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Mathe 2 / Numerik – Def. / Zahlen / Methoden
Blankenbach / SS2013 / 23.06.2013 1
Numerik 2. Sem.
Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach
Hochschule Pforzheim, Tiefenbronner Str. 65
75175 Pforzheim
Überblick / Anwendungen / Motivation:
Die Numerik beschäftigt sich mit der „nicht-mathematischen“ Lösung mittels Computer von
Gleichungen, Nullstellen, Integralen etc. Hierbei können Aufgaben gelöst werden, die
„klassisch“ nicht lösbar sind oder die Lösung zu aufwändig ist. Wichtig ist hierbei, dass die
Numerik „fehlerbehaftet“ ist und somit Ergebnisse geprüft werden müssen.
Beispiel aus der Medizin (Quelle: PTB)
Die Elektrokardiografie (EKG) ist eines
der am häufigsten eingesetzten
Messverfahren im klinischen Alltag. Um
die diagnostische Aussagekraft von
EKG-Signalen zu verbessern, ist es
notwendig, den Zusammenhang
zwischen der Quelle dieser Signale, also
der elektrischen Erregungsausbreitung
im Herzmuskel, und den an der Körperoberfläche gemessenen EKG-Signalen genauer zu
analysieren. Die dafür benötigte Rechenzeit ging bisher über Tage. Das numerische
Herzmodell, das gegenwärtig in der PTB entwickelt wird, arbeitet inzwischen so schnell, dass
Parametervariationen innerhalb von einigen Stunden durchgeführt werden können.
Zum selber ausprobieren: jede Programmiersprache, MS EXCEL, MATLAB, …
Empfohlene Literatur (als Ergänzung zum Skript, welches für Klausur ausreichend ist):
- Knorrenschild: Numerische Mathematik: Eine beispielorientierte Einführung, FV Leipzig
- Herzberger: Übungsbuch zur Numerischen Mathematik, Vieweg
- Prof. Dietz: Skript Numerik, HS Pforzheim (auch Quelle für einige Beispiele)
- Für mathematische Grundlagen: Papula : Mathematik für Ing. und NW, Vieweg
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Faires-Burden: Das erste Ziel bei numerischen Verfahren ist es, eine Approximation für die
Lösung eines Problems zu finden.
Numerik - When Things Go Wrong ….
Beispiele
INTEL PENTIUM mit
„Rechenfehler“
Pentium-FDIV-Bug (Quelle: Wikipedia)
FDIV-Bug bezeichnet einen Hardwarefehler des Pentium-
Prozessors von Intel. Der Fehler wurde im November 1994
anderthalb Jahre nach der Markteinführung bekannt und sorgt bei
Gleitkomma-Divisionen mit bestimmten Werten für falsche
Ergebnisse. Kein anderer Fehler in einem CPU-Design hatte
jemals zuvor für so viel Wirbel und Aufregung bei Anwendern und
Fachleuten gesorgt.
Die Bezeichnung FDIV-Bug leitet sich vom Namen eines häufig
verwendeten Gleitkommabefehls bei x86-Prozessoren ab. Der
Fehler betrifft aber keineswegs ausschließlich den Befehl FDIV, wie
man vermuten könnte. Vielmehr sind alle Befehle betroffen, die die
fehlerhafte Divisionseinheit benutzen.
Gleitkomma-Zahlen: siehe nachfolgend im Skript
MS EXCEL mit
„Genauigkeitsfehler“
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Nicht immer ist die
Numerik schuld:
Satellitenabsturz
durch
unterschiedliche
physikalische
Einheiten
The Mars Climate Orbiter was a 338 kilogram (750 lb) robotic
space probe launched by NASA on December 11, 1998 to study
the Martian climate, atmosphere, surface changes and to act as the
communications relay in the Mars Surveyor '98 program, for Mars
Polar Lander. However, on September 23, 1999, communication
with the spacecraft was lost as the spacecraft went into orbital
insertion, due to ground based computer software which produced
output in non-SI units of pound-seconds (lbf×s) instead of the
metric units of newton-seconds (N×s) specified in the contract
between NASA and Lockheed. The spacecraft encountered Mars
at an improperly low altitude, causing it to incorrectly enter the
upper atmosphere and disintegrate. Quelle Wikipedia
Faustregeln für die Numerik:
Immer alle Teilschritte und Ergebnisse „kritisch“ beurteilen, mit Werten „spielen“
(Monte Carlo Simulation), Fehlerrechnung durchführen, …
Für komplexe Aufgaben „professionelle“ Programme (mit „geprüften“ Algorithmen)
verwenden wie MATLAB, NAG-Bibliothek etc. Falls eigene Implementierung, die
eigenen Ergebnisse mit solchen Programmen vergleichen.
