11.Wellen 6L8.1. Überlagerung von gleichlaufenden harmonischen Wellen Zwei identische ebene harmonische Wellen sollen sich in derselben Richtung (hier: x Richtung) bewegen. Uns interessiert,

11.Wellen 6L

1. Beispiele

Wellen sind kleine lokale Bewegungen, die sich im Raum ausbreiten. Dabei wird Ener-gie und evt. Information transportiert, aber keine Materie (wie bei einer Strömung).

Nennen Sie einige Beispiele von Wellen:

Oft stehen am Ursprungsort einer Welle lokale Schwingungen, die sich dann als peri-odische Muster im Raum ausbreiten. Es existieren aber auch Stoss-, oder Schockwel-len. Dank der Fourierzerlegung lassen sich Wellen in harmonische Teilwellen gliedern.

2. Polarisation

Die Richtung des Energietransports der Welle ist für jeden Ort im Raum bestimmt. Wenn auch die beteiligten Teilchen (oder Feldgrössen) sich parallel zu dieser Richtung bewegen, spricht man von einer Längswelle oder Longitudinalwelle (zB Kompressi-onswellen wie die Schallwellen in Luft).

Falls die beiden Richtungen senkrecht aufeinander stehen, handelt es sich um eine Querwelle oder Transversalwelle (Welle entlang gespanntem Seil, La OLA im Fuss-ballstadion).

Wasserwellen

Schallwellen

Elektromagnetische Wellen

Erdbebenwellen

Seilwellen

Wellenlehre - 4 FHBB mü

Wenn man nun die Ausbreitungsrichtung der ganzen Welle betrachtet und sie mit der Auslenkungsrichtung

der einzelnen Teilchen vergleicht, dann kann man zwei Sorten Wellen unterscheiden.

1) Bei den Transversalwellen oder Querwellen sind die beiden Richtungen senkrecht zueinander. Beispiele

dafür sind die Seilwelle und die elektromagnetischen Wellen. Die Wasseroberflächenwellen sind nur in

erster Näherung Querwellen, da sich die Wasserteilchen eigentlich auf Ellipsenbahnen bewegen.

2) Bei den Longitudinalwellen oder Längswellen sind die Wellenausbreitungsrichtung und die Richtung der

Auslenkung der einzelnen Teilchen parallel zueinander. Beispiel: Schallwellen in Luft, Schraubenfeder bei

Anregung längs der Federachse.

Unten sind mikroskopische Bilder für eindimensionale Transversalwellen und Longitudinalwellen gezeigt.

Die Ausbreitung der Störung findet jeweils mit einer charakteristischen Geschwindigkeit v statt, die wir nach-

her noch genauer diskutieren wollen.

Transversalwelle Longitudinalwelle

Ort

Zeit

Ort

Zeit

Die folgenden Bilder zeigen sinusförmige Transversal- und Longitudinalwellen, wie sie zum Beispiel bei

Licht und bei Luftschall auftreten.

xy

z

x


Wenn man nun die Ausbreitungsrichtung der ganzen Welle betrachtet und sie mit der Auslenkungsrichtung

der einzelnen Teilchen vergleicht, dann kann man zwei Sorten Wellen unterscheiden.

1) Bei den Transversalwellen oder Querwellen sind die beiden Richtungen senkrecht zueinander. Beispiele

dafür sind die Seilwelle und die elektromagnetischen Wellen. Die Wasseroberflächenwellen sind nur in

erster Näherung Querwellen, da sich die Wasserteilchen eigentlich auf Ellipsenbahnen bewegen.

2) Bei den Longitudinalwellen oder Längswellen sind die Wellenausbreitungsrichtung und die Richtung der

Auslenkung der einzelnen Teilchen parallel zueinander. Beispiel: Schallwellen in Luft, Schraubenfeder bei

Anregung längs der Federachse.

Unten sind mikroskopische Bilder für eindimensionale Transversalwellen und Longitudinalwellen gezeigt.

Die Ausbreitung der Störung findet jeweils mit einer charakteristischen Geschwindigkeit v statt, die wir nach-

her noch genauer diskutieren wollen.

Transversalwelle Longitudinalwelle

Ort

Zeit

Ort

Zeit

Die folgenden Bilder zeigen sinusförmige Transversal- und Longitudinalwellen, wie sie zum Beispiel bei

Licht und bei Luftschall auftreten.

xy

z

x

HLS Physik FHNW, mü Wellen

S. 1

Bemerkung: Wasser-Oberflächenwellen sind keine reinen Querwellen sondern eine Mischung aus- Quer und Längswellen.

Falls die Auslenkungsrichtung einer Querwelle nur in eine feste Richtung zeigt, ist die Welle linear polarisiert. Bei mechanischen Wellen kann diese Polarisation mit einem Führungsspalt geschehen, welcher die Auslenkungsrichtung einschränkt. Bei elektro-magnetischen Wellen (zB Licht) geschieht dies zB mittels Polaroidfolien, bestehend aus langgestreckten Molekülen, die parallel ausgerichtet sind. Weitere Möglichkeiten bei Licht: Flüssigkristalle in elektrischem Feld oder Reflexion von Licht unter dem Brewster- oder Polarisationswinkel.

Linearpolarisation wird nachgewiesen, indem man die Welle durch einen Polarisator (=Analysator) schickt und die Polarisationsrichtung variiert. Es entsteht eine winkelab-hängige Signalintensität, falls die Welle polarisiert war. Auf diese Art kann auch eine Änderung der Polarisationrichtung nachgewiesen werden (optische Drehung in optisch aktiven Substanzen)

Auch Zirkularpolarisation ist eine Möglichkeit für Querwellen. Dabei werden zwei senk-recht zueinander stehende linear polarisierte Wellen so präpariert, dass sie einen Pha-senunterschied von λ/4 aufweisen. Dadurch kommt es zu einer drehenden Wellenbe-wegung wie bei einem Zapfenzieher (Schraubenlinie).

3. Interferenz

Wellen lassen sich überlagern. Wenn an einem Ort zwei Wellenauslenkungen gleich-zeitig wirksam sind, dann wird die vektorielle Summe der Auslenkungen eingenommen. Dies zumindest im sogenannten linearen Auslenkungsbereich.


Auch Licht lässt sich polarisieren. Auf diese Art kann man beweisen, dass Licht eine Transversalwelle ist. Die

Polarisation lässt sich zum Beispiel mittels Kunststoff-Folien erzeugen, die bei der Herstellung in einer

Richtung mechanisch gestreckt wurden. Dadurch wurden die langen Kunststoffmoleküle in der Folie gegen-

seitig ausgerichtet. Wenn nun die Lichtwelle durch die Folie tritt, wird sie ähnlich wie bei der Seilwelle und

dem Spalt nur in einer Schwingungsrichtung vollständig durchgelassen, nach dem Durchgang durch die Fo-

lie ist das Licht somit linear polarisiert.

Lichtpolarisation durch Reflexion: Licht, das an einer Glas- oder Wasseroberfläche reflektiert wird, ist teil-

weise (unter der Brewster-Bedingung sogar vollständig) polarisiert. Vergleichen Sie dazu auf der Physik-CD

das Kapitel Optik - Fresnel'sche Formeln.

Auch das blaue Licht des Himmels, das durch Lichtstreuung des Sonnenlichts an den Luftmolekülen entsteht,

ist linear polarisiert. Informationen zum Streuvorgang finden sich auf der Physik-CD im Kapitel Elektri-

zitätslehre - Hertz'scher Dipol.

