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Numerische Strömungssimulation
Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen
Numerische Simulation von Strömungsvorgängen
B. Binninger
S. Farazi, D. Goeb
Institut für Technische Verbrennung
Templergraben 64
2
• Bitte eigenen Laptop mitbringen
• Anwesenheitspflichtige Veranstaltung, Zweiergruppen möglich
• Betreuung, Kontakt:
o Bernd Binninger, Dominik Goeb, S. Farazi
o E-Mail: B.binninger@itv.rwth-aachen.de; d.goeb@itv.rwth-aachen.de
o Sprechstunden nach Absprache (R, 215, R209.1)
Organisatorisches (kont.)
3
• Prüfung, Prüfungsleistungen:
o Praktikumsbericht
• Abzugegen etwa eine Woche vor dem Termin der mündlichen Prüfung an
b.binninger@itv.rwth-aachen.de
o Mündliche Prüfung
• Spätester Gruppentermin 06.10.2017
• Frühere Gruppentermine nach Absprache möglich
Organisatorisches (kont.)
Numerische Strömungssimulation
Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen
Numerische Simulation von Strömungsvorgängen
B. Binninger
Institut für Technische Verbrennung
Templergraben 64
1. Teil
1.2-0 Zusammenfassung 1. Teil
Praktikumsaufgabe „Potentialströmung“
• Lösung der Potentialgleichung und Stromfunktionsgleichung für eine stationäre,
wirbel- und reibungsfreie zweidimensionale Strömung in einem Kanal
Die Praktikumsaufgabe besteht aus zwei Teilaufgaben
• Teil 1.1: Lösung der Laplace-Gleichungen für rechteckiges Integrationsgebiet
• Teil 1.2: Lösung der Laplace-Gleichungen für krummlinig berandetes
Integrationsgebiet
Nutzanwendung des Teiles 1.2
• Konstruktion eines strukturierten numerischen Gitters aus krummlinigen
orthogonalen Koordinaten
Simulation von Strömungsvorgängen
Mathematische Formulierung des Problems und
mathematische Modellbildung
Partielle Differentialgleichung
Diskretisierung
System von algebraischen Gleichungen
Gleichungslöser
Näherung der exakten Lösung des Problems
Selten direkt, meist iterativ
Oft ein System part.D‘gln
Finite Elemente oder
Differenzen oder finite Volumen
1.1-1
Wir werden diese Schritte hier wiederholt anwenden, um spezielle Aufgaben aus
dem Bereich der Strömungsmechanik zu bearbeiten.
Modellierung
Voraussetzung:
Das strömende Fluid kann als Kontinuum angesehen werden kann.
Wir abstrahieren also von der granularen Struktur der Materie und
behaupten, dass die Grenzübergänge
sinnvoll gebildet werden können:
1.1-2
1.1-3
Beispiel: Der Grenzwert existiert und heißt Dichte r:
Diese Definition der Dichte r kann nur dann sinnvoll sein, wenn das im Grenzwert
betrachtete Volumen groß gegen die Abmessungen der Atome oder Moleküle des Fluids
bleibt.
Andererseits muss das Grenzvolumen klein sein gegenüber den makroskopisch
interessierenden Längen des Strömungsproblems.
Beispielsweise Strömungen hochverdünnter Gase können daher mit dem Kontinuumsansatz
nicht zufriedenstellend beschrieben werden. Solche Problemstellungen treten beim
Wiedereintritt von Raumfahrzeugen in die Erdatmosphäre oder in Vakuumapparaturen auf.
In solchen Fällen werden als mathematisches Modell die Boltzmann-Gleichungen betrachtet.
1.1-3
Bemerkung:
Die Voraussetzung des Kontinuums ist unter Umständen auch bei nichtverdünnten Gasen
nicht für alle Strömungsgrößen erfüllt.
Zum Beispiel ändern sich Strömungsgrößen in Verdichtungsstößen in Fluiden mit geringer
Reibung nahezu sprunghaft (die Dicke der Stoßzone beträgt lediglich mehrere freie
Weglängen).
Wir finden aber auch in diesem Fall eine differentielle mathematische Formulierung des
Problems, die nur stetige Strömungsgrößen enthält, wenn wir nur Erhaltungsgrößen,
betrachten und die Differentialgleichungen in Erhaltungsform formulieren
(vergl. auch die Ausführungen weiter hinter zum Finite-Volumen-Verfahren.)
