Optimale Steuerung - Universität Münster€¦ · 2 Problemstellung 3 Lösungsverfahren 4...

Optimale Steuerung

Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht

13. Dezember 2012

EinleitungProblemstellung

LösungsverfahrenRaketenauto

Details zur ProgrammierungErgebnisse

Ausblick

1 Einleitung

2 Problemstellung

3 Lösungsverfahren

4 Raketenauto

5 Details zur Programmierung

6 ErgebnisseBang-Bang-SteuerungBerücksichtigung der SteuerungMinimierung des Steueraufwandes

7 Ausblick

Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung

Ausblick

Einleitung

Ende des 17. JahrhundertsVariationsrechnung (Brachistochrone)

Ab ca. 1950Motivation entstammte Anfangs hauptsächlich der Luft- undRaumfahrt sowie dem Militär

Verallgemeinerung der Variationsprobleme, indem zwischenSteuerungs- und Zustandsvariablen unterschieden wird

Heute Anwendung in diversen BereichenHochpräzisionssteuerung technischer Prozesse

Optimierung von UnternehmensprozessenProduktionsprozesse in der Industrie...

Ausblick

Einleitung

Ab ca. 1950Motivation entstammte Anfangs hauptsächlich der Luft- undRaumfahrt sowie dem MilitärVerallgemeinerung der Variationsprobleme, indem zwischenSteuerungs- und Zustandsvariablen unterschieden wird

Heute Anwendung in diversen BereichenHochpräzisionssteuerung technischer ProzesseOptimierung von Unternehmensprozessen

Produktionsprozesse in der Industrie...

Ausblick

Einleitung

Heute Anwendung in diversen BereichenHochpräzisionssteuerung technischer ProzesseOptimierung von UnternehmensprozessenProduktionsprozesse in der Industrie

Ausblick

Einleitung

Heute Anwendung in diversen BereichenHochpräzisionssteuerung technischer ProzesseOptimierung von UnternehmensprozessenProduktionsprozesse in der Industrie...

Ausblick

Problemstellung

Minimiere

J = ϕ(x(t0), x(tf )) +

∫ tf

f0(t, x(t), u(t))dt

unter den Differentialgleichungsnebenbedingungen

x(t) = f (t, x(t), u(t)), t0 ≤ t ≤ tf ,

den Steuer- und Zustandsbeschränkungen

u(t) ∈ [ua, ub] t0 ≤ t ≤ tf ,

x(t) ∈ [xa, xb] t0 ≤ t ≤ tf ,

den Randbedingungen

x(t0) = x0, x(tf ) = xe

Ausblick

Problemstellung

Minimiere

J = ϕ(x(t0), x(tf )) +

∫ tf

f0(t, x(t), u(t))dt

x(t) = f (t, x(t), u(t)), t0 ≤ t ≤ tf ,

u(t) ∈ [ua, ub] t0 ≤ t ≤ tf ,

x(t) ∈ [xa, xb] t0 ≤ t ≤ tf ,

den Randbedingungen

x(t0) = x0, x(tf ) = xe

Ausblick

Problemstellung

Minimiere

J = ϕ(x(t0), x(tf )) +

∫ tf

f0(t, x(t), u(t))dt

x(t) = f (t, x(t), u(t)), t0 ≤ t ≤ tf ,

u(t) ∈ [ua, ub] t0 ≤ t ≤ tf ,

x(t) ∈ [xa, xb] t0 ≤ t ≤ tf ,

den Randbedingungen

x(t0) = x0, x(tf ) = xe

Ausblick

Problemstellung

Minimiere

J = ϕ(x(t0), x(tf )) +

∫ tf

f0(t, x(t), u(t))dt

x(t) = f (t, x(t), u(t)), t0 ≤ t ≤ tf ,

u(t) ∈ [ua, ub] t0 ≤ t ≤ tf ,

x(t) ∈ [xa, xb] t0 ≤ t ≤ tf ,

den Randbedingungen

x(t0) = x0, x(tf ) = xe

Allgemeine Lösungsverfahren

Ausblick

Direktes VerfahrenDiskrete Optimalsteuerungsprobleme

Dynamik eines Prozesses in diskreter Form

Beeinflussung nur an endlich vielen Stellen

GitterZustandsgitterfunktionSteuergitterfunktion

Ausblick

Dynamik eines Prozesses in diskreter FormBeeinflussung nur an endlich vielen Stellen

Ausblick

Gitter

ZustandsgitterfunktionSteuergitterfunktion

Ausblick

GitterZustandsgitterfunktion

Steuergitterfunktion

Ausblick

Diskrete Optimalsteuerungsprobleme

Ausblick

Diskrete Optimalsteuerung am Beispiel des Raketenautos

Ausblick

Es bezeichnet Zeit t ∈ [0, tf ]

x(t) Position des Wagens zum Zeitpunkt tv(t) Geschwindigkeit des Wagens zum Zeitpunkt tu(t) Beschleunigung des Wagens zum Zeitpunkt t,

SteuerungDynamik des Systems ist gegeben durch

x(t) = v(t)

v(t) = u(t)

mit x0, xe , v0, ve ∈ R

gewünschte Anfangs- und Endbedingungen:

x(0) = x0, x(tf ) = xev(0) = v0, v(tf ) = ve

Ausblick

Ziel: Der Wagen soll an der vorgegebenen Endposition xemit der Geschwindigkeit ve ankommen.