Einrichtungen, die Licht linear polarisieren, nennt man Polarisator. Mit demselben Instrument kann man

auch untersuchen, ob Licht bereits polarisiert ist, und in welcher Richtung es polarisiert ist. Man nennt es in

dieser Form dann Analysator, da man das Licht damit analysiert. Falls der Analysator in einer bestimmten

Orientierung kein Licht durchlässt, dann war das einfallende Licht senkrecht zur Richtung des Analysators

vollständig linear polarisiert.

Dieses Experiment findet Anwendung in chemischen Labors zur Untersuchung der optischen Drehung. Damit

ist das Phänomen gemeint, dass gewisse Substanzen, so genannte optisch aktive Substanzen, die Polarisati-

onsrichtung des Lichts drehen können. Der Drehwinkel ist dabei unter anderem konzentrationsabhängig. Mit

einem Polarisator vor der Substanz und einem Analysator hinter der Substanz kann der Drehwinkel bestimmt

werden und damit auf die Konzentration geschlossen werden.

EinfallendesLicht

Polarisator

Analysator

Durchgelassenes Licht

optisch aktive Substanz

Wie oben beschrieben ist auch Licht, das an ebenen Oberflächen reflektiert wird, mindestens teilweise linear

polarisiert. Darauf beruht die Wirkung von Polarisations-Sonnenbrillen, die Reflexionen an Wasseroberflä-

chen oder Glasscheiben stark reduzieren. Auch in der Photographie werden Polarisationsfilter eingesetzt, die

Reflexionen auf Brillengläsern, Vitrinen etc. reduzieren. Auch das teilweise polarisierte Himmelsblau kann

dadurch abgedunkelt werden (Hochgebirgsphotographie).

LCD Anzeige (Liquid Cristal Device). Bei einer Flüssigkristall-Drehzelle nach Schad-Helfrich befindet sich in

einem 5µm bis 15µm breiten Raum zwischen zwei Glasplatten ein nematischer Flüssigkristall. Die Glas-


Neben der Linearpolarisation gibt es weitere Polarisationsarten, wie zum Beispiel die Zirkularpolarisation und

die elliptische Polarisation. Dabei wird aus einer sinusförmigen Transversalwelle zwei Teilwellen erzeugt, die

senkrecht zueinander linear polarisiert sind und eine Phasenverschiebung von ! 2aufweisen. Die Überlage-

rung dieser Welle erzeugt eine Art fortlaufende Schraubenlinie, wie sie auf der Physik-CD im Kapitel "Wellen

/ Polarisation" gezeigt ist.

xy

z

x

Übungen

1) Die Rotation der Polarisationsebene einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle pro

Gramm Zucker, das in einem cm3 Wasser aufgelöst wird, ist 66.5˚ pro cm Weglänge. Ein 30.0 cm langes

Rohr enthält eine Zuckerlösung mit 1.50 g pro 100 cm3 Lösung. Bestimmen Sie den Rotationswinkel des

polarisierten Lichtes.

2) Wenn Licht so auf eine Glasoberfläche trifft, dass der reflektierte und der gebrochene Lichtstrahl

senkrecht aufeinander stehen, dann ist das reflektierte Licht vollständig polarisiert. Der zugehörige

Einfallswinkel heisst Brewsterwinkel oder Polarisationswinkel. Berechnen Sie den Brewsterwinkel für

den Lichtübergang Luft -> Wasser mit nWasser = 1.33.


S. 2

Diese Tatsache kann zur örtlichen Auslöschung von Wellenbewegungen genutzt wer-den (zB aktive Schalldämpfung) oder zur Verstärkung der Ausbreitung in bestimmte Richtungen (Richtstrahltechnik).

Harmonische Wellen sind Wellen mit einem sinusförmigen Verlauf. Sie besitzen eine örtliche Periodizität: die Wellenlänge λ, und eine zeitliche Periodizität (an jedem Ort), ausgedrückt durch die Frequenz f.

Die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit v liefert den wichtigen Zusammenhang zwi-schen Frequenz und Wellenlänge bei harmonischen Wellen:

v = λ ⋅ f Frequenz und Wellenlänge bei harmonischen Wellen.

Wir reden nun in den folgenden drei Abschnitten von der Überlagerung identischer harmonischer Wellen. Lediglich die Ausbreitungsrichtung und die Phasenlage der inter-ferierenden Wellen kann unterschiedlich sein.

• Interferometer

Wir betrachten in diesem Abschnitt parallel laufende ebene harmonische Wellen. Beim Interferometer wird dazu eine Welle mit einem Wellenteiler in zwei gleiche Anteile aufgetrennt, welche über zwei unterschiedliche Wege geleitet werden. Danach werden die beiden Wellenteile wieder parallel zusammengeführt. Wenn sie genau denselben Weg gelaufen sind, dann entsteht wieder die Originalwelle. Wenn aber die beiden We-ge unterschiedlich sind (Δx ≠0), können Phasenunterschiede auftreten. Die Summen-welle wird sogar ganz ausgelöscht, falls der Phasenunterschied λ/2 beträgt.

Eine kontinuierliche Vergrösserung des Wegunterschieds Δx ergibt somit für kleine Δx eine periodische Variation der Intensität des zusammengeführten Strahls, Periodizität: λ/2. (vgl. die Filme im Online-Teil der Vorlesung).

Michelson Interferometer

Wichtig ist: Wenn der Wegunterschied ein mehrfaches von λ ist, dann kommt es nur dann zur Interferenz, wenn die Kohärenzlänge der Welle, das heisst die Länge jedes Sinus-Wellenzugs, grösser ist als der Wegunterschied. Bei Laserstrahlung ist das nor-malerweise der Fall, während es bei Glühlampenlicht etc nicht ausreicht:


8.1. Überlagerung von gleichlaufenden harmonischen Wellen

Zwei identische ebene harmonische Wellen sollen sich in derselben Richtung (hier: x Richtung) bewegen.

Uns interessiert, welche Wellenbewegung nach der Überlagerung resultiert.

Mathematisch äussert sich die Überlagerung in der Addition von y1(x,t) und y2 (x,t) mit

y1(x,t) = A ! cos(kx " #t + $1) und y2 (x,t) = A ! cos(kx " #t + $2 ).

Die beiden konstanten Phasen $1 und $2 unterscheiden sich normalerweise. Wenn aber $1 " $2 = 2N ! %

( N : ganze Zahl), dann sind die beiden Wellenbewegungen an allen Orten und zu allen Zeiten identisch und es

gilt:

y1(x,t) + y2 (x,t) = 2A ! cos(kx " #t + $1) (Konstruktive Interferenz)

Die Summenwelle besitzt doppelte Amplitude wie die beiden ursprünglichen Wellen.

Wenn $1 " $2 = 2N + 1( ) ! % ( N : ganze Zahl), dann erzeugen die beiden Wellen jeweils gegensätzliche Aus-

lenkungen. Deshalb erhalten wir:

y1(x,t) + y2 (x,t) = 0. (Destruktive Interferenz)

Die Wellen löschen sich aus, die Summenwelle ist für alle Zeiten und Orte Null, wir erhalten destruktive In-

terferenz. Die relative Phasenlage bestimmt also, ob die Welle verstärkt oder ausgelöscht wird. Je nach Wert

von $1 " $2 können natürlich auch alle Zwischenwerte erreicht werden.

8.1.1. Michelson Interferometer

Ein Experiment, mit dem diese Überlagerung benutzt wird, ist das Michelson Interferometer.

