
Auslöschung: Ni2
)1i2(PFPFs 21
Zwei gleichartig erregte Wellen löschen einander im Punkt P aus, wenn ihr Gangunterschied ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge ist. Sie verstärken sich, wenn ihr Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge ist.
Dasselbe Ergebnis wird erzielt, wenn statt der zwei Erreger zwei Spalte verwendet werden, auf die von der einen Seite eine ebene Welle läuft.
Konfokale Hyperbeln
Kapitel 11 - Wellen
11.4.5 Beugung von Wellen
Versuch mit Wellenwanne: Verschieden breite Spalte.
Ergebnis: Hinter dem Spalt ist kein scharf begrenzter Schattenraum.
Die Abweichung von der geradlinigen Ausbreitung nennt man Beugung.
Dabei kommt es auf das Verhältnis zwischen Wellenlänge und Spaltöffnung (Hindernisgröße) an.
Beugungsbedingung: d
Kapitel 11 - Wellen
Beispiel:Schallwellen: Versuch: Man kann um die Ecke herum hören, aber nicht sehen.Berechne die Wellenlänge für Schallwellen für 100Hz, 1000Hz, 3000HzErkenntnis: bei höheren Frequenzen haben wir Richtwirkung. Wichtig bei Beschallung: (Kalottenhochtöner)
Kapitel 11 - Wellen
11.5 AkustikSchallwellen sind in Gasen und in Flüssigkeiten Longitudinalwellen. In festen Körpern treten wegen der Kopplungskräfte auch Transversalwellen auf.
Die Schallgeschwindigkeit hängt vom Medium ab.
Medium Schallgeschwindigkeit
Luft bei 0°C 331m/s
Luft bei 20°C 343m/s
Wasserstoff 1300m/s
Wasser 1485m/s
Kapitel 11 - Wellen
Kapitel 11 - Wellen
Versuch mit Lochsirene:
Bläst man nur eine Reihe an und erhöht die Winkelgeschwindigkeit, so wird der Ton höher.
Die Tonhöhe wird durch die Frequenz der Schallwelle festgelegt.
Bläst man alle vier Lochreihen an, so hört man eine bestimmte Tonfolge (Dreiklang + Oktave). Die Charakteristik dieser Tonfolge ändert sich auch bei Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit nicht.
Das Intervall zweier Töne wird durch das Frequenzverhältnis festgelegt.
32242016
Luft
Kapitel 11 - Wellen
Festlegung des Kammertones a': f(a') = 440Hz
c' d' e' f' g' a' h' c"
264 297 330 352 396 440 495 528
1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
Dur-Tonleiter
Bei der Violine ergeben sich für die beiden Töne des und cis verschiedene Frequenzen. Beim Klavier ist das nicht möglich.
→ temperierte Stimmung. Man unterteilt die Oktave in 12 gleichwertige Halbtonschritte.
Das Frequenzverhältnis zweier Halbtonschritte beträgt q = = 1,05946...
12 2
c' d' e' f' g' a' h' c"
262 294 330 349 392 440 494 523
q² q² q q² q² q² q
Kapitel 11 - Wellen
11.5.1 Begriffe
f
y
Ton: wird durch eine sinusförmige Schwingung erzeugt.
Frequenzspektrum:
Klang: Ist eine beliebige nicht sinusförmige periodische Schwingung. Nach Fourier ist sie zerlegbar in eine Summe von harmonischen Tönen. Die Frequenzen dieser Töne verhalten sich zueinander ganzzahlig.
f
y
Analyse eines Klanges: Mikrophon und Filter. Vgl. Versuche zu Fourier
Frühere Methode: Helmholtzsche Resonatoren. (Bei Erregerfrequenz = Eigenfrequenz ist die Empfindung am größten.
Kapitel 11 - Wellen
Geräusch: Die enthaltenen Frequenzen unterliegen keiner Gesetzmäßigkeit. Unperiodischer Vorgang.
Frequenzspektrum:
Knall: enthält kurzzeitig alle Frequenzen eines großen Bereichs
f
y
Schallarten:
Infraschall: <16Hz ; tritt bei Erdbeben, bei fahrenden Autos mit leicht geöffnetem Fenster auf. (sehr unangenehm)Hörschall: 16Hz - 20kHz (= Hörbereich des Menschen; obere Grenze nimmt mit dem Alter ab.
Versuch: Hörbereich testen.
Kapitel 11 - Wellen
(vgl. Basiswissen 6RG Abb. 100.4)
Kapitel 11 - WellenSchallerzeugung
Hz
Schallwahrnehmung
101 102 103 104 105
20 – 20.000 Hz
85 – 1.100 Hz
30 – 4.100 Hz
15 – 40.000 Hz
450 – 1000
250 – 21.000 Hz
2.000 – 13.000 Hz
400 – 200.000 Hz
50–150kHz
2.000 – 150.000 Hz
10.000 – 120.000 HZ
Schallwahrnehmung und -erzeugung
Kapitel 11 - Wellen
Ultraschall: > 20kHz
Erzeugung mit Galtonpfeife;
Inverser piezoelektrischer Effekt;
Magnetostriktion (Längenänderung von Nickel bei Anlegen eines wechselnden Magnetfeldes) Lies dazu B. S. 89
Kapitel 11 - Wellen
PiezoeffektPiezoeffektPiezoeffektPiezoeffekt Piezoeffekt
Deformation erzeugt Spannung.