Digitalisierungseffekte in der Messtechnik beachten: Hier liegen Zeit- und Amplituden-
diskrete Werte vor und keine mathematischen Funktionen. Dies ist vergleichbar mit
FOR-Schleifen und EXCEL. Somit erfolgen Nullstellen-Suche, Differentiation und
Integration „anders“, nämlich diskret und nicht mittels Funktionen.
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Einführung
Aufgabe der Numerik
Lösen von Aufgabenstellungen, die „zu Fuß“ nicht oder nur mit unverhältnismäßig
hohem Aufwand lösbar wären.
Rechenverfahren in der digitalen Signalverarbeiten (hier liegen nur diskrete Werte und
keine mathematischen Funktionen vor)
Probleme der Numerik
Alle Zahlen werden digital repräsentiert, die Anzahl der Binärstellen ist begrenzt (also
endlich viele Möglichkeiten für unendlich viele reelle Zahlen). Somit können
beispielsweise rationale (z.B. 2/3) und irrationalen Zahlen (z.B. ) nur näherungsweise
dargestellt werden. Das führt zu Rundungsfehlern bis hin zur „Auslöschung“ (z.B.
Subtraktion zweier nah beieinander liegender gebrochener Zahlen kann Null wg.
Rundungsfehlern ergeben)
Das Ergebnis einer numerischen Rechnung kann sehr stark vom verwendeten
Algorithmus abhängen. Eine „kritische“ Betrachtung aller Ergebnisse ist somit
notwendig.
Einordnung der Numerik
Numerische Methoden sind nur ein Teilgebiet der Lösung einer technischen Aufgabenstellung.
Beispiel: Freier Fall mit gx , gesucht: Zeit, die für 44,15 m freier Fall benötigt wird.
Aus der Physik:
s = ½ g t² t = sqr(2s/g) = 3,00 s (gerundet, Rechner zeigt mehr Nachkommastellen)
Wo liegen nun die Fehlerquellen?
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keine Reibung,
g nicht konstant
g ist Näherung
Fehler beim
Wurzelalgorithmus
Abschneiden von
Nachkommastellen
… ist anzugeben.
Quelle: Bollhöfer: Numerik
Diese Vorlesung: Numerik mit Fokus auf praxisnahen Methoden und Lösungsverfahren.
Beispiel: „numerisches Wurzelziehen“
Iterationsformel:
mit i als Iterationsindex, Z: Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll; xi ist zu Beginn der
Startwert, z.B. 2.
Der Startwert muss immer kleiner als das Ergebnis der Wurzel sein.
Startwertalsxmit
x
ZahlxWurzel
2
22
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Beispiel für Numerik-Fehler
Gesucht ist der Funktionswert für „0“, d.h. f(0)
Hier: MS EXCEL, liefert ähnlich wie Programmiersprachen bei „0“ offensichtlich falsche
Ergebnisse, lt. „Mathe“: f(0) = 0,5
Je näher man an „0“ herankommt, desto „falscher“ wird der berechnete Funktionswert:
z.B. f(10-10) = 827 !
Der exakte mathematische Funktionswert bei 0 ist 0,5 !
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Einschub zur Wiederholung: Allgemeines zu Reihen
Anwendungen:
Darstellung von Funktionen mit Reihen Numerik
Oft „schnellere“ Programmausführung mit Reihenentwicklung im Vergleich zur Verwendung
der gegebenen mathematischen Funktion z.B. Sinus etc., welche der Compiler bereitstellt.