Für die reibungsfreien Eulergleichungen führt dies auf die sogenannten
schwachen Lösungen.
1.1-4
Unter dieser Voraussetzung kann das Verhalten des Fluids vollständig
beschrieben werden, indem
der thermodynamische Zustand,
der Impuls und
die Energie an jedem Raumpunkt und zu jedem Zeitpunkt
angegeben werden.
Die Verteilungen dieser Größen in Raum und Zeit folgen den Prinzipien
• Massenerhaltung
• Impulserhaltung
• Energieerhaltung
1.1-5
Die Mathematische Formulierung dieser Erhaltungsgleichungen führt für ein
Kontinuum auf einen Satz
Partieller Differentialgleichungen
Zzgl. der Rand- und Anfangsbedingungen wird die Entwicklung einer Strömung
in Raum und Zeit damit vollständig beschrieben.
1.1-6
Zusätzliche vereinfachende Annahmen beeinflussen den Charakter und die
Komplexität des mathematischen Problems.
Näherung hier:
• inkompressible oder näherungsweise inkompressible Probleme
• zusätzliche Annahmen, um mathematisch besonders einfache Probleme
an den Anfang unserer Beispiele stellen zu können.
1. Aufgabe: inkompressible, reibungsfreie und wirbelfreie Strömungen
Herleitung der mathematischen Formulierung des Problems aus
Massen-, Impuls- und Energieerhaltung
1.1-7
Inkompressibilität:
Energiegleichung entkoppelt von Impulsgleichung und Kontinuitätsgleichung
Geschwindigkeits- und Druckfeld allein aus Masse- und Impulserhaltung!
Kontinuitäts- und Impulsgleichungen für inkompressible Newtonsche Fluide
Massenerhaltung oder Kontinuitätsgleichung (keine Quellen):
Impulsgleichung:
Gewichtskräfte,
Erdschwerefeld Druckkräfte
Reibungskräfte zeitliche Beschleunigung
räumliche Beschleunigung
1.1-8
Bemerkung und Schreibweisen:
• Der Operator der konvektiven Beschleunigung ist in der Schreibweise
nur für karthesische Koordinaten definiert.
Es gilt die Identität
deren rechte Seite für alle Koordinatensysteme gilt.
• Schwerebeschleunigung aus Potential U :
1.1-9
Mathematische Beschreibung von
Kontinuumsströmungen inkompressibler, Newtonscher Fluide konstanter Viskosität
+ Rand- und Anfangsbedingungen
1.1-10
Abgeleitete Gleichungen:
Wirbeltransportgleichung
Vorteil: Druck und Geschwindigkeitsfeld können unabhängig voneinander
berechnet werden.
Mit der numerischen Lösung dieser Gleichung werden wir uns hier nicht beschäftigen.
Wir werden diese Gleichung aber benutzen, um eine andere mathematische
Formulierung des Strömungsproblems abzuleiten
1.1-11
wirbelfreie, reibungsfreie Strömungen oder Potentialströmungen
Herleitung der Wirbeltransportgleichung:
Es gelingt den Druck aus der Gleichung zu eliminieren, wenn berücksichtigt wird,
dass folgende Identität gilt (Gradientenfelder sind wirbelfrei):
Wir wenden deshalb den Rotationsoperator auf die Impulsgleichung an und
definieren den Wirbelvektor
Es folgt die Wirbeltransportgleichung für ein inkompressibles Newtonsches Fluid
konstanter Zähigkeit:
1.1-12
Behauptung:
Beweis:
Mit dem Levi-Civitaschen Tensor eijk (auch Epsilon-Tensor) lässt sich für kartesische
Koordinaten mit der Einsteinschen Summenkonvention schreiben
Andererseits ist:
(Umbenennen stummer Indizes)
1.1-13
Spezielle Lösung für reibungsfreie Fluide (kinematische Zähigkeit n = 0):
Potentialströmungen
Das Geschwindigkeitsfeld besitzt eine Potentialfunktion f
Dann ist das Geschwindigkeitsfeld wirbelfrei.
Die Wirbeltransportgleichung ist mit
immer erfüllt.
