RS Oswin Weiser Pößneck Gleichungen mit einer Variablen lösen

RS „Oswin Weiser“ Pößneck

Gleichungen mit einer Gleichungen mit einer Variablen lösenVariablen lösen

RS „Oswin Weiser“ Pößneck

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Eine Gleichung mit einer Variablen x lösen heißt:

die Zahl für x finden, die eine wahre Aussage ergibt.

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Gleichung lösen durch Probieren mit Tabelle:

Zahl für x:

x x 13 + 4 = 56 13 + 4 = 56

in Gleichung einsetzen: falsch / wahr?

1 1 13 + 4 = 5617 = 56

falsche Aussage

2 2 13 + 4 = 5630 = 56 falsche Aussage

3 3 13 + 4 = 5643 = 56 falsche Aussage

4 4 13 + 4 = 5656 = 56

wahre Aussage

Die Lösung der Gleichung ist x = 4 !Die Lösung der Gleichung ist x = 4 !

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Gleichung lösen durch Probieren mit Tabelle:

Zahl für x:

x x 3 + 9 = x + 15 3 + 9 = x + 15

in Gleichung einsetzen:

1 1 3 + 9 = 1 + 1512 = 16

falsche Aussage hier klicken

2 2 3 + 9 = 2 + 1515 = 17 falsche Aussage

hier klicken

3 3 3 + 9 = 3 + 1518 = 18

falsche Aussage hier klicken

4 4 3 + 9 = 4 + 1521 = 19

wahre Aussagehier klicken

Die Lösung der Gleichung ist x = 3 !Die Lösung der Gleichung ist x = 3 !

falsch / wahr?

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Gleichung lösen durch Probieren mit Tabelle:

Zahl für x:

x x 7 + 430 = x 7 + 430 = x 2 + 2000 2 + 2000

in Gleichung einsetzen:

1 1 7 + 430 = 1 2 + 2000437 = 2002

falsche Aussage

2 2 7 + 430 = 2 2 + 2000444 = 2004

falsche Aussage

wahre Aussage314 3147 + 430 = 3142 + 2000

2628 = 2628

Die Lösung der Gleichung ist (mühsam) x = 314 !Die Lösung der Gleichung ist (mühsam) x = 314 !

falsch / wahr?

Stunden später ..........

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Eine Gleichung durch Probieren zu lösen kann unter Umständen sehr lange dauern.

Es gibt einen Rechenweg, mit dem man alle Gleichungen nach kurzer Zeit lösen kann.

Die Grundregel dabei ist:

„Verändere ich die eine Seite einer Gleichung, dann muss ich die andere Seite genau so verändern, damit das Gleichgewicht bleibt.“

Ziel ist: x soll auf einer Seite allein stehen.

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3 9 3

3 15 3

3 9 3 15

Wenn ich auf der linken Seite 3 kg wegnehme, dann muss ich auf der rechten Seite auch 3 kg wegnehmen, damit das Gleichgewicht bleibt.

- 318 = 18

15 = 15

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Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn man auf beiden Seiten

3 wegnimmt:

3 + x = 11

-3 -3

x

x - 4 = 9

+4 +4

x

3 x = 12

:3 :3

x

x = 62

2

x

4 hinzufügt:

den 3. Teil bildet: verdoppelt:

2

= 8

Wir vereinfachen die Gleichungen so, dass „x“ allein steht.

13=

4= 12=

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Ziel ist: x soll auf einer Seite allein stehen.

Gleichungen lösen mit Umformungsregeln:

steht in der Gleichung: dann Umformungsregel:

x - 5 + 5 auf beiden Seiten

x + 5

x 5

x : 5

- 5 auf beiden Seiten

: 5 auf beiden Seiten

5 auf beiden Seiten

Will man eine Gleichung in eine einfachere umformen,verwendet man immer die Umkehrrechenart.

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Subtraktionsregel:

Auf beiden Seiten einer Gleichung wird dieselbe Zahl subtrahiert.

Beispiel:

4x + 9 = 25 -9

4x + 9 -9 = 25 - 9

Gleichung:

Rechnung:

vereinfachte Gleichung: 4x = 16

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Additionsregel:

Auf beiden Seiten einer Gleichung wird dieselbe Zahl addiert.

Beispiel:

2x - 5 = 21 +5

2x -5 +5 = 21 + 5

Gleichung:

Rechnung:

vereinfachte Gleichung: 2x = 26

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Übung:Löse die Gleichung mit der Additions- oder Subtraktionsregel!

