MATHEMATIK I - wikiii.de · 2.4. Lineare Vektorräume 59 Lineare Abhängigkeit 60 2.5. Zeilen...

MATHEMATIK I

1.Fachsemester Studiengang: Medientechnologie

Priv. Doz. Dr. Thomas Böhme

t.boehme@mathematik.tu-ilmenau.de Tel. (69) 3630

www.mathematik.tu-ilmenau.de/~tboehme/

sc-rippt by mummi

< Inhaltsverzeichnis > Seite Deckblatt 1 Inhaltsverzeichnis 2 1.Grundlagen 4 1.1. Aussagen 4 Tautologie 5 1.2. Mengen 6 1.3. Quantoren und Aussageformen 8 1.4. Abbildungen und Funktionen 9 1.5. Beweisverfahren 10 1.6. Reelle Zahlen 13 1.6.1. Algebraische Eigenschaften 13 1.6.2. Ordnungseigenschaften 14 1.6.3. Beträge 16 1.7. Die natürlichen Zahlen 16 Prinzip der vollständigen Induktion 17 1.8. Die komplexen Zahlen 20 1.8.1. Algebraische Eigenschaften 20 1.8.2. Zahlenebene (Gaußs´sche Zahlenebene) 23 1.8.3. Polardarstellung 24 1.8.4. Wurzeln 28 quadratische Gleichungen 29 1.9. Polynome 29 Der Grad des Polynoms 30 Rechnen mit Polynomen 31 Nullstellen 34 Fundamentalsatz der Algebra 34 2. Lineare Algebra 35 2.1. Lineare Gleichungssysteme (LGS I) 35 Tableaudarstellung eines LGS 38 Gauß-Jordan-Verfahren (Algorithmus) 39 Hauptsatz über LGSe (1.Form) 42 Korollar 42 2.2. Matrizen und Vektoren 43 Spalten und Zeilenvektoren einer Matrix 45 Matrixoperationen 46 2.3. Lineare Gleichunssysteme (LGS II) 50 Struktur der Menge aller Lösungen eines LGS 55 Invertierbare Matrizen 56 2.4. Lineare Vektorräume 59 Lineare Abhängigkeit 60 2.5. Zeilen –und Spaltenraum, Rang einer Matrix 68

Dimensionsformel 76 Hauptsatz über LGSe (2.Form) 77 2.6. Euklidische Vektorräume 78 Cauchy – Schwarz Ungleichung 79 Orthonormalbasis 80 Orthogonale Projektion 81 Schmidt’sches Orthonormalisierungsverfahren 84 2.6.2 Abstände 89 Abstand Punkt, linearer Unterraum 89 Anwendung: Methode der kleinsten Quadrate 92 2.7. Determinanten 93 2.7.1. Determinanten von 2x2 Matrizen 93 Anwendung der Determinante 96

Cavalierisches Prinzip 97 2.7.2. Allgemeine Definition der Determinante 98 Rekursive Definition von det A: 99 Eigenschaften der Determinante 99 Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens zur

Berechnung der Determinante 104 Sarrn´sche Regel 106 Laplace´scher Entwicklungssatz 106 Cramer´sche Regel 107 Kreuzprodukt 114 Eigenschaften des Kreuzproduktes 115 Anwendung des Kreuzproduktes 116 2.8. Lineare Abbildungen 117 2.8.1. Definition, Matrix einer linearen Abbildung 117 Abbildungsmatrix 120 Eigenwerte und Eigenvektoren 123 Eigenschaften von Eigenwerte und Eigenvektoren 126 Orthonormalbasis aus EV 130 Klassifizierung quadratischer Gleichungen in Hauptachsenform 133

Mathe-Vorlesung 15.10.03 Dr. T. Böhme

1. Grundlagen 1.1. Aussagen

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde welches wahr oder falsch ist!

• zusammengesetzte Aussagen

1 Negation:

A ist auch A¬ Wahrheitstabelle:

2 Konjunktion:

A B∧ (…hier A und B)

3 Disjunktion:

A B∨ (…hier A oder B) 4 Implikation:

A B⇒ (…hier A impliziert B oder aus A folgt B)

5 Äquivalenz:

A B⇔ (…oder auch A = B / hier A und B sind äquivalent)

A A¬ w f f w

A B A B∧ w w w w f f f w f f f f

A B A B∨ w w w w f w f w w f f f

A B A B⇒ w w w w f f f w w f f w

A B A B⇔ w w w w f f f w f f f w

wenn A falsch ist, weiß man nichts über B

A ist genau dann wahr, wenn B wahr ist

1. Beispiel: ( A B⇒ ) ⇔ ( ) :B A C¬ ⇒¬ = 2. Beispiel: (( A B⇒ ) ( )B C∧ ⇒ ) ( ) :A C D⇒ ⇒ =

A B C A B⇒ B C⇒ A C⇒ D w w w w w w w w w f w f f w w f w f w w w w f f f w f w f w w w w w w f w f w f w w f f w w w w w f f f w w w w

3. Beispiel: :A A B∧¬ = TAUTOLOGIE

Aussageform: sprachliches Gebilde, welches eine oder mehrere Variablen enthält und durch Ersetzung der Variablen durch konkrete Werte zu einer Aussage wird Def: A(x) = Xe-2x+3≥ 0

A B A B⇒ A B¬ ⇒¬ C w w w w w w f f f w f w w w w f f w w w

A B w f f f

Kettenschluß

DEF. Eine Aussagenverbindung heißt Tautologie, wenn sie fest für alle möglichen Wahrheitswerte der beteiligten Aussagenwerte wahr sind!

Mathe-Vorlesung 15.10.03 Dr. T. Böhme 1.2. Mengen Eine Menge ist eine Zusammenfassung bekannter wohlunterschiedener Objekte Georg Cantor x M∈ ⇒ x ist Element der Menge M x M∉ ⇒ x ist nicht Element der Menge M Beschreibung von Mengen:

1 Aufzählung aller Elemente:

12,1,3

M ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

2 Darstellung als Teilmenge: …einer bekannten Menge durch Angabe einer charakteristischen Eigenschaft…

{ }2| 1 10A x x= ∈ + <

{ }1, 2 | | 2A= =

…die Anzahl der Elemente einer Menge heißt Kordinalität und wird mit |A| bezeichnet…

Def.: 2 Mengen A und B sind gleich (in Zeichen: A = B) wenn gilt x∈B Def.: Eine Menge B ist Teilmenge einer Menge A (in Zeichen: B A⊆ ) wenn gilt x∈B x A⇒ ∈

• Bemerkung: a; (A=B) ⇔ A B B A⊆ ∧ ⊆ b; Eine Teilmenge B einer Menge A heißt eine echte Teilmenge von A,

wenn gilt: B⊆A, d.h. es gibt ein Element x A so dass x B∈ ∉

Def.: Es sein A und B zwei Mengen, dann heißt die Menge { }|x x A x B∈ ∨ ∈

die Vereinigungsmenge von A und B, man schreibt A∪B

Def.: Es sein A und B zwei Mengen, dann heißt die Menge{ }|x x A x B∈ ∧ ∈ der Durchschnitt der Mengen A und B, man schreibt A∩B Def.: Es sein A und B zwei Mengen, dann heißt die Menge { }|x x A x B∈ ∧ ∉ die Differenz der Mengen A und B, man schreibt A \ B …hier A ohne B

1. Beispiel: { }1, 2,3, 4,5,6,7A =

|1 10x ist natürliche Zahl

⎧ ⎫= ⎨ ⎬≤⎩ ⎭

A B BA B A

∨ =∧ =

{ }8,9,10A =

2.Beispiel:

x kA x

k ist eine natürliche Zahl=⎧ ⎫

= ⎨ ⎬⎩ ⎭

x kB x

k ist eine natürliche Zahl=⎧ ⎫

= ⎨ ⎬⎩ ⎭

( )( )

x ist eine nat ZahlA B x x ist durch teilbar

x ist durch teilbar

⎧ ⎫⎪ ⎪∪ = ∧⎨ ⎬⎪ ⎪∨⎩ ⎭

Einige wichtige Mengen: ∅ die leere Menge Menge aller natürlichen Zahlen, d.h. { } { }1, 2,... 0= = ∪ Menge aller rationalen Zahlen Menge aller ganzen Zahlen Menge aller reellen Zahlen

Def.: Es sein A und B zwei Mengen, dann bezeichne A x B die Menge

( ){ }, |x y x A y B∈ ∧ ∈

Die Elemente von A x B heißen Paare, A x B heißt das kartesische Produkt von A und B! 1.Beispiel:

{ }{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

1, 2,3

1, , 1, , 2, , 2, , 3, , 3,

AxB a b a b a b

2.Beispiel:

( ){ } 2, | ,

AxB x y x y

= ∈ ∈ =

Def.: Es sein A1,…,Ak k Mengen, dann bezeichne A1x…xAk die Menge

( ){ }1 1 1,..., | ...k k kx x x A x A∈ ∧ ∧ ∈ Die Elemente von A1x…xAk heißen k-Tupel Beispiel: A1=A2=A3= A1xA2xA3= ( ) { }{ }1 2 3 1, , | 1, 2,3x x x x i∈ ∧ ∈

1.3. Quantoren und Aussageformen Quantoren: V für alles

∃ es existiert ein ∃ ! es existiert genau ein 1. Beispiel: V : 1x x∈ ≥ …wahre Aussage! Für alle natürlichen Zahlen x gilt: 1x ≥

2. Beispiel:

V x p∈ ∃ Primzahl : x = p + q Jede natürliche Zahl ist Summe zweier Primzahlen (Goldbach Vermutung) Aussagen:

Ist P(x) eine Aussageform,

dann sind: V x M∈ : P(x) ∃ x M∈ : P(x) ∃ ! x M∈ : P(x) Ist P(x,y) eine Aussageform, dann sind: V x M∈ : P(x,y) ∃ x M∈ : P(x,y) ∃ ! x M∈ : P(x,y) Beispiel: P(x,y): = x-y = 1 1.4. Abbildungen und Funktionen

Def: Es sein x,y zwei Mengen. Eine Abbildung (Funktion) f von x in y ist eine Zuordnungsvorschrift, welche jedem Element x X∈ ein Element y = f(x) an Y zuordnet

altern. Def: Eine Abbildung f von einer Menge Xx in einer Menge Y ist eine Teilmenge f

von Xxy so dass: ( ) ( )1 2 1 2, ,x y f x y f y y∈ ∧ ∈ ⇒ =

f : A → B

Ist f : A → B eine Abbildung (Funktion) von einer Menge A in einer Menge B, dann heißt A der Definitionsbereich der Abb. f und B der Wertebereich (oder auch Bildbereich) der Abb. f

Beispiel:

f : → mit f(x) = x2 Definitionsbereich:

Wertebereich:

Nicht jedes Element des Wertebereichs trift als Bild eines Elements des Definitionsbereiches auf, z.B. -1 ist nicht Quadrat einer reellen Zahl

Ist f : A → B eine Abb. und A´⊆A

dann schreibt man: ( ) { }´ : ( ) | ´f A f x x A= ∈ Beispiel: ( ) { } { }² | 0 |f x x x x= ∈ = ≥ ∈

Def: Ist f : A → B eine Abb. dann heißt f

1 injektiv, wenn f(x) = f(x´) => x = x´

2 surjektiv, wenn f(A) = B

3 bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist 1.Beispiel: f : → mit f(x) = x2 F ist nicht injektiv, denn f(1) = 1² = 1 = (-1)² = f(-1) 2.Beispiel: g : → mit g(x) = x³ g ist injektiv wenn: f(x) = f(x´) für x,x´∈ dann: x³=x´³ darum folgt: | x³ | = |x´³|, damit |x| = |x´| 3. Beispiel: Ist h injektiv?

:h = → mit h(x) = 3x+5 Sei h(x) = h(x´) für x,x´∈ h(x) = 3x+5 = 3x´+5 = h(x´) 3x = 3x´ x = x´ injektiv!

Ist f(x) = x² surjektiv? Nein, da f(x) = x² = -1 Ist g(x) = x³ surjektiv? Ja Ist h(x) = 3x+5 surjektiv? Ja 4. Beispiel:

| 1 ( ) lnl D mitD x x und l x x

= ∈ ≥ =

l ist injektiv und nicht surjektiv

Ist f : A → B eine injektive Abb., dann gibt es eine Abb. g : f(A)→A so, dass gilt: g(f(x)) = x für alle x A∈ g heißt die Umkehrfunktion (Umkehrabbildung) von f und wird mit f -1 bezeichnet

1 2 3 4 5 6

1.5. Beweisverfahren direkte Beweise: Beispiel: Satz: Ist n∈ und n gerade, dann ist n² gerade

pB p qq

⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

A und B sind gleichmäßig! Mann kann unendliche Mengen folgendermaßen charakterisieren: Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn sie zu einer ihrer Teilmengen gleichmäßig ist!

Beweis: n∈ und gerade => k∃ ∈ so, dass n = 2k n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²) => n² = 2l mit l=2k² => n² = ist gerade!

Eine spezielle Form eines direkten Beweises ist anstelle von A => B zu zeigen A B¬ ⇒¬ (Beweis durch Kontraposition)

Beispiel: Satz: Ist n∈ und n² ist gerade, dann ist n gerade Beweis: A= n∈ und n² ist gerade B=n ist gerade zu zeigen ist A=>B dazu reicht es aus, zu zeigen es gilt: A B¬ ⇒¬ B¬ = n ist ungerade n = 2k+1 für ein k∈ n² = (2k+1)²=4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1=2l+1 mit l=2k²+2k

n² ist eine ungerade Zahl (∈ ) A¬

Für jede Zahl n∈ gilt n ist genau dann gerade, wenn n² gerade ist

Widerspruchsbeweis: (indirekter Beweis)

Beispiel: Satz: 2 ist nicht rational Beweis: Annahme 2 wäre rational ,p q∃ ∈ so, dass

2 = pq

p und q haben keinen gemeinsamen Teiler

( )2 q p⇒ =

2 22q p⇒ = 2p⇒ ist gerade

Satz: ⇒ p ist gerade

⇒ k∃ ∈ :p = 2k ⇒ 2q2 = (2k)2 = 2 ⋅2k2

⇒ q² = 2k² ⇒ q² ist gerade ⇒ 2 teilt q und p ⇒ Widerspruch zur Annhame, das p und q keine gemeinsame Teiler haben

1.6. Reelle Zahlen

Zahlbereich ,a b xa x b∀ ∃+ =

, 0a b mit a

x a x b∀ ≠∃ + =

a n xx a∀ ∀ ∃

f (5 + x = 3) f (2x = 1) f (x2 = 2) w f (2x = 1) f (x2 = 2) w w f (x2 = 2) w w f (x2 = 2) 1.6.1. Algebraische Eigenschaften von: Im Bereich der reellen Zahlen sind eine Addition „+“ und eine Multiplikation „ ⋅“ erklärt, d.h. für alle a,b ∈ existiert a + b∈ und a ⋅b∈

• Eigenschaften der Addition und Multiplikation

(1) Assoziativgesetz:

, ,a b c∀ ∈ : a + (b+c) = (a+b) + c , ,a b c∀ ∈ : a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅b) ⋅ c

(2) Kommutativgesetz:

,a b∀ ∈ : a + b = b + a ,a b∀ ∈ : a ⋅b = b ⋅ a

(3) Distributivgesetz:

, ,a b c∀ ∈ : a ⋅ (b+a) = a ⋅b + a ⋅ c (4) ,a b x∀ ∈ ∃ ∈ : a + x = b ,a b x∀ ∈ ∃ ∈ mit 0a ≠ : a ⋅x = b man schreibt: x = b ⋅ a , wenn a + x = b

x = ba

= b : a = b / a , wenn a ⋅x = b

…alle genannten Eigenschaften gelten auch für den Bereich der rationalen Zahlen … und bilden bzgl. der Operationen „+“ und „ ⋅ “ einen kommutativen Körper 1.6.2. Ordnungseigenschaften von bekannt ist: Für je 2 reelle Zahlen a,b ∈ trifft genau einer der folgenden drei Fälle auf:

(i) a⊂b (ii) a = b (iii) a > b

• Eigenschaften der „<“ Relation: (a) Transitivität

, ,a b c∀ ∈

(( a < b ) ∩ ( b⊂ c)) ⇒ ( a⊂ c )

(b) Verträglichkeit mit den Operationen + und –

, ,a b c∀ ∈ (1) ( a > b ) ⇒ ( a + c ) > ( b + c ) (2) ( c > a ) ∩ ( a > b ) ⇒ ( a ⋅ c ) > ( b ⋅ c) (3) ( c < a ) ∩ ( a > b ) ⇒ ( a ⋅ c ) < ( b ⋅ c)

⇒ Folgerungen:

a < b ⇒ -b < -a

0 < a < b ⇒ 0 < 1b

a2 > a { }a a∀ ∈

Mathe-Vorlesung 23.10.03 Dr. T. Böhme Schreibweise:

Wenn ( a = b ) ∪ ( a > b ), dann schreibt man a ≥ b (analog erklärt man a ≤ b)