Unterschiedliche Forderungen an das SystemAbhängig von diesen Forderungen unterschiedlichesZielfunktional J(u)

Ausblick

Mathematische Formulierung der Problemstellung

minu(t)

unter den Nebenbedingungen

x(0) = x0, x(tf ) = xe

v(0) = v0, v(tf ) = ve

und den Steuerbeschränkung Ub, d.h.

−Ub ≤ u(t) ≤ Ub

Je nach Forderungen an das System werden sich x(t), v(t) undu(t) unterschiedlich verhalten.

Ausblick

minu(t)

x(0) = x0, x(tf ) = xe

v(0) = v0, v(tf ) = ve

Ausblick

minu(t)

x(0) = x0, x(tf ) = xe

v(0) = v0, v(tf ) = ve

Ausblick

minu(t)

x(0) = x0, x(tf ) = xe

v(0) = v0, v(tf ) = ve

Ausblick

minu(t)

x(0) = x0, x(tf ) = xe

v(0) = v0, v(tf ) = ve

Ausblick

In Matlab verwendete Funktionen

Trapez-Regel zur Zeitintegration

Euler-Verfahren zum Lösen von AnfangswertproblemenRunge-Kutta Stufe 4 als Alternative zum Euler-Verfahrenfmincon aus der Optimization-Toolbox zur Minimierung vonJ(u) unter Berücksichtigung von Beschränkungen an u.

Ausblick

Trapez-Regel zur ZeitintegrationEuler-Verfahren zum Lösen von Anfangswertproblemen

Runge-Kutta Stufe 4 als Alternative zum Euler-Verfahrenfmincon aus der Optimization-Toolbox zur Minimierung vonJ(u) unter Berücksichtigung von Beschränkungen an u.

Ausblick

Trapez-Regel zur ZeitintegrationEuler-Verfahren zum Lösen von AnfangswertproblemenRunge-Kutta Stufe 4 als Alternative zum Euler-Verfahren

fmincon aus der Optimization-Toolbox zur Minimierung vonJ(u) unter Berücksichtigung von Beschränkungen an u.

Ausblick

Trapez-Regel zur ZeitintegrationEuler-Verfahren zum Lösen von AnfangswertproblemenRunge-Kutta Stufe 4 als Alternative zum Euler-Verfahrenfmincon aus der Optimization-Toolbox zur Minimierung vonJ(u) unter Berücksichtigung von Beschränkungen an u.

Ausblick

Bang-Bang-SteuerungBerücksichtigung der SteuerungMinimierung des Steueraufwandes

Ausschließliche Berücksichtigung der Position und Geschwindigkeit

tf∫0

(x(t)− xe)2 + (v(t)− ve)

2 dt (1)

J wird minimal, wenn das Ziel möglichst schnell erreicht wird. Esergibt sich die „Bang-Bang-Steuerung“.

0 1 2 3 4 5−1.5

−0.5

Steuerung zum Zeitpunkt

Zeit[s]

0 1 2 3 4 50

Geschwindigkeit zum Zeitpunkt

Zeit[s]

0 1 2 3 4 50

Position zum Zeitpunkt

Zeit[s]

xe − x0 = 7, tf = 5,−1 ≤ u ≤ 1Bang-Bang-Steuerung:

Steuerung bis zum Ziel stetsan ihren Grenzen

0 2 4 6 8 10−1.5

−0.5

Zeit[s]

0 2 4 6 8 10−1

Zeit[s]

0 2 4 6 8 100

Zeit[s]

xe − x0 = 7, tf = 10,−1 ≤ u ≤ 1Bang-Bang-Steuerung:

Steuerung bis zum Ziel stetsan ihren Grenzen

0 2 4 6 8 10

Zeit[s]

0 2 4 6 8 100

Zeit[s]

0 2 4 6 8 100

Zeit[s]

xe − x0 = 7, tf = 10,−2 ≤ u ≤ 2Steuerung bis zum Ziel stetsan ihren GrenzenZiel wird schnell, aber mitgroßem Steuerungsaufwanderreicht

Ausblick

Zusätzlich kann der Steuerungsaufwand berücksichtigt werden:

tf∫0

(x(t)− xe)2 + (v(t)− ve)

2 + λu2(t)dt (2)

Im Auto-Beispiel bedeutet das: Vollgas führt zu hohemSpritverbrauch.Wie hoch die Kosten tatsächlich sind und wie viel Geld fürZeitersparnis gezahlt werden soll, lässt sich durch λ einstellen.

