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• Numerische Mathematik
• Kursziele
• Kursinhalte
• Ablauf
• Literatur
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 2
Über mich …
Lehre• Mathematik• Numerische Mathematik• Angewandte Informatik• Physik• Elektrochem. Energiespeicher
F & E
• Elektrochemie• Redox-Flow-Batterien
• Raum: F 321
• E-Mail: [email protected]
• Web: http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Struckmann/
• Sprechstunde: n.V.
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Software & Finanzen
World GDP scenarios
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20000,00
40000,00
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100000,00
1995 2000 2005 2010 2015
Quarks & Co Hintergrund
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 4
Beispiel – Numerische Simulation der Strömung um Tragfläche
Numerische Mathematik?
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 5
Numerische Mathematik – Näherungsweise Berechnung von Gleichungslösungen, Funktionswerten, Integralen, … auf Computern, weil …• … die Größen nicht analytisch berechenbar sind • … die Rechnung von Hand auf Grund des Aufwands und der gewünschten Zuverlässigkeit
nicht in Frage kommt.
Numerik, Mathematik, Informatik, Technik, Computing,…
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 6
• Geeignete Näherungs- bzw. Diskretisierungsmethoden für mathematische Probleme liefern
• Konvergenz der numerischen Lösung zur „echten Lösung“ beurteilen
• Numerische Methoden in effiziente und stabile Algorithmen übersetzen
• Ergebnisse verifizieren
Elemente der Mathematik und Informatik
Ziele der Numerischen Mathematik
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 7
Was will dieser Kurs?
Dieser Kurs ist …• … eine Einführung in die Grundlagen der Numerischen Mathematik.• … eine Darstellung von ausgewählten, numerischen Methoden und Algorithmen als
Bausteine zur Lösung komplexer Probleme.
Kompetenzen – Sie können …• … in typischen Anwendungssituationen eine geeignete Numerische Methode
begründet auswählen.• … ausgewählte Numerische Methoden …
• … als Verfahren zur Lösung typischer Probleme des wissenschaftlichen Rechnens erläutern und anwenden.
• … in einer höheren Programmiersprache (MATLAB) implementieren und anwenden.• … in Bezug auf Verfahrensfehler, Störungsempfindlichkeit (Stabilität) und Effekte in
speziellen Situationen beschreiben.• … in Bezug auf deren Effizienz abschätzen.
• … Rundungsfehler & Fortpflanzung von Rundungs- und Datenfehlern abschätzen.• … die Störungsempfindlichkeit (Kondition) typischer Numerischer Probleme abschätzen.
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 8
1 Grundlagen
1. Gleitpunktarithmetik
2. Fehlerfortpflanzung
Kursinhalte
3 Lineare Gleichungssysteme
1. Direkte Verfahren
2. Iterative Verfahren
3. Eigenwerte und Eigenvektoren
4 Interpolation und Approximation
1. Interpolation mit Polynomen
2. Trigonometrische Interpolation
3. Ausgleichsrechnung
5 Differentiation und Integration
1. Numerische Differentiation
2. Numerische Integration
6 AWP für gewöhnliche Dgl
1. Euler-Verfahren
2. Runge-Kutta-Verfahren
2 Nichtlineare Gleichungen
1. Nullstellenbestimmung
2. Nichtlineare Gleichungssysteme
7 Rückblick
1. Probeklausur und Wiederholung
2. Klausur
0 Organisatorisches
Kursziele, Ablauf, Literatur
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 9
Kursablauf
• Workload: 5.0 Credit Points
– Präsenzstudium 3+1 SWS
– Selbststudium!!!!!!!
• Lehrveranstaltungstermine
– Sem. Unterricht: Donnerstag 10.00 – 13:45 Uhr Raum F 310
– Labor: Dienstag 12.15 – 15.30 Uhr Raum F 304, ab 17.10.
• Anwesenheit in ≥6 Vierteln erforderlich
• Vorstellung von Lösungen im Labor erforderlich
• Einteilung: 12.10.
