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Kapitel 19 Kointegration. Integrierte Zeitreihen. Regression als Modell einer nicht-stationären Variablen t -Werte zu groß R 2 zu groß Kriterien für Anpassung zeigen zu gute Werte ( spurious regression ) Stochastischer Trend! Eliminieren des Trends durch Bilden von Differenzen - PowerPoint PPT Presentation
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Kapitel 19
Kointegration
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Integrierte Zeitreihen
Regression als Modell einer nicht-stationären Variablen t -Werte zu groß R2 zu groß
Kriterien für Anpassung zeigen zu gute Werte (spurious regression)
Stochastischer Trend!
Eliminieren des Trends durch Bilden von Differenzen
Integration von stochastischen Prozessen (Zeitreihen):
Ein stochastischer Prozess Yt heißt integriert von der Ordnung d, wenn seine d-fachen Differenzen dYt ein stationärer Prozess sind; Yt ~ I(d)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Beispiel: Random-walk-Prozess
X sei ein random-walk:
Xt = Xt-1 + ut
mit u: Weißes Rauschen, u ~ I(0)
Dann gilt:
X ~ I(1) (“X ist integriert von der Ordnung 1“):
Xt = Xt – Xt-1 = ut ~ I(1)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Integrierte stochastische Prozesse
Viele ökonomische Zeitreihen zeigen stochastische Trends; aus der AWM-Datendasis:
d: Ordnung der Integration
Beispiel: PCR = 1 + 2PYR + u ist vermutlich spurious regression; besser Modell in Änderungen (oder Zuwachsraten)
Variable d
YER Brutto-Inlandsprodukt, real 1
PCR Privater Konsum, real 1-2
PYR Verf. Einkommen der HH, real 1-2
PCD Konsumdeflator 2
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Differenzen vs. Niveauwerten
Analysieren von Differenzen Vermeidet Konsequenzen von spurious regression Information über Entwicklung der Niveauwerte (langfristiges
Verhalten, Trends, Verhalten im Gleichgewicht) geht verloren
Ökonomische Theorien sind meist Aussagen über Zusammenhänge im Gleichgewichts-Zustand!
Vermeiden von spurious regression durch Modell auf Basis von Differenzen durch Ausnützen von Kointegration
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Beispiel: Kointegrierte Variable
Nicht-stationäre Variable X: X ~ I(1) Y = 1 + 2X + u
mit u: Weißes Rauschen
Dann gilt Y ~ I(1) X, Y zeigen den gleichen stochastischen Trend Y – 2X = 1 + u ~ I(0)
Y – 2X ist eine stationäre Linearkombination der nicht-stationären Variablen!
X, Y sind kointegrierte Variable!
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Kointegration
X, Y sind integrierte Variable:
X ~ I(1), Y ~ I(1)
X, Y heißen kointegriert, wenn sich ein 2 finden lässt, so dass
Y – 2X ~ I(0)
Für kointegrierte I(1)-Variable X, Y gilt also Y – 2X ~ I(0); es existiert eine Beziehung
Y = 1 + 2X + u
mit u ~ I(0) oder Weißem Rauschen u
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Kointegration: Interpretation
Interpretation des Begriffs Kointegration
Wegen
Y – 2X ~ I(0)
befinden sich X und Y in einer Gleichgewichts-Beziehung; es gibt nur stationäre Abweichungen
Beispiel: Saldo-Bestände der ein- und verkauften Warenmengen bilden
einen stationären Prozess: sie sind kointegriert Einkünfte und Ausgaben der Haushalte sind kointegriert
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Kointegration: Definition
Komponenten des k-Vektors x seien integriert vom Grad d :
x ~ I(d)
existiert ein Vektor und eine Zahl b > 0 mit
z = ‘x ~ I(d – b)
so heißen die Komponenten von x kointegriert vom Grad (d, b); k-Vektor heißt kointegrierender Vektor
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Fehlerkorrektur-Modell
Adäquate Darstellung ökonomischer Prozesse berücksichtigt
1. Gleichgewichts-Beziehung
2. Short-run Dynamik (Kompensation von Abweichungen vom Gleichgewicht)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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ADL(1,1)-Modell: Fehlerkorrektur-FormAusgangspunkt: ADL(1,1)-Modell
Yt = + Yt-1 + 0Xt + 1Xt-1 + ut
mit X ~ I(1), || < 1; dann gilt: Y ~ I(1) Gleichgewichts-Beziehung zwischen X und Y:
Yt = 0 + 1Xt + t
Wie hängen ADL-Modell und Gleichgewichts-Beziehung zusammen?