Wellensender

halbdurchlässiger!Spiegel

fester Spiegel

beweglicher Spiegelx

Detektor


S. 3

Fehlende Kohärenz bei Glühlampenlicht

Interferenzkontrast bei der Mikroskopie durchsichtiger Objekte

Antireflexschichten auf Gläsern,

Weitere Beispiele: Interferenzschalldämpfer bei Auspuffanlagen, FT IR Spektrometer, Farbige Seifenblasen und Öllachen.


Nur Laserlicht besitzt eine "Kohärenzlänge", die mehrere Meter lang sein kann, sodass wesentlich schönere

Interferenzergebnisse möglich sind.

Mit dem Interferometer können also Positionsänderungen aufgrund von Deformationen etc. auf Bruchteile

von Laserwellenlängen genau gemessen werden (Werkstoffprüfung, Vermessung).

Ausserdem kann mit dem Interferometer ein Gemisch von Wellen analysiert werden. Das geschieht folgen-

dermassen: Wenn ein Gemisch von harmonischen Wellen durch ein Interferometer geschickt wird, und die

beiden Lichtwege exakt gleich lang sind, dann gelangt das Gemisch wieder in seiner ursprünglichen Zusam-

mensetzung zum Detektor. Es wird ein intensives Empfangssignal gemessen. Beim Verschieben des bewegli-

chen Spiegels werden nun aber gewisse Wellenlängen abgeschwächt, andere verstärkt, und die Verstärkung

wiederholt sich für jede Wellenlänge periodisch sobald !x = " 2. Wenn man die Signalintensität im Detektor

als Funktion der Verschiebungsdistanz x des Spiegels aufträgt, ergibt sich also eine komplizierte Überlage-

rung (ein "Interferogramm") der verschiedenen Signale, sie sieht etwa folgendermassen aus:

2 4 6 8 10x / m

-1

1

2

3

4

5

I / W

Da dieses Interferogramm aber eigentlich eine mathematische Addition der verschiedenen Wellen darstellt,

kann man dieses Signal nach seinen Wellenlängen analysieren (Fouriertransformation) und erhält das Spek-

trum (die Wellenlängenverteilung) der ursprünglichen Welle. Dieses Verfahren wird bei der FT IR Spektro-

metrie eingesetzt, bei der "normale" Methoden der Spektrenerzeugung mittels Prisma oder Gitter schlecht

funktionieren.

8.1.2. Seifenblasen, Oelflecken im Wasser

Ganz ähnliche Effekte können auftreten, wenn Lichtwellen in dünnen Flüssigkeits- oder Glasschichten inter-

ferieren.

Strahlenoptik - 46 FHBB mü

Durchsichtiges Präparatkeine Phasenverschiebung Phasenverschiebung

Solche Phasenverschiebungen können aber weder von unserem Auge noch in einer Photographie wahrge-

nommen werden. Das Auge und die photographische Schicht können nur Änderungen der Wellenlänge

(Farbe) oder der Amplitude (Helligkeit) erkennen. Man kann die Phasenverschiebung jedoch in eine Hellig-

keitsänderung umsetzen, wenn man das phasenverschobene Licht mit dem nichtverschobenen Licht überla-

gert. Dadurch können je nach Phasenverschiebung vollständige Lichtauslöschungen vorkommen (Wellenberg

auf Wellental) oder auch nur teilweise Abdunkelungen je nach Phasendifferenz, dh je nach Dicke und Bre-

chungsindex des Präparates.

Technisch realisiert wird

dies indem das direkt

durchgehende Licht und

das am Präparat

abgebeugte Licht

geometrisch getrennt

wird. Eine Ringblende

vor dem Kondensor sorgt

für eine wohldefinierte

Beleuchtungsrichtung.

Das nicht abgebeugte

Licht trifft dann genau

den Phasenring auf der

Phasenplatte.

Das am Präparat gebeugte und um ca !/4 phasenverschobene Licht trifft die Phasenplatte ausserhalb des

Phasenrings. Die Phasenplatte, die sich in der hinteren Brennebene des Objektivs befindet, sorgt nun dafür,

dass die Phasenverzögerung auf ca !/2 zwischen nicht gebeugtem und gebeugtem Licht vergrössert wird.

Nun erscheinen diejenigen Regionen, die im Präparat eine Verschiebung von !/4 erhielten, schwarz, falls die

Lichtintensitäten zwischen nicht gebeugtem und gebeugtem Licht gleich gross sind. Diese

Intensitätsangleichung geschieht auch in der Phasenplatte.

Reflex5.nb 1


S. 4

• Gitterspektrometer

Nun betrachten wir Kreis- oder Kugelwellen. Wenn die Quellen phasensynchron von ihrem Ursprungspunkt abstrahlen, ergibt dies strahlenförmige Zonen mit verstärkter Wellenbewegung.

Bereits mit Zirkel und Lineal können die Muster analysiert werden:

mü FHBB Wellenlehre - 31

Experimentell kann dies mit zwei Stiften gezeigt werden, die sich auf einer Wasseroberfläche synchron auf

und ab bewegen. Die beiden entstehenden Kreiswellen breiten sich von beiden Quellen gleichartig aus. Die

Kreiswellen überlagern sich und generieren in der Umgebung ein eigenartiges Streifenmuster (vgl. Physik-

CD: "Wellenlehre / Interferenz").

Durch Veränderung der Anregungsfrequenz und der gegenseitigen Lage der beiden Stifte sieht man, dass die-

ses Interferenzmuster sich ebenfalls mitverändert. So läuft zum Beispiel das fächerförmige Muster der Intensi-

tätsmaxima auseinander, wenn sich Q1 und Q2 nähern.

Wir wollen zunächst untersuchen, an welchen Orten in der Umgebung der beiden Störungsquellen konstruk-

tive und destruktive Überlagerung auftritt.

Q1

Q2

b

rr1

rr2

P

Da es sich um identische harmonische Wellen handelt, kommt es überall dort zur Verstärkung, wo die beiden

Wellen dieselbe Phase besitzen.

Da die beiden Kreiswellen phasensynchron erzeugt werden, bedeutet dies weiter, dass sie bis auf Vielfache

der Wellenlänge dieselbe Distanz zurückgelegt haben müssen.

Die Richtung α der Verstärkung ist abhängig von der Wellenlänge λ, und dem Quellen-abstand b. Es gilt:

sinαN =N ⋅ λb

Interferenz am Doppelspalt


Wir betrachten nun einen Punkt P in der Zeichnung. Die beiden Kreiswellen haben bis zum Punkt P die Di-

stanzen r1 bzw. r2 zurückgelegt. Wenn wir jetzt diejenigen Punkte P in der Ebene suchen, bei denen die

Wegdifferenz r1 ! r2 gerade Null ist, so bilden diese Punkte die Mittelsenkrechte der Verbindungslinie

zwischen Q1 und Q2 . Auf dieser Geraden ist eine konstruktive Interferenz zu erwarten.

Weitere Verstärkung erhält man an den Orten, wo die

Wegdifferenzen gerade r1 ! r2 = N " # betragen.

Nach den Gesetzen der Geometrie (F. + T. S. 72)

liegen diese Punkte auf Hyperbeln mit beiden

Quellen Q1 und Q2 als Brennpunkte.

Dazwischen liegen jeweils die Minima, also die

Zonen destruktiver Interferenz. Wir sehen, dass die

Zonen der destruktiven und konstruktiven Interferenz

im Aussenbereich asymptotisch auf geraden Strahlen

liegen, die von Q1 und Q2 weglaufen.

Für die Richtung dieser Strahlen im Fernbereich der Quellen hilft uns eine einfachere Überlegung weiter:

x

$b

$

Damit in einer Richtung $ eine Verstärkung

auftreten kann, muss x gerade N " # sein.

Nun sieht man in der Figur: x = b " sin$ .