Berechnung von Funktionswerten auch wenn der Compiler diese Funktion nicht bereitstellt.
Integrierbarkeit von 'unlösbaren' Integralen, ebenso Differentiation
In der Technik sind viele Zusammenhänge als Reihen angenähert (oft auch, weil keine
exakte Formel existiert bzw. experimentell ermittelt)
Bsp: Hooke’sches Gesetz, T-abhängige Längenausdehnung bzw. elektrischer
Widerstand: X = Xo (1 + T)
Definition: a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = an
n
1
(R - 1)
an : n-tes Reihenglied
Reihe ist - konvergent, wenn an
n
1
= S (Grenzwert S existiert, S < ) (R - 2)
- divergent: Grenzwert S existiert nicht an
n
1
=
Ideal: Unendliche Reihe
Reale Numerik: endliche Reihe an
n
N
1
= <sN> (R - 3)
Partialsumme
Vorgehensweise bei Reihen: 1) existiert S ?
2) wenn ja (konvergent), bestimme S bzw. <sN>
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Reihendefinitionen:
- geometrisch : an = a qn-1
- alternierend : a1 - a2 + a3 - …
- Potenzreihe : a0 + a1x + a2x² + … (Polynom)
- arithmetisch : an = a + (n-1) d
- harmonisch : an = 1/n
Geometrische Reihen
Def.: 1n
1n
qa
= a + aq + aq² + aq³ + .... (R - 4)
Konvergenzbed.: |q| < 1
Summe: q1
aS
für |q| < 1 (R - 5)
Bsp: ...4
1
2
11
2
1
2
1
1n
1n
1n
→ q = 1/2 also konvergent, a = 1
→ 2
2
11
1S
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Alternierende Reihen
Def.:
1n
n
1na1 = a1 - a2 + a3 - a4 + .... (R - 6)
Leibnitz - Konvergenzkriterium:
1) an > an+1 (R - 7)
2) 0alim nn
alternierende Reihe konvergent, wenn beide Bed. erfüllt
Bsp: ...3
1
2
11
n
11
1n
1n
an = 1/n
Leibnitz: 1) 1 1
1n n
2) limn n
1
0 → Reihe ist konvergent
Potenzreihen
Def.:
0n
n
n xa = ao + a1x + a2x2 + a3x
3 + .... (R - 8)
mit an R
Potenzreihe = Polynom
Konvergenzradius 1n
n
n a
alimr
(R - 9)
- konvergent : |x| < r
- divergent : |x| > r
- keine Aussage : |x| = r
Bsp: ...2
x
1
x1
!n
x 2
0n
n
)1n(lim!n
)!1n(lim
a
alimr
nn1n
n
n
→ Reihe konvergent für alle x R (Fakultät > Potenz)
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Potenzdarstellung von Funktionen
Eine konvergente Potenzreihe stellt eine reelle Zahl dar:
n
0n
n xa)x(fy
(R - 10)
somit gilt auch:
- Differential y f xd
dxa x n a xn
n
n
n
n
n' '( )
0 1
1
- Integral F x f x dx a x dx ax
nCn
n
n
n
n
n
( ) ( )
0 0
1
1
Bsp: ( )
x n
n 0
1 - x + x² - x³ + ...
mit a = 1, q = -x: geometrische Reihe
( )
xx
n
n 0
1
1 für |x|< 1
f(x) = 1 / (1+x) (Summe)
Diff. und Int. Mit obiger Reihendefinition und Summe
Diff: f’(x) = -1/(1+x)² = -1 + 2x - 3x² + ... = ( )
1 1
1
n n
n
n x
(so erhält man auch Summen von ‚neuen’ Reihen)
Int : f x dxdx
xx( ) ln( )
1
1 ‚zu Fuß unmöglich’ – aus Formelsammlung
C...3
³x
2
²xxdx)x(
0n
n
= ln(1+x) !