1.1-14
Bestimmungsgleichung für das Potential aus Kontinuitätsgleichung
Mit geeigneten Randbedingungen liefert die Lösung der Potentialgleichung
das Geschwindigkeitsfeld:
Zum Beispiel in kartesischen Koordinaten:
*) Alternative Schreibweise: Df =0. In kartesischen Koordinaten und 2D:
*)
1.1-15
Bemerkung: Die Konstante „const“ gilt überall im Strömungsfeld, nicht nur entlang Stromlinien!
(instat. Bernoullische Gleichung)
Integriert (stationär):
Berechnung des Druckfeldes aus der Impulsgleichung:
1.1-16
Keine freie Oberflächen (stationär):*)
oder
Definition eines Druckbeiwertes:
*) falls keine freie Oberflächen auftreten hebt sich der hydrostatische Druck mit dem
Schwerepotential heraus, p meint dann nur den dynamischen Druckanteil.
1.1-17
Nebenbemerkung
Bestimmung des Druckfeldes aus dem Geschwindigkeitsfeld für wirbelbehaftete
Geschwindigkeitsfelder
Poissongleichung für den Druck
Wir bilden die Divergenz der Bewegungsgleichung
Bei bekanntem Geschwindigkeitsfeld und Randbedingungen ist diese Gleichung
prinzipiell lösbar.
1.1-18
Randbedingungen
Stationäre Strömungen keine Anfangsbedingungen nötig
Die Lösungsverteilung im Inneren eines Integrationsgebietes ist von Randwerten
abhängig.
Vorgabe der Funktionswerte (RB 1. Art) Dirichlet
Vorgabe der Gradienten (RB 2. Art) Neumann
Kombination aus beiden (RB 3. Art)
(Rand des I-Gebietes)
(Integrationsgebiet)
1.1-19
Wir nutzen die Wirbelfreiheit von Divergenzfeldern also folgende Vektoridentität:
Die Kontinuitätsgleichung
ist daher erfüllt, wenn die Geschwindigkeit durch ein Vektorpotential
ausgedrückt wird:
1.1-20 Alternative Formulierung
Als Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential kann bei bekannter
Wirbelverteilung die Definition des Wirbelvektors herangezogen werden:
Mit der Vektoridentität
folgt die Differentialgleichung zur Bestimmung des Vektorpotential:
1.1-21
Bei bekannter Wirbelverteilung ist dies eine Poisson-Gleichung.
Spezialfall zweidimensionale Potentialströmung in der x,y-Ebene:
Die Komponente des Vektorpotential, die von Null verschieden ist, wird
Stromfunktion genannt. Linien y = const sind Stromlinien.
Die Gleichung stimmt von der Schreibweise her mit der Potentialgleichung überein.
Man beachte aber den anderen Charakter des Laplace-Operator in den beiden
Formulierungen , da das Potential j ein Skalar ist, die skalare Stromfunktion y
dagegen die 3. Komponente eines Vektorpotentials darstellt.
1.1-22
Die Geschwindigkeitskomponenten errechnen sich aus der Stromfunktion in
kartesischen Koordinaten zu:
Die beiden mathematischen Modelle, Potential j versus Stromfunktion y,
zur Berechnung einer Potentialströmung unterscheiden sich in kartesischen
Koordinaten nur durch die Art der vorzugebenden Randbedingungen.
1.1-23
Damit ist die Modellbildung für die Potentialströmung im Wesentlichen
abgeschlossen.
Für eine numerische Lösung ist nun noch eine geeignete
Diskretisierung
vorzunehmen und anschließend eine
Implementierung in einem Computer-Code.
Jede Software ist fehlerträchtig.
Daher muss nach Möglichkeiten gesucht werden, die Software zu testen:
Programmtest
1.1-24
Möglichkeiten des Software-Tests
Prinzipiell:
Vergleich numerischer Ergebnisse mit bekannten Lösungen
Herausragend unter bekannten Lösungen sind analytische Lösungen der
Differentialgleichungen, sofern solche bekannt sind.
Wir suchen deshalb hier nach solchen analytischen Lösungen der
zwei dimensionalen Laplace-Gleichung.
1.1-25
Analytische Lösungen der zwei-dimensionalen Laplace-Gleichung
Wir betrachten eine stetig differenzierbare komplexe Funktion f (z):
Für jede solche Funktion gilt, dass die Laplace-Gleichung
identisch erfüllt ist!