Eine angelegte Spannung bewirkt eine Deformation.
Kapitel 11 - Wellen
Titel: Ultraschall
Kapitel 11 - Wellen
MaterialkontrolleMaterialprüfungMaterialprüfung
PVC-Rohr PVC-Rohr mit einer Fehlstelle
Frequenz 5MHz, Signalgeschwindigkeit ca. 2000m/s
Kapitel 11 - Wellen
In den Ultra Clean®-Reinigungsanlagen erzeugen Hochleistungs HF-Generatoren über PZT-Schwinger mikroskopisch kleine Kavitationsblasen in der wässrigen Reinigungsflüssigkeit.
Im Inneren der Kavitationsblasen entsteht für Mikrosekunden ein extremes Vakuum und Temperaturen bis zu 5000 °C.
Bei der anschließenden Implosion der Kavitationsblase werden gewaltige Energien freigesetzt. Diese wirken wie Billionen Mikrobürsten, die bis zu 40.000 mal pro Sekunde das Reinigungsgut bearbeiten.
Eine vielfach vergrößerte Kavitationsblase im Moment ihrer Implosion.
UltraschallreinigungUltraschallreinigungUltraschallreinigung
Kapitel 11 - Wellen
UntersuchungUltraschall-Untersuchung bei SchwangerenUltraschall-Untersuchung bei Schwangeren
Kapitel 11 - Wellen
12 Wochen (5cm) 17 Wochen (10cm)
12 und 17 Wochen
Kapitel 11 - Wellen
20 Wochen Herz
20 Wochen – Herz
Daumenlutscher
Fuß Rückgrat erhobener Zeigefinger
Zwillinge
Kapitel 11 - WellenNabelschnurEndeEnde
Ultraschall DopplerUltraschall DopplerUltraschall Doppler
Objekt bewegt sich auf Welle zu
Objekt entfernt sich von der Welle
Frequenz erhöht sich
Frequenz vermindert sich
Kapitel 11 - Wellen
11.5.2 Empfindlichkeit des menschlichen Gehörs:
Schallstärke ist jene Energie, die je Sekunde in senkrechter Richtung durch 1 Quadratmeter tritt.
Der Schwellenwert liegt bei 10-12 W/m².
Die Schallstärke ist ein absolutes Maß. Da die Schallstärke von Schallereignissen sich über mehrere Zehnerpotenzen erstreckt, wird ein relatives Maß eingeführt. (Man kommt zu handlichen Zahlen.
Schallpegel
2
2
mW12
0
mW
10I
Ilog10L
L ist das Verhältnis der Schallstärke zur Bezugsschallstärke.Maß von [L] 1 DeziBel ( 1 dB)
Die Unterscheidungsmöglichkeit des menschlichen Gehörs beträgt etwa 1dB.
Kapitel 11 - Wellen
Nachteil:
Die Empfindlichkeit des menschlichen Gehörs ist frequenzabhängig. Es ist bei 4000Hz am empfindlichsten, bei sehr tiefen und sehr hohen Frequenzen sehr unempfindlich.Daher führt man eine weitere Größe ein, die diese Eigenschaft berücksichtigt.
Lautstärke ist gleich dem Schallpegel, bezogen auf einen 1000Hz Ton.Einheit: 1 phon (oder 1 dBA)
Dies führt zu Kurven gleicher Lautstärke. (Durch empirische Messungen ermittelt.)
Kapitel 11 - Wellen
Kurven gleicher Lautstärke
Kapitel 11 - Wellen
Hörkurven
Kapitel 11 - Wellen
Stereohören
Kapitel 11 - Wellen
EndeEnde
Schallpegel
20 dB
100 dB
120 dB
140 dB
80 dB
60 dB
40 dB
Flüstern
Knallkörper
Walkman
Rockkonzert
Flugzeugstart
Düsentriebwerk
Verkehrslärm
Presslufthammer
Unterhaltung
Schädigung
Schmerzschwelle
Gefährdung
Hörschwelle
Kapitel 11 - Wellen
Beispiel:
Ein Moped hat eine Lautstärke von 80 dBA. 15 Schüler einer Klasse kommen gleichzeitig mit einem Moped zu einer Party. Berechne die Lautstärke aller Mopeds zusammen!