0 2 4 6 8 10−10

Zeit[s]

0 2 4 6 8 10−2

Zeit[s]

0 2 4 6 8 100

Zeit[s]

xe − x0 = 10, tf = 10−10 ≤ u ≤ 1000, λ = 0, 1

Starke Steuerung wirdweitgehend vermieden.

0 2 4 6 8 10−50

Zeit[s]

0 2 4 6 8 10−5

Zeit[s]

0 2 4 6 8 100

Zeit[s]

xe − x0 = 10, tf = 10−10 ≤ u ≤ 1000, λ = 0, 001

Starke Steuerung wirdweitgehend vermieden.Mit erhöhtemSteueraufwand wird das Zielschneller erreicht.

Ausblick

Nur die Endposition und -geschwindigkeit wird Berücksichtigt:

J = (x(tf )− xe)2 + (v(tf )− ve)

2 + λ

tf∫0

u2(t)dt (3)

Die benötigte Zeit geht nicht mehr ein.

0 10 20 30 40 50−1.5

−0.5

Zeit[s]

0 10 20 30 40 500

Zeit[s]

0 10 20 30 40 500

Zeit[s]

xe − x0 = 500, tf = 50−2 ≤ u ≤ 2Minimierung der Steuerung:

Zeit wird voll ausgeschöpft

Steuerung wird minimal

0 10 20 30 40 50−1.5

−0.5

Zeit[s]

0 10 20 30 40 500

Zeit[s]

0 10 20 30 40 500

Zeit[s]

Zeit wird voll ausgeschöpftSteuerung wird minimal

0 20 40 60 80 100−0.4

−0.2

Zeit[s]

0 20 40 60 80 1000

Zeit[s]

0 20 40 60 80 1000

Zeit[s]

Zeit wird voll ausgeschöpftSteuerung wird minimal

Ausblick

Endbedingungen

Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zweiRandbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeit

Endbedingungen bisher mit im ZielfunktionalProblem: Von diesen Bedingungen kann die optimaleSteuerung bei ungünstiger Gewichtung zugunsten der anderenSummanden abweichen.Lösung: Übergabe der Endbedingung als feste Bedingung anfmnincon.

Ausblick

Endbedingungen

Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zweiRandbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeitEndbedingungen bisher mit im Zielfunktional

Problem: Von diesen Bedingungen kann die optimaleSteuerung bei ungünstiger Gewichtung zugunsten der anderenSummanden abweichen.Lösung: Übergabe der Endbedingung als feste Bedingung anfmnincon.

Ausblick

Endbedingungen

Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zweiRandbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeitEndbedingungen bisher mit im ZielfunktionalProblem: Von diesen Bedingungen kann die optimaleSteuerung bei ungünstiger Gewichtung zugunsten der anderenSummanden abweichen.

Lösung: Übergabe der Endbedingung als feste Bedingung anfmnincon.

Ausblick

Endbedingungen

Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zweiRandbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeitEndbedingungen bisher mit im ZielfunktionalProblem: Von diesen Bedingungen kann die optimaleSteuerung bei ungünstiger Gewichtung zugunsten der anderenSummanden abweichen.Lösung: Übergabe der Endbedingung als feste Bedingung anfmnincon.

Ausblick

Indirekter Zugang

Bisher: Diskretisierung von Anfang an

Alternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an dieoptimale SteuerungAnalytische Herleitung eines Gleichungssystems, dasanschließend numerisch gelöst wirdStichworte: Hamilton-Funktion, adjungierter Zustand

Ausblick

Indirekter Zugang

Bisher: Diskretisierung von Anfang anAlternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an dieoptimale Steuerung

Analytische Herleitung eines Gleichungssystems, dasanschließend numerisch gelöst wirdStichworte: Hamilton-Funktion, adjungierter Zustand

Ausblick

Indirekter Zugang

Bisher: Diskretisierung von Anfang anAlternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an dieoptimale SteuerungAnalytische Herleitung eines Gleichungssystems, dasanschließend numerisch gelöst wird

Stichworte: Hamilton-Funktion, adjungierter Zustand

Ausblick

Indirekter Zugang

Bisher: Diskretisierung von Anfang anAlternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an dieoptimale SteuerungAnalytische Herleitung eines Gleichungssystems, dasanschließend numerisch gelöst wirdStichworte: Hamilton-Funktion, adjungierter Zustand

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