Intervalle: ,a b∀ ∈ [ ] { }, : |a b x a x b= ∈ ≤ ≤ ( ] { }, : |a b x a x b= ∈ < ≤ [ ) { }, : |a b x a x b= ∈ ≤ < ( ) { }, : |a b x a x b= ∈ < < [ ) { }, : |a x a x∞ = ∈ ≤ ( ) { }, : |a x a x∞ = ∈ < ( ] { }, : |a x x a−∞ = ∈ ≤ ( ) { }, : |a x x a−∞ − = ∈ < ( ), :−∞ ∞ = Beispiel: ( x – 2 ) ⋅ ( x + 3 ) < 0 Ziel ist es, die Menge L:= ( ){ }| ( 2) 3 0x x x∈ − ⋅ + < als Vereinigung von Intervallen darzustellen ( x – 2 ) ⋅ ( x + 3 ) < 0 ⇔ ((( x - 2 ) < 0 ) ∩ ( x + 3) > 0)) ∪ ((( x - 2 ) > 0 ) ∩ ( x + 3) < 0)) 1. Fall: ( x - 2 ) < 0 und ( x + 3) > 0 ( x - 2 ) < 0 ⇔ x < 2 ⇔ ( ), 2x∈ −∞

( x + 3) > 0 ⇔ x > -3 ⇔ ( )3,x∈ − ∞ ( ), 2x∈ −∞ ∩ ( )3,x∈ − ∞

⇔ ( ), 2−∞ ∩ ( )3,− ∞ = ( -3,2)

Mathe-Vorlesung 23.10.03 Dr. T. Böhme 2. Fall ( x - 2 ) > 0 und ( x + 3) < 0 ( )2,x∈ ∞ ∩ ( ), 3x∈ −∞ −

⇔ ( )2,∞ ∩ ( ), 3−∞ − = ∅ L = (-3,2) ∪ ∅ = (-3,2) 1.6.3. Beträge für a∈ definiert man:

a wenn aa

a sonst

≥⎧⎪= ⎨⎪−⎩

a heißt der (absolute) Betrag der Zahl a

• Eigenschaften von |a|:

,a b∀ ∈ (i) |ab| = |a| ⋅ |b| (ii) |a+b| ≤ |a + |b| …Dreiecksgleichung Bemerkung: Alle Aussagen ihrer Ordnungseigenschaften und Beträg

reeller Zahlen gelten sinngemäß auch für rationale Zahlen. 1.7. Die natürlichen Zahlen …peano axiome…

1. 1 ∈ 2. n ∈ ⇒ n + 1 ∈ 3. n ≠ m ⇒ n + 1≠ m + 1 4. n ∈ ⇒ n + 1 ≠ 1 5. M∀ ⊆ gilt: ( 1 ( )( )1M k k M k M∈ ∩ ∀ ∈ ⇒ + ∈ M⇒ =

Rekursive Definition von ∑ und ∏ : 1 Seien ai ∈ für alle i ∈

Dann definieren wir:

: :n n

i n ii i

n a a a+

∀ ∈ = +∑ ∑

Bemerkung: 5

1 2 3 4 51

a a a a a a=

= + + + +∑

2 Seien ai ∈ für alle i ∈ Dann definieren wir:

: :n n

i n ii i

n a a a+

∀ ∈ = +∏ ∏

Prinzip der vollständigen Induktion A(n) ist eine Aussageform abhängig von n∈ wenn gilt:

(1) A(1) ist wahr (2) k∀ ∈ : H (k) → A (k+1)

dann ist A(n) wahr für alle n∈ Beispiel:

(1) Summe der ersten n natürlichen Zahlen

A(n) : 1

1 ( 1)2

ii n n

= +∑

Beweis: (vollständige Induktion nach n)

n = 1 A(1) : 1

11 1(1 1)2

= = +∑ w.A.

zu zeigen ist nun: A(k) ⇒ A(k+1) k∀ ∈

1 1( 1)

i ii k i

= + +∑ ∑ = (k+1)+ 12

k(k+1) = 12

(2(k+1) + k(k+1)

( k + 1 ) ⋅ ( k + 2 )

Also A(k) ⇒ A (k+1) k∀ ∈ w.A. (2) Permutationen Def.: Eine Permutation einer endlichen Menge M ist eine

bijektive Abbildung von M auf M

Beispiel: M = { 1,2,3,4 } Ziel: Berechnung der Anzahl aller (verschiedenen) Permutationen einer n-elementigen Menge

Behauptung: Anzahl der Permutationen von

{1,2,…,n} = n! 1

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠∏

Anzahl der Permutationen von {1,…,n} = n! Beweis: vollständige Induktion nach n n = 1

Es gibt genau eine Bijektion von {1}auf {1} Anzahl der Permutationen von {1} = 1 = 1! w.A.

Sei { } { }1, 2,..., 1 1,2,..., 1k k= + → +∏

eine Permutation von{ }1, 2,..., 1k +

Jede Permutation von {1,…,4} kann auf k+1 weisen und zu einer Permutation von {1,…,k+1} ergänzt werden. Also gibt es (k+1) Permutationen von {1,…,k} = (k+1) ⋅k! = (k+1)! Permutationen von {1,…, k, k+1}

i ( )iπ 1 2 2 4 3 3 4 1

i 1 2 3 j … k k+1 ∏ (i) j k+1

(3) Binomialkoeffizient: ! ( 1)( )! !

n n n mm n m m

⎛ ⎞ = ≥ ≥⎜ ⎟ −⎝ ⎠

Behauptung: Anzahl der m elementigen Teilmengen einer n

elementigen Menge = nm

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Beispiel: M = {a,b,c} Menge aller 2-elementigen Teilmengen von M = {{a,b},{a,c},{b,c}} Beweis: vollständige Induktion nach n m = 1 Anzahl der 1-elementigen Teilmengen einer n-

elementigen Menge = Anzahl der Elemente = n

= ( )1 !!1 ( 1)!1! ( 1)!1!

n nn n nn n

−⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟ − −⎝ ⎠

Jede k-elementige Teilmenge kann auf n-k zu einer (k+1) – elementigen Teilmenge erweitert werden { } { }1,2,3,4,5 1,3,5

{1,2} {1, 3} {1, 4} {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,3} {1,3,4} {1,2,4} {1,3,4} {1,2,4}

Anzahl der (k+1) elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge = (n-k) Anz. der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge (k+1)

= ( )! !!1 1 !( )! ( 1)!( 1)!( )

n n k nn k n k nkk k k n k k n k n k

−⎛ ⎞− −− ⋅ =⎜ ⎟+ + − + − − −⎝ ⎠

nk⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

r! = r ( r-1)! = r( r-1)( r-2 )! Bemerkungen:

(1) nm⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∈ für 1 m n≥ ≥

(2) Man setzt nm⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0 für 1m n> ≥

(3) Man setzt 0! = 1 und damit erhält man ! 1 10 0! ! 0!n n

n⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

(4) nm⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

n m⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

(5) nm⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

n m⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

nm+⎛ ⎞

⎜ ⎟+⎝ ⎠

Satz: (Binomischer Satz)

Für alle n∈ und alle a,b∈ gilt (a+b)n = 1

ni n i

ni a b

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Als Folgerung aus dem Binomischen Satz erhält man die Anz. aller Teilmengen einer n-elementigen Menge = 22 Beweis: Anz. aller Teilmengen einer n-elementigen Menge

1 1 (1 1) 2nn n

i n i n n

i i−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ …binomischer Satz

1.8. Komplexe Zahlen 1.8.1. Algebraische Eigenschaften Wir setzen 1i = − , also gilt i2 = -1

Wir definieren: Eine komplexe Zahl z ist ein Ausdruck der Form z = x + iy wobei x, y∈

{ }| ,x iy x y= + ∈ Auf der Menge werden zwei Operationen Addition („+“) und Multiplikation („ ⋅“) definiert: Seien z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 zwei komplexe Zahlen Addition: z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

Multiplikation:

z1 ⋅ z2 := (x1 ⋅x2) - (y1 ⋅y2) + i ⋅ (x1y1+y2x2) ⋅ (x1+iy1) ⋅ (x2+iy2)

= x1x2 + iy1x2 + y2x1 – y1y2 – x1x2 – y1y2 + i ⋅ (x1y2+x2y1) Eigenschaften der Operationen “+”, “ ⋅ “

(1) z1+z2 = x1+x2+i ⋅ (y1y2) = x2+x1+i ⋅ (y2+y1) = z2+z1 (Kommutativität) (2) Jede Gleichung der Form z1-z2+(a+i ⋅b) hat eine eindeutig

bestimmte Lösung (a+i ⋅b) mit a,b∈ Wir rechnen nach: x1+iy1 = (x2+iy2) + (a+ib) = (x2+a) + i ⋅ (y2+b) ⇔ x1 = x2+a und y2 = y2+b

Da jede Gleichung der Form c = d + x in eine eindeutige Lösung

hat, existieren a,b∈ und sind eindeutig bestimmt.

Wir schreiben: a + ib = z1 – z2 (3) Es gilt für alle z1; z2; z3 ∈

z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 (Assoziativität)

(4) z1 ⋅ z2 = x1 ⋅x2+ y1 ⋅y2 + i ⋅ (x1y2+y1x2) = x2x1 – y2y1 + i(y2x1 + y1x2= = z2 ⋅ z1 (Kommutativität)

(5) Jede Gleichung der Form z1 = z2 ⋅ (a+ib)

hat eine eindeutig bestimmte Lösung a + ib mit a,b∈ vorausgesetzt 2 20 0x oder y≠ ≠ Wir betrachten zuerst den Fall: z2 = x2 + i0 (a≠ 0) x1 + iy1 = (x2 + i0) ⋅ (a + ib) = x2a + ix2b ⇔ x1 = x2a und y1 = x2b

⇔ a = 1

Der allgemeine Fall: z2 = x2 + iy2 mit ( 2 20 0x y≠ ∪ ≠ Wir setzen: 2z : = x2 – iy2 = x2 + i(-y2) ( 2z heißt die zu z2 konjugiert komplexe Zahl) Wir bilden: z1 = z2 ( a + ib ) | 2z

2z ⋅ z1 = ( 2z ⋅ z2) ⋅ ( a + ib ) Nebenrechnung: 2z ⋅ z2 = (x2-iy) ⋅ (x2+iy2) = x2

2+y22 + i ⋅ (x2y2-x2y2)

= x22+y2

a,b∈ existieren und sind eindeutig bestimmt, da der Spezialfall x2

2 + y2 + i ⋅0 vorliegt

(6) Für z1, z2, z3 ∈ gilt:

z1 ⋅ (z2 ⋅ z3) = z1z2 + z1z3 (Distributivität) Bemerkungen: (1) Wir identifizieren die komplexe Zahl x = a + i0 = 0

Damit ist ⊆

(2) Man schreibt: z1 – z2 für die Lösung der Gleichung

z1 = z2 + (a+ib) und 1

für die Lösung der Gleichung z1

= z2 ⋅ ( a ⋅ ib) mit z2≠ 0

(3) Die komplexen Zahlen bilden einen kommutativen Körper.

Beispiel: a) z1 = 1 + i5

z2 = -1 + i3 z1+z2 = (1+(-1)) + i(5+3) = 0 + i8 = 8i z1 ⋅ z2 = (1 +i5) ⋅ (-1+i3) = 1 –((-1) + i(5-3) = 2 + i2

(1 5)( 1 3)

i zi z

+ ⋅− + ⋅

= (1 5) ( 1 3)( 1 3) ( 1 3)

i ii i

+ ⋅ − −− + ⋅ − −

1 3 5 15( 1) 3

i i− − − +− +

= 14 8 1,4 0,8 1,4 0,810

i i i−= − = −

1.8.2. Zahlenebene (…Gaußs´sche Zahlenebene)

Die komplexe Zahl z = x + iy wird als Punkt mit den Koordinaten (x,y) in einer Ebene dargestellt.

imaginäre Achse (2+i) 2 2 | |x y z+ = reelle Achse Bezeichnungen: Ist z = x + iy ∈ so heißt: x der Realteil von z y der Imaginärteil von z man schreibt: x = Re(z) y = Im(z) Also gilt z = Re(z) + i Im(z)

Ferner setzt man: |z| = zz = 2 2x y+ z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 z1+z2 = x1+x2+ i((y1+y2) y1+y2 z1 + z2 y2 y1 x2 x1 x1+x2

Intuitiv erkennt man: |z1| + |z2| ≥ |z1+z2| …Dreiecksgleichung Bemerkungen: Es gelten folgende Beziehungen: z + z = 2Re(z) z = z 1z z1+ 2z = 1 2z z+ |z1 ⋅ z2| = |z1| ⋅ |z2| 1.8.3. Polardarstellung Im y z = x + iy ϕ x Re

2 2x y zz z+ = =

|z| = 2 2x y+ y = Im (z) = (z) sinϕ⋅ ϕ x = Re(z) = |z| cosϕ⋅

z = |z| ( cos siniϕ ϕ+ ) …Polardarstellung von z

Man setzt: ie ϕ := cos siniϕ ϕ+ damit erhält man : z = |z| ie ϕ (Exponentialdarstellung)

Wiederholung i2 = -1 i = 1− z = x + iy (x+iy) + (u+iv) = (x+n) + i(y+v) (x+iy) – (u-iv) = (xu-yv) + i(xv-yu) z = x – iy I

y = z ⋅ sinϕ cosϕ + i ⋅ sinϕ = eiy x = z ⋅ cosϕ z = z ⋅ eiy z = x + iy z = x + iy z = z ⋅ ( cosϕ + sinϕ ) x = Re(z) …Realteil y = Im(z) …Imaginärteil

Ist z eine komplexe Zahl mit der Polardarstellung z = z ⋅ ( cosϕ + i ⋅ sinϕ ), dann heißt ϕ das Argument von z. Man schreibt arg(z) = p Eigenschaften von sin und cos: (i) sin2ϕ + cos2ϕ = 1 ∀ ϕ (ii) sin0 = o ⋅ i ⋅ cos0 = 1

sin2π = 1; cos

2π = 0

(iii) sinϕ = -sinϕ ; cos(-ϕ 9 = cosϕ (iv) sin (ϕ +2kπ ) = cosϕ ; ∀ k ∈ (v) sin (ϕ +ψ ) = sinϕ cosψ = cosϕ sinψ (vi) cos (ϕ +ψ ) = cosϕ cosψ - sinϕ sinψ

⇒ eio = cos0 + i sin0 = 1

= cos2π + i sin

2π = 1

| eiy | = | cosϕ + i sinϕ | = 1 ( )ie ϕ ψ+ = cos (ϕ +ψ ) + i sin (ϕ +ψ )

= cosϕ cosψ - sinϕ sinψ + i (sin ϕ cosψ - cos ϕ sinψ ) = (i sin ϕ cosψ ) ( cos ϕ i sinψ )

= ie ϕ ⋅ ieψ

Also gilt: z1 = | z1 | ⋅ ie ϕ z2 = | z2 | ieψ z1 ⋅ z2 = (|z1| ⋅ ie ϕ ) (|z2| ⋅ ieψ ) = |z1| ⋅ |z2| ⋅ ( )ie ϕ ψ+ d.h. |z1z2| = |z1| ⋅ |z2| arg (z1z2) = arg(z1) + arg (z2) z2≠ 0

( )1 11

z e zz ez z e z

ψϕ ψ

ϕ−= = d.h.