C aus ln 1 = 0 für x=0 C = 0
ln(1+x) x – x²/2 + x³/3 …
Anwendung: Numerik
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Beispiele von Potenzreihen (aus Papula Formelsammlung)
ACHTUNG: Konvergenz für sin bzw. cos: |x| < - dies gilt aber für große Zahlen nur für sehr
viele Reihenglieder. Hier muss unbedingt der Fehler der Reihenapproximation geprüft werden.
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MacLaurin - Reihe
Kann y = f(x) in eine konvergente Potenzreihe entwickelt werden,
so ist dies nur mit der ML - Reihe möglich:
0n
n)n(
nn
x!n
)0(fx
!n
)0(f...²x
!2
)0(''fx
!1
)0('f)0(f)x(f (R - 11)
Achtung: Entwicklung nur um x = 0 !
Beispiele: - lineare Näherung f(x) f(0) + f’(0) x
F = 0 + D x Hookesches Gesetz für Feder
R = Ro + Ro T aus Ro (1 + T)
V = Vo + Vo T aus Vo (1 + T)
- f(x) = ex
f(x) = f’(x) = f’’(x) = ……..= ex
f(0) = f’(0) = f’’(0) = ……..= e0 = 1
→ ex = 1 + x/1 ! + x²/2! + x³/3!
- y = x²
- f(0) = 0
- f’(x) = 2x ; f’(0) = 0
- f’’(x) = 2 ; f’’(0) = 2
- f’’’ und folgende: Null
→ f(x) = 0 + 0 + 2/2 x² + 0 + … = x²
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Taylor - Reihe
- allgemeiner Fall der MacLaurin - Reihe für x0 = 0
- Entwicklung um ‚beliebigen’ Wert x0 , der bekannt sein muß
- h ist Abstand von x0
0n
no
)n(no
n
oooo h
!n
)x(fh
!n
)x(f...²h
!2
)x(''fh
!1
)x('f)x(f)hx(f (R - 12)
Bsp: e1,4
e1 = 2,718 bekannt -> xo = 1, xo + h = 1,4 h = 0,4
f(1 + 0,4) = e1 + e1h + e1/2! h² + e1/3! h³ + ...
= e1 ( 1 + h + h²/2 + h³/6 + ... )
Vergleich von MacLaurin und Taylor – Reihe für f(x) = ex mit x = 2
Für Taylor : exo mit xo = 1 also e1 = 2,72 ‚bekannt’
Exakt: 7,389
n MacLaurin Taylor
0 e0 = 1,00 e1 = 2,72
1 3,00 5,44
2 5,00 6,80
3 6,33 7,25
4 7,00 7,36
5 7,27 7,38
Mit Taylor-Reihe kommt man ‚schneller’, d.h. für kleiner n, dem exakten Wert näher.
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Näherungspolynome (aus Papula Formelsammlung)
… liefern (nur) in der Nähe des Nullpunkte brauchbare Ergebnisse !
(Bsp: sinx = x und e-x = 1 - x geht für größere x, z.B. 2 ‚schief’)
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Zahlendarstellung
Es gibt zwei Arten:
Integer-Werte
„Zahlen mit Komma“
Integer-Werte
Nur ganze Zahlen, z.B. von 0 – 255 für 8 Bit können auftreten, ggf. mit Vorzeichen
Zahlenbereich: - 2(n-1) … + 2(n-1) – 1
Bsp: - 8-Bit: -128 … - 127 (ergibt diskrete 256 Werte)
Damit läßt sich aber in der Praxis kaum rechnen Komma-Zahlen
In der Praxis sind aber alle digitalen Messdatenerfassungen mit AD-Wandler Integerwerte.
Oszilloskope haben üblicherweise 8 Bit Vertikalauflösung, Multimeter ca. 22 Bit. Je höher die
Auflösung, desto langsamer ist typischerweise die AD-Wandlung.
Die Messdaten liegen dann Zeit- und Amplituden-diskret vor, es gibt also keine mathematische
Formel. Eine solche kann höchstens per Fit angenähert werden.
