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Peter H. Richter
1
Quasikristalle: Theoretische Physik für Studierende des Lehramts
Peter H. Richter
12. Januar 2012
Inauguration der Wilhelm und Else Heraeus-Seniorprofessur für die Weiterentwicklung der Lehrerausbildung im Fachbereich Physik
Peter H. Richter
2
Laue-Beugungsbilder
Kristall
- beobachten und beschreiben- fragen, diskutieren, weiterfragen, Interesse wecken- elementare Erklärungen versuchen, Analogien und Verallgemeinerungen - verstehen: gewöhnen und einordnen- tieferes Verständnis: Methoden erarbeiten und üben
Quasikristall
Peter H. Richter
3
Bausteine 1
72o
36o
1
1
2D
je 10 dicke und 10 flache Rhomboeder Diagonalenverhältnis g = 1/G
3D
...03618.02
15
g
Gg
g 1:
1
1
1
Keplers Triakontaeder (ein Catalanischer Körper)
G
g1
Peter H. Richter
4
Wellen, BeugungFourier-Transformation
Goldener Schnitt, KunstZahlentheorie
GitterstrukturenVektoren, Projektoren
Bausteine
Platonische u.a. Körper
Symmetrie, SymmetriebrechungGruppentheorie
Peter H. Richter
5
Der goldene Schnitt g
...],1,1,1,0[
...11
1
11
11
10
1
1
g
g
...,,,:
...1
11
210
32
1
0 www
ww
wwW
Kettenbruchdarstellung einer Zahl W
n
nnn q
pwwwW ...,,, 10
Kettenbruchapproximationen
...,8
5,5
3,3
2,2
1,1
1,1
0
1n
nn F
Fg
Fibonacci-Reihe, Farey-Summe
21
5/1
n
n Fgg g und G sind die irrationalsten Zahlen!!!
Peter H. Richter
6
Der goldene Schnitt in Natur und Kunst
Peter H. Richter
7
Bausteine 2
Platonische Körper
Mysterium Cosmographicum Geodesic Dome
Archimedische
Körper
Catalanische
Peter H. Richter
8
Diskrete Symmetriegruppen
• Allgemeine Eigenschaften – Erzeugung, Zerlegung, Faktorgruppe, Äquivalenzklassen
– Permutationsgruppen
– Gruppentafeln • Gitter-Translationen: abelsche Gruppe• Drehungen: 2-, 3-, 4-, 5-, 6-zählige Achsen und Spiegelungen• Beispiele:
– S3 gleichseitiges Dreieck (mit Spiegelungen)
– A4 Tetraeder (ohne Spiegelungen)
– Würfel: 24 Drehungen
– 7 Punktgruppen der Bravaisgitter
Peter H. Richter
9
Symmetrien von Kristallen und Quasikristallen
• Bravais-Gitter – 3D-Pflasterung mit nur
einem Baustein
– 2-, 3-, 4-, 6-zählige Achsen
– 3fach-periodische Anordnung der Elementarzelle
– Gittertranslationssymmetrie
– Orientierungsordnung
• Quasikristall-Gitter – 3D-Pflasterung mit zwei
Bausteinen
– auch 5-zählige Achsen
– aperiodische Anordnung der Elementarzellen
– keine Translationssymmetrie
– Orientierungsordnung
Peter H. Richter
10
• Vektoren und ihre Darstellung in einer Basis – Dirac-Notation, bra- und ket-Vektoren bzw.
– Skalarprodukt und Operatorprodukt bzw.
• Operatoren und ihre Darstellung als Matrix– Projektoren
– Drehungen
– symmetrische Operatoren
– Eigenwerte, Eigenvektoren
Gittervektoren und Operatoren
a b
ba ba
ii
i eeP ˆ PP 2
ii
i eeD ˆ TDD 1
jijji
i eSeS ,
ˆ TSS
Peter H. Richter
11
Projektion aus höheren Dimensionen 1
2D →1D
aperiodisch periodisch
3D →2D
aperiodisch periodisch in x, aperiodisch in y
periodisch in beiden Richtungen
Peter H. Richter
12
Projektion aus höheren Dimensionen 2
1111
1111
1111
1111
4
14P
3111
1311
1131
1113
4
11 44 PQ
4D3D1D
3
3
3
3
3
5
15
gGGg
ggGG
GggG
GGgg
gGGg
Q
2
2
2
2
2
5
15
gGGg
ggGG
GggG
GGgg
gGGg
P
5D3D2D
rhombisches Dodekaeder aus 4 gleichen Rhomboedern
rhombisches Triakontaeder aus 10 x 2 Rhomboedern
Penrose-Zelle aus 5 x 2 Rhomben
Peter H. Richter
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Wellen, BeugungFourier-Transformation
Goldener Schnitt, KunstZahlentheorie
GitterstrukturenVektoren, Projektoren
Bausteine
Platonische u.a. Körper
Symmetrie, SymmetriebrechungGruppentheorie
Peter H. Richter
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Zusammenfassung
• Wir gehen aus von einfachen Fragen, hier: was hat es mit den Quasikristallen auf sich? wieso ein Nobelpreis dafür?
• Wir ordnen sie ein in einen größeren Kontext, der durch das Thema seine Kohärenz erhält.
• Wir folgen nicht einer Fachsystematik, sondern erlauben uns, vom geraden Weg abzuweichen und hier und da ein Blümchen zu pflücken. Nach Möglichkeit arbeiten wir mit allen Sinnen.
• Wir lernen Methoden nach Bedarf und gehen in die Tiefe, wo es sich auch für andere Zwecke lohnt. Hier setzt der Wille zu engagierter Mitarbeit ein Vertrauen in die Kompetenz des Lehrers voraus.
• Wir gehen bis an Grenzen unserer individuellen Fähigkeiten, gelegentlich vielleicht auch des verfügbaren Wissens (denn die Fragen der Schüler und Studenten gehen gerne darüber hinaus).
• Ich glaube, dass man analog auch in der Schule vorgehen kann, wenn auch mit anderem Tempo und auf anderem Niveau.
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