= arg 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= arg(z1) – arg(z2)

1 i−

Sei n∈ und z∈ dann setzt man

r n mal

z z z n= −

= =∏

dann gilt: Wenn z = | z | ⋅ ie ϕ ,dann zn = (| z | ⋅ ie ϕ )n

= | z |n ⋅ ine ϕ ,d.h. - | z n | = | z |n - arg (zn) = n arg (z)

Beispiel: z = 1 –i |z| = 2

cos ϕ = 12

⇒ 4πϕ = ∨

4πϕ = − = 2π -

4π = 7

z = 74 42 2

i ie e

ππ −=

z2 = |z|2 724

π = ( 2 )2

π= −

Mathe-Vorlesung 05.11.03 Dr. T. Böhme 1.8.4. Wurzeln Sei w∈ mit w = |w| ieψ und n∈ zn = w (*) Wir suchen alle Lösungen z∈ der Gleichung (*) z = |z| ie ϕ zn = |z|n ine ϕ = |w| ie ϕ ⇔ |z|n = |w| nϕ ψ− = 2kπ mit k∈ |z| = n w

ϕ = 2kn

ψ π+ mit k∈

ϕ = nψ k = 0

ϕ = 2n

ψ π+ k = 1

ϕ = 2nn

ψ π+ = 42n nψ π+ =

zn = w ⇔ |z| = n w

arg(z) = ϕ = 2kn

ψ π+

Beispiel: w = 1 ; zn = 1 = eio

|z| = 1n =1

arg (z) = ϕ = 2knπ , k = 0,…, n-1

6n = •4n = •

11−Re

Mathe-Vorlesung 05.11.03 Dr. T. Böhme quadratische Gleichungen:

2x px q+ + ⇒ 2

1,2 2 2p px q= − ± −

z2 = w ⇒ - |z| = 2 w

- arg (z) = arg( ) 22

w kπ+ k = 0,1

arg( )2

⎧⎪⎪⎨⎪⎪ +⎩

⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪−⎩

Beispiel: 2 2 2 0

p qz z− + = ⇒ 2

1,2 1 1 2 1 1 1z i= ± − = ± − = ±

1.9. Polynome Es seien a0, a1, …, ak∈ mit ak≠ 0

dann heißt der Ausdruck

20 1 2

i i ki

a x a a x a x a x=

= + + +∑

ein Polynom in x. Der Grad des Polynoms:

a x=∑ ist k und wird bezeichnet mit

a x k=

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑

Ist P(x) = 0

a x=∑ ein Polynom, dann definiert P(x) eine Funktion

:f → mit ( ) : ( ),f z P z z= ∈ grad(P(x)) = k (Grad) Beispiele: P1(x) = x2+10x+1 Grad (P1(x)) = 2 P2(x) = x3+3x2+6x+10 Grad (P2(x)) = 3 P3(x) = 1 Grad (P3(x)) = 0 P4(x) = 0 Nullpolynom Grad (P4(x)) =: -1 Satz: …Koeffizientenvergleich Es gilt:

( ) ( )k l

i ii i

P x a x Q x b x= =

= =∑ ∑ mit 0 0 0,...,k la b i k≠ ≠ ∀ =

0,...,i i ik l und a b k⇔ = = ∀ = Beweis: ⇐ klar ⇒ Wir dürfen annehmen k ≥ l

Induktion nach k:

k = 0 P(x) = a0 = bo = Q(X) , o ok l a b⇒ = = k > 0 P(x) = Q(x) (0) (0) o oP Q a b⇒ = ⇒ = 0x ≠ ( ) ( )P x Q x= ( ) ( )o oP x a Q x b⇒ − = −

iP x a a x

− =∑

( ) ( )( )l

P x a Q x bQ x b b xx x=

− −− = ⇒ =∑

0( )P x ax− ist ein Polynom mit Grad 1k≤ −

0( )Q x bx− ist ein Polynom mit dem Grad 1l≤ −

0 0( ) ( )P x a Q x bGrad Gradx x− −

ai = bi für i = 1,…, k ⇒ -ai = bi für i = 0,1,…,k -k = l Rechnen mit Polynomen

Seien 1

iP x a x

=∑ und 0

iQ x b x

= ∑ ( 0 0k ka b≠ ≠ )

Summe von P(x) und Q(x):

P(x) + Q(x) = 1

b x=∑ ( )

{ }max ,

a b x=

= + ⋅∑

Beispiel: P(x) = x3 + x2 + x Q(x) = x2 + 1 P(x) + Q(x) = x3 + 2x2 + x + 1 Falls k = max {k,l} und k>l setze bi = 0 für i { }1,...,l k∈ + Falls l > k setze ai = 0 für i { }1,...,l l∈ +

Produk von P(x) und Q(x):

P(x) ⋅Q(x) = 1 0

k l ii

i i ji i

a b x+

−= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

Beispiel:

P(x) ⋅Q(x) = (x3 + x2 + x) ⋅ (x2 + 1) = x5 + 2x3 + x4 + x2 + x

Koeffizient von x0:

0 0 00

a b a b−=

Koeffizient von x1:

1 0 1 1 00

a b a b a b−=

= +∑

Koeffizient von x2:

2 1 2 1 1 2 00

a b a b a b a b−=

= + +∑

Polynomdivision mit Rest:

iP x a x

= ∑ , 0

iQ x b x

= ∑ mit 0 0k la b≠ ≠

dann existieren Polynome S(x) und R(x) so, dass gilt: P(x) = Q(x) ( ) ( )x R x+∫ Grad (R(x)) < Grad( Q(x)) Beweis: Ist grad(Q) = l > grad (P(x)) = k, dann setze S(x) = 0 und R(x) = P(x) Sei k l≥ bilde:

Q (x) = 0

lk l k l ik k

a ax b x xb b

− −

i k l kki k

ab x a xb

= +∑

P (x) = 1( ) ( )k lk

a x Q x P xb

− → =

⇒ grad (P1(x) 1k≤ −

Ist grad(Q) = l = k, setze:

P1(x) = R(x) ( )k lk

a x S xb

Ist grad(Q) = l < k wiederhole den Vorgang mit P1(x) anstelle von P(x) Da in jedem Schnitt der Grad des Polynoms P1(x) um wenigstens 1 abnimmt, endet das Verfahren.

Beispiel: P(x) = 6x3 + 4x2 + 12 Q(x) = 4x2 + x + 1

(6x3 + 4x2 + 12) : (4x2 + x + 1) = 3 52 8

3 23 3-(6x + x + x) 2 2

25 3x + x + 122 2

25 5 5-( x + x + ) 2 8 8

17 918 8

x− +

( ) ( )

6x + 4x + 12 ( )

3 5 17 914x + x + 12 8 8 8

S X R X

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Nullstellen: Eine komplexe Zahl z heißt Nullstelle eines Polynoms P(x), falls gilt P(z) = o Sei a eine Nullstelle von P(x) dann gilt: P(x) = S(x) ⋅ ( x - a) Beweis: Division von P durch Q = ( x – a ) mit Rest heißt: P(x) = S(x) ⋅ ( x - a) + R(x) mit Grad( R(x)) < 1 Da a Nullstelle ist gilt: 0 = P(a) = ∫ (a) (a-1) + R(a) = R(a) Folgerung:

(1) Ein Polynom x-ten Grades hat ≤ x Nullstellen (2) Sind a1,…,ar Nullstellen von P(x) so gilt:

P(x) = (x-a1)(x-a2)….(x-ar) ∫ (x)

Ist a Nullstelle von P(x) so heißt (x-a) ein Linearfaktor von P Die größte Potenz m für die gilt P(x) = (x-a)m S(x) heißt Vielfachheit der Nullstelle a. Es gilt also: Summe der Vielfachheiten der Nullstellen von P(x) ≤ grad P(x) Fundamentalsatz der Algebra: Ist P(x) ein Polynom vom Grad k , dann existieren komplexe Zahlen a1,….,ar so,

dass P(x) = ( ) 1

1 x - a m …… ( ) 2

2 x - a m …… ( )r x - a rm und 1

2. Lineare Algebra

2.1. Lineare Gleichungssysteme (LGS I) Beispiele: Beispiel a: 3x + y = 4 2x +2y = 4 1. Lösungsvariante y = 4 – 3x ….einsetzen in 2.Gleichung => 2x + 2(4-3x) = 4 2x + 8 – 6x = 4 -4x = -4 x = 1 y = 4 – 3 · 1 =1 2. Lösungsvariante

3x + y = 4 · 13

2x + 2y = 4

x + 13

y = 43

2x + 2y = 4

x + 13

y = 43

x + 13

y = 43

y = 1 ______________________________ x = 1 y = 1 ______________________________

Mathe-Vorlesung 12.11.03 Dr. T. Böhme Beispiel b: -x +2y +5z = 6 x + 3y – z = 3 5y +4z = 9 Beispiel c: -x +2y +5z = 6 x +3y - z = 3 5y +4z = 4 Simultane Lsg. der LGS´s aus den Beispielen b und c -x +2y +5z = 6 = 6 (-1) x +3y -z = 3 = 3 5y +4y = 9 = 4 x -2y -5z = -6 = -6 (-1) x +3y -z = 3 = 3 5y +4z = 9 = 4 x -2y -5z = -6 = -6 5y +4z = 9 = 9 5y +4z = 9 = 4 x -2y -5z = -6 = -6

5y +4z = 9 = 9 ( 15

) Beispiel c hat keine

0 = 0 = -5 Lösung, da 0 ≠ -5 x -2y -5z = -6

y + 45

z = 95

Die Menge Lb aller Lösungen des LGS (b) hat die Gestalt:

Lb= 12 17 9 4, ,5 5 5 5

z z z z⎧ ⎫⎛ ⎞− + − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

Die Lösungsmenge ist also unendlich!

Mathe-Vorlesung 12.11.03 Dr. T. Böhme Ein LGS mit m Gleichungen in n Variablen x1,…..,xn hat die Gestalt:

a11x1 +a12x2 +……+a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 +……+a2nxn = b2

am1x1 +m2x2 +……+amnxn = bm

Dabei sind die Koeffizienten aij reele (oder rationale, oder komplexe) Zahlen. Die rechten Seiten bi sind ebenfalls reelle (oder rationale, oder komplexe) Zahlen. Eine Lösung eines LGS´s ist ein n-Tupel (x1,…..,xn) reeller (oder rationale, oder komplexer) Zahlen mit der Eigenschaft, dass x1,…..,xn alle m Gleichungen des LGS´s gleichzeitig erfüllen. Die Menge aller Lösungen heißt die Lösungsmenge!

Wir betrachten drei Operationen O1, O2, O3 O1: Vertauschen zweier Gleichungen O2: Multiplikation einer Gleichung mit einem von null verschiedenen Faktor O3: Addiere das α -fache einer Gleichung zu einer anderen

Satz: Die Anwendung der Operationen O1, O2 und O3 auf ein LGS belassen die Lösungsmenge unverändert. Beweisskizze: Sei (x1,…..,xn) eine Lösung eines LGS (1) und entstehe das LGS (2) durch Anwendung einer der Operationen O1, O2 oder O3 auf das LGS (1). Es ist leicht zu sehen, dass (x1,…..,xn) auch die Lösung von (2) ist.

Um zu zeigen, dass auch jede Lösung von (2) wieder eine Lösung von (1) ist, reicht es zu beweisen, dass (2) durch die Anwendung einer geeigneten Operation O1, O2 oder O3 wieder in das LGS (1) übergeführt werden kann.

(1) Entsteht (2) durch Vertauschung zweier Gleichungen i und j an (1), so führt

wiederholtes Vertauschen der Gleichungen i und j (2) wieder in (1) über (2). Entsteht das LGS (2) durch Multiplikation einer Gl. i mit einem Faktor 0β ≠ ,

dann verwandelt Multiplikation dieser Gleichung mit 1β

das LGS (2) wieder in (1)

(3) Entsthet LGS (2) durch Addition des α -fachen der Gl. i zur Gl. j, dann geht LGS (2) durch Addition des (-α )-fachen der Gleichung i wieder in das LGS (1) über

Damit folgt: Jede Lösung des LGS (2) ist auch eine Lösung des LGS (1)

Lösungsmengen der LGS (1) und (2) sind gleich

Tableaudarstellung eines LGS

a11 a12 …a1n b1

a21 a22 …a2n b2

am1 am2 …amn bm

Ein LGS in Tableauform hat Stufenform, wenn es die folgende Gestalt hat:

1∗…. ∗ 0∗…∗0∗…∗0∗…∗0∗…∗ b1

0 0….0 1∗…∗0∗…∗0 …∗0∗…∗ b2

0 0 ...0 1∗…∗0

00…0 1

1∗…∗ bk 0≠

0 0…..0 0 0…000…0

Beispiele:

1x1+ 2x2 +0x3 +0x4 +3x5 +0x6 = 1 0x1+ 0x2 +1x3 +0x4 +2x5 +0x6 = 2 0x1+ 0x2 +0x3 +1x4 +1x5 +0x6 = 1 0x1+ 0x2 +0x3 +0x4 +0x5 +0x6 = 1 Tableauform:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 ……..Stufenvariablen

1 2 0 0 3 0 1

0 0 1 0 2 0 2

0 0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 1

Man kann aus der Stufenform sofort die Lösungsmenge ablesen, indem man nach den Stufenvariablen auflöst:

x1 = 1 – 2x2 - 3x5 x3 = 2 - 2x5 x4 = 1 - 1x5 x6 = 1 Die „Nichtstufenvariablen“ x2 und x5 können beliebig gewählt werden. Ein weiteres Beispiel: Tableauform:

1x1 + 0x2 = 0 1 0 0

0x1 + 1x2 = 2 0 1 2

0x1 + 0x2 = 1 0 0 1

Dieses LGS hat keine Lösung, da 0 1≠

1x1 + 0x2 + 0x3 = 10 1 0 0 10

0x1 + 1x2 + 0x3 = 5 0 1 0 5

0x1 + 0x2 + 1x3 = -2 0 0 1 -2

Alle Variablen sind Stufenvariablen. Das LGS

hat genau eine Lösung:

x1=10 x2=5 x3=-2

Gauß – Jordan Verfahren (Algorithmus) Input: LGS mit m Gleichungen in n Variablen

a11x1 +a12x2 +……+a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 +……+a2nxn = b2

am1x1 +m2x2 +……+amnxn = bm

Output: LGS in Stufenform, welches die gleiche Lösungsmenge wie

das Input-System hat. 1 Setze k=1 und SV = ∅

2 Finde den kleinsten Index j so, dass ein Index i ≥ k existiert mit

aij ≠ 0

Gibt es keinen solchen Index, gehe zu 7 Andernfalls, setze jk=k

3 Tausche Gl. i in die k-te Zeile 4 Multipliziere Gl. i mit 1

5 Für { } { }1,..., ,l m i∈ addiere das (-ali) –fache der Gl. i zu Gl. l

6 Setze k=k+1, { }kSV j∪ , gehe zu 2

7 Stop

Mathe-Vorlesung 13.11.03 Dr. T. Böhme Beispiel: 1 2 4 0 1 1 10 (-2) k=1; SV=∅ 2 4 7 1 0 2 16 (-2) 2 4 0 2 0 1 10 j1=1; i=1; a11=1 1 2 3 0 1 1 10 k=2; SV={1} 0 0 -1 1 -2 0 -4 |(-1) j2=3; i=2; a23=-1 0 0 -8 2 -2 -1 -10 1 2 4 0 1 1 10 (-4) 0 0 1 -1 2 0 4 0 0 -8 2 -2 -1 -10 (8) 1 2 0 4 -7 1 -6 k=3, SV={1,3} 0 0 1 -1 2 0 4

0 0 0 -6 14 -1 22 |(-16) j3=4, i=3, a34=-6

1 2 0 4 -7 1 -6 0 0 1 -1 2 0 4 (-4)

0 0 0 1 -73 -

113 (1)

1 2 0 0 73

263 k=4, S={1,3,4}

0 0 1 0 -13

0 0 0 1 -73

x1=263-

13x6-2x2

x3=13+

x4=-113+

Nach Abarbeitung des Gauß-Jordan Verfahren gelten folgende Aussagen: (S1) 0 1k m≤ − ≤ (S2) |SV| = k-1 1 sonst i=r (S3) Es gilt 1 2 kj j j< < <… und rija = 0 sonst (S4) Ist i > k-1, so gilt für alle j∈{1,…,n}: aij=0

Die Variablen x2, x5 und x6 können beliebig gewählt werden. Für jede Wahl von x2, x5, x6 erhalten wir eine spezielle Lösung.

Mathe-Vorlesung 13.11.03 Dr. T. Böhme Wir nennen s = k-1 die Stufenzahl des LGS. Eine Variable xj ist genau dann eine Stufenvariable, wenn j∈SV. Bemerkung:

Die Stufenzahl ist eindeutig bestimmt durch das Input – LGS. Die Menge der Stufenvariablen hängt davon ab, wie in Schritt 2der Index i gewählt wurde.

Hauptsatz über LGSe (1. Form) Es seien (∗ ) ein LGS mit m Gleichungen in n Variablen und (∗ ∗ ) ein LGS, welche durch Anwendung des G.-J.-Algorithmus aus (∗ ) entsteht.

Die Stufenzahl sei s Dann gilt: (a) (∗ ) ist lösbar

bi = 0 für alle i mit s < i ≤ m

(b) (∗ ) hat genau eine Lösung s = n

Korollar: (……Zusatz) Die Menge aller Lösungen von (∗ ) kann wie folgt dargestellt werden: beliebig, wenn j∈SV xj = bi= ij ij

a x∉∑ , wenn j=ji

Bemerkung:

Im obigen Beispiel wurde nur gesagt, dass die Nichtstufenvariablen beliebig gewählt werden können. Es hängt von der Aufgabenstellung ab, aus welchem Zahlenbereich (Körper) die Nichtstufenvariablen gewählt werden dürfen. I.A. erhält man zu verschiedenen Zahlbereichen verschiedene Lösungsmengen.