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Methoden der nicht ganzzahligen Zahlendarstellung
• Festkomma-Darstellung
• Gleitkomma-Darstellung
Festkomma
Feste Anzahl von Ziffern vor und nach dem Komma:
Vorzeichen | Vorkommateil | Nachkommateil
Beispiel für 16-Bit (2 Byte): 8 Bit für Vorzeichen und Vorkomma, 8 Bit für Nachkomma
Problem: kleiner Wertebereich
In der Praxis haben Festkomma-Prozessoren über die vergangen Jahre an Bedeutung
drastisch verloren, da Gleitkomma-Prozessoren praktisch dieselbe Rechengeschwindigkeit
erzielen.
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Numerisch-mathematische Methoden der Nullstellen-Suche
Es gibt drei äquivalente Aufgabenstellungen:
1. Nullstellenproblem: Suchen nach einer Nullstelle
Zu lösende mathematische Gleichung: f(x) = 0.
2. Schnittpunkt der Kurve f(x) mit der ersten Winkelhalbierenden
Zu lösende mathematische Gleichung: f(x) = x
Spezialfall von 3.
3. Schnittpunkt zweier Kurven f(x) und g(x)
Zu lösende mathematische Gleichung: f(x) = g(x) bzw. h(x) = f(x) – g(x) = 0.
Es kann eine Funktion eine Gerade oder Null sein, dann ergeben sich die Fälle 1 und 2.
Es existieren mehrere Verfahren zur Nullstellen-Suche:
- Bisektions-Verfahren (Intervall-Schachtelung) – nicht schnell, aber „einfach“
- Tangenten-Verfahren (Newton-Verfahren)
- …
Auswahlkriterien sind beispielsweise die Anzahl der Iterationsschritte bis eine gegebene
Genauigkeit erreicht wird, Rechenzeit, Implementierung (Programmierung), …
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Bisektions-Verfahren (Intervall-Schachtelung) – nicht das schnellste Verfahren, aber einfach
Methode / Idee:
- Im Intervall zwischen a0 und b0 liegt eine Nullstelle der stetigen Funktion f(x)
- f(a0) und f(b0) haben dann unterschiedliche Vorzeichen.
- Das Intervall wird in der Mitte geteilt, der zugehörige Teilungspunkt mit p1 bezeichnet.
- Je nach dem Vorzeichen von f(p1) ersetzt der Teilungspunkt dann die linke (a0) oder die
rechte (b0) Intervallgrenze.
- Man erhält ein Intervall der halben Größe, das nach wie vor die Nullstelle einschließt.
Der Algorithmus lautet wie folgt, die Werte trägt man bspw. In eine Tabelle ein:
1. Ausgangspunkt: Intervall [a0,b0] mit 0)()( 00 bfaf .
Hier ist i=0. Berechne f(a0), f(b0).
2. Berechne den Mittelpunkt des Intervalls:
2
baauch
2
abap:MP iiiii1i sowie f(ai), f(bi) und f(pi+1)
3. Fallunterscheidung für neue Intervallgrenze:
- Falls 0)p(f)a(f 1ii liegt die Nullstelle zwischen ai und pi+1.
Dann werden ai+1 = ai und bi+1 = pi+1 die neuen Intervallgrenzen
- Sonst: „umgekehrt“: ai+1 = pi+1 und bi+1= bi die neuen Intervallgrenzen.
4. Kontrolle Abbruchkriterium z.B. | ai+1 - bi+1| < gewünschte Toleranz:
- Wenn erfüllt: Ende
- Sonst: Setzte i = i + 1 und weiter mit 2.
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Beispiel:
Anwendungsbeispiel: Berechnung der Herzfrequenz aus EKG
Wie kann man die Herzfrequenz hieraus numerisch bestimmen?
Z.B. Grundlinie abziehen und nur positive Peaks:
- Vorderkante - Vorderkante
- Maximalwert – Maximalwert
- Mittelwert Peak to Peak
Durch das verrauschte Messignal wird die Genauigkeit reduziert. Allerdings ist der Peak im
Vergleich zum Intervall recht kurz und zudem wird gemittelt und auf ganze Zahlen (Schläge
pro Minute) gerundet.