• Unterlagen
– EMIL-Lernraum: Numerische Mathematik (Str) W17
– MuP-Homepage
• Übungsaufgaben: Skript, Laboraufgaben, Begleit-Literatur
• Prüfungsform Klausur
– Termin: Mo, 19.02., 08:30 (90 Minuten)
– Inhalt: Ähnlich den Übungs- und Laboraufgaben, Bestehen: Mindestens 50% Punkte
– Zugelassene Hilfsmittel
• Selbst erstellte Formelsammlung (6 Seiten)
• wiss. TR, keine programmierbaren oder CAS-Rechner
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 10
Termine
SW KW Tag sU sU-Nr Inhalt sU Tag Labor L-Nr Gruppen Inhalt Labor
1 41 12. Okt 1 Grundlagen 10. Okt - -- --2 42 19. Okt Dienstreise 17. Okt 1 A,B 1.1+1.23 43 26. Okt 2 Nichtlineare Gleichungen 24. Okt 1 C,D 1.1+1.24 44 02. Nov 3.1 Direkte Verfahren 31. Okt -- Feiertag5 45 09. Nov 3.2 Iterative Verfahren 07. Nov 2 C,D 2.1+2.2
6 46 16. Nov 3.3Eigenwerte und Eigenvektoren 14. Nov 2 A,B 2.1+2.2
7 47 23. Nov 4.1 Interpolation mit Polynomen 21. Nov 3 C,D 3.1+3.2
8 48 30. Nov 4.2Trigonometrische Interpolation 28. Nov 3 A,B 3.1+3.2
9 49 07. Dez 4.3 Ausgleichsrechnung 05. Dez 4 C,D 3.3+4.110 50 14. Dez 5.1 Numerische Differentiation 12. Dez 4 A,B 3.3+4.111 51 21. Dez 5.2 Numerische Integration 19. Dez 5 C,D 4.2+4.312 2 11. Jan 6 AWP für gew Dgl 09. Jan 5 A,B 4.2+4.3
13 3 18. Jan 7.1Probeklausur und Wiederholung 16. Jan 6 C,D 5.1+5.2
14 4 25. Jan L-Reserve 23. Jan 6 A,B 5.1+5.2
15 5 01. Feb L-Reserve 30. Jan 7L-Reserve 6.1+6.2
18 8 19. Feb 7.2 Klausur (08:30)
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 11
Literatur - Lehrbücher
• M. Knorrenschild: Numerische Mathematik - Eine beispielorientierte Einführung.Hanser Verlag, 5. Auflage 2013 (14.90€!!)
• A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB. Springer Verlag, 2005
• W. Dahmen, A. Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer Verlag, 2. Auflage 2007
• H. Schwarz, N. Köckler: Numerische Mathematik.Springer Verlag, 8. Auflage 2011
• C. Moler, Numerical Computing with MATLAB. Electronic edition: The MathWorks, Inc., Natick, MA, 2004. http://www.mathworks.com/molerPrint edition: SIAM, Philadelphia, 2004. http://www.ec-securehost.com/SIAM/ot87.html
• G.R. Lindfield, J.E.T. Penny: Numerical Methods Using MATLAB.Elsevier, 3rd Edition 2012
• …
Als eBooks über HAW-Bibliothek oder online erhältlich
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 12
1 Grundlagen
1.1 Gleitpunktarithmetik• Datentypen
• Gleitpunktzahlen
• Rechengeschwindigkeit
1.2 Fehler und Fehlerfortpflanzung• Fehlerquellen in der Modellierung
• Absoluter und Relativer Fehler
• Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit
• Fehlerfortpflanzung bei ungenauen Eingabedaten
• Verfahrensfehler
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 13
2 Nichtlineare Gleichungen
2.1 Iterative Nullstellenbestimmung• Gleichungen und Nullstellen
• Bisektion
• Fixpunktiteration
• Newton-Verfahren
• MATLAB – fzero
2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme• Newton-Verfahren für Systeme
• Fixpunktiteration
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 14
3 Lineare Gleichungssysteme
3.1 Direkte Verfahren• Rückblick Gauss-Verfahren
• Dreieckszerlegungen: LU-Zerlegung
• Pivotisierung
• Kondition und Fehlerfortpflanzung
3.2 Iterative Verfahren• Jakobi, Gauss-Seidel, SOR
• Fixpunkt-Verfahren und Abbruchkriterien
3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren• Extreme Eigenwerte – Potenzverfahren
• Alle Eigenwerte – QR-Verfahren
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 15
4 Interpolation und Approximation
4.1 Interpolation mit Polynomen• Polynominterpolation
• Splineinterpolation (Linear, Kubisch)
4.2 Trigonometrische Interpolation• Periodische Funktionen und Fourier-Reihen
• Interpolation durch trigonometrische Funktionen
• Anwendungen
4.3 Ausgleichsrechnung - Approximation• Ausgleichsproblem und Fehlerfunktional
• Lineares Ausgleichsproblem (Lineare Regression)
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 16
5 Numerische Differentiation und Integration
5.1 Differentiation• Differenzenformeln für 𝑓‘
• höhere Ableitungen
• partielle Ableitungen
• Fehlerordnung
5.2 Integration• Rechteck-, Trapez- und Simpsonregel
• Quadraturfehler
• Gauss-Quadratur
• Adaptive Quadratur
• Numerische Integration in MATLAB
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 17
6 AWP für gewöhnliche Dgl
6.1 Euler-Verfahren• AWP und Richtungsfeld
• Euler-Verfahren
• Lokaler und globaler Fehler
• Systeme von Dgl und Dgl höherer Ordnung
6.2 Runge-Kutta-Verfahren• Heun-Verfahren
• Varianten des Runge-Kutta-Verfahrens
• Schrittweitensteuerung
• Anfangswertprobleme in MATLAB
Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 18