2.2. Matrizen und Vektoren Es seien m,n ∈ und K ein Zahlbereich (Körper) (d.h. , ,K K K= = = ) Eine mxn – Matrix über K ist eine Abbildung x….heißt „mal“ { } { }: 1,..., 1,...,A m x n K→ m heißt die Zeilenzahl und n die Spaltenzahl von A

anstelle von A(i,j) schreibt man meist aij

Matrizen werden durch rechteckige Schemata der Form:

a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn dargestellt. Die Menge aller mxn – Matrizen über K wird mit K(m,n) bezeichnet. Beispiel:

1 2 3 A= ∈ (23)

0 1 -1

Wiederhohlung: m,n ∈ K …Zahlbereich (Körper) d.h. K K K= ∨ = ∨ = mxn – Matrix { }{ }: 1,..., 1,...,A m x n K→ Schreibweise: aij = A(i,j)

A = ( )11 1

⎛ ⎞⎜ ⎟∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Beispiel: A = ( ) ( ) ( )2,3 2,3 2,31 2 30 1 1

⎛ ⎞∈ ⊆ ⊆⎜ ⎟−⎝ ⎠

Bezeichnungen:

• Spaltenvektor (mit m Einträgen) …(m,1) – Matrix

Schreibweise ( )1

1. : 0

aa Bsp a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ∈ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Wir identifizieren ( ),1m mit m und genauso ( ),1m mit m und ( ),1m mit m

• Zeilenvektor (mit n Einträgen) …(1xn) – Matrix

Schreibweise a = (a1,a2,…an) ( ) ( )1,4. : 1,1,0,1Bsp a = ∈

• quadratische Matrix (n-reihige quad. Matrix) …mxn – Matrix

Beispiel: A = ( )2,21 20 1

⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Nullmatrix vom Format (m,n)

, ,0 0 ( , ) 0m nm n m nK mit i j∈ =

Beispiel: 2,30 = 0 0 00 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

• Einheitsmatrix (n-reihige Einheitsmatrix)

1,( , )

m nn n

wenn i jI K mit I i j

=⎧⎪∈ = ⎨⎪⎩

Beispiel: 2 3

1 0 01 0

, 0 1 00 1

0 0 1I I

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Bemerkung: Wenn das Format aus dem Kontext ersichtlich ist, schreiben wir auch 0 oder I anstelle von ,0m n und nI Spalten und Zeilenvektoren einer Matrix ( ),m nA K∈ = aj = ( A (i,1), A (i,2), …, A (i,n) ), { }1,...,i n∈ i-te Zeilenvektor von A

= aj =

(1, )(2, )

A jA j

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

i,j { }1,..., n∈

j-te Spaltenvektor von A

Beispiel:

1 2 30 1 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 (1, 2,3)a = 2 (0,1, 1)a = −

a ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

a ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Wir vereinbaren die folgende Schreibweise: Es seien ( ),m nA K∈ und ( ),m lB K∈ Dann bezeichne (A/B) ( ),m n lK +∈

die Matrix (A/B) (i,j) =( , ),

( , ), 1

A i j wenn j n

B i j n wenn n j n l

≤⎧⎪⎨⎪ − + ≤ ≤ +⎩

Mathe-Vorlesung 19.11.03 Dr. T. Böhme Entsprechend:

( ),m nA K∈ und ( ),p nB K∈ dann sei ( ),m p nA KB

+⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

definiert durch

( , ) 1

( , )(1, ) 1

A i j wenn i mA i jB

B j m wenn m i m p

≤ ≤⎧⎪⎛ ⎞ = ⎨⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪ − + ≤ ≤ +⎩

Beispiel:

( )2,21 00 1

A ⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2,31 1 22 3 0

B−⎛ ⎞

= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

(A/B) = 1 0 1 1 20 1 2 3 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 10 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 20 11 1

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 10 12 20 11 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Insbesondere gilt ( )1 2| | ... | nA a a a= = ( )

2 ,m n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Matrixoperationen:

(a) Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl (Skalar) ( ),m nA K∈ , Kα ∈

durch: ( ) ( , ) : ( , )A i j A i jα α=

(b) Addition zweier Matrizen

( ),, m nA B K∈ , ( ),, m nA B K∈ ist definiert durch: ( A+B )(i,j):= A (i,j) + B (i,j)

Bemerkung: Die Summe A+B ist nur erklärt, wenn A und B die

gleiche Zeilen- und Spaltenzahl haben. Beispiel:

A = 1 2 30 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

; B = 1 2 3

0 1 1− − −⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠

A + B = 0 0 00 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 02,3

2 ⋅A = 2 4 60 4 2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Eigenschaften: Für alle ( ),, m nA B K∈ und alle , Kα β ∈ gilt:

(1) A + B = B + A (Kommutativität – Addition)

(2) A + ( B + C ) = ( A + B) + C (Assoziativität der Addition)

(3) A + ,0m n = A

(4) A + (-1)A = ,0m n

(5) ( )α β+ A = α A + Aβ

(6) α ( A+B ) = α A + α A

(7) (α ,β ) A = α ( β A)

(8) 1A = A

Bemerkung: Wir schreiben –A anstelle von (-1)A

(c) Matrixmultiplikation

( ),m pA K∈ ; ( ),p nB K∈ ( ),m nA K∈ ist definiert durch

(AB)(i,j):=1

( , ) ( )p

A i l B l=∑

Bemerkung: A ⋅B ist nur dann erklärt, wenn die Spaltenzahl von

mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt. Im Allgemeinen ist A ⋅B≠ B ⋅A

Ist A =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

und B = ( )1 2| | ... | nb b b

Dann gilt:

A ⋅B =

1 21 1 1

1 22 2 2

nn n n

a b a b a b

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

…………

Beispiel:

1 00 0

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1 22 1

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

A ⋅B = 1 1 0 2 1 2 0 10 1 0 2 0 2 0 1⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎛ ⎞

⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎝ ⎠

1 20 0⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 22 1

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1 00 0

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

B ⋅A = 1 1 2 0 1 0 2 02 1 1 0 2 0 1 0⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎛ ⎞

⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎝ ⎠

1 02 0⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

≠ A ⋅B

a = (1,2,0,0,1), ( )5,1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ∈⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a ⋅ b ( )1,1∈ = a ⋅ b = 1 ⋅1 + 2 ⋅1 + 0 ⋅2 + 0 ⋅2 + 1 ⋅0 = 3

b ⋅ a ( )5,5∈

b ⋅ a =

1 1 12 1 0 1 0 1 11 1 1 2 1 0 1 0 1 12 1 2 2 2 0 2 0 2 12 1 2 2 2 0 2 0 2 10 1 0 2 0 0 0 0 0 1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

1 2 0 0 11 2 0 0 12 4 0 0 22 4 0 0 20 0 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

≠ a ⋅ b

( )2,21 21 0

A ⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )2,31 0 12 1 0

B ⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

A ⋅B …ist definiert B ⋅A …ist nicht definiert

A ⋅B = 1 1 2 2 1 0 2 1 1 1 2 0 5 2 11 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Eigenschaften:

(9) (A+B) ⋅C = AC + BC für A,B ( ),m pK∈ und C ( ),p nK∈ A ⋅ (B+C) = A ⋅B + A ⋅C für A ( ),m pK∈ und B,C ( ),p nK∈

(10) α (A ⋅B) = (α A) ⋅B = A ⋅ (α B)

für A ( ),m pK∈ B ( ),p nK∈ und α K∈

(11) A ⋅ (BC) = (AB) ⋅C für A ( ),m pK∈ B ( ),p lK∈ C ( ),l nK∈ (12) Im ⋅A = A ⋅ In = A für A ( ),m nK∈

(d) Transposition

A ( ),m nK∈ AT ( ),m nK∈ ist definiert durch AT(i,j) = A (j,i) AT heißt die zu A transponierte Matrix Beispiel:

A = ( )2,31 2 30 1 1⎛ ⎞

∈⎜ ⎟⎝ ⎠

AT = ( )3,2

1 02 13 1

⎛ ⎞⎜ ⎟∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Eigenschaften: (13) (A+B)T = AT+BT für A,B ( ),m nK∈ (14) (AB)T = BT ⋅AT für A ( ),m nK∈ B ( ),p nK∈

(15) (α A)T = α AT für A ( ),m nK∈ und α K∈

(16) (AT)T = A für A ( ),m nK∈

Eine Matrix A heißt Symmetrisch, wenn AT=A A heißt schiefsymmetrisch, wenn AT=-A Offenbar ist jede symmetrische oder schiefsymmetrische Matrix quadratisch.

2.3. Lineare Gleichungssysteme II

Wir betrachten ein LGS mit m Gleichungen in n Variablen x1,…,xn

a11x1 +a12x2 +……+a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 +……+a2nxn = b2

am1x1 +am2x2 +……+amnxn = bm

Sei ( , )m nA K∈ mit A(i,j)=aij

Ferner seien b der Spatvektor 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

und x der Spaltenvektor 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Das LGS kann nur in der Form A x =b geschrieben werden.

Beispiel:

1x1-1x2+2x3+1x4=3

2x1-1x2-3x3+3x4=1

1x1+0x2-4x3+1x4=-2

in Matrixschreibweise:

1 1 2 12 1 3 31 0 4 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

=A = x =b

Wir betrachten nun ein LGS’e der folgenden Form: AX = B mit: ( , ) ( , ) ( , ); ;m n n p m pA K X K B K∈ ∈ ∈ Dabei seien A,B gegeben und X gesucht! Beispiel:

31 1 2 12 1 3 3 ; ;1 0 4 1

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜⎝

−⎟⎠

AX = B 1x 2x 1b 2b ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2A x x b b Ax b und Ax b= ⇔ = =

Anwendung des Gauß-Jordan Verfahrens auf LGS’e der Form AX=B

Sei 11 1 11 1

m mn m mp

a a b bA und B

a a b b

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

… …

Mathe-Vorlesung 20.11.03 Dr. T. Böhme Darstellung in Tableauform:

a11a12…a1n b11… b1p

a21a22…a2n b21… b2p

am1am2…amn bm1… bmp

Durch Anwendung des Gauß-Jordan Verfahrens auf dieses Tableau erhält man ein Tableau der Form:

1∗…. ∗ 0∗…∗0∗…∗0∗…∗0∗…∗ b11… b1p

0 0….0 1∗…∗0∗…∗0 …∗0∗…∗

0 0 ...0 1∗…∗0

00…0 1

1∗…∗ bS1… bSp

bS11,1… bS11,p

Das LGS AX = B hat eine Lösung X ( , )n pK∈ genau dann, wenn jedes der p LGS

1 1, , p pAx b Ax b= =…

eine Lösung hat. Durch Anwendung des Hauptsatzes über LGS (Abschn. 2.1) erhält man:

• AX = B hat eine Lösung genau dann, wenn 0i jb = für alle 1 1 .s i m und alle j p+ ≤ ≤ ≤ ≤

• AX = B hat eine eindeutig bestimmte Lösung X genau dann, wennn s=n=m

Dabei ist s die Stufenzahl!

Mathe-Vorlesung 20.11.03 Dr. T. Böhme Beispiel: 1 -1 2 1 3 -3 (-2) 2 -1 -3 3 1 1 (-1) 1 0 -4 1 -2 4 1 -1 2 1 3 -3 0 1 -7 1 -5 7 (1) 0 1 -6 0 -5 7 (-1) 1 0 -5 2 -2 4 0 1 -7 1 -5 7 (5) 0 0 1 -1 0 0 (4) 1 0 0 -3 -2 4 0 1 0 -6 -5 7 0 0 1 -1 0 0 Stufenzahl: s = 3 Stufenindizes: 1,2,3

x11=3x41-2 x12=3x42+4 x21=6x41-5 x22=6x42+7 x31=1x41 x32=1x42

3 2 3 46 5 6 7

x xx x

Xx xx x

− +⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

hier wurde 41 42 ,x und x gesetztα β α β= = ∈

die Menge aller Lösungen des LGS:

1 1 2 1 3 32 1 3 3 1 11 0 4 1 2 4

X− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

hat die Gestalt:

2 4 3 0 0 35 7 6 0 0 6

,0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1

L α β α β

⎧ − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + ∈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Mathe-Vorlesung 20.11.03 Dr. T. Böhme insbesondere gilt für , 0α β = :

2 41 1 2 1 3 3

5 72 1 3 3 1 1

0 01 0 4 1 2 4

−⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

= : A = : B daraus folgt:

2 4 3 0 0 3 2 4 3 0 3 05 7 6 0 0 6 5 7 6 0 6 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

A A A A Bα β α β

⎛ − ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= B 3 0 0 36 0 0 61 0 0 11 0 0 1

A Bα β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 0 0 36 0 0 6

,1 0 0 11 0 0 1

A B O für alleα β α β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇒ + = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mit 1 & 0α β= = folgt: und mit 0 & 1α β= = folgt:

3 06 01 01 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 30 60 10 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ein LGS heißt homogen, wenn B = 0 andernfalls heißt AX = B inhomogen. Ist AX = B ein LGS, so heißt das LGS AX = O das dazugehörige homogene LGS.

Struktur der Menge der Lösungen eines LGS Sei AX = B ein LGS und { }|L X AX B= = die Menge aller Lösungen.

Ferner sei { }hom |L X AX O= = die Menge aller Lösungen des zugehörigen homogenen LGS. Dann gilt:

• Sind X1,X2, hom ,L und Kα β∈ ∈ . Dann ist 1 2 homX X Lα β+ ∈ .

3 2 3 46 5 6 7

x xx x

Xx xx x

− +⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Struktur der Menge aller Lösungen eines LGS´s Ein LGS AX = B heißt homogen, wenn B = O, andernfalls inhomogen Ist AX = B ein LGS, so heißt AX = O das zugehörige homogene LGS. Satz: Es sei AX = B ein LGS mit ( ) ( ) ( ), , ,,m n n p m pA K X K und B K∈ ∈ = Dann gilt:

1 Sind X1,X2( ),n pK∈ Lösungen von AX = O,

dann ist auch 1 1 2 2X Xα α+ eine Lösung von AX = O für alle 1 2, Kα α ∈

2 Sind X1,X2( ),n pK∈ Lösungen von AX = B,

dann ist auch 1 2X X− eine Lösung des dazugehörigen LGS AX = O

3 Ist X1 eine Lösung von AX = B und X2 eine Lösung des zugehörigen homogenen LGS AX = O, dann ist 1 2X X+ eine Lösung von AX = B Beweis:

(1.) AX1+ AX2=O ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

A X X A X A XAX AX O O

α α α αα α α αα α

= + = +

A A AA I

A A A A I

ααα α

− −

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.) AX1+ AX2=B

( )1 2 1 2A X X AX AX B B O− = − = − =

(3.) AX1=B, AX2=O ( )1 2 1 2A X X AX AX B O O− = + = + =

Folgerung: Ist ( ){ },hom |n pL X K AX O= ∈ = die Menge aller Lösungen des

zugehörigen LGS und ist ( ),n pY K∈ eine beliebige Lösung von AX = B, dann ist ( ){ },

hom|n pL X Y K X L= + ∈ ∈

die Menge aller Lösungen von AX = B Invertierbare Matrizen

Es sei ( ),n nA K∈ eine quadratische Matrix. A heißt invertierbar (oder regulär), wenn eine Matrix ( ),n nB K∈ so exisiert, dass gilt: BA = AB = In In diesem Fall heißt B die Inverse von A, und man schreibt B=A-1. Eigenschaften der inversen Matrix Es seien ( ),, n nA B K∈ invertierbare Matrizen und Kα ∈ { }0 . Dann gilt:

1 Aα ist invertierbar und ( ) 1 11A Aαα

− −=

2 Die Matrix AB ist invertierbar und (AB)-1=B-1A-1

3 Die Matrix AT ist invertierbar und (AT)-1 =(A-1)T

4 Die Matrix A-1 ist invertierbar und (A-1)-1 = A

5 In ist invertierbar und (In)-1=In

Beweis: (1.)

(2.) (AB)(B-1A-1) = A (BB-1)A-1 = AInA-1 = AA-1 = In

(B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B = B-1InB = B-1B = In

(3.) (A-1)TAT = (AA-1)T = InT = In

AT(A-1)T = (A-1A)T = In

T = In

(4.) AA-1 = A-1A = In (5.) InIn = In

Satz: …Existenz und Eindeutigkeit der inversen Matrizen Es sei ( ),n nA K∈ dann gilt:

1 Wenn es Matrizen B,C ( ),n nK∈ so gibt, dass gilt: BA = AC = I , dann ist B = C

2 Wenn es eine Matrix B ( ),n nK∈ so gibt, dass AB = In, dann gilt auch BA = In

3 A ist invertierbar ⇔ Die Gleichung A x o= genau die Lösung x o= hat. Beweis:

(1.) B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C (2.) <folgt>

(3.) ⇐ <folgt>

⇒ Sei A invertierbar. A x o= Durch Multiplikation mit A-1 von hinten A-1A x =A-1 o o x o= ⇒ =

Berechnung der inversen Matrix Sei ( ),n nA K∈ Es reicht aus, zur Berechnung der Inversen A-1 die Gleichung AX = In zu betrachten

Beispiel:

( )3,3

1 2 11 3 12 5 3

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= − ∈⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 0 00 1 00 0 1

AX⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Tableauform: 1 2 -1 1 0 0 (-2) 1 3 -1 0 1 0 2 5 -3 0 0 1 (-1) 1 2 -1 1 0 0 0 1 0 -1 1 0 0 1 -1 -2 0 1 1 0 -1 3 -2 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 -1 -1 -1 1 | (-1) 1 0 -1 3 -2 0 0 1 0 -1 1 0 (1) 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 4 -1 -1 0 1 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 -1

Mathe-Vorlesung 26.11.03 Dr. T. Böhme 2.4. Lineare Vektorräume Es sei K wieder ein Zahlbereich, also K oder K oder K= = =

Def.: Eine nicht leere Menge V, in der zu je zwei Elementen a,b, V∈ eine Summe a+b V∈ und jeder Zahl Kα = ein Vielfaches aα erklärt ist, heißt Vektorraum über K, wenn folgende Bedeutungen erfüllt sind:

(V1) a+b = b+aV a,b V∈ (V2) a+(b+c) = (a+b) +c V a,b,c V∈

(V3) Es gibt ein Element o V∈ mit der Eigenschaft, dass a+o=aVa V∈

(V4) Zu jedem a V∈ existiert genau ein b V∈ so, dass a+b=o (V5) 1a=a V a V∈ (V6) ( ) ( )a aαβ α β= V ,α β K∈ V a V∈ (V7) ( ) ,a a a V K V a Vα β α β α β+ = + ∈ ∈ (V8) ( ) ,a b a a V K V a b Vα α β α+ = + ∈ ∈ Bemerkungen:

- (V3) impliziert sogar, dass o eindeutig bestimmt ist. Angenommen, es sind zwei Elemente u,v V∈ so, dass a+n = a+v = a Va V∈

u = u+v = v+u = v => Widerspruch !