Zusammen erhalten wir für $ die Bedingung:

sin$N =N " #

b

$N ist die Richtung für das Interferenzmaxi-

mum N -ter Ordnung. Man sieht, dass mit klei-

ner werdendem b der Winkel $N grösser wird,

und dass speziell $0 unabhängig von der Wel-

lenlänge ist.

Die Interferenzordnung N ist eine natürliche Zahl. Zum Beispiel für N=1 spricht man vom Spektrum erster Ordnung.

Damit beim Gitterspektometer die Lichtsignalstärke gross genug ist, wird die Welle auf mehrere äquidistante Zentren gelenkt, für die dann paarweise jeweils das angegebene Gesetz gilt.


S. 5

Ein solches optisches Gitter wird für hochqualitative optische Spektroskopie verwen-det:


8.2.3. Optisches Gitter

Dieses Prinzip der Wellenüberlagerung wird beim Gitterspektrometer benutzt. Mit diesem Gerät werden

hochwertige optische Spektren erzeugt.

Das zu untersuchende Licht wird auf eine Glasplatte oder einen Spiegel geschickt, der feine parallele und

äquidistante Ritzen hat. Der Abstand der Ritzen ist b . Nach dem Auftreffen des Lichts wird es von dort in

Kreis- bzw. Zylinderwellen phasensynchron abgesendet. Das Bild sieht dabei ähnlich aus wie mit zwei

Wellenzentren, nur dass die Interferenzmaxima wesentlich schärfer ind intensiver sind. Die Formel für die

Interferenzmaxima ist aber nach wie vor gültig. Ein Auffangschirm fängt das Licht auf und man beobachtet

auf dem Schirm helle zum Teil farbige Zonen parallel zur z Richtung der Ritzen.

Das Interferenzmaximum nullter Ordnung ( N = 0) gehört zum Winkel ! = 00 , es erzeugt ein Abbild des

Spalts, das dieselbe Farbe wie das einfallende Licht hat. Die nullte Ordnung liefert somit noch keine spektrale

Zerlegung.

Die erste Ordnung ist aber entsprechend der Lichtwellenlänge " aufgefächert, es resultiert ein Spektrum mit

dem grössten Ablenkwinkel für rotes Licht. Dieses Spektrum (und alle weiteren Ordnungen) findet sich auch

symmetrisch auf der andern Seite der nullten Ordnung. Etwas weiter aussen folgen die noch stärker aufgefä-

cherten Spektren höherer Ordnung. Sie haben im allgemeinen schwächere Intensität. Bereits ab der zweiten

Ordnung überlappen sich die Spektren der visuellen Wellenlängenbereiche. Da die Beziehung zwischen der

Wellenlänge und der Position beim Auffangschirm geometrisch sehr einfach ist, erhält man bei geeignet

gewählter Geometrie Spektren mit linearer Wellenlängenskala.


8.2.3. Optisches Gitter

Dieses Prinzip der Wellenüberlagerung wird beim Gitterspektrometer benutzt. Mit diesem Gerät werden

hochwertige optische Spektren erzeugt.

Das zu untersuchende Licht wird auf eine Glasplatte oder einen Spiegel geschickt, der feine parallele und

äquidistante Ritzen hat. Der Abstand der Ritzen ist b . Nach dem Auftreffen des Lichts wird es von dort in

Kreis- bzw. Zylinderwellen phasensynchron abgesendet. Das Bild sieht dabei ähnlich aus wie mit zwei

Wellenzentren, nur dass die Interferenzmaxima wesentlich schärfer ind intensiver sind. Die Formel für die

Interferenzmaxima ist aber nach wie vor gültig. Ein Auffangschirm fängt das Licht auf und man beobachtet

auf dem Schirm helle zum Teil farbige Zonen parallel zur z Richtung der Ritzen.

Das Interferenzmaximum nullter Ordnung ( N = 0) gehört zum Winkel ! = 00 , es erzeugt ein Abbild des

Spalts, das dieselbe Farbe wie das einfallende Licht hat. Die nullte Ordnung liefert somit noch keine spektrale

Zerlegung.

Die erste Ordnung ist aber entsprechend der Lichtwellenlänge " aufgefächert, es resultiert ein Spektrum mit

dem grössten Ablenkwinkel für rotes Licht. Dieses Spektrum (und alle weiteren Ordnungen) findet sich auch

symmetrisch auf der andern Seite der nullten Ordnung. Etwas weiter aussen folgen die noch stärker aufgefä-

cherten Spektren höherer Ordnung. Sie haben im allgemeinen schwächere Intensität. Bereits ab der zweiten

Ordnung überlappen sich die Spektren der visuellen Wellenlängenbereiche. Da die Beziehung zwischen der

Wellenlänge und der Position beim Auffangschirm geometrisch sehr einfach ist, erhält man bei geeignet

gewählter Geometrie Spektren mit linearer Wellenlängenskala.

• Stehende Wellen

Wenn sich zwei identische harmonische Wellen entgegenlaufen, entsteht ein interessantes Wel-lenmuster mit räumlich feststehenden Nullstellen ("Knoten"). Man nennt das eine stehende Welle.

Bereits mit einer eindimensionalen Darstellung wird dieses Phänomen sichtbar. Die Knotenab-stände sind gerade λ/2, zwischen den Knoten liegen die Wellen-"Bäuche".

Sich entgegenlaufende Wellen erhält man zB bei der Wellenreflexion. Wenn sogar beide Enden eines Wellenträgers reflektieren, entstehen im Innern stehende Wellen, die an den beiden Re-flektoren (je nach Reflexionsbedingungen) ent-weder Knoten oder Bäuche haben. Da die Kno-ten sich im Medium dazwischen im regelmässi-gen Abstand von λ/2 einpassen müssen, ist eine so eingesperrte stehende Wellen nur für wenige ausgewählte Wellenlängen bzw Frequenzen möglich.


3) Ein Transmissionsgitter weist 3500 Linien pro cm auf. Berechnen Sie für ein Spektrum 2. Ordnung

die Differenz der Beugungswinkel (in Grad) zwischen der ! und der " Linie von atomarem Wasserstoff,

deren Wellenlänge 6.56.10-7 m und 4.10.10-7 m betragen.

8.3. Überlagerung gegenläufiger harmonischer Wellen

8.3.1. Stehende Wellen

Wir betrachten zwei gleichartige ebene harmonische Wellen, die sich aufeinander zubewegen. Diese Situation

findet man zum Beispiel, wenn harmonische Wasserwellen auf eine Mauer auftreffen, dort reflektiert werden,

und sich mit den einlaufenden Wellen überlagern.

Wir sehen uns zunächst die Mathematik dazu an.

Die beiden Wellen seien:

y1(x,t) = A # cos kx $ %t( ) (nach rechts laufend)

y2 (x,t) = A # cos kx +%t( ) (nach links laufend).

Bei der Überlagerung bildet man die Summe

y1(x,t) + y2 (x,t) = A # cos kx $ %t( ) + cos kx +%t( )[ ].

Nun gibt es in der Trigonometrie ein Gesetz, das für all-

gemeine Winkel ! und " besagt:

2 # cos! # cos" = cos ! $ "( ) + cos ! + "( ).

Wenn wir dieses Gesetz auf den obigen Ausdruck anwen-

den, erhalten wir:

y1(x,t) + y2 (x,t) = 2A # cos kx( ) # cos %t( )

Dieser Ausdruck hat nun eine völlig neue Wellenbewegung

zur Folge, da x und t in getrennten Funktionen auftreten.