0I
Ilog10L
10:10
Ilog1080
12
128
10
I10 24 Wm10I
15 Mopeds ergeben: 15·I = 15·10-4 = 1,5·10-3 Wm-2
Wir setzen ein:
dBA8,91)95,1(log10)105,1log(1010
105,1log10L 9
12
3
15
Kapitel 11 - Wellen
Christian Doppler (1803 – 1853)Christian Doppler (1803 – 1853)
11.6 Der Dopplereffekt
Kapitel 11 - Wellen
11.6 Der Dopplereffekt
S v B
c .f
S ... Schallquelle (ruht)
B ... Beobachter (bewegt)
Kann bei vorbeifahrenden Fahrzeugen gehört werden.
Wir unterscheiden 2 Fälle:
1. Fall: Quelle ruht, Beobachter bewegt.
Am ruhenden Beobachter würden in 1s die auf der Strecke SB = c=·f liegenden f Wellenberge vorbeilaufen.Der bewegte Beobachter durchsetzt zusätzlich v/ Wellenberge.
)c
v1(f
c
fvf
vff
Bewegt sich der Beobachter weg, wird die Frequenz tiefer ( - in Formel)
)c
v1(ff + ... bei Nähern an die Schallquelle
- ... bei Entfernen von der Schallquelle
Kapitel 11 - Wellen
2. Fall: Quelle bewegt, Beobachter ruht.
v B
c
S ... Schallquelle (bewegt)
B ... Beobachter (ruht)
01243
1c-v
B1 2
In 1s verschiebt sich S um v nach links. In den Punkten 1, 2, 3, 4 werden weitere Wellenberge erregt. Bild für t = 1s.
Dadurch gelangt zum Beobachter eine Welle mit kürzerer Wellenlänge 1
Kapitel 11 - Wellen
v B
c
S ... Schallquelle (bewegt)
B ... Beobachter (ruht)
01243
1c-v
B1 2 f
vc1
)
cv
1
1(f)
vc
c(f
vc
fccf
11
cv1 1
1ff
Bewegt sich die Schallquelle weg, so wird der Ton tiefer.
- ... bei Nähern der Schallquelle+ ... bei Entfernen der Schallquelle
Kapitel 11 - Wellen
Beispiel:Bei einem Autorennen vernimmt man beim Vorbeifahren eines Autos eine Quart (4/3).Berechne die Geschwindigkeit des Autos!
Anleitung: Frequenz, die man beim Nähern hört:
Frequenz, die man beim Entfernen hört:
)1
1(ff
cv1
)1
1(ff
cv2
f1 : f2 = 4:3 3f1 = 4f2
)vc
c(f4)
vc
c(f3
3(c + v) = 4(c - v)
7v = c
7c
v v = 47,14m/s = 169,7km/h
Kapitel 11 - Wellen
11.6.1 Anwendungen des Dopplereffekts:
Bewegte Objekte reflektieren eine Welle mit veränderter Frequenz.
• Dies wird zum Nachweis für die Bewegung von Gestirnen verwendet (Optik: Rotverschiebung)• Radar zur Geschwindigkeitsmessung
ruhendes Objekt
sich näherndes Objekt
sich entfernendes Objekt
Kapitel 11 - Wellen
Geschwindigkeitsmessung mit Doppler-EffektMoped fährt mit eingeschalteter Hupe vorbei. Mit Mikrophon wird der Ton ca. 10 m vor der Messstelle (Nähern) bis 10m nach der Messstelle (Entfernen) aufgenommen.
Kapitel 11 - Wellen
Geschwindigkeitsmessung mit Doppler-Effekt
h/km27,31s/m687,833035883782
35883782c
ff
ffv
21
21
Kapitel 11 - Wellen
c
v1
1ff
QQB
11.6.2 Sonderfall: Überschall
Kapitel 11 - Wellen
11.6.2 Sonderfall: Überschall
v B
v = c
0124 3B1 2
Die Frequenz f1 geht gegen unendlich.
v=2c
v > c
0124 3
Erdoberfläche
c
v > c Die Wellenfront der Schallwellen bildet einen Kegel, der Machscher Kegel (Mach Ernst 1838-1916) genannt wird. Der Öffnungs-winkel dieses Kegels errechnet sich mit:
v
c
tv
tcsin
Trifft die Wellenfront des Machschen Kegels die Erdoberfläche, so ist der Überschallknall (sonic boom) hörbar. (Schmerzgrenze, Fenster zerspringen bei großen Flugzeugen)
Machzahl M
Kapitel 11 - Wellen
Das Verhältnis der Flugzeuggeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit wird als Machzahl M angegeben:
Auch ein Peitschenknall ist eine Folge eines Überschallknalls.
c
vM
Kapitel 11 - Wellen
Kopfknallwelle eines Geschoßes
Kopfknallwelle eines Geschoßes
Kapitel 11 - Wellen
Flugzeug im Überschallflug
Knalllinie
Flug- lärm lärmfreie
Zone
Kapitel 11 - Wellen
Durchbrechen der Schallmauer
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