1.1-26
Analytische Lösungen der zwei-dimensionalen Laplace-Gleichung (kont.)
Zerlegen der Funktion f (z) in Real- und Imaginärteil:
Dann gilt
sowie
1.1-27
Analytische Lösungen der zwei-dimensionalen Laplace-Gleichung (kont.)
Erstes Beipiel:
Äquipotentiallinien und Stromlinien sind eine Schar senkrecht aufeinander stehender
Geraden Parallelströmung.
1.1-28
Analytische Lösungen der zwei-dimensionalen Laplace-Gleichung (kont.)
Zweites Beipiel:
Die Stromlinien sind Hyperbeln symetrisch zum Nullpunkt des Koordinatensystems.
Staupunktströmung mit Staupunkt im Ursprung
1.1-29
Analytische Lösungen der zwei-dimensionalen Laplace-Gleichung (kont.)
Drittes Beipiel:
1.1-30
Liste von Beispielen für stationäre zwei-dimensionale Potentialströmungen
Parallelströmung:
Ebene Staupunktströmung:
Quelle:
Potentialwirbel:
Dipol:
Es gilt wegen der Linearität der Differentialgleichungen das Superpositionsprinzip!
Beispiel Halbkörper: Superposition aus Parallelströmung und Quelle
1.1-31
Differenzformulierung auf geordneten, strukturierten Gittern
Integrationsgebiet (2D, rechteckig):
Schrittweiten:
1.1-32
Diskretisierung der Potentialgleichung
- Approximation von Ableitungen durch Differenzenformulierung
Approximation erster und zweiter Ableitung:
Der Laplace-Operator ist elliptisch, Einflussbereich symmetrisch im Raum
zentrale Differenzen sind dem angepasst
1.1-33
1.1-34
Bei äquidistantem Gitter lassen sich erste Ableitungen durch zentrale Differenzen
wie folgt ausgedrücken:
Für zweite Ableitungen ergibt sich:
Entsprechendes gilt für die Ableitungen nach der y-Richtung.
Algebraisches Gleichungssystem
- Die Differenzenapproximation der Laplace-Gleichung führt auf ein
algebraisches Gleichungssystem mit einer dünn besetzten Matrix
- Kern ist die algebraische Funktion
1.1-35
Direktes Lösungsverfahren :
- Gaußscher Algorithmus
Im Prinzip möglich, aber sehr aufwendig.
Außerdem empfindlich gegen Rundungsfehler:
Anwendung scheidet aus! Iterative Lösungsverfahren gewünscht.
Einfache iterative Lösungsverfahren für das algebraische Gleichungssystem
Im Vergleich mit direkten Lösungsverfahren geringer Aufwand und
unempfindlich gegen Rundungsfehler.
• Iterationsverfahren in Gesamtschritten (Jacobi) (expl.)
1.1-36
wobei der obere Index n den Iterationsschritt nummeriert.
• Iterationsverfahren in Einzelschritten (Gauß-Seidel) (expl.)
Bei diesem Verfahren werden aktualisierte Werte der gesuchten Funktion bereits
mitberücksichtigt, während ein Iterationsschritt ausgeführt wird.
Für einen Durchlaufsinn des i,j-Feldes, i vor j und kleine i vor großen i, bedeutet dies
folgende Abhängigkeit:
Übungsaufgabe:
Veranschaulichen Sie sich die Algorithmen an Hand des Differenzensterns der diskretisierten Laplace-
Gleichung. Wie sieht das Gauß-Seidel-Verfahren aus, wenn zunächst die j-Richtung abgearbeitet wird?
1.1-37
• Iterationsverfahren in Einzelschritten entlang Linien (Thomas) (expl.)
Ein einfaches implizites iteratives Lösungsverfahren ist der Thomas-Algorithmus.
Hierbei wird entlang einer gesamten Linie gelöst. Verlaufen die Linien in i-Richtung ergibt
sich folgende tridiagonale Matrix-Struktur:
1.1-38
wobei die rechte Seite wie beim Jacobi- oder beim Gauß-Seidel-Verfahren behandelt
werden kann.
Zur Symmetrisierung des Rechenablaufs werden die Linien bei jedem Iterationsschritt oft
alternierend gewechselt.