- Va V∈ gilt oa = o - a+b=o ⇔ b = (-1)a = : a

Die Elemente eines Vektorraumes (VR) heißen Vektoren. Beispiele für Vektorräume: (1.) ( ),m nK ist ein VR über K mit Addition = Matrixaddition

Aα 11 1

a aα⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Mathe-Vorlesung 26.11.03 Dr. T. Böhme M

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

insbesondere sind also: 1 2 2

1, , .... 'VR e über

(2.) Sei ( ),n nA K∈ Dann ist die Lösungsmenge des homogenen LGS´s A x o= VR ein über K

(3.) Es sein

1, , nka a ∈…

die Menge

Span{ }1, , ka a… = 11 1

,...,| n

αα α⎧ ⎫

+ +⎨ ⎬∈⎩ ⎭…

ist ein VR über Def: Es sei V ein VR über K Sind a1,…ak Vektoren aus V 1,... kα α K∈ , dann heißt 1 1 ... k ka aα α+ + Linearkombination (LK) über K

Eine nicht leere Teilmenge M V≤ ist ein linearer Unterraum (UR) von V, falls gilt: (U1) , ,a M K a Mα α∈ ∈ ⇒ ∈ (U2) ,a b M a b M∈ ⇒ + ∈ Bemerkung:

Ist U V⊆ ein UR, so ist U selbst ein VR über K mit den gleichen Operationen ,+ ⋅wie in V triviale Unterräume von V: U1={0} U2=V

Eine Teilmenge M V⊆ ist linear abhängig, wenn es

Vektoren: 1,... ka a M∈ und

Zahlen: 1,..., k Kα α ∈ { }o so gibt, das: 1 1 ... k ka aα α+ + = 0

Andernfalls heißt M linear unabhängig Bemerkung:

• Ist M V⊆ linear unabhängig und ´M M⊆ so ist M´ linear unabhängig

• {0} ist linear abhängig • { 1,... na a }ist linear unabhängig ⇔

1 1 ... 0n na aα α+ + = hat nur eine Lösung 1 2 ... 0kα α α= = = =

• Wir definieren für M V⊆ M ≠ ∅

Span(M) = 11 1 1 1

,...... |

,...,k

a a Ma a

Kα α

α α∈⎧ ⎫

+ +⎨ ⎬∈⎩ ⎭

Span(M) heißt der von M erzeugte (aufgespannte/induzierte) UR.

• Ist für M V⊆ Span(M) = V, so heißt M Erzeugendensystem

von V • Ist M ein linear unabhängiges Erzeugendensystem so nennt

man M Basis von V

1. Beispiel: 3V =

1 0 10 , 1 , 21 0 1

M⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

1 0 1 00 0 2 1 ( 1) 2 0

1 0 1 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

M1 ist linear abhängig

M1 ist kein Erzeugendensystem von V d.h.

Span(M1) 3≠ da 10 ( )0

Span M⎛ ⎞⎜ ⎟∉⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Annahme:

1 0 1 10 1 2 01 0 1 0

α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 31 0 1 1α α α+ + = 1 2 30 1 2 0α α α+ + = 1 2 31 0 1 0α α α+ + =

1 0 1 10 1 2 01 0 1 0

ααα

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 1 1 (-1) 0 1 2 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 1 2 0 0 0 0 -1

1 2 30 0 0 1 ...Widerspruchα α α→ + + = − 2. Beispiel

1 0 00 , 1 , 00 0 1

M⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

M2 ist linear unabhängig

1 2 3 2

1 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0

αα α α α

=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

M2 ist ein Erzeugendensystem, d.h. jeder Vektor aus 3

lässt sich als LK darstellen:

1 0 00 1 00 0 1

xy x y zz

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

M2 ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine

Basis von 3 Satz: Es sei V ein VR über K

(a) Ist B eine endliche Basis von V, so kann jeder Vektor aus V auf genau eine Weise als LK der Vektoren in B dargestellt werden

(b) Sind B1 und B2 zwei (endliche) Basen von V, so ist |B1| = |B2|

Beweis:

(a) B ist eine Basis aus V B ={b1,…,bk} Dann gibt es zu a V∈ 1,..., k Kα α ∈ mit

1 1 ... k ka α β α β= + + Angenommen, es gelte:

1 1 1... ,k k ka mit Kβ β β β β β= + + ∈ und es sei z.b. 1 1α β≠ 0 = a+(-1)a = 1 1 ... k kα β α β+ + +(-1) 1 1 ... k kβ β β β+ + 0 = ( )1 1α β− b1 + … + ( )k kα β− bk

{ }1,..., kB b b⇒ = ist linear abhängig

(b) B1 ={a1,…,ak} B2 ={b1,…,bk}

Annahme l > k ( |B2| > |B1| ) Jeder Vektor b1,…,bl 2B∈ kann als LK aus B1 dargestellt werden

bi = 1 1 ...i ki ka aα α+ + (i=1,…,l) (*)

Wir betrachten c V∈ mit: c= 1 1 1 1... ...l l k kb b a aβ β γ γ+ + = + +

durch einsetzen von (*) erhält man:

c 1 11 1 1( ... )k ka aβ α α= + +

2 12 1 2

( ... )

l l kl k

β α α

2 1 11 1

....l l

j j kj kj j

β α β α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓ ⇓= ⋅ + ⋅

∑ ∑

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

bestimmt durch 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Damit hat das LGS genau eine Lösung

o in Tableauform entstehen genau l Stufen

o Wir haben k Zeilen und l Stufen k l≥ => Widerspruch! Ein VR V heißt endlich erzeugt oder endliche dimensional wenn V ein endliches Erzeugendensystem besitzt. Also: V ist endlich erzeugt :M V⇔∃ ⊆

o M ist endlich o V = Span (M)

Def.: Ist V ein endlich erzeugter VR über K, dann heißt die Mächtigkeit einer Basis von V, die Dimension von V Man schreibt: dim (V) Beispiel:

• 3V = 1 0 00 , 1 , 00 0 1

B⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

V = Span (B) V⇔ 3c B∈ ∃ 1 2 3, ,α α α ∈

so, dass 1 2 3

1 0 00 1 00 0 1

c α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c sei 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

dann gilt: 1 2 3

1 0 00 1 00 0 1

c c c c⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

B ist linear unabhängig !

Beweis:

sei 1 2 3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

ααα

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔ I3 1

ααα

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ααα

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ 1 2 3 0α α α= = = ⇒ B ist linear unabhängig B ist eine Basis von 3 den ( 3 ) = | B | = 3

• nV =

1 0 00 1

, ,........,0

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Bist Basis von n => denn ( n )=n

• nicht alle VR’e sind endlich erzeugt:

{ }| :V f f= →

= Menge aller Funktionen von in ist ein VR über mit:

=> ( )( ) ( ) ( ):f g x f x g x+ = +

=> ( )( ) ( ):f x f xα α= wobei f,g ,V α∈ ∈

Wir betrachten die Menge

xM g g x

sonstα⎧ = ⎫⎛ ⎞

= =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

00,20,40,60,8

0 1 2 3 4X

M ist linear unabhängig und unendlich => V ist nicht endlich erzeugt

Hilfssatz:

Es sei V ein VR über K und M V⊆ { }0 eine endliche Menge von Vektoren. Dann gilt M ist linear unabhängig.

V⇔ a M a Span M∈ ∉ { }( )a

Beweis: Wir zeigen:

M ist linear unabhängig

Va M a Span M

¬ ∈ ∉ { }( )( ).

d hM ist linear abhängig

:M a Span M⇔∃∈ ∈ { }( )

,...,k k

M ist linear abhängiga a

⇒⇒ + + =

∈ { }1

,..., kund a a M∈

( )2 21

1 ...n k ka a a

a Span M

α αα

⇒ = − + +

⇒ ∈ { }( )1a

Sei a Span M⇐ ∈ { }( )1 1

...,...,

a b bmit K

und b b M

α αα α

⇒ = + +∈

∈ { }a

Da a ≠ 0, ist mindestens ein 0iα ≠ (ohne Beschreibung der Allgemeinheit) o.B.d.A. sei 1 0α ≠

0 = 1 1 ... 1k kb b aα α+ + − M ist linear abhängig (Beweis des Hilfssatzes)

Satz: Es sei V ein VR über K und M V⊆ dann gilt: M ist Basis ⇔ M ist maximale linear unabhängige Menge ⇔ M ist ein minimales Erzeugendensystem Beweisskizze: Wir zeigen M ist Basis 1

2 M ist linear unabhängig M ist ein minimales Erzeugendensystem 3

1 M ist Basis

M ist linear unabhängig und V = Span (M) V a V∈ ( )M a Span M∉

Anwendung des Hilfssatzes: auf { }M a und a∪

zeigt { }M a∪ ist linear abhängig

M ist maximal linear unabhängig

2 und 3 können mit ähnlichen Schlüssen gezeigt werden!

2.5. Zeilen –und Spaltenraum, Rang einer Matrix

Es sei ( ),m nA K∈ mit A= ( )1 2| |, , ,| na a a =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Der Zeilenraum von A ist: Span { } ( )1,

1,...,n

na a K⊆

Offenbar ist der Spalten –und Zeilenraum endlich erzeugt. Wir setzen: Zeilenrang (A) = dem Zeilenraum Spaltenraum (A) = dem Spaltenraum Anwendung auf LGS: Wir betrachten ein LGS Ax b= (*) dann gilt:

(*) hat eine Lösung 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 21 2 nn

xA x a x a x a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⇔ = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1,..., nb Span a a⇔ ∈ = Spaltenraum A

.( ) .( | )Srg A Srg A b⇔ =

Beispiel: 1 0 20 1 30 0 0

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 01 , 00 1

b b⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1Ax b= etwa 110

x⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ist lösbar !

b⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ist ein Spaltenraum von A

1 1 0 2 1 0 2 11 1 1 1 1 0 3 0 1 3 10 0 0 0 0 0 0 0

b⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Da Stufenzahl A = 2 folgt 2Ax b= hat keine Lösung! => 2b nicht im Spaltenraum von A

Wiederholung:

( )1 2| | | nA a a a=1

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Spaltenraum = SR = Span { }( )1,..., na a

Zeilenraum = ZR = Span { }( )1,..., mg g

Spaltenrang = srg (A) = dim (SR)

Zeilenrang = zrg (A) = dim (ZR)

Zeilen –und Spaltenrang einer Stufenmatrix: 1 * . . . * 0 * . . . * . . . 0 * . . . * 0 0 . . . 0 1 * . . . * . . . 0 . . . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A = . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 * . . . * . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 Es gilt:

(1) Die zu den Stufenindizes gehörenden Spaltenvektoren von A bilden eine Basis des Spaltenraumes von A

(2) Spaltenrang von A = srg (A) = Stufenzahl (3) Zeilenrang von A = zrg (A) ≤ Stufenzahl (4) Die ersten s (Stufenzahl) Zeilenvektoren von A sind linear

unabhängig (5) Zeilenrang = Stufenzahl

Für Stufenmatrizen gilt: Spaltenrang = Zeilenrang Satz:

Für jede Matrix ( ),m nA K∈ gilt: srg (A) = zrg (A)

Mathe-Vorlesung 04.12.03 Dr. T. Böhme Beweisskizze:

Durch Anwendung der Operationen O1: Vertauschen zweier Zeilen O2: Multiplikation einer Zeile mit 0α ≠ O3: Addition eines Vielfachen der i-ten Zeile zur j-ten Zeile

kann jede Matrix A in eine Stufenmatrix A’ übergeführt werden. Genauso kann A’ durch schrittweise Anwendung von O1, O2, O3 wieder in A transformiert werden. A 0 0i i 'A

Da für die Stufenmatrix A’ gilt: srg (A) = zrg (A’) genügt es zu sagen, dass O1, O2, O3 jeweils den Zeilen –und Spaltenrang nicht ändern. Der Rang rg (A) einer Matrix A ist definiert durch rg (A) = srg (A) = zrg (A) Beispiel:

A= ( )3,3

2 6 11 4 13 10 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 6 -1 12 1

1 4 1 (-3) 3 10 0

1 3 -12

0 1 32 (-3)

0 1 32 (-1)

1 0 -5 Stufenzahl = 2 = rg (A)

0 1 32 Stufenindizes; 1,2

Die LGS´e 2 6 1 01 4 1 03 10 0 0

x−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 5 030 1 02

00 0 0

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

haben den gleichen Lösungsraum.

2 6 11 4 1 03 10 0

x x x−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

51 031 1 02

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

Also gilt: Sind die Vektoren mit den Indizes 1 und 2 in der Stufenmatrix

A’ linear unabhängig, dann sind auch die entsprechenden Spaltenvektoren von A linear unabhängig.

2 4 -6 2 0 12 (-1)

1 3 2 4 0 (-2) 2 5 -3 7 0 1 2 -3 1 0 0 1 5 3 0 (-2) 0 1 3 5 0 (-1) 1 0-13 -5 0 0 1 5 3 0 (13)

0 0 -2 2 0 -12 (-5)

1 0 0-18 0 0 1 0 8 0 0 0 1 -1 0 x1 = 18x4

x2 = -8x4

18 188 8

x x xxx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

x3 = x4

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟−⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

= Span

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟−⎪ ⎪⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

ist ein Erzeugendensystem von L, da jeder Vektor ein L Vielfaches von

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟−⎪ ⎪⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

linear unabhängig?

nach Definition gilt:

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟−⎪ ⎪⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

ist linear abhängig

α∃ ∈ { }

18 08 0

0 :1 01 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Offenbar gilt aber:

18 08 0

1 01 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

für alle 0α ≠

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟−⎪ ⎪⎜ ⎟⇒ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

ist linear unabhängig

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟−⎪ ⎪⎜ ⎟⇒ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

ist Basis von L

⇒ dim L = 1 = Anzahl der Nichtstufenvariablen = 4 – Stufenzahl = 4 – rg (A)

1 1 2 11 0 3 12 1 5 00 1 1 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟

− −⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 2 -1 0 (-1) 1 0 3 1 0 (-2) 2 1 5 0 0 0 1 -1 -2 0 1 1 2 -1 0 0 1 1 2 0 0 -1 1 2 0 (-1) 0 1 -1 -2 0 1 0 3 1 0 Stufenzahl = 2 0 1 -1 -2 0 ⇒ 0 0 0 0 0 rg (A) = 2 0 0 0 0 0 x1 = -3x3-x4 x2 = x3+2x4

3 43 4

x xx x

L x xxx

⎧ ⎫− −⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟+⎪ ⎪⎜ ⎟= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

= 3 4 3 4

3 11 2

| ,1 00 1

x x x x

⎧ − − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

= Span

3 11 2

,1 00 1

⎧ − − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Mathe-Vorlesung 10.12.03 Dr. T. Böhme Wiederholung: A = ( )1 2, ,..., na a a

A x = 1 1 2 2 ... n nx a x a x a+ + + 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A x = b hat die Lösung x nK∈ ⇔ 1 1 ... n nb x a x a= + + ⇔ { }1,..., nb Span a a∈

⇔ { }( )1dim ,..., nSpan a a

{ }( )1,..., ,nSpan a a b=

⇔ srg(A) = srg(A/b ) srg = zrg = rg ⇔ rg(A) = rg(A/b ) A x = b das zugehörige homogene LGS A x = 0 ist A 0x = b und A 1x = 0 ⇒ A ( )0 1x x+ = b

Es sei A nK∈ , dann heißt die Menge aller Vektoren x nK∈ , für die gilt

A x = 0 ist der Kern der Matrix A man schreibt: Ker(A) Dimensionsformel: dim( ( )) ( )Ker A rg A n+ = dim(Ker(A)) = Anzahl der Nichtstufenvariablen = n –Anzahl der Stufenvariablen = n – rg(A)

Wir fassen zusammen: Hauptsatz über LGS (2.Form) Sei A ( ),m nK∈ , b mK∈ dann gilt (1) A x = b ist lösbar ⇔ rg(A) = rg(A/b ) (2) A x = b hat höchstens eine Lösung ⇔ A x = 0 hat nur die Lösung x = 0 ⇔ dim(Ker(A)) = 0 ⇔ rg)A) = n (3) A x = b hat genau eine Lösung ⇔ rg(A) = rg(A/b ) = n Wir können nun zeigen, dass für jede quadratische Matrix A ( ),m nK∈ gilt. ( )n,nKB∃ ∈ Satz: A ( ),n nK∈ dann gilt Ker(A) = { }0

⇔ AB = In hat eine Lösung B ⇔ CA = In hat eine Lösung C ⇔ A ist invertierbar

Beweis: Ker(A) = { }0 ⇔ rg(A) = n

⇔ { }1,...,

nnSpan a a K=

⇔ rg(A/b ) = nb K∀ ∈ ⇔ jedes LGS A x = b (b nK∈ ) ist lösbar

⇔ ( )n,nKB∃ ∈ : AB = In rg(A) = n zrg srg=

⇔ rg(AT) = n ⇔ Jedes LGS AT x = b ist lösbar ⇔ ( )n,nKC∃ ∈ : ATCT = In

⇔ ( )n,nKC∃ ∈ : CT In T = In

⇒ A ist invertierbar w.A.

