Mittelwerte - Übersicht 1.Schwerpunkt – physikalischer Mittelpunktsbegriff Einschub: Mittelpunkt...

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe

3. Stochastische Mittelwerte

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen

3. Stochastische Mittelwerte

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte

3. Stochastische Mittelwerte

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition

3. Stochastische Mittelwerte

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion

3. Stochastische Mittelwerte

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1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion2.5. Vergleich der Mittelwerte

3. Stochastische Mittelwerte

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion2.5. Vergleich der Mittelwerte2.6. Verallgemeinerung I – Mittelwert von mehr als 2 Größen

3. Stochastische Mittelwerte

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion2.5. Vergleich der Mittelwerte2.6. Verallgemeinerung I – Mittelwert von mehr als 2 Größen2.7. Verallgemeinerung II – Mittelwert und funktionale Zuordnung

3. Stochastische Mittelwerte

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion2.5. Vergleich der Mittelwerte2.6. Verallgemeinerung I – Mittelwert von mehr als 2 Größen2.7. Verallgemeinerung II – Mittelwert und funktionale Zuordnung

3. Stochastische Mittelwerte

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

a) Gleich breite Streifen

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

a) Gleich breite Streifen

auch vergrößern

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

a) Gleich breite Streifen

Skala einfügen

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

a) Gleich breite Streifen

Skala einfügen

2.1. Arithmetische Mittelwerte auf einer linearen Skala

a) Gleich breite Streifen

Skala mit Streckenlängen

2.1. Arithmetisches Mittel im Trapez

a) Gleich breite Teiltrapeze

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

b) Ähnliche Trapeze

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

b) Ähnliche Trapeze

auch vergrößern

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

b) Ähnliche Trapeze

Skala einfügen

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

b) Ähnliche Trapeze

Skala einfügen

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

b) Ähnliche Trapeze

Längenänderung

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

b) Ähnliche Trapeze

Längenänderung

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

b) Ähnliche Trapeze

Längenänderung

Längen werden immer mit dem gleichen Faktor verändert!

2.1. Geometrische Mittelwerte auf einer exponentiellen Skala

b) Ähnliche Trapeze

Skala mit Streckenlängen

2.1. Geometrisches Mittel im Trapez

b) Ähnliche Teiltrapeze

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte 2.1.

c) Drehstreckung

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

c) Drehstreckung

auch vergrößern

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

c) Drehstreckung

auch vergrößern

- so lange wie möglich

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

c) Drehstreckung

Skala einfügen

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

c) Drehstreckung

Skala einfügen

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

c) Drehstreckung

Skala einfügen

und erste Streckenlängen

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

c) Drehstreckung

Längenänderung

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

c) Drehstreckung

Längenänderung

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

c) Drehstreckung

Längenänderung

2.1. Trapezreihen und Mittelwerte

c) Drehstreckung

Längenänderung

2.1. Harmonische Mittelwerte auf einer reziproken Skala

c) Drehstreckung

Skala mit Streckenlängen

2.1. Harmonisches Mittel im Trapez

c) Drehstreckung

um „optischen“ Mittelpunkt

2.1. Skalenvergleich bei den klassischen Mittelwerten

Arithmetisches Mittel

bei linearem Wachstum

Harmonisches Mittel

bei reziprokem Wachstum

Geometrisches Mittel

bei exponentiellem Wachstum

2.1. Die klassischen Mittelwerte im Trapez

Arithmetisches Mittel

Mittelparallele

Harmonisches Mittel

Parallele durch

Diagonalenschnittpunkt

Geometrisches Mittel

Ähnliche Teiltrapeze

2.1. Die klassischen Mittelwerte im Trapez

Arithmetisches Mittel

Mittelparallele

Harmonisches Mittel

Parallele durch

Diagonalenschnittpunkt

Geometrisches Mittel

Ähnliche Teiltrapeze

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion2.5. Vergleich der Mittelwerte2.6. Verallgemeinerung I – Mittelwert von mehr als 2 Größen2.7. Verallgemeinerung II – Mittelwert und funktionale Zuordnung

3. Stochastische Mittelwerte

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Optische Perspektive

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Optische Perspektive

Das Hl.-Kreuz-Münster

In Schwäbisch Gmünd

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Akustik

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Fraktale

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Fraktale

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Selbstähnliche Figuren - Quadrat-Fraktale

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Selbstähnliche Figuren - Quadrat-Fraktale

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Selbstähnliche Figuren - Quadrat-Fraktale

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Selbstähnliche Figuren - Quadrat-Fraktale

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Selbstähnliche Figuren - Quadrat-Fraktale

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Selbstähnliche Figuren - Quadrat-Fraktale

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Selbstähnliche Figuren - Quadrat-Fraktale

u.s.w.