A) x + 17 = 30 B) x - 14 = 6

C) x - 7 = -25 D) x + 13 = - 45

-17

x + 17 - 17 = 30 - 17

x = 13

+14

x - 14 + 14 = 6 + 14

x = 20

+7

x - 7 + 7 = - 25 + 7

x = - 18

Probe: 13 + 17 = 30 w.A. Probe: 20 - 14 = 6 w.A.

Probe: -18 - 7 = -25 w.A.

-13

x + 13 - 13 = - 45 - 13

x = - 58

Probe: - 58 + 13 = - 45 w.A.

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Multiplikationsregel:

Beiden Seiten einer Gleichung werden mit derselbe Zahl ( 0) multipliziert.

Beispiel:

2x = 4 5

5

2x 5 = 4 5 5

Gleichung:

Rechnung:

vereinfachte Gleichung: 2x = 20

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Divisionsregel:

Beiden Seiten einer Gleichung werden durch dieselbe Zahl ( 0) dividiert.

Beispiel:

4 x = -12 : 4

4 x = -12 4 4

Gleichung:

Rechnung:

vereinfachte Gleichung: 1 x = -3

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Übung:Löse die Gleichung mit der Multiplikations- oder Divisionsregel!

A) x : 2 = 30 B) x 14 = 84

C) x 7 = - 63 D) x : 5 = - 45

2

x 2 = 30 22x = 60

:14

x 14 = 84 14 14

x = 6

:7

x 7 = - 63 7 7

x = - 9

Probe: 60 : 2 = 30 w.A. Probe: 6 14 = 84 w.A.

Probe: -9 7 = -63 w.A.

5

x 5 = - 45 5 5

x = - 225

Probe: - 225 :5 = - 45 w.A.

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Zusammenfassung:

Will man eine Gleichung vereinfachen, verwendet man auf beiden Seiten die Umkehrrechnung.

Die Probe wird immer mit der Ausgangsaufgabe gemacht.

Bei der Probe setzt man die gefundene Zahl für x in die Ausgangsaufgabe ein.

Ergibt sich eine wahre Aussage, hat man die Lösung gefunden.

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Löse die Gleichungen mit den Umformungsregeln!Verwende zuerst die Regeln für „+“ oder „-“.Im 2. Schritt verwende die Divisionsregel!

5x + 15 = 70 - 15

5x + 15 - 15 = 70 - 15 zusammenfassen

5 x = 55 : 5

x = 11

Probe: 5 11 + 15 = 7055 + 15 = 70

70 = 70 w.A. ENDE

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Gleichung: x Gleichung: x 13 + 4 = 56 13 + 4 = 56

13

56

4

x = 1x = 1

ungleichungleich

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13

56

4x = 2x = 2

ungleichungleich

13

Gleichung: x Gleichung: x 13 + 4 = 56 13 + 4 = 56

RS „Oswin Weiser“ Pößneck

13

56

4x = 3x = 3

ungleichungleich

13 13

Gleichung: x Gleichung: x 13 + 4 = 56 13 + 4 = 56

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x = 4x = 4

13 13 13 13

4

56

gleichgleich

Gleichung: x Gleichung: x 13 + 4 = 56 13 + 4 = 56

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3

15

x = 1x = 1

ungleichungleich

1

Gleichung: x Gleichung: x 3 + 9 = x + 15 3 + 9 = x + 15

9

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x = 2x = 2

ungleichungleich

3

15

3

2

Gleichung: x Gleichung: x 3 + 9 = x + 15 3 + 9 = x + 15

9

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x = 4x = 4

ungleichungleich

3

15 4

3 3 3

Gleichung: x Gleichung: x 3 + 9 = x + 15 3 + 9 = x + 15

9

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x = 3x = 3

gleichgleich

Gleichung: x Gleichung: x 3 + 9 = x + 15 3 + 9 = x + 15

3 9 3

3 15 3

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Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn man auf beiden Seiten

3 wegnimmt:

3 + x = 11

-3 -3

x

x - 4 = 9

+4 +4

x

3 x = 12

:3 :3

x

x = 62

2

x

4 hinzufügt:

den 3. Teil bildet: verdoppelt:

2

= 8

Wir vereinfachen die Gleichungen so, dass „x“ allein steht.

13=

4= 12=