Mathe-Vorlesung 10.12.03 Dr. T. Böhme V ein VR über R U ⊆ V eines linearen Unterraumes ⇔ u U∀ ∈ α∀ ∈ : u Uα ∈ , :u v U u v U∀ ∈ + ∈ Def.: Eine Teilmenge A eines VR’es V über K heißt ein offener Unterraum (lineare Mannigfaltigkeit), wenn es ein Vektor a A∈ und einen linearen Unterraum U ⊆ V so gibt, dass gilt: { }|A a x x U= + ∈

Bsp.: Die Lösungsmenge eines (nicht homogenen) LGS ist ein offener UR. { } { }1 0| | 0nL x K Aa b x x Ax= ∈ = = + =

= { }1 0 0| ( )x x x Ker A+ ∈

wobei 1x eine Lösung von A x = b ist. 2.6. Euklidische Vektorräume (Geometrie um n )

Def.: Es seien 1x , 2x n∈ dann heißt die Zahl 1x 2x = 1x T ⋅ 2x T

das Skalarprodukt der Vektoren 1x und 2x Bsp.: n = 4

1 32 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1x 2x =

1 32 11 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 1x T ⋅ 2x T = (1 ⋅2 - 1 ⋅0) ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 ⋅3 + 2 ⋅ (-1) + (-1) ⋅2 = -1

Def.: Es sei x∈ , dann heißt x = x x der Betrag (Länge) des Vektors x

Eigenschaften: (1) x y = y x (2) α ( x y ) = (α x ) y = x (α y ) (3) x ( z y ) = x y + x z (4) α = 0 ⇔ x = 0

(5) xα = xα ⋅

(6) | x y | ≤ | x | ⋅ | y |

(Cauchy – Schwarz Ungleichung)

(7) | x + y | ≤ | x | + | y | Beweis: (1) x y = x T y = ( )1,1s∈ = y x = y T x = ( )1,1t∈ = s – sT = ( x T y ) = y T x = x y = t

Es seien x , y zwei Vektoren aus n mit x ≠ 0 und y ≠ 0 .

Dann definiert man den von x und y eingeschlossenen Winkel ( ),x yϕ = durch

( ),x yϕ = = arccos x yx y

0 ϕ π≤ ≤

Beispiel: x , y 4∈

1 12 10 11 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ),x y = arc cos x yx y

= arc cos 16 3−⋅

= arc cos 118− = arc cos 1

3 2−

Zwei Vektoren x , y sind orthogonal, wenn gilt y = 0

Ein Vektor x heißt normiert, wenn x = 1

Man kann jeden Vektor x ≠ 0 normieren:

01x xx

= eine Basis B = { }1,..., kb b heißt Orthonormalbasis (ONB)

wenn gilt: 0 1i jb b für i j k= ≤ ≤ ≤

B heißt ONB, wenn gilt: 0

von i jb b

≠⎧⎪= ⎨⎪⎩

Beispiel:

1 0 00 , 1 , 00 0 1

B⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

ist eine ONB

Prorthogonale ojektion von x auf U

{ }0U Span=

Es sei B = { }1,..., kb b eine ONB von VR V über und x V∈

Wir suchen die Basisdarstellung von x bzgl. B also: ges.: 1,..., kα α ∈ so, dass 1 1 2 2 ... k kx b b bα α α= + + + Sei A = ( )1 2| | ... | kb b b dann erhält man die Zahlen 1,..., kα α

als Lösung des LGS:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Da B eine ONB ist, gilt auch ; 1i ix b i kα = ≤ ≤

Beweis: Sei 1 1 2 2 ... k kx b b bα α α= + + + dann gilt: ( )1 1 ...i k k ix b b b bα α= + + =

= ( ) ( )1 1 1...i k kb b b bα α+ + +

i i j ib bα α=

Die orthogonale Projektion eines Vektors auf einem Unterraum Idee:

Mathe-Vorlesung 11.12.03 Dr. T. Böhme Es sei nU R⊆ und nx∈ dann heißt der Vektor Pr ( , )y oj x i U= ∈ die orthogonale Projektion von x auf U, wenn gilt: x y− steht senkrecht auf U x y⇔ − ist orthogonal zu allen Vektoren u U∈ (auch: x y u− ⊥ ) Berechnung der orthogonalen Projektion eines Vektors x auf einem UR U U = Span { }1,..., kα α y ist die orthogonale Projektion von x auf u x y⇔ − ,u u U⊥ ∀ ∈

( )x y⇔ − ( )1 1 1... , ...l l la aα α α α⊥ + + ∀ ∈

( )x y⇔ − ( )1 1 ... 0l la aα α+ + = 1, ... lα α∀ ∈

( )( ) ( )( )1 1 ... 0l lx y a x y aα α⇔ − + + − = 1, ... lα α∀ ∈

( ) 0ix y a− = { }, 1,...,i l∀ ∈

Sei A = { }1 2| | ... | la a a dann gilt: ( ) 0ix y a− = { }, 1,...,i l∀ ∈

( ) 0T

ix y a⇔ − = , i∀

ia x y⇔ − = , i∀

( ) 0TA x y⇔ − = , i∀ da y U∈ ist

1 1 ... l ly a aβ β= + + 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

damit erhält man: y ist orth. Projektion von x auf U

1 11 , 1 ,1 1

a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 2 2y a aβ β= +

( )1 2

1 1| 1 1

1 1A a a

⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 3 11 1

1 1 1 1 31 1

TA x⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ − = ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 00

1 1 1 02

TA x⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠

T TA A A xβ

⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 1 01 3 0

ββ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1 2 0β β⇔ = = 0y x U⇔ = ⇔ ⊥

U wie oben

2 2 1 30 0 1 12 2 1 1

x a⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 31

1 1 1 11

TA x⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠

3 1 31 3 1

ββ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

11, 0 1

1y aβ β

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⇒ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Mathe-Vorlesung 11.12.03 Dr. T. Böhme Bemerkung: Ist nx∈ , U sei UR des n und x U∈ die orthogonale Projektion von x auf U. dann gilt: x y U− ⊥ Ist a U⊥ und ist B = { }1,..., lb b U⊆ , a 0a ≠ linear unabhängig, dann

ist: { }B a∪ linear unabhängig

Schmidt’sches Orthonormalisierungsverfahren (SONV) geg.: B eine Basis eines UR nU ⊆ ges.: „neue“ Basis B’ von U so, dass B’ ONB von U ist Sei B = { }1,..., kb b und B’={ }1,..., kc c

SONV: 1 1 11

1:c bb

2 ( ) ( )( )2 1 2 1 1

2 2 1 1

1:c b b c cb b c c

3 ( ) ( )( )3 3 3 2 2 3 1 1d b b c c b c c= − +

1:c dd

4 ( )1

k k k i ii

d b b c c−

= −∑

1:k kk

1 2 11 1 1

b b bc b cb b

2 2 1 2d b c b= −

Mathe-Vorlesung 11.12.03 Dr. T. Böhme Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren geg.: B = { }1,..., kb b U⊆

Basis des Untervektorraumes U n⊂ ges.: B’ = { }1,..., kc c U⊆ ONB von U

Algorithmus:

Für i = 1 , k berechne ( )1

i id b c b cγ γ γγ

= − ⋅∑ : ii

im ersten Schritt ( i = 1 ) ist d1 = b1 − ( )0

c b c bγ γ γγ =

⋅ =∑

d bcd b

Beispiel: U =

1 0 11 , 1 , 00 1 1b b b= = =

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

11 12 0

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 1 2 1

1 1 10 1 122 21 0 1

id b c b c

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 126 6 212

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 1 3 1 2 3 2

12( ) ( ) 13

1d b c b c c b c

⎛ ⎞⎜ ⎟= − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 11 1 1 11 ' 1 ; 1 ; 1 ;3 2 6 31 0 2 1

⎧ − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − ⇒ = −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Beweis der Korrektheit des SONV zu zeigen ist

(1) B’ ist eine Basis von U

(2) 0;

i jc c

≠⎧⎪= ⎨⎪ =⎩

wir zeigen zuerst durch Induktion nach l: (a) 0ld ≠

(b) Span (B’l) = Span (Bl)

(c) 0; 1,..., 1

i lc c

= −⎧⎪⋅ = ⎨⎪ =⎩

wobei Bl = { }1,..., lb b ( )1' ,...,l lB c c=

Mathe-Vorlesung 17.12.03 Dr. T. Böhme (IA) l = 1 (a) 1 1 1 1 1 10, ( ) ' { } { }d b b SpanB Span c Span b SpanB= ≠ = = =

(b) 1 11 1 1 12

1 1d dc c d dd d d

= = ⋅ =

(IS) (a) Annahme dl = 0

1 1'IV

l l lb SpanB SpanB− −⇒ ∈ = lB⇒ nicht linear unabhängig ist (m.a.W. die Vektoren von Bl sind linear abhängig) Widerspruch also 0ld ≠

(b) Span Bl ⊇ Span Bl’ ⊇ Span Bl-1’ 1

lSpan B −=

nun gilt:

l l l l

b d c b c SpanBγ γγ

= + ⋅ ∈∑

und sonst: Bl = Span B’l

(c) Für i = 1,…,l-1 gilt:

l i l l ìd c b c b cγγ

= −∑

l i l ìb c c b c cγ γγ

−∑

l i i lb c c b= = − =

21 1l l

l l l ll l l

d dc c d dd d d

= = = `

somit gilt: Span B = Span Bl = Span Bk’ = Span B’

Mathe-Vorlesung 17.12.03 Dr. T. Böhme Da dieser Span B = k und B’ aus Vektoren besteht, ist auch B’ eine Basis Wegen (c) besteht B’ aus orthonormalen Vektoren. Ist nU ⊆ ein Unterraum B = { }1,..., kb b eine ONB von U und nx∈

Dann kann die orthogonale Projektion y = Proj(x:U) wie folgt berechnet werde: y = 1 ... k kx b x b b

k k kT T T

i i i i i ii i i

Matrix

x b b b x b b b x= = =

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Wir prüfen nach

Ti i j

x y bj x x b b b=

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

T Tj i i j

x b x x b b b=

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( ) ( )1 1

kT T T T T T

j i i j j j i ji

x b x b b b x b x b b b=

= − = −∑

Somit gilt für:

U b Uα=

= ∈∑

x y U x y bα=

− = −∑

Ursprung

Mathe-Vorlesung 17.12.03 Dr. T. Böhme 2.6.2. Abstände Seien C,D n⊆ Wir definieren: C D

Der Abstand dist (C,D) der Mengen C,D ist die kleinstmögliche Entfernung von zwei Vektoren c C d D∈ ∈ :

dist ( C,D ) = min |c C

c dd D

⎧ ⎫∈⎪ ⎪−⎨ ⎬∈⎪ ⎪⎩ ⎭

wir schreiben: { }( ) ( ), ,dist C d dist C d=

Insbesondere: ( ),dist c d c d= −

Abstand Punkt, linearer Unterraum Es seien nc U∈ ⊆ ein linearer Unterraum Ferner sei y = Proj ( ):c U

Behauptung: Für alle u U∈ gilt: c y c u− ≤ −

u y−

c y−

c u−

Mathe-Vorlesung 17.12.03 Dr. T. Böhme Beweis: Da c y− U⊥ gilt: ( ) ( ) 0c y u y− − =

Also bilden die Vektoren ,c y u y− − und u y− die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks: D u y− =0 nur, wenn u y gilt sogar=

,c y c u u y u U− < − ∀ + ∈

Also gilt:

( ) ( ): Pr :dist c U c oj c U= −

Beispiel:

3 1 01 0 1

, ,1 1 2

c U Span

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) ( )Pr :y oj c U c y U= − ⊥

1 0 1 00 1 0 11 2 1 22 0 2 0

y U yβ

β ββ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥∈ ⇔ = + = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Pythagoras:

c u c y u y≥

− = − + −

Mathe-Vorlesung 17.12.03 Dr. T. Böhme ( ) 0c y U c y U u U− ⊥ ⇔ − = ∀ ∈

( ) ( )1 00 1

01 22 0

c y c y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇔ − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )1 0 1 20

0 1 2 0c y⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 01 0 1 2 0 1 00 1 2 0 1 2 0

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1 01 0 1 2 1 0 1 2 0 10 1 2 0 0 1 2 0 1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

31 0 1 2 1 6 20 1 2 0 1 2 5

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

4 6 23 2 5

ββ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1 21, 1β β= = −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

dist ( ),c U = c y− = |

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 4 1 5+ =

Anwendung: Methode der kleinsten Quadrate:

geg.: Paare von Messwerten: (a1,b1),…(an,bn) ges.: Geradengleichung: b = α a + b

so, dass: ( )( )2

a Minβ α β=

= + →∑

Sei: 1 1

a ba b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Wir betrachten:

b - a - 1 zα β =

Dann gilt:

z z= T z⋅ = ( )2

b aα β=

− −∑

Behauptung:

min ( )( )2

b aα β=

⎧ ⎫⎪ ⎪− −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑ = dist ( ),b U

Mathe-Vorlesung 18.12.03 Dr. T. Böhme mit U = Span { }1,a

dist ( ),b U 2 =

min { }2b u u U− ∈ =

min { }22b u u U− ∈ =

min { }21 ,b aα β α β− − ∈ =

min ( )2

b aα β α β=

⎧ ⎫− − ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑ …..richtig!

2.7. Determinanten 2.7.1. Determinanten von 2x2 Matrizen

Es sei ( )2,2a cA K

b d⎛ ⎞

= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Def.: det (A) = a d b c⋅ − ⋅ heißt die Determinante von A Andere Schreibweisen:

det (A) = | A | = det a cb d⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= a cb d

Beispiel:

A = 2 31 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2,2∈

det (A) = 2 31 2

= 2 2 1 3⋅ − ⋅ = 1

B = 2 41 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2,2∈

det (B) = 2 41 2

= 2 2 1 4⋅ − ⋅ = 0

Allgemein gilt:

,a cb d

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

nicht linear unabhängig

0a cb d

Beweis: 1. Fall a = b = 0

,a cb d

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

= 0,cd

⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭ …ist nicht linear unabhängig

0 0 00

a c cd c

b d d= = ⋅ − ⋅ =

2. Fall 0 0a oder b≠ ≠ Wir betrachten nur den Fall 0a ≠ .

Der andere Fall geht analog.

0 0a c

a d b cb d

= ⇔ ⋅ − ⋅ =

ca d c b d ba

⇔ ⋅ − ⋅ ⇔ = ⋅

c acd ba⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ = ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,a cb d

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

…ist nicht linear unabhängig

Folgerung:

Ist ( )2,2a cA K

b d⎛ ⎞

= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(1) det (A) =a cb d

(2) rg (A) = 2

(3) A ist invertierbar

(4) Das LGS Ax b= hat für jede rechte Seite

2b K∈ genau eine Lösung Beweis: ( ) ( )1 det 0A¬ ⇔ = ⇔

,a cb d

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

ist nicht linear unabhängig

⇔ dim Span ,a cb d

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

⇔ rg (A) < 2 (2)⇔¬ Also (1) ⇔ (2) Die Äquivalenz von (2), (3) und (4) wurde schon bewiesen.

Mathe-Vorlesung 07.01.04 Dr. T. Böhme Anwendung der Determinante

- zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms

Cavalierisches Prinzip Flächeninhalt = h ⋅Länge ( )AD

Seien 2,a c

x yb d⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x y Sei F der Flächeninhalt des von x , y aufgespannten Parallelogramms. Dann gilt: F = Grundseite ⋅Höhe = | y | ⋅Höhe

Mathe-Vorlesung 07.01.04 Dr. T. Böhme Sei g die Gerade die senkrecht auf y steht. Sei 2z∈ ein Richtungsvektor von g, dann ist 0z y⋅ =

Wir wählen: d

zc−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Probe: z y⋅ =dc−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d c c dd⎛ ⎞⋅ = − ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

…richtig!