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Differenzieren und Integrieren
Hier: Diskrete Werte, z.B. Messdaten
Es liegen keine Funktionen, sondern nur zeit- und amplitudendiskrete Werte vor, wie z.B.
Messdaten, FOR-Schleifen oder EXCEL.
Verfahren:
- Differenzieren: „Benachbarter Elemente“ subtrahieren durch Schrittweite dividieren
- Integrieren: Mehrere Methoden:
- Elemente mit Schrittweite multiplizieren und aufsummieren
- Mittelpunkts-Regel benachbarter Elemente mit Schrittweite multiplizieren und aufsummieren
- Trapez-Regel, SimpsonRegel, … auf Basis diverser Interpolationsverfahren
„Mathematik“: )()()]([)( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
Mittelpunkts-Regel
mfabdxxf
b
a
)()(
Rechteck-Approximation,
das Prinzip kann aber auch auf
einzelne Intervallschritte
angewandt werden
Trapez-Regel ))()((
2)( bfaf
abdxxf
b
a
Geraden-Approximation,
das Prinzip kann aber auch auf
einzelne Intervallschritte
angewandt werden
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Beispiele mit Sinus
Differenzieren (Differentiation_sinus_v1.xlsx)
Mathematik
ACHTUNG: hier relativ große Schrittweite (0,1) !
Differentiation Sinus Methode
Schrittweite h x sinx Nachbar-Differenz / h Mathe dsin/dx = cos absoluter Fehler relativer Fehler
0,1 0,0 0,00000 "groß bei kleinen Zahlen"
0,1 0,09983 0,99833 0,9950042 0,0033300 0,33%
0,2 0,19867 0,98836 0,9800666 0,0082926 0,85%
0,3 0,29552 0,96851 0,9553365 0,0131723 1,38%
0,4 0,38942 0,93898 0,9210610 0,0179204 1,95%
0,5 0,47943 0,90007 0,8775826 0,0224894 2,56%
0,6 0,56464 0,85217 0,8253356 0,0268337 3,25%
0,7 0,64422 0,79575 0,7648422 0,0309100 4,04%
0,8 0,71736 0,73138 0,6967067 0,0346773 4,98%
0,9 0,78333 0,65971 0,6216100 0,0380982 6,13%
1,0 0,84147 0,58144 0,5403023 0,0411384 7,61%
1,1 0,89121 0,49736 0,4535961 0,0437676 9,65%
1,2 0,93204 0,40832 0,3623578 0,0459595 12,68%
1,3 0,96356 0,31519 0,2674988 0,0476922 17,83%
1,4 0,98545 0,21892 0,1699671 0,0489483 28,80%
1,5 0,99749 0,12045 0,0707372 0,0497154 70,28%
1,6 0,99957 0,02079 -0,0291995 0,0499857 -171,19%
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Beispiele mit Sinus (integration_sinus_v3.xlsx)
Integrieren
Mathematik ∫ , hier [0, ]: Integralwert = 2
…
Integration Sinus Methoden
Schrittweite h x sinx Wert x h Mittelpunkt x h Trapezregel
0,1 0,0 0,00000 0,00000 0,0049979 0
0,1 0,09983 0,00998 0,0149438 0,0049917
0,2 0,19867 0,01987 0,0247404 0,0149251
0,3 0,29552 0,02955 0,0342898 0,0247095
0,4 0,38942 0,03894 0,0434966 0,0342469
0,5 0,47943 0,04794 0,0522687 0,0434422
2,8 0,33499 0,03350 0,0287478 0,0381184
2,9 0,23925 0,02392 0,0190423 0,0287119
3,0 0,14112 0,01411 0,0091465 0,0190185
3,1 0,04158 0,00416 -0,0008407 0,0091350
3,2 -0,05837 -0,00584 -0,0108195 -0,0008397
Summe 1,99371 1,98831 1,99663
Vgl Mathe: Int sin = -cos
hier 0 … pi
cos(0) = 1
cos(pi) = -1
somit -(-1 - 1) = 2
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Übungsaufgaben Numerik
Bearbeiten Sie die Aufgaben mit Taschenrechner, MS EXCEL, beliebiger
Programmiersprache und MATLAB. In der Klausur genügt ein Taschenrechner.
