Krumm ist nicht dumm Verblüffend einfache Geometrie von Kurven Prof. Dr. Dörte Haftendorn,...

krumm ist nicht dummVerblüffend einfache Geometrie von Kurven

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de, www.leuphana.de/matheomnibus

1.) Wir sehen Kurven entstehen.

2.)Wir betrachten die Reflexionan Kurven mathematisch

Wir schneiden Kegel und betrachten Kegelschnitte.

krumm ist nicht dumm

GeoGebra, freies Programm für dynamische Mathematikwww.geogebra.org

Hundekurve

Wo kommt denn dieser Bogen her?

1.) Nun kennen wir alle Formen der

Hundekurve

Konchoide des Nikomedes

1.) Wir variieren das Prinzip

Der Herr wandert nun auf einer Kreisstraße.

Diese Konchoiden heißen Pascalsche Schnecken

1.) Der Herr wandert nun auf einer Kreisstraße.

Dies sind dann alle Typen der Pascalschen Schnecken

1.) Lassen Sie den Herrn wandern,wo sie wollen, Sie erhalten mit diesem Prinzip stets Konchoiden.

Nutzen Sie die Freiheit in der Mathematik.

2.) Wir betrachten die Reflexion an Kurven mathematisch.

Achsenparallel in die Parabel einfallende Strahlen verlassendie Parabel auch achsenparallel.

Achsenparallel in die Parabel einfallende Strahlen verlaufen alle durch den Brennpunkt.

2.) Parabel-Reflexion in unserer Welt.

• Scheinwerfer

• Satelllitenschüssel

• Parablolantenne

• Richtfunk

•SonnenofenIm Brennpunkt ist die Lichtquelle, der Empfänger, der Sender, der Kochtopf...

• EnergiererzeugungIm Brennpunkt ist die Lichtquelle, der Empfänger, der Sender, der Kochtopf...

2.) Wir führen die Betrachtung der Parabel weiter

Es muss wirklich eine Parabel sein, mit geht es nicht.

Parabeln haben eine Leitgerade. Jeder Punkt der Parabel ist vom Brennpunkt ebenso weit entfernt wie von der Leitgeraden.

Parabeln haben eine Leitgerade. Jeder Punkt der Parabel ist vom Brennpunkt ebenso weit entfernt wie von der Leitgeraden. So konstruieren wir nun.

2.) Wir führen die Konstruktion mit der Leitgeraden weiter

Jeder Punkt der Kurve ist vom Brennpunkt k-mal so weit entfernt wie von der Leitgeraden.Ist k <1, ist die Kurve eine Ellipse.Ist k=1 ist die Kurve eine Parabel.Ist k>1 ist die Kurve eine Hyperbel.

krumm ist nicht dummDamit sind wir bei der Familie der Kegelschnitte.

3.)Wir schneiden einen Kegel und betrachten die Kurven, die beim Schnitt mit einer Ebene entstehen.

krumm ist nicht dummGeschnitten wird ein Doppelkegel.

Ellipse Parabel

krumm ist nicht dummGeschnitten wird ein Doppelkegel.

Ellipse

Parabel

Hyperbel

krumm ist nicht dummNamensgeheimnis

paraballein,gleichkommen, entsprechen

Das Ordinatenquadrat ist stets flächengleich dem Sperrungsrechteck.

Parabel

Das Ordinatenquadrat ist stets flächengrößer als das Sperrungsrechteck.

Hyperbel

hyperballein,übersteigen, übertreffen

elleipein,ermangeln, weniger sein

Das Ordinatenquadrat ist stets flächenkleiner als das Sperrungsrechteck.

Ellipse

krumm ist nicht dummNamensgeheimnis algebraisch

3.) y p x k x 2 2 22 1

k z.B. k 121

y p x x 2 2342

Ellipse

gemeinsame Scheitelgleichung der Kegelschnitte

3.) y p x k x 2 2 22 1

k z.B. k 321

y p x x 2 2542

Hyperbel

3.) y p x k x 2 2 22 1

k z.B. k 321

y p x x 2 2542

Hyperbel

krumm ist nicht dummKegelschnitte aus fünf Punkten

Strahler-beleuchtung

krumm ist nicht dummReflexion an der Ellipse

3.) Ellispsoid-Reflexion in unserer Welt.

•FlüstergewölbeIn den Brennpunkten sind jeweils der Empfänger und der Sender.

3.) Ellispsoid-Reflexion in unserer Welt.

•NierensteinzertrümmererIn den Brennpunkten sind jeweils der Empfänger und der Sender.

krumm ist nicht dummWarum haben wir das Jahr der Mathematik?

einschaliges Hyperboloid

Eine Gerade dreht sich um die z-Achse und erzeugt als Ortsfläche das

KühltrumSilo,...

leicht in Beton zu bauen

Damit wir die Mathematik in der Welt sehen lernen.

leicht in Beton zu bauen

Bei dieserGeradendrehung durch den Raum entsteht als Ortsfläche ein

Hyperbolisches Paraboloid

Straßenbau, Einfahrten, Dächer, Zelte,...

Damit wir die Schönheit der Mathematik sehen lernen.

zum BeispielWurfparabeln

Damit wir die Vielfalt der Mathematik sehen lernen.

Katakaustiken

Hüllkurven reflektierterStrahlen

Kardioide

Damit wir die Vielfalt der Mathematik sehen lernen.

Katakaustiken

Hüllkurven reflektierterStrahlen

Nephroide

Dieses kann man sehen, wenn maneinen goldenen Ring in die Sonne legt.

Damit uns die Überraschungen erfreuen können.

Aus der Theorie der Komplexen Zahlen, die zunächst zu nichts Reellem nützlich schienen, ergab sich eine Verwandtschaft

von Kreisen und Geraden. Der „Inversor“

nutzt das nun doch technisch.

richtig krumm ist nicht gar nicht dumm

und alles steht im Internet

www.mathematik-verstehen.de

in den Bereichen: Kurven, Didaktik...

Vielen Dank für‘s Zuhören und Mitdenken.

Krumm ist nicht dumm Verblüffend einfache Geometrie von Kurven Prof. Dr. Dörte Haftendorn,...

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