Wir sehen zum Beispiel, dass an denjenigen Orten, wo

kx = & 2, 3& 2, 5& 2 etc, die Summenwelle für alle

Zeiten Null ist.


S. 6

Man nennt so ein Gebilde Resonator. Die Grundfrequenz des Resonators ist die Fre-quenz mit grösstmöglichem λ. Danach kommen Oberwellen mit ganzzahligen Vielfa-chen der Grundfrequenz. Eine Guitarrensaite, die wir bereits im Kapitel Schwingungen angetroffen haben, schwingt mit solchen stehenden Wellen. Ihr Grundton ist die Grund-frequenz, die Oberschwingungen, die gleichzeitig auch mitschwingen können, bilden die Klangfarbe des Tons (vgl. Filme im online-Teil).

Resonatoren findet man auch bei Blasinstrumenten, bei akustischen Resonanzkör-pern, bei Mikrowellenöfen, bei Lasern, Schwingquarzen..

4. Dopplereffekt

Wellensender und Wellenempfänger können auch in Bewegung sein. Dann entstehen Frequenzveränderungen, aus denen man die Relativgeschwindigkeit berechnen kann.

Falls die Geschwindigkeiten von Sender und Empfänger klein sind gegenüber der Wel-lenausbreitungsgeschwindigkeit c, dann kann die empfangene Frequenz f aus der Sendefrequenz fo und der Relativgeschwindigkeit vrel gut berechnet werden:

f = f0 ⋅ 1−vrelc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ Dopplereffekt

Der Dopplereffekt wird zur Geschwindigkeitsmessung im Verkehr (Ra-dar) genutzt. Dabei wird ein Radarimpuls zum Auto gesendet, die Me-tallkarosserie sendet das Signal zurück und der Vergleich zwischen der Sendefrequenz und der zurückgesendeten Frequenz liefert die Ge-schwindigkeit.

Übung: Einem Auto wird innerorts in der Fahrtrichtung ein Radarsignal mit der Fre-quenz 12.0 GHz nachgeschickt, das sich nach der Reflexion am Wagen mit der Sende-frequenz überlagert und eine Schwebungsfrequenz von 1.60 kHz liefert. Mit welcher Ge-schwindigkeit fährt das Auto?

Lösung:

Zuerst wirkt das Auto als Empfänger, das heisst ein (verbotenerweise installiertes)

Radarempfangsgerät würde bereits den Dopplereffekt registrieren: fAuto = f0 ! 1"vrel

c#$

%& .

Dieses Radarsignal wird aber nun vom bewegten Auto aus zurückgesendet, wodurch wiederum der

Dopplereffekt mit bewegtem Sender wirksam wird. Der Empfänger registriert dann die Frequenz:

f = fAuto ! 1"vrel

c#$

%& = f0 ! 1"

vrel

c#$

%&

2

' f0 ! 1"2 ! vrel

c#$

%& . Die Addition von Sende und Empfangsschwingung

im Radargerät liefert eine Schwebung der Frequenz (vgl. Kapitel Schwingungen):

fS = f0 " f = f0 " f0 ! 1"2 ! vrel

c#$

%& = f0 " f0 + f0 !

2 ! vrel

c= f0 !

2 ! vrel

c. Aufgelöst nach vrel

vrel =c ! fS

2 ! f0=3.0 !108 m s !1.60 !103Hz

2 !12.0 !109Hz= 20m s


S. 7

In der Astronomie konnte aufgrund der Rotverschiebung der Spektrallinien der meisten Sterne auf eine universelle Ausdehnung des Weltraums geschlossen werden, die im Urknall ihren Ursprung nahm.

Übung; Im Spektrum eines Fixsterns wurde die Wellenlänge der D1 Linie des Natriums mit λ = 592.0 nm bestimmt. Mit welcher Geschwindigkeit entfernt sich der Stern von der Erde, wenn irdische Messungen für diese Linie den Wert von λ0= 589.6 nm erge-ben?

Lösung: f =c

!, also

c

!=c

!o

" 1 #vrel

c

$

%

&

' . Auflösen nach der Relativgeschwindigkeit:

vrel= c ! 1"

#o

#$%&

'()= 3 !108

m

s! 1"

589.6

592.0

$%&

'()= 1216 km s

In der Wettervorhersage werden mittels Dopplerradar Luftströmungsgeschwindigkeiten gemessen (Blid links).

Beim Dopplerultraschall in der medizinischen Diagnostik kann das Ultraschallbild, das wie bei einem Echolot entsteht, mit der Geschwindigkeitsinformation aufgrund des Dopplereffekts gekoppelt werden. Das meist farbkodierte Bild (Bsp. rechts) liefert In-formation über die Blutströmung in grösseren Gefässen.


S. 8

5. Schall, Ultraschall

Schall besteht aus Kompressionwellen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern. Die Schallgeschwindigkeit hängt von der Kopplungsstärke zwischen den Materiebaustei-nen und der Masse der Teilchen ab:

v =KopplungMasse

Konkret:

v =Eρ bei Festkörpern (E: Elastizitätsmodul, ρ: Dichte → v ≈ 5000 m/s)

v =Kρ bei Flüssigkeiten (K: Kompressionsmodul, ρ: Dichte → v ≈ 1500 m/s)

v ≈pρ bei Gasen (p: Druck, ρ: Dichte → v ≈ 300 m/s)

Übungen:

1) In einer Stahlsorte mit einer Dichte 7860 kg/m3 misst man für Longitudinalwellen eine Fortpflanzungsgeschwindigkeit von 5100 m/s. Welcher Elastizitätsmodul besitzt der Stahl?

Lösung: E = v2 !" = 5100m s( )2

!7860kg m3 = 2.04 !1011 Pa

2) Bei Versuchen im Genfersee wurde für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Longitu-dinalwellen in Wasser (ρ = 1000 kg/m3) ein Wert von 1435 m/s gemessen. Welche Kompressibilität des Wassers entspricht diesem Ergebnis?

Lösung: v =K

!=

1

" #!, daraus: " =

1

v2 #!=

1

1435m s( )2

#1000kg m3= 4.86 #10$10 m s

Man sieht, unter allseitigem Druck sind Flüssigkeiten fast inkompressibel.

3) Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit für Luft bei T=20°C

v ≈ pρ≈

105Pa1.2 kg m3 ≈ 290 m

s

Schall kann an Materialgrenzen stark reflektiert werden. Diese Echos können zur Or-tung genutzt werden (Echolot, Fledermäuse, Ultraschallbildgebung).


S. 9

Die Schallintensität I in Luft ist eine Energie, die pro Zeit durch eine Fläche strömt.

I =PA, I[ ] = 1 W

m2 Schallintensität

Sie ist mit der empfundenen Lautstärke verknüpft: Die Hörschwelle ist: I0 = 10

−12W m2 , die Schmerzgrenze: IS = 10W m2

Da die Intensitätswerte eine sehr grosse Spannweite haben und unser Ohr als Schall-sensor eine nichtlineare Wahrnehmung besitzt, wird die Schallintensität als Pegelwert angegeben. Pegel bedeutet allgemein ein logarithmisches Verhältnis, Pegel werden auch in der Elektronik benutzt.

Der Schallpegel L zu einer Schallintensität I ist wie folgt definiert:

L = 10 ⋅ lg II0 mit der Hörschwelle I0.

Diese (dimensionslose) Grösse wird in Dezibel (dB) angegeben.

Wie gross ist die Hörschwelle und die Schmerzgrenze in dB ausgedrückt?

Die dB Werte sind nicht linear. Zwei Maschinen, die beim Empfänger je 70 dB Schall-pegel erzeugen, bewirken bei gemeinsamer Lärmproduktion sicher nicht 140 dB…

… sondern?