1. Ziehen Sie mit einem Taschenrechner die Wurzel aus 2 und anschließend aus dem
Ergebnis. Wiederholen Sie dies solange, bis nur noch eine „1“ im Display erscheint. Nun
quadrieren Sie solange, bis Sie wieder in der „Gegend von 2“ sind. Eine exakte „2“ wird
hierbei meist nicht erreicht. Erklären Sie das Ergebnis bzw. die Beobachtung.
Lösung: Meist wird mit mehr Stellen gerechnet als angezeigt. Einfache Taschenrechner
besitzen lediglich 4-Bit Prozessoren.
2. Beim numerischen Wurzelziehen spielt der Startwert xo und die Zahl Z aus der die Wurzel
zu ziehen ist die entscheidende Rolle für die Anzahl der „notwendigen“ Iterationsschritte um
eine gewünschte Genauigkeit zu erzielen.
- Vergleichen Sie den absoluten und relativen Fehler für Z = 9 für die Startwerte 1 und 2.
Lösung: Z.B. beim 2. Schritt mit Startwert 1 ist der relative Fehler ca. 40x so groß wie bei 2.
- Der Startwert muss kleiner als das Ergebnis des Wurzelziehens sein. Insofern liegt man
für Zahlen größer 1 mit „1“ auf der sicheren Seite. Der Ihr Programm ja den exakten Wert
nicht kennt, muss sich die Anzahl der Iterationsschritte „i“ am tolerierbaren Fehler
orientieren. Wie viele Schritte benötigen Sie, damit der relative Fehler für Werte bis 1000
(z.B. 10 Bit Messwerte) kleiner als 0,01% bleibt?
Lösung: 7 Schritte
3. Berechnen Sie für die folgenden Werte den Funktionswert des Cosinus angenähert durch
eine Reihe (Polynom). Berechnen Sie jeweils den relativen und absoluten Fehler.
Zahlen: 0; 0,01; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,0; 3,14; 6,28
Wie viele Reihenglieder N sind zu berücksichtigen, damit der relative Fehler für Werte bis
einschließlich 1 unter 1% bleibt?
Lösung: N 3
IT
Mathe 2 / Numerik – Def. / Zahlen / Methoden
Blankenbach / SS2013 / 23.06.2013 24
4. Untersuchen Sie für eine 4-stellige Arithmetik die Subtraktion von (
)
Berechnen Sie das „exakte“ Ergebnis mit dem Taschenrechner und vergleichen die mit der
4-stellige Arithmetik hinsichtlich absolutem und relativem Fehler. Dazu müssen Sie zuerst
die beiden Zahlen in 4-stellige Arithmetik ausdrücken und dann die Subtraktion durchführen.
Der relative Fehler ist relativ groß – wie nennt man den zugrunde liegenden „Effekt“?
Lösung: absoluter Fehler ca. 0,00026, relativer Fehler ca. 21%
5. Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion f(x) = x³ - x + 0,3 im Intervall von 0 bis 0,5 auf
eine Nachkommastelle genau.
Lösung: Nullstelle zwischen 0,31 und 0,38
6. Differenzieren und Integrieren Sie die Funktion f(x) = cos(x) im Intervall von 0 … .
Bestimmen Sie auch den absoluten und relativen Fehler.
Lösung: Analog zu Vorlesungsbeispiel „Sinus“.
7. Differenzieren und Integrieren Sie die Funktion f(x) =x³ im Intervall von 0 … 1.
Bestimmen Sie auch den absoluten und relativen Fehler.
Führen Sie dies auch mit einem Taschenrechner durch mit einer von „Schrittweite“ 0,2.
Lösung: Analog zu Vorlesungsbeispiel „Sinus“.
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