Subtrahieren und Addieren von Yt-1 und 0Xt und Umformen gibt
Yt = – (1 – )[Yt-1 – 0 – 1Xt-1] + 0Xt + ut
mit 0 = /(1 – ) und 1 = (0+ 1)/(1 – )
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Fehlerkorrektur-Form und GleichgewichtAus
Yt-1 – 0 – 1Xt-1 = t = – [1/(1 – )] (Yt – 0Xt – ut)
ergibt sich: der Gleichgewichts-Fehler t ist eine Linearkombination der I(0)-
Variablen Y, X und u und
t ~ I(0)
Es folgt: Yt-1 – 0 – 1Xt-1 ist eine Gleichgewichts-Beziehung Y und X sind kointegriert
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Fehlerkorrektur-Modell: Interpretation
Das Modell Yt-1 = 0 + 1Xt-1 + t-1 beschreibt die langfristige Beziehung zwischen X und Y
Das Modell Yt = – (1 – )[Yt-1 – 0 – 1Xt-1] + 0Xt + ut
= – [Yt-1 – 0 – 1Xt-1] + 0Xt + ut
beschreibt die kurzfristige Dynamik, 1. das Anpassen von Y an Änderungen von X und2. die Korrektur von Gleichgewichts-Fehlern der Vorperiode
Achtung! Das Vorzeichen von = (1 – ) muss positiv sein, wenn das Modell die Kompensation von Gleichgewichts-Fehlern beschreiben soll
Achtung! Gleiche Ordnung der Integration der Variablen ist Voraussetzung für kointegrierende Beziehung
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Modell für Importe
Importgleichung des AW-Modells:
log(MTR/FDD) = 1log(MTD/YED) + 2TIME +
MTR: reale Ausgaben für Importe von Gütern und Dienstleistungen, FDD: gesamte Nachfrage, MTD: Deflator zu MTR, YED: Deflator des BIP, TIME: Trendvariable
MTR/FDD: Anteil der Importe an gesamter Nachfrage (Mp), MTD/YED: Verhältnis der Deflatoren (RD); beide sind I(1)
Angepasstes Modell:
log(Mp) = – 1.956 – 0.255 log(RD) + 0.0044TIME
mit t-Statistiken 8.383 (für 1) und 30.518 (2), R2 = 0.966, Durbin-Watson d = 0.120
Mp, RD und TIME sind kointegriert, wenn Residuen I(0)
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Modell für Importe, Forts.
-.08
-.04
.00
.04
.08
.12
-2.2
-2.0
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Residual Actual Fitted
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Test auf Kointegration
I(1)-Variable Y und X seien nicht kointegriert
Dann sind die = Y – 0 – 1X eine I(1)-Variable; der unit-root-Test sollte nicht-stationäres Verhalten anzeigen
Engle-Granger-Test auf Kointegration:
1. OLS-Anpassung der potentiellen Gleichgewichts-Beziehung Y = 0 + 1X +
2. Anwenden eines unit-root-Tests zum Überprüfen der Nullhypothese, dass die Residuen eine I(1)-Variable sind
3. wird die Nullhypothese verworfen: sind I(0)-Variable Y und X sind kointegriert
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Engle-Granger-Verfahren
zum Anpassen des Fehlerkorrektur-Modells
Ausgangspunkt: ADL(1,1)-Modell
Yt = –[Yt-1 – 0 – 1Xt-1] + 0Xt + ut
Verfahren von Engle-Granger:
1. Prüfen der Integrations-Ordnung; X und Y müssen gleiche Ordnung haben; es gelte: X und Y sind I(1)-Variable
2. Schätzung der Gleichgewichts-Beziehung Y = 0 + 1X + liefert Schätzer für 0 und 1 sowie Residuen
3. Test auf Kointegration: unit-root-Test zum überprüfen, ob die Residuen ein stationärer Prozess sind; wenn ja,
4. Schätzen des Fehlerkorrektur-Modells
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
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Engle-Granger-Verfahren: Schätzen der Parameter4. Schätzen des Fehlerkorrektur-Modells: Es gibt zwei
Möglichkeiten:
a) OLS-Schätzer für und 0 aus Yt = – + 0Xt + ut
b) OLS-Schätzer für , und 0 aus
Yt = – [Yt-1 – 1Xt-1] + 0Xt + ut
1ˆ t
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