Wenn die Frequenz eines Tons sich ändert, nimmt der Mensch diese Schallintensität unterschiedlich laut wahr. Ein Mass für den Lautstärkeeindruck ist das Phon. Die Dezi-bel Werte werden bei 1000 Hz an die Phon-Werte angepasst.

Die Kurven gleichen Lautstärkeeindrucks sind die Isophonen. Diese Kurven sind aber empirisch bestimmt und alters- sowie geschlechtsabhängig:

Hörschwelle: 10 ! lg10"12

10"12dB = 0 dB !

Schmerzgrenze: 10 ! lg10

10"12dB = 10 ! lg 1013( ) dB = 130 dB

I = I0!10

7+ I

0!10

7= I

0!2 !10

7

, somit: L = 10 ! lgI0 !2 !10

7

I0

dB = 73 dB


S. 10

Ultraschall wird in der Natur, der Technik und der Medizin vielfältigst eingesetzt. Es handelt sich um Schall im nicht hörbaren Bereich von einigen 10 kHz bis ca 50 MHz. Technisch erzeugt wird er mit Piezokristallen, das sind Kristalle, die sich mit elektri-schen Spannungen deformieren lassen.

Als Aktor kann Ultraschall zur Bearbeitung von Oberflächen, zu Zertrümmerung von Nierensteinen, zur Abwehr von Mardern etc dienen.

Als Sensor dient er dem Aufspüren von Materialfehlern, dem Messen von Distanzen, der Darstellung von biologischem Gewebe. Auch Tiere wie Fledermäuse oder Delphine benutzen ihn zur Ortung und Informationsübertragung.

Die Werkstoffprüfung beruht auf der Tatsache, dass Fehler im Material (Lufteinschlüs-se, Brüche) Ultraschall reflektieren und so als Echosignal erscheinen.

Die Organdarstellung in der medizinischen Diagnostik nutzt dieselbe Reflexionseigen-schaft an Gewebegrenzen und gehört heute zum häufigsten eingesetzten bildgeben-den Verfahren in der Medizin (Sonographie, Echokardiographie). Es ist schmerzlos, nichtinvasiv, risikoarm und vergleichsweise günstig.


S. 11

Die Ultraschall-Intensitäten in der Medizin betragen ca 100 mW/cm2. Die axiale Auflösung beträgt wie bei vielen bildgebenden Verfahren, die auf Wellen be-ruhen, etwa eine Wellenlänge, dh typisch 0.1 mm bis 1 mm.

Die Herstellung und Interpreta-tion sonografischer Bilder er-fordert verschiedene Fertigkei-ten, die schwierig zu erlernen sind. Daraus resultiert die ge-ringe Objektivität des Verfah-rens. Ausserdem weist das Ver-fahren eine geringere Raumauflösung auf als CT und MRI, besonders in tieferliegen-den Geweben. Auch der Weichteil-Kontrast ist geringer als bei MR Bildgebung.

6. Elektromagnetische Wellen

Bei mechanischen Wellen bewegen sich Materieteilchen. Deshalb sind sie an Materie gebunden und können sich im Vakuum nicht ausbreiten. Die Ausbreitungsgeschwin-digkeit dieser Wellen liegt im Bereich von m/s bis km/s.

Elektromagnetische Wellen entstehen zB durch harmonisch schwingende elektrische Dipole (Hertzʻscher Dipol), welche zeitabhängige elektrische Felder in den Raum aus-senden. Die zeitabhängigen elektrischen Felder erzwingen auch zeitabhängige magne-tische Felder. Man kann diese beiden Felder bei diesen hohen Frequenzen nicht mehr voneinander trennen. Deshalb der Begriff „elektro-magnetische“ Welle.

Hertzʻscher Dipol (Sendeantenne)

Wellenfeld eines Hertzʻschen Dipols Elektromagnetische Welle

mü FHBB Elektrodynamik - 17

Nun weiss man aber, dass sich nichts in der Natur schneller als die Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann.

Dies gilt auch für die elektrischen und magnetischen Kraftfelder. Die periodische Umpolung der elektrischen

und magnetischen Felder wird sich deshalb mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreiten. Wenn aber die

Umpolung aufgrund der hohen Frequenz so schnell stattfindet, dass sich das elektrische und magnetische

Feld nicht gleichzeitig im ganzen Raum etablieren kann, dann kommt es zu einer wellenartigen Ausbreitung

der elektrischen und magnetischen Felder im Raum. In der Figur ist diese Ausbreitung der elektrischen und

magnetischen Felder schematisch gezeigt.

Nach einer Weile entsteht ein Bild das dem unten abgebildeten ähnelt, man erkennt die elektrischen Feldli-

nien, die sich wie auf Zwiebelschalen um den Dipol konzentrieren.

Beachten Sie auch die Animationen auf der Physik-CD im Kapitel "Elektrizität / Hertzscher Dipol".

Das E-Feld steht jeweils parallel zur Dipolachse und ändert seine Richtung im Rhythmus der Schwingung.

Senkrecht dazu stehen die Magnetfeldlinien, die ebenfalls periodisch die Richtung ändern. Beide Felder wer-

den mit Lichtgeschwindigkeit abgestrahlt, man spricht von einer elektromagnetischen Welle. Sie ist offenbar

linear polarisiert, das heisst die Schwingungsrichtung der Felder ist festgelegt.

mü FHBB Elektrodynamik - 17

Nun weiss man aber, dass sich nichts in der Natur schneller als die Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann.

Dies gilt auch für die elektrischen und magnetischen Kraftfelder. Die periodische Umpolung der elektrischen

und magnetischen Felder wird sich deshalb mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreiten. Wenn aber die

Umpolung aufgrund der hohen Frequenz so schnell stattfindet, dass sich das elektrische und magnetische

Feld nicht gleichzeitig im ganzen Raum etablieren kann, dann kommt es zu einer wellenartigen Ausbreitung

der elektrischen und magnetischen Felder im Raum. In der Figur ist diese Ausbreitung der elektrischen und

magnetischen Felder schematisch gezeigt.

Nach einer Weile entsteht ein Bild das dem unten abgebildeten ähnelt, man erkennt die elektrischen Feldli-

nien, die sich wie auf Zwiebelschalen um den Dipol konzentrieren.

Beachten Sie auch die Animationen auf der Physik-CD im Kapitel "Elektrizität / Hertzscher Dipol".

Das E-Feld steht jeweils parallel zur Dipolachse und ändert seine Richtung im Rhythmus der Schwingung.

Senkrecht dazu stehen die Magnetfeldlinien, die ebenfalls periodisch die Richtung ändern. Beide Felder wer-

den mit Lichtgeschwindigkeit abgestrahlt, man spricht von einer elektromagnetischen Welle. Sie ist offenbar

linear polarisiert, das heisst die Schwingungsrichtung der Felder ist festgelegt.

Elektrodynamik - 18 FHBB mü

Die Abstrahlung geschieht hauptsächlich in einer Ebene senkrecht zur Dipolachse. Entlang der Dipolachse ist

die abgestrahlte Intensität Null. Das kann man mit folgenden Abbildungen illustrieren: Das Strahlungsdia-

gramm zeigt die Intensität der abgestrahlten elektromagnetischen Welle als Funktion der Richtung. Es besteht

Rotationssymmetrie um die senkrechte Dipolachse

5.4. Elektromagnetische Wellen, Antennen

Wir haben nun ein erstes Beispiel einer elektromagnetischen Welle kennengelernt. Sie wurde mit dem kleinen

dynamischen Dipol erzeugt, welcher allgemein Hertz'scher Dipol genannt wird. Wir wollen nun einige wei-

tere Eigenschaften der elektromagnetischen Welle (EM Welle) besprechen.