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

Selbstähnliche Figuren - Quadrat-Fraktale

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

a) Arithmetisches Mittel

„Durchschnitt“ als (fiktiver) Mittelwert – bestimmt durch Größenausgleich bei

• Leistungsnoten bzw. -Punkten

• Größenmaßen (z.B. Gewichten) bei verschiedenen Objekten• Statistisch erhobenen Werte (z.B. Einwohnerzahlen ...)

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

b) Geometrisches Mittel

Mittlerer Umrechnungsmaßstab bei aufeinanderfolgenden Maßstabsveränderungen

Bsp: DIN-Papier

b) Geometrisches Mittel

Mittlere Frequenz bzw. Saitenlänge (Luftsäule)bei der temperierten chromatischen Tonleiter

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

b) Geometrisches Mittel – allgemein:

Mittlerer Veränderungsfaktor bei Wachstums- und Zerfallsprozessen

• Zinseszins

• Natürliches Wachstum (ungebremst)

• Radioaktiver Zerfall ...

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

c) Harmonisches Mittel

Zentralperspektive:Länge der mittleren Parallelen

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

c) Harmonische Stimmung beim Monochord: Tonhöhen bei gleichmäßig unterteilter Saitenlänge

Grundton Oktav (1:2) (= 1. Oberton)

Quint (2:3)

(= 2. Oberton)

Ganzton (8:9) (= 6. Oberton)

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

c) Harmonisches Mittel

Ausgleich von Brennweiten bei optischen Linsen

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

c) Harmonisches Mittel

Ausgleich von Brennweiten bei optischen Linsen

2.2. Anwendungsbereiche für Mittelwerte

c) Harmonisches Mittel – allgemein:Arithmetisches Mittel in „reziproken“ Größenbereichen

• „Reichweite“ statt Verbrauch

• „Gemächlichkeit“ statt Geschwindigkeit ...

Mittelwerte - Übersicht

1. Schwerpunkt – physikalischer MittelpunktsbegriffEinschub: Mittelpunkt und Abstandsbegriff

2. Klassische Mittelwertsbegriffe2.1. Mittelwerte in verschiedenen Skalenbereichen2.2. Anwendungsbereiche verschiedener Mittelwerte2.3. Klassische Mittelwerte – Definition2.4. Geometrische Interpretation und Konstruktion2.5. Vergleich der Mittelwerte2.6. Verallgemeinerung I – Mittelwert von mehr als 2 Größen2.7. Verallgemeinerung II – Mittelwert und funktionale Zuordnung

3. Stochastische Mittelwerte

2.3. Klassische Mittelwerte - Definition

a) Arithmetisches Mittel: Absoluter Größenausgleich

abm

2.3. Klassische Mittelwerte - Definition

m - a = b - m

b-m

abm

m-a

a) Arithmetisches Mittel: Absoluter Größenausgleich

2.3. Klassische Mittelwerte - Definition

m - a = b - m 2m = b + a

a

a

b

b

m

m

b-m

abm

m-a

a) Arithmetisches Mittel: Absoluter Größenausgleich

2.3. Klassische Mittelwerte - Definition

a) Arithmetisches Mittel: durchschnittliches absolutes Wachstum

abm

..

2.3. Klassische Mittelwerte - Definition

b) Geometrisches Mittel: Mittlerer Streckfaktor

2.3. Klassische Mittelwerte - Definition

b) Geometrisches Mittel: Relatives Wachstum

2.3. Klassische Mittelwerte - Definition

b) Geometrisches Mittel: durchschnittliches relatives Wachstum

2.3. Klassische Mittelwerte - Definition

b) Geometrisches Mittel: durchschnittliches relatives Wachstum

2.3. Klassische Mittelwerte - Definition

c) Harmonisches Mittel

Größenausgleich bei

Kehrwerten

f(x) = 1/x

( (