Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir...

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus

Ein Blick ----- Einblick

Wie wir in „Mathematik für alle“ die Welt der Mathematik sehen Folie 1

Ein Weg ist gangbar vorbereitet

Wie wir in „Mathematik für alle“ die Welt der Mathematik sehen Folie 2

Exponentialfunktion

( ) xf x k

Basis k >1 Basis k mit 0<k <1für Basis k <0 ist f nicht definiert

0,k Def 0,k Def

Folie 3

Exp-fkt

Exponentialfunktion

( ) xf x k

Basis k >1 Basis k mit 0<k <1für Basis k <0 ist f nicht definiert

0,k Def 0,k Def

Folie 4

Exp-fkt

e-Funktion, das halbe Geheimnis

( ) xf x k ( ) xf x e

Folie 5

e-Funktion, das halbe Geheimnis

( ) xf x k

( ) xf x e

e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion,die in (0/1) die Steigung 1 hat.

Folie 6

Die Welt der Umkehrfunktionen

ln( )y x

log ( )ay x

arcsin( )

Folie 7

Umkehr-Fragen Umkehr-FunktionenUmkehr-Relationen

Folie 8

Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen

Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2?

Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4?

Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4

Visualisierung der Umkehrfrage:

Folie 9

Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4?

Gehe von der y-Achse zur Kurve und dann zur x-Achse

Folie 10

Umkehrfkt

Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4

Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4?

Gehe von der y-Achse zur Kurve und dann zur x-Achse

Gehe von der x-Achse zum Graphen der an der Winkelhalbierenden gespiegelten Kurve und dann zur y-Achse.Es ist die Umkehrrelation.

Dies ist hier keine Funktion. Der Wert ist nicht eindeutig bestimmt. Folie 11

Umkehrfkt

Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4

Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4?

Formalisierung der Umkehrfrage:

Bilde (hier stückweise) die Umkehrfunktion

( )g x x

( )h x x Folie 12

Umkehrfkt

Exponentialfunktion

( ) xf x e

Eulersche e-Funktion

der natürlicheLogarithmus

die ln-Funktion

der ln

Folie 13

Umkehrfkt

Exponentialfunktion

( ) xf x e

Eulersche e-Funktion

der natürlicheLogarithmus

die ln-Funktion

der ln

Folie 14

Umkehrfkt

Wie langsam wächst der Logarithmus?

Folie 15

Funktion frisst Umkehrfunktionen

ln( )y x

log ( )ay x

arcsin( )y x

für Hauptwerte

Folie 16

Umkehrfkt

Die Welt der Umkehrfunktionen

ln( )y x

log ( )ay x

arcsin( )

für Hauptwerte

Folie 17

Übung mit Funktionsgraphen2 3 1 ln( 6)x x x xy e y e y e y e y x

Folie 18

Übung mit Funktionsgraphen2 3 1 ln( 6)x x x xy e y e y e y e y x

Folie 19

Differentiale

Folie 23

DifferentialeParabel

Sekanten

Folie 24

Nur zur Vertiefung

Wenn man B an A heran-rücken lässt, wird das Steigungsdreieck der Sekanteimmer kleiner und manerhält die Tangente in A.

Das DifferentialAlso untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion:

welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt?

limA sekantex a

Folie 25

Fahrrad hier

Fahrrad pur

Fahrrad, Bspl 2

Folie 26

Folie 27

Fahrrad hier

Fahrrad pur

Fahrrad, Bspl 2

Die Ableitung f ‘ ist die Funktion, die für jedes xdie Steigung der Funktion f angibt.

Die rote Funktion ist also die Ableitung von der blauen. Folie 28

Fahrrad hier

Fahrrad pur

Fahrrad, Bspl 2

Übung 2 mit Funktionsgraphen

Folie 29

Fahrrad, Bspl 2

Folie 30

Übung 3 mit Funktionsgraphen und Ableitungen

Folie 31

Folie 32

e-Funktion, das ganze Geheimnis

( ) xf x e e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion,die in (0/1) die Steigung 1 hat.

Folie 33

Teil 2 AbleitenTeil 1

e-Funktion, das ganze Geheimnis

( ) xf x e e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion,die in (0/1) die Steigung 1 hat.

Die e-Funktion ist diejenige Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt.

'x xe e Folie 34

Teil 2 AbleitenTeil 1

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