Übungsaufgabe:
Leiten Sie den Löser für die tridiagonale Matrix her und programmieren Sie diesen! Welchen
grundsätzlichen Vorteil bietet der Thomas-Algorithmus gegenüber den expliziten Verfahren?
Überrelaxation oder Unterrelaxation
Um die Konvergenz der genannten Verfahren zu beschleunigen, kann eine sogenannte
Überrelaxation (Overrelaxation) durchgeführt werden.
Dabei wird die Veränderung des Funktionswertes mit einem Faktor größer eins
multipliziert und dadurch der Iterationsfortschritt beschleunigt.
Die Theorie sagt für lineare Laplacesche Differentialgleichungen und für das Gauß-Seidel-
Verfahren einen maximal möglichen Überrelaxationsparameter von b < 2 voraus.
Werte b < 1 verringern den Iterationsfortschritt. Diese Unterrelaxation kommt dann ins
Spiel, wenn die Stabilität des Lösungsverfahrens durch ortsabhängige Koeffizienten oder
Nichtlinearitäten eingeschränkt ist.
1.1-39
Rechenablauf
Eine Anfangsbelegung, Iterationsstart, im Inneren des Integrationsgebietes und auf
dem Rand wird vorgeben.
Randbedingungen werden dem Problem entsprechend anfänglich gesetzt
und während des Iterationsfortschritts festgehalten oder falls notwendig angepasst.
Gesamtschrittverfahren:
Ausschließlich Werte der n–1-ten Iteration werden zur Berechnung der nächsten
Lösungsbelegung, n-ter Iterationsschritt, herangezogen Jacobi.
Einzelschrittverfahren und Einzelschritt-Linienverfahren:
Bereits verbesserte Werte werden mit berücksichtigt Gauß-Seidel bzw.
Thomas-Algorithmus.
1.1-40
1.1-42 Erste Teilaufgabe zum Praktikumsbeispiel „Potentialströmung“
Berechnung einer zweidimensionalen stationären, wirbel- und reibungsfreien
Strömung auf einem rechteckigen Integrationsgebiet durch numerische
Lösung der Potentialgleichung mit einem iterativen Gleichungslöser.
a) Formulieren Sie die Differenzengleichung des Problems!
b) Wählen Sie ein Testproblem: Strömung, Integrationsgebiet und geeignete
Randbedingungen!
c) Formulieren Sie ein algebraisches Gleichungssystem für eine numerische Lösung der
Potentialgleichung oder Stromfunktionsgleichung!
d) Lösen Sie das Gleichungssystem mit einem oder mehreren einfachen Lösungsalgorithmen!
e) Berechnen Sie das Geschwindigkeitsfeld!
f) Berechnen Sie das Druckfeld!
1.1-43
Programmieraufgaben
1) Routine für Eingabedaten
Steuerdaten zu Integrationsgebiet, Anzahl der Stützstellen, Schrittweite, ...
2) Routine für Startbelegung
(z.B. exakte Lösung eines Testproblems)
2) Routine für Randbedingungen
3) Routine für den Lösungsalgorithmus
4) Routine für die Berechnung der Geschwindigkeitskomponenten
5) Routine für die Berechnung des Druckbeiwertes
6) Routine für die Ausgabe
7) Routine für die Fehleranalyse (z.B. Vergleich mit exakter Lösung)
Differenzformulierung auf geordneten, strukturierten Gittern
Integrationsgebiet (2D, rechteckig):
Schrittweiten:
1.1-44
Beispiele für Potentialströmungen
Parallelströmung:
Ebene Staupunktströmung:
Quelle:
Potentialwirbel:
Dipol:
Es gilt wegen der Linearität der Differentialgleichungen das Superpositionsprinzip!
Beispiel Halbkörper: Superposition aus Parallelströmung und Quelle
1.1-45
Druckbeiwert:
1.1-46
Zusammenfassung 1. Teilaufgabe des Teiles 1 des Praktikums
Praktikumsaufgabe „Potentialströmung“ auf kartesischem Gitter
• Lösung der Potentialgleichung für eine stationäre,
wirbel- und reibungsfreie zweidimensionale Strömung
• Lösung der Stromfunktionsgleichung für eine stationäre,
wirbel- und reibungsfreie zweidimensionale Strömung
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