Höhe = | Proj. ( x :g) |

Proj. ( x :g) = 1z x zz z⋅⋅ ⋅

(Bemerkung: 1 zz

⎧ ⎫⎪ ⎪⋅⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

ist eine ONB von g)

F = | y | ⋅ Proj. ( x :g)

= | y | ⋅ 1z x zz z⋅⋅ ⋅

= y ⋅2

⋅ z⋅

z x cb adc b−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 01: , 1z z zz

= ⋅ =

g = Span { }0z

w = Proj. ( x :g) = 0zα ⋅ 0x zα = ⋅

( )1 1x z x zz z

α⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

w = 0zα ⋅ - 1x z zz z⋅⋅

| y | = cd⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 2c d+

| z | = dc−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 2d c− +

2.7.2. Allgemeine Definition der Determinante Es sei ( ),n nA K∈ Wir bezeichnen mit Aij die (n-1)x(n-1) – Matrix, welche man durch Strecken der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus A erhalt. Beispiel:

( )3,3

1 1 22 3 41 2 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 22 3 41 2 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3 42 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 22 3 41 2 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 41 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Die Matrix Aij heißt der Minor von A zu aij

Mathe-Vorlesung 07.01.04 Dr. T. Böhme Rekursive Definition von det A:

det A = ( ) 1

11 det ( )

ij ijj

−∑ det (an) = an

Beispiel:

A = 1 1 22 3 41 2 4

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

det A = ( )3

1 det ( )jij ij

−∑

= (-1)2 ⋅1 ⋅det 3 42 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ (-1)3 ⋅ (-1) ⋅det2 31 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 3 42 1

+ 1 2 41 1

+ 2 2 31 2

= 1 ⋅ (3 ⋅1 - 2 ⋅4) + 1 ⋅ (2 ⋅1 - 1 ⋅4) + 2 ⋅ (2 ⋅2 - 1 ⋅3) = 1 ⋅ (-5) + 1 ⋅ (-2) + 2 ⋅1 = -5 -2 + 2 = -5 Eigenschaften der Determinante: (D1) Ist ( ),n nA K∈ und entsteht ( ),n nB K∈ durch Vertauschen zweier Spalten von A, so gilt: det (A) = -det (B) (D2) Entsteht B durch Multiplikation einer Zeile von A mit einem

Faktor α , so gilt: det (B) = α det (A)

Mathe-Vorlesung 07.01.04 Dr. T. Böhme Beweis von (D2): 1. Fall 1. Zeile von A wurde mit α multipliziert

det (B) = ( ) 1

1 det ( )n

jij ij

−∑

Offenbar: bij = α aij

und da Bij keine Elemente aus der 1. Zeile enthält: det (Bij) = det (Aij)

det( ) 1 det ( )n

jij ij

B a Aα+

⇒ = −∑

11 det ( )

ij ijj

a Aα +

−∑

α det (A)

2. Fall: Induktion nach n n = 1 => A hat nur eine erste Zeile

1Fall⇒ …richtig

n ≥ 2 => B entstehe durch Multiplikation der i-ten Zeile von A mit α ( )1i ≠

det (B) = ( ) 1

11 det ( )

ij ijj

−∑

i > 1 = ( ) 1

1 det ( )n

jij ij

−∑

Bij entsteht durch Multiplikation der (i-1) – Zeile mit α aus Aij

. .I S⇒ det (Bij) = α det (Aij)

⇒ det (B) = α det (A) Beispiele:

1 2 1 1 14 8

4 6 81 1

1 2 1 1 24

22 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Mathe-Vorlesung 08.01.04 Dr. T. Böhme (D1) Entsteht ( ),n nB K∈ aus ( ),n nA K∈ durch Vertauschen zweier Zeiler, gilt: det B = - det A (D2) Entsteht ( ),n nB K∈ durch Multiplikation einer Zeile von A mit α , dann gilt: det B = α det A (D3) Sind A,B,C ( ),n nK∈ , welche sich nur in der i-ten Zeile unterscheiden und gilt i i ia b c= + , dann ist det A = det B + det C Beispiel:

1 2 1 1 2 1 1 2 13 2 1 ; 1 2 1 ; 2 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1

A B C⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 1 2 1

1 2 2 0 1 01 1 1+ + +

= 2 0 1 0 1 2 1 0 1 2 2 0

1 2 11 1 1 1 1 1+ + + + + +

⋅ − ⋅ + ⋅ =⊗

2 0 1 01 1+ +

= (2+0) ⋅1-(1+0) ⋅1

1 2 1 0

1 1+ +

= (1+2) ⋅1-(1+0) ⋅1

1 2 2 0

1 1+ +

= (1+2) ⋅1-(2+0) ⋅1

⊗= = ( ) ( ) ( )1 2 0 1 (2 0) 1 2 1 2 1 (1 0) 1 1 1 2 1 (2 0) 1⋅ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 1(2 ⋅1-1 ⋅1)-2(1 ⋅1-1 ⋅1)+1(1 ⋅1-2 ⋅1)+1(0 ⋅1-0 ⋅1)-2(2 ⋅1-0 ⋅1)+1(2 ⋅1-0 ⋅1)

= 1 ⋅2 11 1

-2 ⋅1 11 1

+11 21 1

+1 ⋅0 01 1

-2 ⋅2 01 1

+1 ⋅2 01 1

= 1 2 1 1 2 11 2 1 2 0 01 1 1 1 1 1

= det B + det C ….richtig

(D4) Entsteht ( ),n nB K∈ durch Addition des α -fachen der i-ten Zeile von A zur j-ten Zeile von A ( )i j≠ , so gilt: det B = det A

Beweis:

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(D3) ⇒

= det B = det A + det

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= det B = det A + α ⋅det

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= det A

ja aTausche i te und j te Zeile

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

↓⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟← ↑⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ det

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(D5) det AT = det A (D6) det (A ⋅B) = det A ⋅ det B (D7) Ist ( ),n nA K∈ , dann gilt: rg (A) = n ⇔ det 0A ≠

Mathe-Vorlesung 08.01.04 Dr. T. Böhme Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens zur Berechnung der Determinante

1 Sei A eine untere Dreiecksmatrix, d.h.

0 0* 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, also aij = 0 wenn j > 1

Es gilt: Ist ( ),n nA K∈ eine untere Dreiecksmatrix dann gilt: det A = a11 ⋅ a22 ⋅… ⋅ ann

Beweis: det A = ( ) 1

1 det ( )n

jij ij

−∑

= a11 ⋅det (A11)

= a11 ⋅

0 0* 0

= a11 ⋅ a22 ⋅

0 0* 0

= a11 ⋅ a22 ⋅…ann Wegen (D5) gilt analog:

Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente.

2 Hat eine Matrix A eine Nullzeile, dann ist det A = 0

3 Erklärung am Beispiel:

1 2 1 (-1) 1 2 1 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 1 1

1 2 1 (-2) 2 0 0 (-1) 1 1 1 1 2 1 (-2=

0 -4 -2 (-14)

0 -1 0 1 1 0 0

0 1 12

0 0 12

1 2 12 0 01 1 1

= (-4) 1 0 00 1 0

= (-4) 12

4 Allgemein gilt:

Kann A durch Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens in eine Matrix mit einer Nullzeile umgeformt werden so gilt: det A = 0 Kann A durch Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens in eine untere Dreiecksmatrix verwandelt werden, so gilt: det A = (-1)k p det D

1 2 1det 1 2 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

dabei ist: k die Anzahl der durchgeführten Zeilenvertauschungen, und

ist das Produkt aller Faktoren mit denen

Zeilen multipliziert werden. …noch ein Verfahren: Sarrn´sche Regel:

a b cd e f Dg h i

= = aei + bfg + cdh - gec - hfa – idb

a b c a b ( ),n nA K∈ d e f d e g h i g h Satz: Ist ( ),n nA K∈ so sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(1) det A≠ 0 (2) rg (A) =n (3) A ist invertierbar (4) A x b= hat genau eine Lösung für alle nb K∈

…ein weiteres Verfahren zur Berechnung von det A: Laplace´scher Entwicklungssatz: Es gilt:

det A = ( )1

1 det ( )n

j iij ij

−∑ für alle { }1,...,i n∈

Beispiel:

2 3 40 1 01 5 7

+ − +

− + −

+ − +

1 det ( )jj j

−∑

= -0 +1 2 41 7−

-0 = -14 – 4 = -18

Mathe-Vorlesung 14.01.04 Dr. T. Böhme Anwendung der Determinante 1 Cramer´sche Regel Satz: Es sei Ax b= ein lineares Gleichungssystem mit ( ), , , det 0n n nA K b k A∈ ∈ ≠ dann gilt:

Ax b= hat genau eine Lösung 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 ( 1) detdet

j k kjk

x b AA

= −∑

11 1 1

n n nn

a b ax

Aa b a

j-k -Spalte Beispiel:

1 1 2 20 1 3 41 0 1 2

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

det A = 1 1 2

1 3−

+ 1 1 10 1

= -5 + 1 = -4

x1 = 1det A

2 1 24 1 32 0 1

− (2 1 2

1 3−

+ 2 14 1

− ( -10 + 6 ) = 1

x2 = 1det A

1 2 20 4 31 2 1

− (1 4 32 1

+ 2 24 3

− ( -2 + (-2) ) = 1

x3 = 1det A

1 1 20 1 41 0 2

− (1 1 40 2

1 4−

− ( 2 - 6 ) = 1

x⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Beweis: zu zeigen ist, es gilt:

(a) 1( 1) det

−∑ = 11 1 1

n n nn

j-te Spalte

(b) { }1 1

1,...,

x bA i n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⇔ ∀ ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 ( 1) detdet

n n nk j

ij j ij k kj ij j k

a x a b A bA

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

Mathe-Vorlesung 14.01.04 Dr. T. Böhme ( )a Wir entwickeln die Determinante

n n nn

a b a=

nach der j-ten Spalte

= 1( 1) det

−∑

Damit ist (a) bewiesen ( )b Es sei S ( ),u i die Matrix, welche man aus A erhält,

nachdem man den i-ten Zeilenvektor von A durch u ersetzt. Dann gilt:

der S ( ),u i =1( 1) det

−∑

(Entwicklung nach der i-ten Zeile) trivialerweise: S ( ),u i = A ,also

det S ( ),u i = det S ( ),ia i = detA Ist n = ka mit 1k + dann gilt: S ( ),u i = S ( ),ka i = 0 da die Matrix S ( ),ka i zwei gleiche Zeilen hat.

Mathe-Vorlesung 14.01.04 Dr. T. Böhme Wir berechnen:

1 ( 1) detdet

n nk j

ij k kjj k

a b AA

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

1 ( 1) detdet

n nk j

ji k kjj k

a b AA

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

1 ( 1) detdet

n nk j

ji k kjj k

a b AA

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

1 ( 1) detdet

n nk j

ji k kjk j

a b AA

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

1 ( 1) detdet

n nk j

k ji kjk j

b a AA

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

= S ( ),ia k

bA =∑ det S ( ),ia k

bekannt ist:

det S ( ),ia k0,

wenn i k

A wenn i k

≠⎧⎪⎨⎪ =⎩

bA =∑ det S ( ),ia k

= 1det ib

Adet S ( ),ia k

= 1det A ib det A = bi w.A.

Mathe-Vorlesung 14.01.04 Dr. T. Böhme Bemerkung: Volumen eines Parallelepipeds im 3 Kreuzprodukt: Es seinen 3, ,a b c∈ , ,a b c spannen ein Parallelepiped P auf

Behauptung: Volumen (P) =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Beweis: Volumen (P) = Grundfläche ⋅ Höhe Die Grundfläche sei das von den Vektoren a und c aufgespannte Parallelogramm. Sei g eine Gerade, welche senkrecht auf der Grundfläche steht. Wir wählen g so, dass g den Ursprung 0 enthält. Dann gilt Höhe = | Proj ( ):n g |

Ist V ein Richtungsvektor von g mit |V | = 1, so gilt: V a⋅ = | Proj ( ):n g | = Höhe

⇒ Also gilt: Volumen (P) = Grundfläche ⋅ Höhe = Grundfläche ⋅ V a⋅

= |( GrundflächeV ) ⋅ a |

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 2 3

a a ab b bc c c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3 32 1 1 21 2 3

3 32 1 1 2

b bb b b ba a a

c cc c c c− +

b bc c

ab bc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 2 3 3 2

2 3 1 1 3

3 1 2 2 1

a b c b ca b c b ca b c b c

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Es gilt:

a a ab b bc c c

= a d wobei d =2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

b c b cb c b cb c b c

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Wir zeigen, dass: (i) d ⊥ Span{ },b c ( d steht also senkrecht auf dem von b und c

aufgespannten Parallelogramm) (ii) | d | = Flächeninhalt des von b und c aufgespannten Parallelogramm (i) 0b d und c d⇔ = es gilt:

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

0b b b b

b d b d b b bb c c c

⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0c c c

c d b b bc c c

(ii) 2

d d d=

= ( )2

1 3i j j i

b c b c≤ < ≤

−∑

= ( )2 2 2 2

2i j j i i j j ii j

b c b b c c b c≤ < ≤

− +∑

= ( )2 2 2 2

1 3 1 3

2i j j i i j j ii j i j

b c b c b c b c≤ < ≤ ≤ < ≤

− −∑ ∑

2 2 2 2

1 3 31 3

i j j ii ij

b c b c≤ ≤ =≤ ≤

− −∑ ∑1 3

2 i j j ii j

b c b c≤ < ≤∑

= ( b1

2 + b22 + b3

2 )( c12 + c2

2 + c32 )

= ( b1c1 + b2c2 + b3c3 )2 = b1

2c12 + b2

2 c22 + b3

+ 2b1c1b2c2 + 2b1c1b3c3 + 2b2c2b3c3

= ( )22 2b c b c−

zur Erinnerung: ( )cos ,b c b c b c= ⋅

= ( )22 2b c b c− ( )2cos ,b c

= ( )( )2 2 21 cos ,b c b c−

= ( )2 2 2sin ,b c b c

⋅( ),b cα =h

Mathe-Vorlesung 15.01.04 Dr. T. Böhme es gilt: = ( )cos ,b c b c⋅ = Flächeninhalt des von b und c

aufgespannten Parallelogramm =: F

F = sinc h c b α⋅ = ⋅

(i) & (ii) ⇒ 1 2 3

a a ab b bc c c

= Volumen des von ,a b und c aufgespannten Parallelepipeds

a d = 1d a d dd

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

| Proj ( ):a g |

= Grundfläche ⋅Höhe

wobei g = Span 1 dd

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Kreuzprodukt: Es seien 3,b c∈ dann definieren wir:

bxc = 2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

b c b cb c b cb c b c

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

= ( b2c3 – b3c2 )100

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ( b3c1 – b1c3 ) 010

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ( b1c2 – b2c1) 001

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 2 3

e e eb b bc c c

= 1 2 3

i j kb b bc c c

Eigenschaften des Kreuzproduktes: (1) ( ) ( ) 0b x c b b x c c= =

(2) ( )22 2b x c b c b c= − = ( )sin ,b c b c⋅

= Flächeninhalt des vonb und c aufgespannten Parallelogramm (3) ( )b x c c xb= −

Bemerkung:

( )a b x c = 1 2 3

a a ab b bc c c

…das Spatprodukt

Mathe-Vorlesung 15.01.04 Dr. T. Böhme Anwendung des Kreuzproduktes: Es seien 3,b a∈ linear unabhängige Vektoren. Wir betrachten das Gleichungssystem: a x b=

aus der geometrischen Betrachtung folgt: Ist a x b= dann ist auch

( )a x a bα⋅ =

= 1 2 3

1 1 2 2 3 3

e e ea a a

x a x a x aα α α+ + +

= 1 2 3

e e ea a ax x x

e e ea a aa a a

α+ …vom Ursprung = b

Bemerkung: Die Gleichung a x b= heißt

Plücker´sche Geradengleichung

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Mathe-Vorlesung 21.01.04 Dr. T. Böhme 2.8. Lineare Abbildungen 2.8.1. Definition, Matrix einer linearen Abbildung Es seien V,U zwei Vektorräume über Def.: Es sei f:V→U eine Abbildung von V in U f heißt eine lineare Abbildung, wenn gilt: f ( x+y ) = f (x) + f (y) ,x y V∀ ∈ f (α x ) = α f (x) ,x V Vα∀ ∈ ∀ ∈ Beispiel: (1) nV = , mU = ( )f x Ax= , wobei ( ),m nA =

hier gilt: ( ) ( ) ( ) ( )f x y A x y Ax Ay f x f y+ = + = + = +

( ) ( ) ( )f x A x Ax f xα α α α= = =

konkret:

0 00 1

x x of

y y y⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2V U= =

orthogonale Projektion auf y-Achse

sinϕ−

cosαα

cos sin

:sin cos

y yϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

0 2ϕ π≤ ≤

:0 sin

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

:1 cos

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Drehung um ϕ im mathematisch negativen Sinn (Uhrzeigersinn)

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Mathe-Vorlesung 21.01.04 Dr. T. Böhme Bemerkung: Verschiebungen sind i.o. keine lineare Abbildung Spiegelung an der y-Achse:

(2) :ddx

→ anders:

( )d df dgf gdx dx dx

+ = + ( ) ' ' 'f g f g+ = +

( )d dffdx dx

α α= ( ) ' 'f fα α=

Es sei f:V→U eine lineare Abbildung ferner sei: { }1,..., nB ϑ ϑ= eine Basis von V und

{ }1,..., mC u u= eine Basis von U bekannt ist: Jeder Vektor ( )x V y U∈ ∈ hat eine eindeutig bestimmte Darstellung als Linearkombination von Basisvektoren: 1 1 ... n nx α ϑ α ϑ= + + 1 1 ... m my u uβ β= + + wir betrachten: ( )1 1( ) ... n nf x f α ϑ α ϑ= + + = ( ) ( )1 1 ... n nf fα ϑ α ϑ+ + = ( ) ( )1 1 ... n nf fα ϑ α ϑ+ +

x z−

z( )f x

Mathe-Vorlesung 21.01.04 Dr. T. Böhme Es sei: ( )1 1( ) ... 1,...,i i mi mf a u a u i nϑ = + + = ( )f x = ( ) ( )1 1 ... n nf fα ϑ α ϑ+ + = ( ) ( )1 11 1 1 2 12 1 2... ...m m m ma u a u a u a uα α+ + + + + + ( )1 1... ...n n mn ma u a uα+ + + +

11 1 1

m mn n

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

11 1 1 1

m n mn m

α α β

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dann gilt: ( )1,...,i j mβ = ist der Koeffizient von uj in der Basisdarstellung von f (x) Satz: Ist f:V→U eine lineare Abbildung und sind B,C Basen von V bzw. U, dann gibt es eine Matrix A so, dass gilt:

Aα β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

wobei 1,..., nα α die Koeffizienten der Basisdarstellung in V mit der Basis B und 1,..., mβ β die Koeffizienten der Basisdar- stellung in U mit der Basis C sind. Die Matrix A heißt:

Abbildungsmatrix von f bzgl. der Basen B und C

Beispiel: Spiegelung des 2 an der Geraden x = y

Mathe-Vorlesung 21.01.04 Dr. T. Böhme Es sei: z = Proj ( x :g), wobei g die Spiegelgerade x = y ist. dann gilt: ( ) 2( )f x x x z= − − = 2x − ( x Proj ( x :g)) Sei 2ϑ∈ ein normierter Richtungsvektor von g, d.h.