Beobachtet man die Wellen an einem festen Ort der weiteren Umgebung, dann sieht man, dass elektrisches

und magnetisches Feld immer senkrecht aufeinander stehen. Die Ausbreitungsrichtung der Welle ist sowohl

senkrecht auf E wie auf B . Ebenso sieht man aus der Erzeugung der Wellen, dass in der Nähe des Dipols

das magnetische Feld dann am stärksten ist, wenn das elektrische Feld Null ist und umgekehrt. Es gibt also

eine Phasenverschiebung von ! 2 zwischen elektrischem und magnetischem Feld. In grösserer Entfernung

zum Dipol arrangieren sie die Felder allerdings so, dass sie gleichphasig schwingen, sodass wir uns den

Wellenzug dort so vorstellen können:

B

E

c

Man beachte, dass der Hertz'scher Dipol erst nach einer geeigneten Anregung schwingt. Das kann zum Bei-

spiel durch eine induktive Ankopplung an einen LC Schwingkreis geschehen, wie es beim Demonstrations-


S. 12

http://de.wikipedia.org/wiki/Objektivit%C3%A4t

http://de.wikipedia.org/wiki/Objektivit%C3%A4t

Die elektromagnetischen Wellen besitzen eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von

cVak = 3.00 ⋅108 m s Lichtgeschwindigkeit

In Materie ist die Geschwindigkeit etwas geringer:

cmat =cvaknmat

Brechungsindex nmat .

Da die elektromagnetischen Wellen mit den Elektronen der Materie wechselwirken, können sie einfach detektiert werden. Wenn ihre Wellenlänge grösser als etwa 0.1 mm ist, dann werden Sie meist mit Antennensystemen erzeugt und empfangen. Solche Wellen heissen je nach Wellenlänge Mikrowellen, Radar oder Radiowellen. Wenn der-artige Wellen auf eletkrische Leiter auftreffen, werden die Leitungselektronen zu Schwingungen angeregt, es kommt zu Reflexion, Absorption und Reemission.

Wellenlängen unter 100μm werden von Molekülen und Atomen abgestrahlt und emp-fangen. Die Infrarot (Wärme-) Strahlung, der visuelle Bereich und das UV gehören in diese Gruppe. Stichworte: Oberflächenfarbe, Lichtstreuung, Absorption und Reflexion gewisser Farbanteile, optische Dispersion.

Elektromagnetische Wellen mit λ kleiner ca.10 nm sind Röntgenstrahlen (vgl. Kapitel "Licht"). Die charakteristische Röntgenlinien entstehen bei Elektronenübergängen in den innersten Schalen von schweren Atomen.

Kernprozesse erzeugen γ-Strahlung, die oft noch kurzwelliger ist. Die Energie Eγ eines Photons oder γ-Quants berechnet sich aus der Frequenz f bzw. Wellenlänge λ wie folgt:

Eγ = h ⋅ f = h ⋅cλ

h: Planck'sche Konstante: h ≈ 6.63.10-34 Js

10 m 1 m 1 dm 1 cm 1 mm 100 µm 10 µm 1 µm 100 nm 10 nm 1 nm 1A

10 MHz 100 MHz 1 GHz 10 GHz 100 GHz 1THz 10 THz 1014

Hz 1015

Hz 1016

Hz 1017

Hz 10 1018 22

Hz Hz

Radiowellen Mikrowellen

RO

T

Ora

nge

Gel

b

Grü

n

Bla

u

Vio

lett

780 nm 380 nm 280 nm

VIS

Infrarot Ultraviolett

IR UVfernes fernesnahes nahes

Rönten- Gamma-

StrahlungU

V-A

UV

-B

UV

-C

Kurz-wellen UKW

VHF UHF Zentimeter-wellen

Millimeter-wellen

Radioastronomie Radar

Ker

nsp

in-

tom

ogra

fie

Ter

mogra

fie

Nac

hts

ichtt

echnik

Vid

eote

chnik

Foto

gra

fie

Flu

ore

szen

ztec

hnik

UV

-Lit

hogra

fie

Röntg

endia

gnost

ik

Szi

nti

gra

fieA

uge

Schwingkreise Maser LED

LASERGasentladung

Temperaturstrahler

Röntgen-röhren

Kernreaktionen

Synchrotonstrahlung


S. 13

Viele chemische oder biologische Vorgänge benötigen derartige Energiequanten. Des-halb kann kurzwellige UV, Röntgen oder γ-Strahlung Gewebe schädigen. In der Thera-pie kann dies zur Zerstörung von Tumoren genutzt werden, das Abtöten von Mikroor-ganismen mit Strahlung ist eine der vielen Sterilisationsmöglichkeiten.

7. Auflösungsvermögen

Wenn mit elektromagnetischen oder mechanischen Wellen Bilder erzeug werden sol-len, dann ist die Auflösung des Bildes (seine Detailschärfe) wegen der Beugung be-grenzt.

Zur Illustration ein Beispiel: Eine einfache Apparatur zur Aufnahme eines Bildes wäre die Loch-Kamera. Eine punktförmige Wellenquelle sendet seine Wel-lenfronten auf das Loch mit Durchmesser D. Wegen Beugung entsteht nicht ein scharfer Wellenstrahl hinter der Öffnung, sondern ein Beugungsmuster, dessen Form genau berechnet werden kann.

Für den Winkel Θ zum ersten Intensitätsminimum gilt:

sinΘ ≈ 1.22 ⋅ λD

Beugung an kreisrunder Öffnung.

Wenn nun zwei nebeneinander liegende Punkte "1" und "2" ihre Wellen auf das Loch zusenden, dann können die Beugungsscheibchen der beiden Wellen nicht mehr op-tisch getrennt werden, wenn das Zentrum des einen Scheibchens gerade im ersten Beugungs-Minimum der Beugungsfigur des zweiten Punktes erscheint. Dieses Ray-leigh-kriterium führt zu einer einfachen Beziehung für das Auflösungsvermögen.

Der minimale Abstand x, unter dem die beiden Punkte in der Entfernung L noch unter-schieden werden können, ist:

x ≈ 1.22 ⋅ λ ⋅ LD Auflösungsvermögen nach Rayleigh.


Das Bild zweier Punkte kann dann noch aufgelöst werden kann, wenn das Maximum nullter Ordnung

des einen Beugungsscheibchens mit dem ersten Nebenminimum des andern Scheibchens zusammenfällt

(Rayleighsches Auflösungskriterium).

Wenn wir dieses Kriterium mit dem Strahlensatz auf die Gegenstandsseite der Linse übertragen, dann

ergibt sich der wichtige Satz:

Zwei Punkte im gegenseitigen Abstand x können aus einer Entfernung L mit einem optischen Apparat

mit Blendenradius R dann noch aufgelöst werden, wenn gilt: x ! 0.61 "l "# R

R

L

x

Grenzsituationnach Rayleigh

! !

1

2

Beachten Sie dazu auf der Physik-CD das Kapitel "Optik / Rayleigh'sche Auflösungsbedingung".

Übungen:

1) In welcher Distanz können zwei Punkte von 1 mm Abstand mit unbewaffnetem Auge noch aufgelöst

(getrennt) werden, wenn Licht der Wellenlänge 550 nm verwendet wird und für die Abbildung auf der Netz-

haut die Beugung an der Pupille berücksichtigt wird (Pupillendurchmesser sei als 3.00 mm angenommen,

der Brechungsindex des Augeninneren sei 1.38).