ϑ ϑ α⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

etwa 1112

ϑ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

dann gilt: z = Proj ( x :g) = ( )xϑ ϑ

x vy v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Damit erhält man: ( ) 2 ( )x x u

f x x u y vy y v

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2( )2 2( )

x x xu yv uy y xu yv v− + +⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− + +⎝ ⎠

Wir suchen eine Matrix A ( )2,2∈ so, dass gilt: ( )f x Ax= , d.h.

2x x− 2( )2

xu yv uy y

+ +− 2( )

yxu yv v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )

2 1 22( )2( ) 2 1 2

u x uvyx x xu yv uA

y y xu yv v v y uvx

⎛ ⎞− +− + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞−⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Probe:

( ) ( )( )

2 1 22 1 2

2 2 12 2 1

u x uvyu uv xy uvy v yuv v

⎛ ⎞−⎛ ⎞− ⎛ ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g ( )f a

Bemerkung: A = AT (A symmetrisch)

detA = 2

2 2 2 22

2 1 2(2 1)(2 1)4

2 2 1u uv

u v u vuv v−

= − −−

2 24u v= 2 2 2 22 2 1 4u v u v− − + −

2 21 2( ) 1 2 1 2 1u

u vv⎛ ⎞

= − + = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 1u

vv⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Darstellung von f mit einem „besseren“ Koordinatensystem: Wir wählen die Spiegelgerade g als „neue“ a-Achse und die b-Achse Senkrecht zu g, nun gilt:

1 00 1

a a a af f

b bb b b⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Bemerkung: Sei g ein Richtungsvektor der b-Achse und h ein Richtungsvektor Der a-Achse mit: ( ) ( )1g h f h h f g g= = ⇒ = = −

Mathe-Vorlesung 22.01.04 Dr. T. Böhme Eigenwerte und Eigenvektoren Es sei : n nf → eine lineare Abbildung Ein Vektor nv∈ mit: 0 : ( )v f v vα α≠ ∃ ∈ = Heißt ein Eigenvektor von f. α heißt der Eigenwert zum Eigenvektor v Bemerkung: f bildet aus n nin , also den selben Raum ab. Es sei A ( ),n n∈ eine quadratische Matrix. Eine reelle Zahlα heißt Eigenwert von A, wenn es einen Vektor nv∈ So gibt, dass Av vα= v heißt dann Eigenvektor zum Eigenwert α Berechnung der Eigenwerte einer Matrix A= ( ),n n∈ 0 0nAv v Av v Av I vα α α= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ( ) 0nA I vα− = …Eigenvektorgleichung

Die Eigenvektorgleichung ist ein homogenes lineares Gleichungssystem Mit quadratischer Koeffizientenmatrix. Dann gilt: ( ): 0 0n

nv Av I v und vα∃ ∈ − = ≠ ⇔

( )det 0nA Iα− = …Eigenwertgleichung

Die Menge aller Löungen der Eigenvektorgleichung ( ) 0nA I vα− = zu einem Eigenwertα ist ein linearer Unterraum und heißt der zum Eigenwert α zugehörige Eigenraum..

Mathe-Vorlesung 22.01.04 Dr. T. Böhme Beispiel:

1 00 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Eigenwerte: ( )det 0nA Iα− =

(1 )( 1 ) 0 1 10 1

oderλ

λ λ λ λλ

−= − − − = ⇔ = = −

− −

für λ =1:

( )0 0 0 00 0 2 0n

u uA I

v v⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Eigenraum U1 zuλ =1:

U1 = Span 10

⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

für λ =-1:

( )0 2 0 00 0 0 0n

u uA I

v v⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Eigenraum U2 zuλ =-1:

U2 = Span 01

⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

Beispiel:

1. 1 10 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Eigenwerte: ( )2det A Iλ− =

21 1(1 ) 0 1

λ λλ

−= − = ⇔ =

λ = 1 ist doppelte Nullstelle von (λ -1 )2

1 1( )

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Mathe-Vorlesung 22.01.04 Dr. T. Böhme Eigenraum U zu λ =1:

1 1 1 0

0 1 1 0uv

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 1 00 0 0

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

U = Span 10

⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

Scherung: 2. Drehmatrix:

cos sinsin cos

Aϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Eigenwert: ( )2det A Iλ− =

2 2cos sin(cos ) sin

sin cosϕ λ ϕ

ϕ λ ϕϕ ϕ λ−

= − +− −

2 2 22(cos ) cos sin 2(cos ) 1 0λ ϕ λ ϕ ϕ λ ϕ λ= − + + = − + = 2

1,2 cos cos 1λ ϕ ϕ= ± − 1,2 , cos 1wennλ ϕ→ ∈ ≠

0Nur wenn oderϕ ϕ π→ = = , gibt es reelle Eigenwerte, nämlich:

1 0cos

ϕλ ϕ

=⎧⎪= = ⎨⎪− =⎩

…Analogie: Page-ranking

Mathe-Vorlesung 28.01.04 Dr. T. Böhme Eigenschaften von Eigenvektoren und Eigenwerten:

(1) Sei A ( ),n n∈ dann ist die rechte Seite der Eigenwertgleichung: det ( A -λ I ) = 0 ein Polynom n-ten Grades mit reellem Koeffizienten in λ (charakteristisches Polynom) ⇒ det ( A -λ I ) = (λ -λ 1 1)n ……(λ -λ k ) kn mit n = n1+n2+……+nk und λ i∈

Die Zahl ni heißt die algebraische Vielfachheit von λ i Beispiel:

1 10 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

det ( A -I ) = (λ -1 )2

λ 1=1 ist 2-facher Eigenwert

(2) Istλ i ein Eigenwert der Matrix A ( ),n n∈ und

{ }|ni iL x Ax xλ= ∈ =

der dazugehörige Eigenraum, dann gilt: 1 dim iL≤ ≤ algebraische Vielfachheit von λ i = ni dim iL heißt die geometrische Vielfachheit von λ i

Beispiel:

Für 1 10 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

algebraische Vielfachheit von λ 1,2 = 1 ist 2 geometrische Vielfachheit vonλ 1,2 = 1 ist 1

10iL Span

⎧ ⎫⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭

(3) Sind λ 1, λ 2 zwei verschiedene Eigenwerte einer Matrix A ( ),n n∈ und sind 1 2,v v Eigenvektoren zu λ 1 bzw. λ 2 dann gilt: 1 2v und v sind linear unabhängig Beweis: Angenommen es wäre nicht so: 1 1 1 1( 0)Av v vλ= ≠

2 2 2 2( 0)Av v vλ= ≠

1 2 0 ( , 0)v vα β α β+ = ≠ wir betrachten:

1 2A v vα β

+ 1 2Av Avα β= +

1 1 2 2 0v vαλ βλ= + = -λ 1 1 2 0v vα β+ = ________________________ ( )2 1 2 0

vβ λ λ≠

(4) Es sei A ( ),n n∈ eine symmetrische Matrix, d.h. AT=A, dann gilt:

(i) Alle Werte sind reell (ii) Für jeden Eigenwert gilt:

algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit

(iii) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.

Beweis: (i) Sei nv∈ ein Eigenvektor zu einem Eigenwert λ∈

Ferner sei:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

für nv∈

Mathe-Vorlesung 28.01.04 Dr. T. Böhme u = 2

i+⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 32 3

⎛ ⎞+ −⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +− ⎝ ⎠⎝ ⎠

v Av ( )T

v vλ=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

v Av T

Tv A v=

v A v⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

v vλ>

λ λ λ⇒ = = ∈

(5) Ist A ( ),n n∈ eine symmetrische Matrix, dann existiert eine Orthonormalbasis { }1,...,

nnB v v des= , welche aus Eigenvektoren

A besteht. …folgt aus (4) Sei T = ( )1 2| | ... | nv v v

( )1 1 2 2| | ... |T T

n nT AT T v v vλ λ λ⇒ =

21 1 2 2| | ... |

v v v v

λ λ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

12 1 21 1 1 1

0 00 000 000

v vv v v v

λλλ λλλλ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

………………………………

Beweis:

2 33 2

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Eigenwerte:

det ( A -λ I ) =2 3

2(2 ) 9 0λ= − − = 2 4 4 9 0λ λ= − + − =

52 4 5 2 3

⎧⎪= ± + = ± = ⎨⎪−⎩

1 25 1λ λ= = −

zugehörige Eigenräume: 1 5 u vλ = =

3 3 0uv

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L Span⎧ ⎫⎛ ⎞

= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

2 1λ = − 3 3 03 3 0

v⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⇔ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L Span⎧ ⎫⎛ ⎞

= ⎨ ⎬⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭

Mathe-Vorlesung 28.01.04 Dr. T. Böhme Orthonormalbasis aus EV:

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

ist Orthogonal –aber nicht Orthonormalbasis

:Normieren→

1 11 1;1 12 2

B⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

1 11 112 2

1 1 1 122 2

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

TTAT = 1 1 2 3 1 11 11 1 3 3 1 12 2⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 1 1 2 3 1 111 1 3 3 1 12⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 1 1 5 1 10 0 5 01 11 1 5 1 0 2 0 12 2

D−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Anwendung auf quadratische Gleichungen im 2 wir betrachten eine quadratische Gleichungen: ax2 + bxy + cy2 = d Transformation in Matrixform

( ) 2,

ba xx y d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

(Beachte: AT = A !!)

gemäß (5) existiert eine Matrix 2T ∈ so, dass

(1) Die Spalten von T bilden eine ONB des 2

(2) TTAT 1

λ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, wobei λ 1, λ 2 die Eigenwerte von A sind.

Ist 2x x uund T

y y v⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∈ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, dann ist

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ( )1 2 1 2, |u t v t wobei T t t⋅ + ⋅ =

(Beachte: { }1 2,t t ist ONB von 2 )

⇒ u und v sind die neuen Koordinaten des Vektors xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

bzg. des

Koordinatensystems, welches von den Vektoren 1 2t und t gebildet wird.

⇒ Die quadratische Gleichung (x,y)Axy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= d erhält in dem von

1 2t und t gebildeten Koordinatensystem die Gestalt:

u uT A T

v v⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ), T uu v T AT

v⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

u v Dv⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2u v dλ λ= + =

Mathe-Vorlesung 29.01.04 Dr. T. Böhme Wiederholung: 2 2ax bxy cy d+ + = Matrixdarstellung

( ) 2,2

ba xx y d

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Tx Ax d=

Eigenschaften von A: ( )1 2, Tda A Aλ λ ∈ = a: Falls 1λ ≠ 2λ gibt es Eigenvektoren 1 2,v v zu 1λ bzw. 2λ so,

dass 1 2v v = 0 b: Falls 1λ = 2λ existiert ein 2-dimensionaler Eigenraum →

Es existiert ONB { }1 2,v v

u v D dv⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 2u v dλ λ+ =

Gleichung in Hauptachsenform: y u v 2v 1v x

Mathe-Vorlesung 29.01.04 Dr. T. Böhme Klassifizierung quadratischer Gleichungen in Hauptachsenform: 1. Fall: rg (A) = 2 1 20 & 0λ λ⇔ ≠ ≠

2 2 1 0x ya b

+ − = Ellipse

2 2 1 0x ya b

+ + = leere Menge

2 2 1 0x ya b

− − = Hyperbel

2 2 2 0x a y+ = Punkt 2 2 2 0x a y− = Geradenpaar durch 0 2. Fall: rg (A) = 1 1 0λ = 2 2 0x py− = Parabel 2 2 0x a− = Geradenpaar 2 2 0x a+ = leere Menge 2 0x = Gerade ⇒

1 2, 0λ λ ≠

1λ > 0 2λ > 0 d > 0 Ellipse

1λ > 0 2λ > 0 d < 0 leere Menge

1λ > 0 2λ < 0 d≠ 0 Hyperbel

1λ > 0 2λ > 0 d = 0 Punkt (0,0)

1λ > 0 2λ < 0 d = 0 Geradenpaar

Mathe-Vorlesung 29.01.04 Dr. T. Böhme ⇒

1. Beispiel: 13x2 - 10xy + 13xy2 = 288

( )13 5

, 2885 13

y−⎛ ⎞⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ Gleichung in Matrixform

( )2 213 513 25 26 169 25 0

5 13λ

λ λ λλ

− −= − − = − + − =

− −

1,2 13 169 144 13 5λ = ± − = ± 1 28; 18λ λ= = Eigenvektoren: 1 8λ =

5 5 0 15 5 0 1

xL Span

y− ⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⇒ = ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

2 18λ =

5 5 0 15 5 0 1

xL Span

y− − ⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⇒ = ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

normierte Eigenvektoren:

1 21 11 1;1 12 2

v v⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 18 02 2

1 1 0 182 2

TT T AT

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

1 20; 0λ λ= > d < 0 leere Menge d > 0 paralleles Geradenpaar d = 0 Gerade x = 0

1 20; 0λ λ= < d > 0 leere Menge d < 0 paralleles Geradenpaar d = 0 Gerade

( )8 0

, 2880 18

v⎛ ⎞⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

8u2 + 18v2 = 288 Gleichung in Hauptachsenform v = 0 8u2 = 288 ⇒ u = ± 6 u = 0 18v2 = 288 ⇒ v = ± 4 Skizze: y u 6 4 x -4 -6 v 2. Beispiel: 9x2 – 24xy +16y2 = 175

( )9 12

, 17512 16

y−⎛ ⎞⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ Gleichung in Matrixform

Eigenwerte:

( )( )9 12

9 16 144 012 16λ

λ λλ

− −= − − − =

− −

2 25 144 144 0λ λ− + − = 2 25 0λ λ⇒ − = 1 20; 25λ λ= =

Mathe-Vorlesung 29.01.04 Dr. T. Böhme Eigenvektoren:

1 0λ = 9 12 012 16 0

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9x = 12y; 12 49 3

x y= 1

1L Span

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⇒ = ⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

2 25λ = 16 12 012 9 0

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9x = -12y; 34

x y= − 2

1L Span

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟⇒ = ⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

normierte Eigenvektoren:

( )4 516 253 18 9 31

⎛ ⎞⎜ ⎟ = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

v⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3 59 354 116 16 41

⎛ ⎞−⎜ ⎟ = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

v−⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

4 30 05 5

3 4 0 255 5

TT T AT

⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎛ ⎞⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

( )0 0

, 1750 25

v⎛ ⎞⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

25v2 = 175; v2 = 7 Gleichung in Hauptachsenform y u v 7v = + 7v = + x

MATHEMATIK I - wikiii.de · 2.4. Lineare Vektorräume 59 Lineare Abhängigkeit 60 2.5. Zeilen...

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