12.3. Elektronenmikroskop

Die Tatsache, dass das Auflösungsvermögen mit sinkender Wellenlänge besser wird, führt dazu, dass man

bei Lichtmikroskopen für höchste Auflösung blaues Licht verwendet, welches fast eine Verdoppelung der

Schäfte gegenüber rotem Licht bringt.


S. 14

Diese Beziehung gilt auch dann, wenn statt der Lochkamera eine andere Optik ver-wendet wird. Der Durchmesser der Öffnung definiert immer das theoretisch erreichbare Auflösungsvermögen.

Die Rayleigh Formel erklärt, warum blaues Licht schärfere Mikroskopbilder liefert als rotes, warum astronomische Teleskope für scharfe Bilder einen grossen Öffnungs-durchmesser benötigen (abgesehen davon, dass sie viel Licht benötigen), warum Ra-dioteleskope zu grossen Arrays zusammengeschaltet werden (VLA: Very Large Array), warum Elektronenmikroskope eine etwa 1000 mal bessere Auflösung liefern wie Lichtmikroskope, warum in der Medizin Ultraschall und nicht normaler Schall verwen-det wird etc etc.

VLA in New Mexico

8. Holographie

Wenn ein Objekt normal photographiert wird, dann werden auf jedem Bildpunkt die Farbe und Intensität der Lichtwelle gespeichert, die vom Kamerastandpunkt aus durch die Optik gelangt sind. Die Form der ursprünglichen Wellenfront geht verloren, ebenso die Information über die Phasenlage des Lichts. Deshalb wirkt ein Photo immer ganz anders als die Realität.

Bei der Holographie (D. Gabor, 1948) wird die am Objekt reflektierte Lichtwellenfront so exakt wie möglich rekonstruiert, indem man diese Lichtwellen zur Interferenz mit einer ebenen Referenzwelle bringt. Dieses Interferenzbild kann dann mit einer weiteren Referenzwelle wieder entschlüsselt werden und ergibt beim Betrachter ein sehr echt wirkendes, dreidimensionales Bild, das auch bei Verschiebungen des Betrachters die Perspektive, die Verdeckungen etc korrekt wiedergibt.

Für die Aufnahme wird Laserlicht verwendet, das optisch verbreitert wurde und so eine ebene Welle bildet. Wenn nur ein Punkt abgebildet wird, dann liefert die Überlagerung der kugelförmigen Objektwelle mit der ebenen Referenzwelle auf dem hochauflösen-den Hologrammfilm ein kreisförmiges Interferenzmuster. Da jeder Gegenstand aus vie-len solchen Punkten aufgebaut ist, entsteht als Hologramm eines ausgedehnten Ob-jekts auf dem Film die Summe all dieser Interferenzmuster.


S. 15


kohärentes Laserlicht

Gegenstands-punkt

Photoplatte

Spie

gel

Hologramm (Interferenzbild)

Beim Betrachten des Hologramms wird der Film mit Laserlicht beleuchtet, welches dann aus dem Interfe-

renzmuster wieder Kugelwellen entstehen lässt, als ob der ursprüngliche Punkt noch vorhanden wäre. Falls

der Gegenstand aus sehr vielen Punkten besteht, dann werden auch die Interferenzbilder komplizierter,

trotzdem kann aus dem Interferogramm das ursprüngliche Lichtwellenfeld rekonstruiert werden, es erscheint

dem Betrachter ein virtuelles aber sehr realistisches Bild.


Hologramm

virtueller Bildpunkt

Hologramm

Betrachter

Kugelwellen

Zur Aufnahme des Hologramms wird immer Laserlicht verwendet. Am einfachsten verwendet man bei der

Hologrammwiedergabe wiederum denselben Lasertyp, dadurch nehmen die Hologramme zunächst mal die

Farbe des Laserlichts an (zum Beispiel rot). Neuerdings gibt es aber auch Tageslichthologramme. Dabei wer-

den drei verschiedene Aufnahmen mit drei unterschiedlichen Laserquellen (zum Beispiel rot, grün und blau)

auf drei verschiedenen Hologrammen gespeichert. Durch Übereinanderlegen der Hologramme im richtigen

Abstand werden aus dem Tageslicht die drei Grundfarben rot, grün und blau herausgefiltert (eigentlich ein

Interferenzvorgang wie bei der Seifenblase) und können so das ihrer Farbe entsprechende Hologramm zur

Geltung bringen. So sind farbige Hologramme möglich.

Computergenerierte Hologramme, wie man sie zum Beispiel als Fälschungsschutz auf Kreditkarten und

Geldscheinen findet, werden über die Fouriertransformation berechnet und über lithographische Verfahren

aufgebracht.

Beim Betrachten wird das Punkt-Hologramm (die Photoplatte) mit der selben ebenen Referenzwelle beleuchtet. Durch die Interferenzstrukturen auf dem Hologramm ent-steht wieder die ursprüngliche kugelförmige Welle, als ob nur der Punkt die Welle aus-gesendet hätte. Der Betrachtet sieht somit einen virtuellen Bildpunkt, bzw wenn der Gegenstand komplizierter aufgebaut ist, die Summe aller Punkte, die die Oberfläche des Gegenstands definieren.



Gegenstands-punkt

Photoplatte

Spie

gel

Hologramm (Interferenzbild)

Beim Betrachten des Hologramms wird der Film mit Laserlicht beleuchtet, welches dann aus dem Interfe-

renzmuster wieder Kugelwellen entstehen lässt, als ob der ursprüngliche Punkt noch vorhanden wäre. Falls

der Gegenstand aus sehr vielen Punkten besteht, dann werden auch die Interferenzbilder komplizierter,

trotzdem kann aus dem Interferogramm das ursprüngliche Lichtwellenfeld rekonstruiert werden, es erscheint

dem Betrachter ein virtuelles aber sehr realistisches Bild.


Hologramm

virtueller Bildpunkt

Hologramm

Betrachter

Kugelwellen

Zur Aufnahme des Hologramms wird immer Laserlicht verwendet. Am einfachsten verwendet man bei der

Hologrammwiedergabe wiederum denselben Lasertyp, dadurch nehmen die Hologramme zunächst mal die

Farbe des Laserlichts an (zum Beispiel rot). Neuerdings gibt es aber auch Tageslichthologramme. Dabei wer-

den drei verschiedene Aufnahmen mit drei unterschiedlichen Laserquellen (zum Beispiel rot, grün und blau)

auf drei verschiedenen Hologrammen gespeichert. Durch Übereinanderlegen der Hologramme im richtigen

Abstand werden aus dem Tageslicht die drei Grundfarben rot, grün und blau herausgefiltert (eigentlich ein

Interferenzvorgang wie bei der Seifenblase) und können so das ihrer Farbe entsprechende Hologramm zur

Geltung bringen. So sind farbige Hologramme möglich.

Computergenerierte Hologramme, wie man sie zum Beispiel als Fälschungsschutz auf Kreditkarten und

Geldscheinen findet, werden über die Fouriertransformation berechnet und über lithographische Verfahren

aufgebracht.

Stichworte zur Holographie: Weisslichtholographie, Time-Average Holographie zur Schwingungsanalyse, holographische Deformationsanalyse, holographische Speicher, Hologramme als Sicherheitsmerkmal auf Banknoten, Kreditkarten etc., Computergene-rierte Hologramme.


S. 16

Documents

11.Wellen 6L8.1. Überlagerung von gleichlaufenden harmonischen Wellen Zwei identische ebene harmonische Wellen sollen sich in derselben Richtung (hier: x Richtung) bewegen. Uns interessiert,